三招破解三角形解的个数问题

三角形解的个数问题

学了正、余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼．知道3边，2角1边，2边及其夹角时不会出现两解；在已知三角形的两边及其中一边的对角（即“边边角”）的条件下解三角形时，解的个数有几个呢一解，二解还是无解《必修5》在第8页到第9页的“探究与发现”《解三角形的进一步讨论》有详细说明．即

在已知ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理求出sin B 的值， ①若该值大于1，与sin 1B ≤矛盾，则无解；

②若该值小于或等于1，则要考虑a ，b 的大小关系及A 为锐角还是钝角：

若A 是钝角，且该值小于1，则有1解，若该值等于1，则无解；

若A 是锐角，且b a >，则有1解；

若b a <，且该值小于1，则有2解；b a <，且该值等于1，则有1解．

但分类层次多，分类种数多，注重形，又指定边角，不易被学生所接受．即本节能理解，操作应用起来也很不方便．下面提供“几招”供同学们选择，希望能帮助同学们顺利破解．

第一招：大角对大边

在已知ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角” 来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求 出B 的值，根据三角函数的有界性求解．

【例1】在ABC ∆

中，已知a

=b =45B =︒，求A 、C 及c ．

解：由正弦定理，得sin sin a B A b ===4590B =︒<︒，b a <，∴60A =︒或120︒． 当60A =︒时，75C =︒

，sin 75sin sin 452

b C

c B ︒===︒； 当120A =︒时，15C =︒

，sin sin sin 452

b C

c B ︒===︒． 点评：在三角形中，sin sin a b A B A B >⇔>⇔>这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘． 第二招：二次方程的正根个数

一般地，在ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，常常可对角A 应用余弦定理，并将其整理为关于c 的一元 二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数 解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解．

【例2】如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥，10AD =，14AB =， 60BDA ∠=︒，135BCD ∠=︒，求BC 的长．

解：在ABD ∆中，设BD x =，由余弦定理得2221410210cos60x x =+-⋅︒， 整理得210960x x --=，解得16x =．

由正弦定理，得sin 16sin30sin sin135BD CDB BC BCD ∠︒===∠︒

点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，

A

B C D

利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．

第三招：画圆法

已知ABC ∆中，A 为已知角（90≠︒），先画出A ，确定顶点A ，再在A 的一边上确定顶点C ，使AC 边长为已知长度，最后以顶点C 为圆心，以CB 边长为半径画圆，看该圆与A 的另一边是否有交点，如果 没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个 交点，则说明该三角形的解的个数为2．

【例3】在ABC ∆中，60A ∠=

︒，a =3b =，则ABC ∆解的情况（ ） （A ）无解 （B ）有一解 （C ）有两解 （D ）不能确定

解：在A 的一边上确定顶点C ，使3AC b ==，作60CAD ∠=︒，

以顶点

C 为圆心，以CB a ==A

D 没有交点， 则说明该三角形的解的个数为0，故选A ．

A b C

a D