极坐标和直角坐标的互化 课件

极坐标和直角坐标的互化
如图所示，平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可 以用极坐标表示，如果平面内的一个点的直角坐标是 M(1， 3)．
那么这个点的极坐标是什么样的呢？
点的极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景：把直角坐标系的原点作为___极__点__，x轴的正 半轴作为_极__轴__，并在两种坐标系中取相同的长__度__单__位___，如图 所示．
76π＝－ 76π＝－1
3
故 A 的直角坐标为(－ 3，－1)． 答案： C
2．已知点A的极坐标为(2，－2)，则点A在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析： ∵－π<－2<－π2，
∴－2 为第三象限角，故点 A 在第三象限．
答案： C
3．极坐标为(3，－4)的点到极轴的距离为________． 解析： 由y＝ρsin θ知y＝3×sin(－4)＝－3sin 4 故极坐标为(3，－4)的点到极轴的距离为－3sin 4. 答案： －3sin 4
4．完成下列点的坐标的转化． (1)将极坐标(2,0)化为直角坐标； (2)将直角坐标(－2,0)化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)． 解析： (1)∵ρ＝2，θ＝0， ∴x＝2cos θ＝2，y＝2sin θ＝0， ∴将极坐标(2,0)化为直角坐标为(2,0)． (2)∵ρ＝ －22＋02＝2，tan θ＝－02＝0， 由于点(－2,0)在 x 轴的非正半轴上，所以 θ＝π， ∴将直角坐标(－2,0)化为极坐标为(2，π)．
在一般情况下，由 tan θ 确定角时，可根据点 M 所在的象
限取最小正角．
1．点 A 的极坐标是2，76π，则点 A 的直角坐标为(
)
A．(－1，－ 3)
B．(－ 3，1)
C．(－ 3，－1)
D．( 3，－1)
解析：
由直角坐标(x，y)公式xy＝ ＝ρρcsions
θ θ
x＝2cos 知
y＝2sin
y＝3sin－π3＝－32
3，∴A32，－32
3.
对于 B 有 x＝1×cos23π＝－12，
y＝1×sin23π＝ 23，∴B＝－12， 23.
∴|AB|＝ 32＋122＋－32 3－ 232＝ 4＋12＝4.
[规律方法] (1)|AB|除了利用两点间距离 公式解决之外，由A，B两点在极坐标系上的 位置．如图可知O，A，B在同一条直线上， 故|AB|＝|OA|＋|OB|＝1＋3＝4.
∴直角坐标 23π，－π2的点的极坐标为π，161π.故选 C． 答案： C
互化公式的综合应用
在极坐标系中，如果 A2，π4，B2，54π为等边三角 形 ABC 的两个顶点，求顶点 C 的极坐标(ρ>0,0≤θ＜2π)．
[思路点拨] 由题目可获取以下主要信息： ①已知点 A、B 的极坐标； ②△ABC 为等边三角形． 解答本题可以先利用极坐标化为直角坐标，再根据等边三 角形的定义建立方程组求解；也可以直接利用极坐标根据余弦 定理求解．
由于点(－1,1)在第二象限，所以 θ＝34π，
∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为
2，34π.
(2)ρ＝ － 32＋－12＝2，tan θ＝－－13＝ 33，
由于点(－ 3，－1)在第三象限，所以 θ＝76π，
∴直角坐标(－ 3，－1)化为极坐标为2，76π.
[规律方法] 将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时， 运用公式 ρ＝ x2＋y2，tan θ＝yx(x≠0)即可．在[0,2π)范围内，由 tan θ＝yx(x≠0)求 θ 时，要根据直角坐标符号特征判断出点所在的 象限．如果允许 θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为 θ ＋2kπ(k∈Z)即可．
化直角坐标为极坐标
分别将下列点的直角坐标化为极坐标 (ρ>0,0≤θ<2π)．
(1)(－1,1)；(2)(－ 3，－1)． [思路点拨] 利用互化公式即可，但需注意点所在的象
限． 直角坐标 taρn＝θ―＝―yxx2→x＋≠y02 极坐标
[解题过程] (1)∵ρ＝ －12＋12＝ 2，
tan θ＝－1，θ∈[0,2π)，
(2)互化公式：设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x， y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，
于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：
点 M 直角坐标(x，y)
极坐标(ρ，θ)
互化 公式
x＝ρ_c_o_s__θ_ y＝ρ_s_i_n_θ__
ρ2＝_x_2＋__y_2_ tan θ＝_yx_(x_≠__0_)
[解题过程] ∵对于点 A2，π4有 ρ＝2，θ＝π4， ∴x＝ρcos θ＝2cos π4＝ 2，y＝ρsin θ＝2sin π4＝ 2， ∴A( 2， 2)．对于 B2，54π有 ρ＝2，θ＝54π， ∴x＝2cos 54π＝－ 2，y＝2sin 54π＝－ 2，∴B(－ 2，－ 2)．
(2)平面内的一个点既可以用直角坐标表 示，也可以用极坐标表示．我们要理解极坐 标的概念，会正确进行点的极坐标与直角坐 标的互化，利用两种坐标的互化，可以把不 熟悉的问题转化为熟悉的问题．
[变式训练] 1.分别把点的极坐标(1,0)，(1，－2π)，2，32π， π2，π2化为直角坐标．
解析： 根据点的极坐标化为直角坐标的公式 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ 计算，得到点(1,0)，(1，－2π)，2，32π，π2，π2的直 角坐标分别为(1,0)，(1,0)，(0，－2)，0，π2.
化极坐标为直角坐标
已知 A3，－π3，B1，23π，求 A，B 两点之间的距 离．
[思路点拨] 利用互化公式，将极坐标转化为熟悉的直角 坐标．
化为直角坐标 ―→ 两点间的距离公式 ―→ 得结果
[解题过程] 将 A3，－π3，B1，23π由极坐标化为直角坐
标，对于 A 有 x＝3cos－π3＝32，
[变式训练]
2.
直
角
坐
标
为
23π，－π2 的 点 的 极 坐 标 为
()
A．π，56π
B．π，76π
C．π，116π
D．π，π2
解析： 由 ρ＝ x2＋y2知 ρ＝
23π2＋－π22＝π
tan
θ＝yx＝
－π2 ＝－，－π2在第四象限，所以 θ＝161π