专题强化训练1

专题强化训练(一)

一、选择题

1．(2020·辽宁沈阳一模)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( )

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

[解析] 解法一：由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0，根据首项a 1＝13可推知数列{a n }递减，从而得到a 7>0，a 8<0，故n ＝7时，S n 最大．故选C.

解法二：设{a n }的公差为d ，由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数的性质，知当n ＝7时，S n 最大．故选C.

解法三：根据a 1＝13，S 3＝S 11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图像的对称性，得

只有当n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值．故选C.

[答案] C

2．(2020·山西长治二模)在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E 为

线段BC 上的点，则AE →·DE →

的最小值为( )

A ．2 B.154 C.174 D ．4

[解析] 如图所示，以点B 为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴，BA 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,2)，D (1,2)，E (x,0)，

所以AE →·DE →＝(x ，－2)·(x －1，－2)＝x 2－x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋154，因为E 为线段BC 上的点，所以x ∈[0,1]，故当x ＝12时，AE →·DE →取得最小值154.

故选B.

[答案] B

3．(2020·陕西西安质检)已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (1)＝0，当x >0时，xf ′(x )<－2f (x )，则使f (x )>0成立的x 的取值范围为( )

A ．(－∞，－1)∪(0,1)

B ．(－1,0)∪(0,1)

C ．(－1,0)∪(1，＋∞)

D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

[解析] 令F (x )＝x 2f (x )，则F ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]．当x >0时，由题设可得F ′(x )<0，即函数F (x )＝x 2f (x )是单调递减函数，当x <0时F (x )>0，即函数F (x )＝x 2f (x )是单调递增函数．又由题设可知F (1)＝F (－1)＝0，所以不等式F (x )>0的解集是(－1,0)∪(0,1)，则不等式f (x )>0的解集是(－1，0)∪(0,1)．故选B.

[答案] B

4．(2020·云南昆明模拟)函数f (x )＝ln x －x －a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，－1]

B ．(－∞，－1)

C ．[－1，＋∞)

D ．(－1，＋∞)

[解析] 函数f (x )＝ln x －x －a 的零点，即关于x 的方程ln x －x －a ＝0的实根，将方程ln x －x －a ＝0化为方程ln x ＝x ＋a ，令y 1＝ln x ，y 2＝x ＋a ，由导数知识可知，直线y 2＝x ＋a 与曲线y 1＝ln x 相切时有a ＝－1，如图所示，若关于x 的方程ln x －x －a ＝0有两个不同的实根，则实数a 的取值范围是(－∞，－1)．故选B.

[答案] B

5．(2020·江西七校联考)直线y ＝a 分别与曲线y ＝2(x ＋1)，y ＝x ＋ln x 交于点A ，B ，则|AB |的最小值为( )

A ．3

B ．2 C.324 D.32

[解析] 当y ＝a 时，2(x ＋1)＝a ，所以x ＝a 2－1.

设方程x ＋ln x ＝a 的根为t ，则t ＋ln t ＝a ，则|AB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪t －t ＋ln t 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2－ln t 2＋1.设g (t )＝t 2－ln t 2＋1(t >0)，则g ′(t )＝12－12t ＝t －12t ，令g ′(t )＝0，得t ＝1，当t ∈(0,1)时，g ′(t )<0；当t ∈(1，＋

∞)时，g ′(t )>0，所以g (t )min ＝g (1)＝32，所以|AB |≥32，所以|AB |的最小

值为32，故选D.

[答案] D

6．(2020·广西南宁模拟)设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，

N 分别是圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |

－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( )

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

[解析] 由题意得，圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r 1＝2；圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1的圆心为(4,0)，半径为r 2＝1.

设双曲线x 2－y 215＝1的左、右焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)．如

图所示，连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，则|PF 1|－|PF 2|＝2.

又|PM |max ＝|PF 1|＋r 1，|PN |min ＝|PF 2|－r 2，所以|PM |－|PN |的最大值m ＝|PF 1|－|PF 2|＋r 1＋r 2＝5.又|PM |min ＝|PF 1|－r 1，|PN |max ＝|PF 2|＋r 2，所以|PM |－|PN |的最小值n ＝|PF 1|－|PF 2|－r 1－r 2＝－1，所以|m －n |＝

6.故选C.

[答案] C

二、填空题

7．(2020·湖南长沙一模)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos

〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为________．

[解析] ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，

即t m ·n ＋|n |2＝0，

∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0.

又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，

解得t ＝－4.