1.1随机事件及其运算

第一章 随机事件与概率
例如，相同条件下抛掷
一枚硬币n 次,观察正面出
现的次数及频率.
实验者
德 摩根 蒲丰 费勒
K 皮尔逊
K 皮尔逊
n
2048
4040 10000 12000 24000
正面
1061 2048 4979 6019 12012
第4页
频率
0.5181 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005
1. 若A 是 B 的子事件，则 AB = ( B )， AB = ( A )
2. 设 A 与B 同时出现时 C 也出现，则( ③ ) ① AB 是 C 的子事件； ② C 是 AB 的子事件； ③ AB 是 C 的子事件； ④ C 是 AB 的子事件.
第一章 随机事件与概率
第26页
3. 设事件 A = “甲种产品畅销，乙种产品滞销” ， 则 A 的对立事件为（ ④ ） ① 甲种产品滞销，乙种产品畅销； ② 甲、乙两种产品均畅销； ③ 甲种产品滞销； ④ 甲种产品滞销或者乙种产品畅销.
必然事件 (Ω) 不可能事件 (φ) —— 空集.
第一章 随机事件与概率
第9页
3. 事件的表示—— ➢ 事件的三种表示
用语言、用集合、用维恩图( Venn ).
4. 事件的发生——
A
Ω
在试验中，A中某个样本点出现了， 就说 A 出现 了、发生了，记为A.
A=“ 出现偶数点”.
第一章 随机事件与概率
第一章 随机事件与概率
第1页
第一章 随机事件与概率
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其确定方法 §1.3 概率的性质 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
第一章 随机事件与概率
第2页
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机试验：
自然界中的有两类现象： 确定性现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾; 随机现象 • 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
第一章 随机事件与概率
第5页
Hale Waihona Puke Baidu
1.1.2 样本空间
1. 样本点 —— 随机试验的每一个可能结果.
2. 样本空间(Ω) ——
随机试验的所有样本点构成的集合.
例(1)抛掷一枚硬币,观察字面,花面出现的情况.
1 字面朝上 2 花面朝上 1 {1,2}.
第一章 随机事件与概率
若 A1，A2，……，An 有 1） Ai互不相容； 2） A1A2 ……An= Ω
则称 A1，A2，……，An 为Ω的一组分割.
A2 A3
A1 L An1 An
第一章 随机事件与概率
第24页
内容小结：
随机试验 样本空间 随机事件 随机事件间的关系及运算
第一章 随机事件与概率
第25页
课堂练习
① A 出现； A ② 仅 A 出现；ABC ③ 恰有一个出现；ABC ABC ABC
④ 至少有一个出现；A B C ⑤ 至多有一个出现；ABC ABC ABC ABC ⑥ 都不出现； ABC ⑦ 不都出现；ABC 或 A B C ⑧ 至少有两个出现；AB AC BC
第7页
(5)考察某地区 12月份的平均气温.
5 {t : T1 t T2}. 其中 t 为平均温度 .
3. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
1 {1,2}.
4 {t : t 0}.
2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 5 {t : T1 t T2}.
第10页
随机试验、样本空间与随机事件的关系
每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样 本空间的子集就是随机事件.
随机试验
样本空间 子集 随机事件
基本事件
复合事件
互为对立事件
必然事件

不可能事件
第一章 随机事件与概率
1.1.4 随机变量
第11页
概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的， 为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析 的方法来研究， 因此为了便于数学上的推导和计算， 就需将任意的随机事件数量化．当把一些非数量表 示的随机事件用数字来表示时， 就建立起了随机变 量的概念．
3 {0, 1, 2,L }.
第一章 随机事件与概率
第8页
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示.
例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, … ,“出现6点”, “点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件. 2. 基本事件 —— Ω的单点集.
若设置Y = “掷一枚骰子6点出现的次数” “Y = 0” 表示“没出现6点”，“Y = 1” 表示“出现6点”， “Y ≤ 1”是必然事件Ω. “Y ≥ 2”是不可能事件φ.
第一章 随机事件与概率
第13页
1.1.5 事件间的关系
1. 包含关系： A B, A 发生必然导致 B 发生.
2. 相等关系: A = B A B 而且 B A.
第6页
(2)抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
(3)记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.
3 {0, 1, 2,L }.
(4)从一批灯泡中任取一只, 测试其寿命.
4 {t : t 0}. 其中 t 为灯泡的寿命 .
第一章 随机事件与概率
第一章 随机事件与概率
第17页
5. 事件的运算性质：
设 A, B, C 为事件, 则有 (1) 交换率 A U B B U A, AB BA. (2) 结合律 ( A U B) UC A U(B UC),
(AB)C A(BC). (3) 分配率
(AU B) I C (AI C) U(B I C) AC U BC,
第19页
记号 概率论
集合论
Ω 样本空间, 必然事件
空间
φ
不可能事件
空集

样本点
元素
AB A发生必然导致B发生 A是B的子集
AB=φ A与B互不相容 A与B无相同元素
AB A与B至少有一发生 A与B的并集
AB
A与B同时发生
A与B的交集
AB A发生且B不发生 A与B的差集
A A不发生、对立事件 A的余集
第一章 随机事件与概率
第20页
注意点(1)
基本事件互不相容，基本事件之并=Ω
A A
A A Ω
A
A A
A A
A
A
AB A B
B
第一章 随机事件与概率
注意点(2)
第21页
A B A B B, AB A A B A AB A B A (B A) A (B AB) A AB AB
4. 设 x 表示一个沿数轴做随机运动的质点位置， 试说明下列各对事件间的关系 ① A ={|xa|＜σ}，B ={x a＜σ} AB ② A ={x＞20}， B ={x≤22} 相容 ③ A ={x＞22}， B ={x＜19} 不相容
表示随机现象结果的变量.
常用大写字母 X、Y、Z …表示.
第一章 随机事件与概率
第12页
例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, … ,“出现6点”, “点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.
若设置X = “掷一枚骰子出现的点数” “X = 1”， “X = 2”，…， “X = 6”. “X = 2，4，6”. “X ≤4”，“X ≤6”是必然事件Ω. “X = 7”是不可能事件φ.
(AI B) UC (AUC) I (B UC) (AUC)(B UC).
第一章 随机事件与概率
第18页
(4) 对偶律——德摩根公式
A B A B; A B A B
n
n
UAi I Ai;
i 1
i 1
n
n
I U Ai Ai
i 1
i 1
第一章 随机事件与概率
3. 互不相容： A 和 B不可能同时发生.
A AB
Ω
B Ω
第一章 随机事件与概率
第14页
例口袋中有a 个黑球、b 个白球，从中一个一个不
返回地取球。A = “取到最后一个是黑球”， B = “取到最后一段全是黑球”。问A与B的关系？
解：1) 显然，B 发生必然导致A发生，所以 BA;. 2) 又因为A发生必然导致B发生，所以 AB， 由此得 A = B.
第一章 随机事件与概率
1.1.6 事件的运算
第15页
1. 并： A B 2. 交： A B = AB 3. 差： A B
4. 对立： A
A 与 B 至少有一发生 A 与 B 同时发生 A发生但 B不发生 A 不发生
AB
AB
AB
Ω
AA
第一章 随机事件与概率
第16页
例 试用A、B、C 表示下列事件：
第一章 随机事件与概率
第3页
1.随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象.
特点：1. 结果不止一个; 2. 事先不知道哪一个会出现.
2.随机试验：对随机现象进行的实验与观察. 它具有两个特点：随机性、重复性.
3.随机现象的统计规律性：大量重复随机试验的 各种结果会表现出一定的规律性，这种规 律性称之为统计规律性.
第一章 随机事件与概率
1.1.7 事件域
第22页
设Ω为样本空间，F 是由Ω的子集组成的集合
类，若F 满足以下三点,则称 F 为事件域
1. ΩF ;
2. 若 AF ，则 FA;
3. 若 AnF ，n=1, 2, …, 则

UFA.n
n 1
第一章 随机事件与概率
第23页
样本空间的分割：