初中数学竞赛专题.梅涅劳斯定理与塞瓦定理.(有答案)

板块一 梅涅劳斯定理及其逆定理
梅涅劳斯定理：如果一条直线与ABC △的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点，
那么1AF BD CE FB DC EA
⋅⋅=．这条直线叫ABC △的梅氏线，ABC △叫梅氏三角形．
G
F E
D
C
B
A
G
F
E D
C
B
A
H
3H 2
H 1
F E D
C
B
A
证法一：如左图，过C 作CG ∥DF
∵DB FB DC FG =，EC FG AE AF
= ∴1AF BD CE AF FB FG FB DC EA FB FG AF
⋅⋅=⋅⋅=． 证法二：如中图，过A 作AG BD ∥交DF 的延长线于G
∴AF AG FB BD =，BD BD DC DC =，CE DC EA AG
= 三式相乘即得：1AF BD CE AG BD DC
FB DC EA BD DC AG
⋅⋅=⋅⋅=．
证法三：如右图，分别过A B C 、、作DE 的垂线，分别交于123H H H 、
、． 则有123AH BH CH ∥∥，
所以3
12231
1CH AH BH AF BD CE FB DC EA BH CH AH ⋅⋅=⋅⋅=．
梅涅劳斯定理的逆定理：若F 、D 、E 分别是ABC △的三边AB 、BC 、CA 或其延长线的三点，
如果1AF BD CE FB DC EA
⋅⋅=，则F 、D 、E 三点共线．
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梅涅劳斯定理与塞瓦定理
【例1】 如图，在ABC △中，AD 为中线，过点C 任作一直线交AB 于点F ，交AD 于点E ，求
证：:2:AE ED AF FB =．
E
C D B F
A
【解析】 ∵直线FEC 是ABD △的梅氏线，
∴1AE DC BF ED BC FA ⋅⋅=． 而12DC BC =，∴112AE BF ED FA ⋅⋅=，即2AE AF ED BF
=．
习题1. 在△ABC 中，D 是BC 的中点，经过点D 的直线交AB 于点E ，交CA 的延长线于点
F ．求证：
FA EA
FC EB
=． E
F
B
D
C
A
【解析】 直线截ABC △三边于D 、E 、F 三点，应用梅氏定理，知
1CD BE AF
DB EA FC
⋅⋅=，又因为BD BC =，所以
1BE AF EA FC ⋅=，即FA EA
FC EB
=
．
习题2. 如图，在△ABC 中， 90ACB ∠=︒，AC BC =．AM 为BC 边上的中线，
CD AM ⊥于点D ，CD 的延长线交AB 于点E ．求AE
EB
． 夯实基础
D
E
B
M
C
A
【解析】 由题设，在Rt AMC △中，CD AM ⊥，2AC CM =，
由射影定理2
2
4AD AD AM AC DM DM AM CM ⋅===⋅．
对ABM △和截线EDC ，由梅涅劳斯定理，1AE BC MD EB CM DA ⋅⋅=，即21
114
AE EB ⋅⋅=．
所以2AE EB
=．
【例2】 如图，在ABC △中，D 为AC 中点，BE EF FC ==，求证：::5:3:2BM MN ND =．
N
M
D
C
F E
B
A
【解析】 ∵直线AE 是BCD △的梅氏线，
∴1BM DA CE MD AC EB ⋅⋅=． ∴12121BM MD ⋅⋅=，∴11
BM MD = ∵直线AF 是BCD △的梅氏线， ∴1BN DA CF ND AC FB ⋅⋅=， ∴11122BN ND ⋅⋅=，41BN ND =． ∴::5:3:2BM MN ND =．
习题3. 如图，在ABC △中，D 为BC 的中点，::4:3:1AE EF FD =．求::AG GH AB ．
探索提升
C
E
F
D B
H G
A
【解析】 ∵HFC 是ABD △的梅氏线，
∴1AH BC DF HB DC FA
⋅⋅=． ∵D 为BC 的中点，::4:3:1AE EF FD =， ∴21BC DC =，17DF FA =． ∴21117AH HB ⋅⋅=，∴72AH HB =． ∵GEC 是ABD △的梅氏线， ∴1AG BC DE GB DC EA ⋅⋅=， ∴21111AG GB ⋅⋅=，∴12AG GB =． ∴::3:4:2AG GH HB =． ∴::3:4:9AG GH AB =．
【例3】 过ABC △的重心G 的直线分别交AB 、AC 于点E 、F ，交CB 的延长线于点D ．
求证：
1BE CF
EA FA
+=．
M D
G
F
E
C
B A
【解析】 作直线AG 交BC 于M ，
∵:1:2MG GA =，BM MC =． ∴AE BD MG EB DM GA ⋅⋅112AE BD EB DM =⋅⋅=． ∴2EB BD AE DM
=
． 同理，2CF DC
FA DM
=
， 而2BD DC BD BD BM +=++2()2BD BM DM =+=
∴
21222BE CF BD DC DM
EA FA DM DM DM
+=+==．
【例4】 如图，点D 、E 分别在ABC △的边AC 、AB 上， AE EB =，
2
3
AD DC =，BD 与CE 交于点F ，40ABC S =△．求AEFD S ．
F
D
E
C
B
A
【解析】 对ECA △和截线BFD ，由梅氏定理得：
1EF CD AB FC DA BE ⋅⋅=，即32
121
EF FC ⋅⋅=， 所以
13EF FC =．所以11
48
BFE BEC ABC S S S ==△△△， 进而211140115840AEFD ABD BEF ABC S S S S ⎛⎫
=-=-=⋅= ⎪⎝⎭
△△△．
习题4. 如图，在ABC △中，三个三角形面积分别为5，8，10．四边形AEFD 的面积为x ，求x
的值．
x 10
8
5F D
E C
B
A
【解析】 对ECA △和截线BFD ，由梅氏定理得：
1CD AB EF DA BE FC ⋅⋅=，即18231
15152
x x +⋅⋅=+，解得22x =．
【备选】如图，ABC △被通过它的三个顶点与一个内点O 的三条直线分为6个小三角形，
其中三个小三角形的面积如图所示，求ABC △的面积．
3540
30
O F E
C
D
B
A
【解析】 对ABD △和截线COF ，由梅氏定理得：1AF BC DO FB CD OA ⋅⋅=，即41
132
BC CD ⋅⋅=，所以
32BC CD =，所以3BC
BD
=．所以33105315ABC ABD S S ==⨯=△△．
【例5】 如图， 在ABC △中，A ∠的外角平分线与边BC 的延长线交于点P ，B ∠的平分线与
边CA 交于点Q ，C ∠的平分线与边AB 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线．
P C B Q
R
A
【解析】 AP 是BAC ∠的外角平分线，则
BP AB
PC CA
=
① BQ 是ABC ∠的平分线，则 CQ BC
QA AB
=
② CR 是ACB ∠的平分线，则 AR CA
RB BC
=
③ ⨯⨯①②③得
1BP CQ AR AB BC CA
PC QA RB CA AB BC
⋅⋅=⋅⋅= 因R 在AB 上，Q 在CA 上，P 在BC 的延长线上，
则根据梅涅劳斯定理的逆定理得：P 、Q 、R 三点共线．
习题5. 证明：不等边三角形的三个角的外角平分线与对边的交点是共线的三个点．
F E
D
C
B
A
非常挑战
P F E D C
B
A
【解析】 如图，CD BE AF 、、分别为三角形ABC 的三个外角平分线，分别交AB AC BC 、、于
D E F 、、．
过C 作BE 的平行线，则BCP CBE EBD CPB ∠=∠=∠=∠， 所以BPC △是等腰三角形．则PB CB =．
则有：CE PB CB
EA BA BA ==
． 同理AD AC DB CB =；BF BA FC AC
=
． 所以1CE AD BF CB AC BA EA DB FC BA CB AC ⋅⋅=⋅⋅=．
所以D E F 、、共线．
板块二 塞瓦定理及其逆定理
塞瓦定理：如果ABC △的三个顶点与一点P 的连线AP 、BP 、CP 交对边或其延长线于点D 、E 、
F ，如图，那么
1BD CE AF
DC EA FB
⋅⋅=．通常称点P 为ABC △的塞瓦点． P
F
E
D C
B A
证明： ∵直线FPC 、EPB 分别是ABD △、ACD △的梅氏线，
∴1BC DP AF CD PA FB ⋅⋅=，1DB CE AP BC EA PD
⋅⋅=． 两式相乘即可得：1BD CE AF
DC EA FB
⋅⋅=．
塞瓦定理的逆定理：如果点D 、E 、F 分别在ABC △的边BC 、CA 、AB 上或其延长线上，并
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且
1BD CE AF
DC EA FB
⋅⋅=，那么AD 、BE 、CF 相交于一点（或平行）
． F P
F'E
D C B
A
F
E
D C
B A
证明： ⑴ 若AD 与BE 相交于一点P 时，如图，作直线CP 交AB 于'F ．
由塞瓦定理得：'
1BD CE AF DC EA F B
⋅⋅='，
又已知1BD CE AF DC EA FB ⋅⋅=，∴AF AF FB F B '
=
'， ∴AB AB FB F B
=
'，∴FB F B '=． ∴'F 与F 重合 ∴'CF 与CF 重合
∴AD 、BE 、CF 相交于一点．
⑵ 若AD 与BE 所在直线不相交，则AD ∥BE ，如图． ∴BD EA DC AC
=
，又已知1BD CE AF DC EA FB ⋅⋅=， ∴1EA CE AF AC EA FB ⋅⋅=，即CE FB AC AF =． ∴//BE FC ，∴AD BE FC ∥∥．
说明：三线平行的情况在实际题目中很少见．
【例6】 （1）设AX BY CZ ，，是ABC △的三条中线，求证：AX BY CZ ，，三线共点．
Z
Y
X
C
B
A
（2）若AX BY CZ ，，为ABC △的三条内角平分线．求证：AX BY CZ ，，三线共点．
探索提升
Z
Y
X
C
B
A
【解析】 （1）由条件知，BX XC YC YA ZA ZB ===，，．∴
1BX CY AZ
XC YA ZB
⋅⋅=， 根据塞瓦定理的逆定理可得三条中线AX BY CZ ，，共点． 这个点称为这个三角形的重心．
（2）由三角形内角平分线定理得：BX AB CY BC AZ AC
XC AC YA BA ZB BC
===
，，． 三式分别相乘，得：1BX CY AZ AB BC AC
XC YA ZB AC AB BC
⋅⋅=⋅⋅=．
根据塞瓦定理的逆定理可得三角形三内角平分线AX BY CZ ，，共点， 这个点称为这个三角形的内心．
习题6. 若AX BY CZ ，，分别为锐角ABC △的三条高线，求证：AX BY CZ ，，三线共点．
Z
Y
X C
B
A
【解析】 由ABX CBZ △∽△得：
BX AB BZ BC =；由BYA CZA △∽△得：AZ AC
AY AB =
； 由AXC BYC △∽△可得：YC BC CX AC =．所以1BX AZ YC AB AC BC
BZ AY CX BC AB AC
⋅⋅=⋅⋅=．
根据塞瓦定理的逆定理可得三条高线AX BY CZ ，，共点．
对直角三角形、钝角三角形，同样也可以证得三条高线共点．我们把一个三角形三条高线所在直线的交点叫做这个三角形的垂心．
【例7】 如图， M 为ABC △内的一点，BM 与AC 交于点E ，CM 与AB 交于点F ，若AM 通
过BC 的中点D ，求证：EF BC ∥．
F
D
E
M
B
A
【解析】 对ABC △和点M 应用塞瓦定理可得：
1AF BD CE
FB DC EA
⋅⋅=．又因为BD DC =，所以1AF CE FB EA ⋅=．进而AF AE
FB EC
=
，所以EF BC ∥．
习题7. 如果梯形ABCD 的两腰AD 、BC 的延长线交于M ，两条对角线交于N ．求证：直线MN
必平分梯形的两底．
B
Q A N
C
P D
M
【解析】 ∵AB CD ∥
∴MD CM DA BC = ∴1MD BC DA CM
⋅= ∵1MD AQ BC DA QB CM ⋅⋅=（由塞瓦定理得） ∴1AQ QB
=，∴AQ QB = ∵DP PC AQ QB =，∴DP PC =．
板块三 梅涅劳斯定理、塞瓦定理综合
【备选】如图，E 、F 分别为ABC △的AC 、AB 边上的点，且3AE EC =，3BF FA =，
BE 、CF 交于点P ，AP 的延长线交BC 于点D ．求:AP PD 的值．
A
B
C
D E
F
P
非常挑战
【解析】 ∵P 为ABC △的塞瓦点． ∴11133
AF BD CE BD FB DC EA DC ⋅⋅=⋅⋅= ∴91BD DC =，∴910
BD BC =． ∵EPB 为ACD △的梅氏线， ∴911103AP DB CE AP PD BC EA PD ⋅⋅=⋅⋅= ∴103
AP PD =
【备选】如图，四边形ABCD 的对边AB 和DC ，DA 和CB 分别相交于点L K ，，
对角线AC 与BD 交于点M ．直线KL 与BD 、AC 分别交于点F G 、． 求证：KF KG LF LG
=． F L K M D
C B
A
【解析】 对DKL △与点B 应用塞瓦定理得：1DA KF LC AK FL CD
⋅⋅=． 对DKL △和截线ACG 应用梅涅劳斯定理可得：1DA KG LC AK GL CD
⋅⋅=． 进而可得KF KG LF LG =．。