第六章 高斯光束

解： （1）
(z) 0
z 2
1
02
1.12m
R(z)
z
1
2 0
z
2
0.5
12 0.5
=
2.5m
（2） 0
F
F 02 1m
z 0.5m q 0.5 i(m )
知识回顾
0
F
F 02
(z) 0
1
z F
2
R(z)
z 1
F z
2
2 =2 0 F
z iF z2 F 2
z2 F 2 (z2 F 2 )(z iF )
q
z iF
z iF (z iF )(z iF )
腰处的q参数:
三种描述方法的比较 ω0 (F)z参数
(z)
z2
(F )
F
F2 R(z) z
z
ωR参数
0
F
q(z) z iF
1
1
q(z) R(z) i 2 (z)
解：将ω 0＝0.5 mm和z＝-100 mm代入式
2
=
2 0
1+
z
π
2 0
2
=
0.52
1+
-100 0.0006328 3.1416 0.52
2
=
0.251623
得： 0.5016 m m
将ω 0＝0.5mm和z＝-100mm代入式
R
z
1
π02 z
2
4.高斯光束的远场发散角
基模远场发散角: Z为无穷大时，强度为中心的 1/e2点所夹角的全宽度。双曲线的两条渐近线之间 的夹角。
lim z
2(z) 2 z 0
1.128
F
腰斑越小， 发散角越大。
z
0 , 0 ,
【例】某共焦腔氦氖激光器，L=30cm,波长 λ =0.6328μ m;某共焦腔二氧化碳激光器， L=1m, 波长λ =10.3μ m,求发散角。
z
r2
2 z
i k[
z
ir2
2 R
k
z
[]zarc2taRrn2Fzz
]arctan z F
z
r x2 y2
腰斑半径 0
F
z 0
1
z F
2
F2 R(z) z
z
F
2 0
z处光斑半径
FR 2
3.1 高斯光束的基本特性
1.振幅分布：
E (r , 0)
c
2 0
(r2 )
1
2
z
Im
q
1
z
Im q z ~ 2 z
(2)q的计算 q (z) z iF
q(z)=q0+z
证
(z)
z2
(F )
F
1 F 2(z) z2 F 2
F2 R(z) z
z
1
z
R(z) z2 F 2
1 q(z )
1 R(z)
i 2(z)
z2
z F2
i
z2
F F2
2 z Rz
2
1
2
z
R
z
1
Rz 2 z
2
1
ω(z), R(z)可以作为高斯光束的特征参数
3. 高斯光束的q参数
(1) q 参数定义
1
1
q z R z i 2 z
复参数
q 参数物理意义：同时反映光斑尺寸及波面曲
率半径随z的变化
R
1
z
Re
q
1
z
,
Re q z R z ,
1. 用腰斑半径ω 0 (或F )及腰位置表征；
已知ω0 (或 F) ω(z), R(z),
0
F
F 02
z 0
1
z F
2
R
R
z
z
1
F z
2
2. 任一z坐标处的光斑半径ω (z)及等相位面 曲率半径R(z)表征．
已知 ω (z), R(z) ω0 ,z
0
z
1
§4 高斯激光束的透镜变换
激光从激光器里输出以后都要经过一定的光 束变换以后才会被用到各种应用场合.光束变换 的基本工具是透镜, 高斯光束通过薄透镜进行 变换，以改变光束的束腰位置，束腰半径，或 改变光束的光束截面半径和孔径角等。
薄透镜对高斯光束的作用与平常的像作用有一定 的不同.
4.1 薄透镜对球面波的曲率变换作用
激光光学系统 ——高斯光学
主要内容
§1 高斯光束简介 §2 谐振腔的稳定性 §3 高斯光束的特征及参数 §4 高斯光束的透镜变换 §5 高斯光束的聚焦和扩束
高斯（Gauss)光学
研究激光束在各种介质中的
传播形式 传播规律 利用这些规律解决工程应用问题的方法
激光束的传输与几何光线束的传输特性不 同。激光光学仪器的设计与普通的光学仪器 如显微镜、望远镜的设计有差别。
解： （1） 2 2.3 103 rad F
（2） 5.2103 rad
一般激光器的远场发散角都很小，约为10－3弧 度，表明激光具有很好的方向性。
3.2 高斯光束的特征参数
为了描述高斯光束，需要用一些特征参数。 这些参数要具备这样的性质，一旦参数的数值 给定，高斯光束的结构及位置也就确定。
置和束腰半径ω
′
0
02
=
'2
1+
π '2 R'
2
=
0.5 2
1+
3.1416 0.50162 0.0006328 100.65
2
= 0.001613
0 = 0.04016mm
R'
100.65
z'
1
R' π 2
2
1
0.0006328 100.65 3.1416 0.5016
O
R(z) z[1 ( F )2 ] z
(1)当 z 0 时，R(z)
(2)当z 时，R(z)
束腰处的等相位面为平面， 曲率中心在无穷远处
无穷远处等相位面为平 面，曲率中心在z=0处
(3)当z F 时，R(z) z (4)当z F 时，R(z) L 2F
光束可近似为一个 由z=0点发出的半径 为z的球面波。
2
z ' 100.00mm
入射光束的束腰位于 透镜前焦点
出射光束的束腰位 于透镜的后焦点
4.3 透镜变换和几何光学成像规则的对照
0
1
z 02
2
1
2
R
z
1
02 z
2
Leabharlann Baidu
1 1 R' R
'
1 f'
0
=
2
1+
2 R
2
z
R
1
R' 2
2
消去中间变量
0
R R
前式是薄透镜假设：
透镜足够薄至使入射
z
z
高度和出射高度不变。
通常 0 和 z 是已知的，可以根据高斯光束的性质
计算出入射光束在镜面处的波阵面半径和有效截面半 径，进一步计算出由透镜出射的波阵面半径和有效截 面半径就可以得到出射光束的束腰位置和束腰半径， 因而可以确定变换后得到的出射高斯光束.
q(z)=q0+z
q参数
q 参数表征高斯光束的优点:
将描述高斯光束的两个参数ω (z)和R(z)统一在 一个表达式中, 便于研究高斯光束通过光学系统的 传输规律.
【例题2】某高斯光束波长为=3.14m,腰斑半径 为ω 0=1mm,求腰右方距离腰50cm处的 (1)光斑 半径ω与等相位面曲率半径R. (2)q参数
(-z - f ') f '2
z'
f
' (-z -
f
')2
0
2
2
1 0 '2
1
2 0
1
2
z
f
'
1 f '2
0
2
2
（1） ( z
f ' )2
(
2 0
)2
z f
即入射激光束束腰到透镜前焦点之间的距离足够远。
z'
f
'
(-z - f ') f '2
(-z -
f
')2
几何光学中透镜起成像的作用，其成象公式描 述了物象关系
1 1 1 l' l f '
物理光学则把透镜的作用看成是使光波得到变 换，把发散球面波变成会聚球面波。 透镜的作用就是改变光波波阵面的曲率半径。
11 1 R R f
l
l'
透镜的变换应用到高斯光束上，有以下关系：
11
1
R' R
f'
0
'
f
共焦腔的反射镜面是两个等 相位面，与场的两个等相位 面重合,且曲率半径达到最小 值。
高斯光束等相位面的分布以及曲率 中心的移动
曲率半径极小 值
在榜轴近似下，高斯光束可看作是一种曲率中 心与曲率半径都随传播过程而不断改变的非均匀 球面波。等相位面是球形的，但等相位面上的光 场振幅分布却是非均匀的高斯分布。
0
1
z 02
2
1
2
R
z
1
02 z
2
② 利用公式，由入射波面的R、ω 求得出射波面 ω ′和R′；
1 1 1 R' R f '
'
③ 将上一步计算出的R′和ω′代入公式，求出射 光束的束腰位置和束腰半径。
0
=
2 2 2
1+
R
z
R
1
R' 2
2
【例题3】已知一台He–Ne激光器输出的激光束束腰 半径ω 0为0.5mm，在离束腰100mm处放置一个焦距为 100mm的单透镜，试求经过透镜变换后的束腰大小 以及束腰位置。
本章讨论高斯激光束的传输和通过光学系 统的变换规律。
§1 高斯光束简介
高斯光束不同于点光源所发出的球面波和平 行光束的平面波，是一种特殊形式的光束。
高斯光束与一般光束比较，具有： 光束截面内的强度分布不均匀
波峰
1.1 均匀平行光束
E( x, y, z) A0eikz
k 2
A0
k
k
光束特点：
高斯光束的透镜变换要点示意
A
A’
（a）
C ω
ω ˊ Cˊ
-R
Rˊ
高斯光束透镜变换
（b）
4.2 求解实际问题的三个步骤：
入射高斯光束:
腰到透镜的距离z
束腰半径ω 0， 透镜的焦距f′
出射高斯光束:
束腰位置z′ 束腰半径ω0′
① 根据束腰位置z和束腰半径ω 0，求出入射高
斯激光束在透镜上的光束截面半径ω 和波面半 径R；
每个球面上的各点，振幅都是A1/r，同一球面 上各点的光强是均匀的。
1.3 高斯光束
高斯光束是由具有稳定谐振腔的激光器所发出的。 的激光束。既不是均匀平面波，也不是均匀球面 波，而是振幅和等相位面都在变化的高斯球面波。
u x, y
ik
4
u x', y' eik
S
1 cos ds'
菲涅耳—基尔霍夫 衍射积分.
方形镜共焦腔：镜面上的场分布为厄米-高斯函数。 圆形镜共焦腔：镜面上的场分布为拉盖尔-高斯函数。
由激光器产生的各种模式的激光中，最基本、应 用最多的是基模高斯光束。
E r, z
c
e e
r
2
2
z
i
k[z
r2
2R z
] arctan
z F
z
平面波因子 二维高斯函数 球面波因子
基模高斯光束的特点：
波谷
波阵面是垂直于z轴的平面，平面上各点的振幅 相等，相位相同。
振幅A0与x，y无关，即垂直于光束传播方向的 横截面上的光强是均匀的。
1.2 均匀同心光束
波峰
E( x, y, z) A1 eikr r
K 2
r x2 y2 z2
特点：
k
k
波谷
波阵面是与点光源为球心的球面，球面上各点 的相位相同。
z'
f
'
(-z - f ') f '2
(-z
-
f
')2
0
2
2
z f
0
f
0
与几何光学成象规律不同
几何光学: z=f z′= (平行光) 无实象有虚象
（3） z f or z f
z'
f
'
(-z - f ') f '2
(-z
-
f
')2
0
2
2
0 z f
仍有实象,和几何光学成象规律不同 几何光学: -z< - f 不能成实象
1
z F
2
0
z 2
1
02
高斯激光束的传播过程中
光束半径ω 与z之间不符
合线性关系.
ω
ω0
z
截面半径的连线是双曲线.
2 z2 02 - F 2 =1
3.高斯光束的等相位面曲率半径
R
z
z
1
F z
2
z
1
02 z
2
z
R(Z)
高斯光束等相面的曲率中心并不是一个固定点， 它要随着光束的传播而移动。
0
2
2
f '2
z f '
z' f '
(-z - f ') z f '
1 1 1 z' z f '
1
0 '2
1
02
1
z f
'
2
1 f '2
02
2
0 0 腰斑放大倍率：
f
z
f
2
0
2
2
0 f z 0 z f z
与几何光学的理想成像一致。
（2） z f o r z f 时
e
02
E(r, z0 )
2
c ( z0
)
e
(
r
2
)
2
(
z0
)
r2 x2 y2
在任意位置处，场振幅以高斯 函数形式从中心（即传播轴线 ）向外平滑地减小。
2. 高斯光束光斑半径及变化规律
当振幅减小到中心值1/e处的r值定义为光斑 半径。在共焦腔的中心，光斑半径最小, 称为 腰斑半径。
z 0
（4） 由
(-z - f ') f '2
100
1
3.1416 0.52 0.0006328 100
2
mm
15504.5mm
由变换公式：
1 1 1 R' R f '
'
得： 1 = 1 + 1 R ' -15504.5 100
R ' 100.65mm
' 0.5016mm
根据已求得R′和ω ′，可求出出射光束的束腰位
中心处和无穷远处的波阵面是平面，平面上各 点的相位相同，等相面是一个平面。其它地方 波阵面是球面，球面上各点的相位相同。
波阵面上振幅分布不均匀，即每个平面或球面 上的各点振幅呈高斯分布函数。
对于一个共焦腔，其基模高斯光束解析表达为：
E r, z cz e e E r, z
A0
e e
r
2
2