等比数列的概念教案 -

教学设计方案

学号：*********

姓名：***

班级：10应数

系别：数学与计算机科学系

《等比数列的概念》教学设计

一、教学目标

知识与技能：正确理解等比数列的定义，了解公比的概念，掌握等比数列的通项公式。

过程与方法：逐步灵活应用等比数列的概念和通项公式解决问题。

情感态度与价值观：通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，调动学生的积极情感，渗透由特殊到一般的思想。

二、教学重点：等比数列的概念及其通项公式。

三、教学难点：等比数列通项公式的灵活运用。

四、教学方法

本节课主要采用自主探究式教学方法．充分利用现实情景，尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性．在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的．

五、教学过程设计：

1、提出问题：

教师出示引例，并提出问题：

存款问题：年利率2%，计算1000元存入银行一年之后的本利和，若是存入两年本利和是多少，依次计算三年、四年、五年，本利和分别是多少。

让学生分组自主探究讨论，并初步得出结论。

【设计意图】：希望学生能通过对生活中的实际问题的分析对比，建立等比数列模型，进行探究、解答问题，体验数学发现和创造的过程。

2、导入新课：

从上例中，我们得到一个数列，一到五年的本利和分别是

1

1000⨯45.1

1000⨯

1000⨯55.1

5.1

1000⨯25.1

1000⨯35.1

再请同学们仔细观察，看看这个数列有什么特点？学生自行观察并回答．最后由教师总结特征：从第二项起，每一项与它前面一项的比等于同一个常数（即等比）。我们给具有这种特征的数列一个名字——等比数列。

【设计意图】由特殊到一般，发挥学生的自主性，培养学生的归纳能力。在学生自主探究的基础上得出定义和公式，更有利于学生理解和运用。

1）等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数就叫做等比数列的公比（常用字母“q”表示）。

教师出示题目，学生进行思考并回答下列各题中的公比q，最后教师强调求公比的注意问题。

练习1、抢答：下列数列是否为等比数列，公比分别是多少？

2，4，8，16，32，64，…；

1，3，9，27，81，…；

3，3，3，3，3，3，3，…；

2，4，6，12，16，…；

注意：求公比q一定要用后项除以前项，而不能用前项除以后项。等比数列的任意一项都不能为0，并且0

q。

≠

2）常数列

特别地，数列

3，3，3，3，3，3，3，…

也是等比数列，它的公比为1。公比为1的数列叫做常数列。

3）等比数列的通项公式

教师提问：已知一个等比数列{n a }的首项是1a ，公比是q ，如何求出它的任意项n a 呢？

学生分组探究，归纳总结通项公式

q a a ⋅=12；q a a ⋅=2321q a ⋅=；

312234q a q a q a a ⋅=⋅=⋅=；

……

11-⋅=n n q a a .

由此可以得出：

首项是1a ，公比是q 的等比数列{n a }的通项公式可以表示为

11-⋅=n n q a a

【设计意图】：引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力。学生在分组合作探究过程中，可能会找到不同的解决办法，教师要逐一点评，并及时肯定学生善于动脑、勇于创新的品质，提高学生的自主探究能力，激发学生的创造意识。

4）通项公式的应用

根据这个通项公式，只要已知首项1a 和公比q 便可求得等比数列的任意项n a 。

事实上，等比数列的通项公式中共有四个变量，知道其中三个，便可求出第四个。

教师出示例题并引导学生分析本题，已知什么？求什么？怎么求？学生经过思

考后说出已知、所求，代入通项公式．

强调：通项公式是用含有n 的式子表示 n a ．

例1、 求等比数列8，4，2，…的通项公式和第6项．

解：因为81=a ，4

284==q ，所以这个数列的通项公式是

1)5.0(8-⋅=n n a ，

所以 56)5.0(8⋅=a .

【设计意图】：通过例题，强化学生对等比数列通项公式的理解，强化学生学以致用的意识。

请学生在黑板上做题，教师指导，师生共同订正。

练习1、求等比数列3，6，12，…的第4，7项．

练习2、在等比数列{a n }中：

（1）q =－1 ，a 7 = 8，求a 1；

（2）a 1 = 16，4a = 1，求 q ．

【设计意图】：由特殊到一般，发挥学生的自主性，培养学生的归纳能力。 教师出示例题，学生分组进行自主合作探究，学生分析解题思路，教师出示答案、订正．

例2 在3与7之间插入一个数A ，使3，A ，7成等比数列，求A ．

解 因为3，A ，7成等比数列，所以

A A 73=．732⋅=A 解得A =21±．

教师：在a 与b 之间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等比数列．你能用a ，b 来表示A 吗？

学生自主探究、回答。教师订正学生的回答，并给出等比中项的定义和公式．

5）等比中项的定义

一般地，如果a ，A ，b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项．

6）等比中项公式

如果A 是a 与b 的等比中项，则

A = ±b a ⋅．

【设计意图】：在学生自主探究的基础上得出定义和公式，更有利于学生理解和运用．

教师提出问题：在等比数列1，3，9，21，63，…中，每相邻的三项，满足等比中项的关系吗？

学生分组合作探究，教师指导得出结论．

在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项。

【设计意图】：引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力． 练习3、 求下列各组数的等比中项：

（1）-4与－16；

（2）4与36．

【设计意图】：通过两道直接套用公式的练习题，强化学生对中项公式的掌握。 教师出示例题，学生分组合作探究。引导学生将题中的已知和未知转化为用数列符号表示。

学生自行解答，教师巡视指导并出示解题过程，强调解题步骤要规范、严谨，叙述要简明、完整。

例3 已知一个等比数列的第3项是4，第6项是-32，求它的第9项． 解 因为,43=a 326-=a ，根据通项公式得