总结材料力学、弹性力学、有限元三门课程解决问题的思路和步骤-指出其异同点教学提纲

总结材料力学、弹性力学、有限元三门课程解决问题的思路和步骤，指出其异同点航天航空学院1334班艾松学号：4113006012

力)，可先分别求出各外力单独作用下杆件的变形(或内力)，然后将这些变形（或内力）叠加，从而得到最终结果。

②几何非线性问题。若杆件变形较大，就不能在原有几何形状的基础上分析力的平衡，而应在变形后的几何形状的基础上进行分析。这样，力和变形之间就会出现非线性关系，这类问题称为几何非线性问题。

③物理非线性问题。在这类问题中，材料内的变形和内力之间（如应变和应力之间）不满足线性关系，即材料不服从胡克定律。在几何非线性问题和物理非线性问题中，叠加原理失效。解决这类问题可利用卡氏第一定理、克罗蒂－恩盖塞定理或采用单位载荷法等。

在许多工程结构中，杆件往往在复杂载荷的作用或复杂环境的影响下发生破坏。例如，杆件在交变载荷作用下发生疲劳破坏,在高温恒载条件下因蠕变而破坏,或受高速动载荷的冲击而破坏等。这些破坏是使机械和工程结构丧失工作能力的主要原因。所

直角坐标系下的弹性力学的基本

方程为：

平衡微分方程（1）

几何方程（2）

量改写成由各变量或其导数的节点

值与所选用的插值函数组成的线性

表达式，借助于变分原理或加权余量

法，将微分方程离散求解。采用不

同的权函数和插值函数形式，便构成

不同的有限元方法。

有限元方法最早应用于结构力

学，后来随着计算机的发展慢慢用于

流体力学的数值模拟。在有限元方法

中，把计算域离散剖分为有限个互不

重叠且相互连接的单元，在每个单元

内选择基函数，用单元基函数的线形

组合来逼近单元中的真解，整个计算

域上总体的基函数可以看为由每个

单元基函数组成的，则整个计算域内

的解可以看作是由所有单元上的近

似解构成。根据所采用的权函数和

插值函数的不同，有限元方法也分为

多种计算格式。从权函数的选择来

说，有配置法、矩量法、最小二乘法

和伽辽金法，从计算单元网格的形状

以，材料力学还研究材料的疲劳性能、蠕变性能和冲击性能。

材料力学基本公式（解决问题方法）： 一、应力与强度条件 拉压：[]σσ≤=

max

max A

N

剪切：[]ττ≤=A Q

max

挤压：[]

挤压挤压挤压σσ≤=

A

P

圆轴扭转： []ττ≤=W t

T

max 平面弯曲： ①[]σσ≤=

max z max W M

②[]max t max t max max σσ≤=y I M

z t

max c max max y I M

z

c =σ[]cnax σ≤

③[]ττ≤⋅=b

I S Q z *

max z max max

斜弯曲：[]σσ≤+

=max

y

y

z z max W M W M

拉（压）弯组合：

[]σσ≤+=max

max

z

W M A N

物理方程（3） (1)式中的σx 、σy 、σz 、τyz=τzy 、τxz=τzx 、τxy=τyx 为应力分量，X 、Y 、Z 为单位体积的体力在三个坐标方向的分量；(2)式中的u 、v 、w 为位移矢量的三个分量（简称位移分量），εx 、εy 、εz 、γyz 、γxz 、γxy 为应变分量；(3)式中的E 和v 分别表示杨氏弹性模量和泊松比。 在物体的表面，如已知面力，则边界条件表示为：

边界条件（4）

（4）式中的 X 、Y 、Z 表示作

用在物体表面的单位面积上的面力矢量的三个分量，l 、m 、n 表示物体表面外法线的三个方向余弦。

如物体表面位移u 、v 、w 已知，

来划分，有三角形网格、四边形网格

和多边形网格，从插值函数的精度来

划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小

值则为对代求系数的平方误差最小；

在配置法中，先在计算域内选取N 个配置点。令近似解在选定的N 个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一

般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。

有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多

三、应力状态与强度理论 二向应力状态斜截面应力：

ατασσσσσα2sin 2cos 2

2

xy y

x y

x --+

+=

ατασστα2cos 2sin 2

xy y

x +-=

二向应力状态极值正应力及所在截面方位角：

2

2min max )2

(2xy y x y x τσσσσσσ+-±+= y

x xy

σστα--=

22tg 0

二向应力状态的极值剪应力：

2

2max )2

(

xy

y

x τσστ+-= 三向应力状态的主应力：

321σσσ≥≥

最大剪应力：2

31max σ

στ-=

二向应力状态的广义胡克定律： （1）、表达形式之一（用应力表示应变）

)(1

y x x E μσσε-=

)(1

x y y E

μσσε-=

)(y x z E

σσμ

ε+-

=

G

xy

xy τγ=

（2）、表达形式之二（用应变表示应力）

相容方程（6）

这组方程由几何方程消去位移分量而得到。对于不少具体问题，上述方程还可以简化。

在弹性力学中，为克服求解偏微分方程(或方程组)的困难，通常采用试凑法，即根据物体形状的几何特性和受载情况，去试凑位移分量或应力分量；由弹性力学解的唯一性定理，只要所试凑的量满足全部方程和全部边界条件，即为问题的精确解。

从数学观点来看，弹性力学方程的定解问题可变为求泛函的极值问题。例

分表达式，这是有限元法的出发点。

(2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比

较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。

(3)确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。

(4)单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将近似函数代入