浙江七年级数学(上册)重要知识点归纳(2020年整理).pdf

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专题2 有理数的计算(9大知识点 11大题型 3大易错)-七年级数学上学期期中考点(浙教版2024)

D．1 万（精确到万位）
【变式 10-1】一个整数精确到万位是 30 万，这个数精确前可能是（ B ）
A．294999
B．295786
C．305997
D．309111
【变式 10-2】2023 年杭州亚运会的志愿者，被亲切地称为“小青荷”，总人数约为 37600 人．如
果将这个人数转换为以“万”为单位的数，并保留一位小数，那么志愿者人数大约是 3.8
加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。
考点透视
考点五：除法法则
（1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。
考点透视
考点六：乘方的定义与运算
定义：求相同因数的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂。在an中，a叫作底数， n叫作指数运算规则（1）正数的任何次幂都是正数（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（3）0的任何正整数次幂都是0
题型剖析
题型一：有理数加减法运算
【例 1】计算：
(1) −3.5 + +2.8
(2)
−2
7
+
−2 1
3
(3)
−5 3
4
+7 2
5
(4)
−3 5
6
+
+3 5
6
（（11））-02..747 （（22）)--32161231 （3(3）)-1212130.9 （4）0
题型剖析
题型二：有理数加法运算率
【例 2】利用加法运算律简便运算．
考点透视
考点七：有理数的混合运算规则
（1）先乘方，再乘除，最后加减。（2）同级运算，从左到右的顺序进行。（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。

人教版初一数学上册知识点七年级上(1)

人教版初一数学上册知识点七年级（上）数学知识点归纳与总结第一章：一、知识梳理知识点1：正、负数的概念：我们把像3、2、+0.5、0.03%这样的数叫做正数,它们都是比0大的数；像-3、-2、-0.5、-0.03%这样数叫做负数。

它们都是比0小的数。

0既不是正数也不是负数。

我们可以用正数与负数表示具有相反意义的量。

知识点2：有理数的概念和分类：整数和分数统称有理数。

有理数的分类主要有两种：注：有限小数和无限循环小数都可看作分数。

知识点3：数轴的概念：像下面这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

知识点4：绝对值的概念：（1）几何意义：数轴上表示a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|；（2）代数意义：一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。

注：任何一个数的绝对值均大于或等于0（即非负数）．知识点5：相反数的概念：（1）几何意义：在数轴上分别位于原点的两旁，到原点的距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数；（2）代数意义：符号不同但绝对值相等的两个数叫做互为相反数。

0的相反数是0。

知识点6：有理数大小的比较：有理数大小比较的基本法则：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。

数轴上有理数大小的比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大。

用绝对值进行有理数大小的比较：两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数反而小。

知识点7：有理数加法法则：(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；(2)异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；(3)一个数与0相加，仍得这个数．知识点8：有理数加法运算律：加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。

加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

知识点9：有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

2022-2023学年浙江七年级数学上学期同步精讲精练专题4

专题4.1 单项式与多项式【十大题型】【浙教版】【题型1 列代数式】 (6)【题型2 单项式与多项式的概念】 (7)【题型3 直接确定单项式的系数与次数】 (8)【题型4 根据单项式的次数求参】 (8)【题型5 直接确定多项式的项与次数】 (9)【题型6 根据多项式的项与次数求参】 (9)【题型7 单项式与多项式综合运用】 (9)【题型8 单项式与多项式中的结论开放性问题】 (10)【题型9 单项式中的规律探究】 (10)【题型10 多项式中的规律探究】11【知识点1 代数式的概念】那个字母前加上“-”号.【题型1 列代数式】【例1】（2022秋•洛阳期末）如图，A，B两地之间有一条东西走向的道路．在A地的东边5km处设置第一个广告牌，之后每往东12km就设置一个广告牌．一辆汽车从A地出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为（）A．（12n+7）km B．（12n+5）km C．（12n﹣7）km D．（12n﹣5）km【变式1-1】（2022秋•朝阳区期末）用代数式表示“m的3倍与n的差的平方”，正确的是（） A ．3m ﹣n 2B ．（m ﹣3n ）2C ．（3m ﹣n ）2D ．3（m ﹣n ）2【变式1-2】（2022秋•侯马市期末）一个两位数，个位数字和十位数字之和为10，个位数字为x ，用代数式表示这个两位数是．【变式1-3】（2022秋•正定县期末）如图，阴影部分是一个长方形截去两个四分之一的圆后剩余的部分，则它的面积是（其中a ＞2b ）（）A ．ab −πa 24B ．ab−πb 22C ．ab −πa 22D ．ab −πb 24【题型2 单项式与多项式的概念】【例2】（2022秋•莱阳市期中）下列整式中：m 4n 27、−12x 2y 、x 2+y 2﹣1、x 、3x 2y +3xy 2+x 4﹣1、32t 3、2x ﹣y ，单项式的个数为a ，多项式的个数为b ，则ab ＝．【变式2-1】（2022秋•东莞市校级期中）整式﹣0.3x 2y ，0，x+12，﹣22abc 2，13x 2，−14y ，−13ab 2−12a 2b 中单项式的个数有（） A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【变式2-2】（2022秋•太湖县期末）下列式子：2a 2b ，3xy ，﹣2y 2，a+b 2，4，﹣m ，x+yz 2，ab−c n其中是多项式的有（） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【变式2-3】（2022秋•新洲区期末）（2022秋•端州区月考）把下列各式分别填在相应的大括号内．﹣2，x2y，−a3，2x2+3x﹣1，πx2y32，﹣y，1x，2x−y5单项式：{ …}多项式：{ …}．【题型3 直接确定单项式的系数与次数】【例3】（2022秋•滨江区期末）单项式πx 2y3的系数为，次数为．【变式3-1】（2022秋•长垣市月考）指出下列各单项式的系数和次数．（1）﹣12πxy2（2）﹣22a2bc（3）−32x2y3z．【变式3-2】（2022秋•商水县期末）已知|a+1|+（b﹣2）2＝0，则单项式﹣x a+2by b﹣a的次数是．【变式3-3】（2022秋•惠城区期末）已知单项式−34x2y2的系数为m，次数为n，则mn的值为．【题型4 根据单项式的次数求参】【例4】（2022秋•高密市期末）若（a﹣2）x2y|a|+1是x，y的五次单项式，则a＝．【变式4-1】（2022秋•孟津县期末）已知单项式6x2y4与﹣3a2b m+2的次数相同，则m2﹣2m的值为．【变式4-2】（2022秋•德惠市期中）已知x2y|a|+（b+2）是关于x、y的五次单项式，求a2﹣3ab的值．多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．（1）多项式的每一项包括它前面的符号．（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．【题型5 直接确定多项式的项与次数】【例5】（2022秋•端州区校级期中）多项式xy 2﹣9xy +5x 2y ﹣36是次项式．【变式5-1】（2022秋•平原县校级期中）多项式2x 2y ﹣x 2+12x 2y 2﹣3的最高次项是，三次项的系数是，常数项是．【变式5-2】（2022春•杨浦区校级期末）多项式﹣3x 2y +4xy +x ﹣2的次数与项数之和为．【变式5-3】（2022秋•苍溪县期中）已知多项式﹣2m 3n 2﹣5中，含字母的项的系数为a ，多项式的次数为b ，常数为c ，则a +b +c ＝．【题型6 根据多项式的项与次数求参】【例6】（2022秋•呈贡区月考）若多项式12x |m |﹣（m ﹣4）x +7是关于x 的四次二项式，则m 的值是．【变式6-1】（2022秋•泰兴市校级期中）已知多项式x ﹣3xy m +1+x 3y ﹣3x 4﹣1是五次多项式，则m ＝．【变式6-2】（2022秋•陇县期末）多项式12x |m|−(m +2)x +7是关于x 的二次三项式，则m ＝．【变式6-3】（2022秋•莒县期末）如果（|k |﹣3）x 3﹣（k ﹣3）x 2﹣2是关于x 的二次多项式，则k 的值是．【题型7 单项式与多项式综合运用】【例7】（2022秋•麻城市期末）已知多项式−13x 2y m+1+xy 2−3x 3−6是五次四项式，单项式0.4x 2n y 5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，则m ＝，n ＝．【变式7-1】（2022秋•赤壁市期中）已知单项式3x 2y n 的次数为5，多项式6+x 2y −12x 2−16x 2y m +3的次数为6，求单项式（m +n ）x m y n 的次数与系数的和．【变式7-2】（2022秋•建华区校级期中）已知多项式（m +4）x |m |y 2+xy ﹣4x +1六次四项式，单项式5x 2n y 6﹣m与多项式的次数相同，（m ，n 是常数），则m n ＝．【变式7-3】有三个单项式：a 2，b ，1，请问由这三个单项式与加、减、乘、除等运算符号能组成哪些多项式？2627x x --【题型8 单项式与多项式中的结论开放性问题】【例8】（2022秋•鄞州区期末）某单项式的系数为2，只含字母x，y，且次数是3次，写出一个符合条件的单项式可以是．【变式8-1】（2022秋•南川区期末）一个单项式满足下列两个条件：①系数是﹣3；②次数是四次．请写出一个同时满足上述两个条件的单项式．【变式8-2】（2022秋•朝阳区校级期中）试写出只含有字母x、y，同时满足下列条件的两个多项式：①六次三项式．②各项系数绝对值为1．③不含常数项．【变式8-3】（2022秋•朝阳区校级期中）写出同时满足下列4个条件的一个多项式：①该多项式含有字母x和y；②该多项式第一项是常数项；③该多项式是三次四项式；④该多项式各项系数和为零．【题型9 单项式中的规律探究】【例9】（2022秋•硚口区期中）观察下面有规律的三行单项式：x，2x2，4x3，8x4，16x5，32x6，…①﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，64x6，…②2x2，﹣3x3，5x4，﹣9x5，17x6，﹣33x7，…③（1）根据你发现的规律，第一行第8个单项式为；（2）第二行第n个单项式为；（3）第三行第8个单项式为；第n个单项式为．【变式9-1】（2022•雁塔区校级开学）观察下列关于x的表达式，探究其规律：﹣x，﹣4x3，+7x5，﹣10x7，﹣13x9，16x11…，按照上述规律，第2017个表达式是．【变式9-2】（2012秋•和平区期中）观察下列排列的单项式的规律：1 2a2b，−14a2b2，18a2b3，−116a2b4，…．（1）请按照此规律写出第10个单项式；（2）试猜想写出第n个单项式，并写出其系数和次数．【变式9-3】（2022秋•海珠区期末）一组按规律排列的式子：a2，a 43，a65，a87，⋯则第1008个式子是．【题型10 多项式中的规律探究】【例10】（2022秋•北流市期中）观察下列依次排列的多项式：a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，…，请写出第9个式子是．【变式10-1】（2022秋•黔东南州期末）观察下列多项式：2a﹣b，4a+b2，8a﹣b3，16a+b4，…按此规律，则可以得到第7个多项式是．【变式10-2】（2022•淮安一模）如图是有关x的代数式的方阵，若第10行第2项的值为1034，则此时x 的值为2．【变式10-3】（2022秋•永安市期末）观察右表，我们把某格中字母和所得到的多项式称为特征多项式，如第1格的“特征多项式”为4x+y，第3格的“特征多项式”为16x+9y，则第n格的“特征多项式”为．专题4.1 单项式与多项式【十大题型】【浙教版】【题型1 列代数式】 (6)【题型2 单项式与多项式的概念】 (7)【题型3 直接确定单项式的系数与次数】 (8)【题型4 根据单项式的次数求参】 (8)【题型5 直接确定多项式的项与次数】 (9)【题型6 根据多项式的项与次数求参】 (9)【题型7 单项式与多项式综合运用】 (9)【题型8 单项式与多项式中的结论开放性问题】 (10)【题型9 单项式中的规律探究】 (10)【题型10 多项式中的规律探究】11【知识点1 代数式的概念】那个字母前加上“-”号.【题型1 列代数式】【例1】（2022秋•洛阳期末）如图，A，B两地之间有一条东西走向的道路．在A地的东边5km处设置第一个广告牌，之后每往东12km就设置一个广告牌．一辆汽车从A地出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为（）A．（12n+7）km B．（12n+5）km C．（12n﹣7）km D．（12n﹣5）km【分析】根据题意和图形，可以用代数式表示出这辆汽车行驶的路程，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，一汽车在A 地出发，沿此道路向东行驶．当经过第n 个广告牌时，此车所行驶的路程为：5+12（n ﹣1）＝（12n ﹣7）km ，故选：C ．【变式1-1】（2022秋•朝阳区期末）用代数式表示“m 的3倍与n 的差的平方”，正确的是（） A ．3m ﹣n 2B ．（m ﹣3n ）2C ．（3m ﹣n ）2D ．3（m ﹣n ）2【分析】要明确给出文字语言中的运算关系，先表示出m 的3倍，再表示出与n 的差，最后表示出平方即可．【解答】解：m 的3倍与n 的差的平方表示为：（3m ﹣n ）2，故选：C ．【变式1-2】（2022秋•侯马市期末）一个两位数，个位数字和十位数字之和为10，个位数字为x ，用代数式表示这个两位数是．【分析】根据题意，先求出十位数字，然后写出这个两位数，注意化简．【解答】解：个位数字是x ，则十位数字是10﹣x ，所以这个两位数是（10﹣x ）×10+x ＝100﹣9x ．故答案为：100﹣9x【变式1-3】（2022秋•正定县期末）如图，阴影部分是一个长方形截去两个四分之一的圆后剩余的部分，则它的面积是（其中a ＞2b ）（）A ．ab −πa 24B ．ab −πb 22C ．ab −πa 22D ．ab −πb 24【分析】根据图形可得阴影部分的面积＝矩形的面积﹣两个扇形面积．【解答】解：S 矩形＝长×宽＝ab ， S 扇形=14•πb 2•2=12πb 2，S 阴影＝S 矩形﹣S 扇形＝ab −πb 22．故选：B ．一个字母也是单项式．注意：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．【题型2 单项式与多项式的概念】【例2】（2022秋•莱阳市期中）下列整式中：m 4n 27、−12x 2y 、x 2+y 2﹣1、x 、3x 2y +3xy 2+x 4﹣1、32t 3、2x ﹣y ，单项式的个数为a ，多项式的个数为b ，则ab ＝ 12 ．【分析】先选出多项式和单项式，即可得出答案．【解答】解：单项式有m 4n 27、−12x 2y 、x 、32t 3，即a ＝4，多项式有x 2+y 2﹣1、3x 2y +3xy 2+x 4﹣1、2x ﹣y ，即b ＝3， ab ＝12，故答案为：12．【变式2-1】（2022秋•东莞市校级期中）整式﹣0.3x 2y ，0，x+12，﹣22abc 2，13x 2，−14y ，−13ab 2−12a 2b 中单项式的个数有（） A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【分析】根据单项式的定义判断即可．【解答】解：整式﹣0.3x 2y ，0，x+12，﹣22abc 2，13x 2，−14y ，−13ab 2−12a 2b 中单项式有﹣0.3x 2y ，0，﹣22abc 2，13x 2，−14y 共5个，故选：B ．【变式2-2】（2022秋•太湖县期末）下列式子：2a 2b ，3xy ，﹣2y 2，a+b 2，4，﹣m ，x+yz 2，ab−c n其中是多项式的有（） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】几个单项式的和叫做多项式，结合所给式子进行判断即可．【解答】解：式子：2a 2b ，3xy ，﹣2y 2，a+b 2，4，﹣m ，x+yz 2，ab−c n中，是多项式的有a+b 2，x+yz 2，共2个．故选：A ．【变式2-3】（2022秋•新洲区期末）（2022秋•端州区月考）把下列各式分别填在相应的大括号内．﹣2，x2y，−a3，2x2+3x﹣1，πx2y32，﹣y，1x，2x−y5单项式：{ …}多项式：{ …}．【分析】根据单项式是数与字母的积，单独一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和是多项式，可得答案．【解答】解：单项式：{﹣2，x2y，−a3，πx2y32，﹣y}；多项式：{2x2+3x﹣1，2x−y5}．故答案为：﹣2，x2y，−a3，πx2y32，﹣y；2x2+3x﹣1，2x−y5．【题型3 直接确定单项式的系数与次数】【例3】（2022秋•滨江区期末）单项式πx 2y3的系数为π3，次数为3．【分析】根据单项式的次数和系数进行解答．【解答】解：单项式πx 2y3的系数为π3；次数为3；故答案为π3，3．【变式3-1】（2022秋•长垣市月考）指出下列各单项式的系数和次数．（1）﹣12πxy2（2）﹣22a2bc（3）−32x2y3z．【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．【解答】解：（1））﹣12πxy 2 的系数是﹣12π，次数是3；（2）﹣22a 2bc 的系数是﹣4，次数是4；（3）−32x 2y 3z 的系数是−32，次数是6．【变式3-2】（2022秋•商水县期末）已知|a +1|+（b ﹣2）2＝0，则单项式﹣x a +2by b﹣a的次数是 4 ．【分析】先求出a 与b 的值，然后代入单项式中即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a +1＝0，b ﹣2＝0， ∴a ＝﹣1，b ＝2，∴将a 与b 代入单项式中可得：﹣2xy 3 单项式的次数为：4 故答案为：4【变式3-3】（2022秋•惠城区期末）已知单项式−34x 2y 2的系数为m ，次数为n ，则mn 的值为 ﹣3 ．【分析】直接利用单项式的次数与系数的定义分别得出m ，n 的值，即可得出答案．【解答】解：∵单项式−34x 2y 2的系数为m =−34，次数为n ＝4，∴mn 的值为：−34×4＝﹣3．故答案为：﹣3．【题型4 根据单项式的次数求参】【例4】（2022秋•高密市期末）若（a ﹣2）x 2y |a |+1是x ，y 的五次单项式，则a ＝ ﹣2 ．【分析】根据单项式系数和次数的概念求解．【解答】解：∵（a ﹣2）x 2y |a |+1是x ，y 的五次单项式， ∴a ﹣2≠0，2+|a |+1＝5，解得：a ≠2，a ＝±2，则a ＝﹣2．故答案为：﹣2．【变式4-1】（2022秋•孟津县期末）已知单项式6x 2y 4与﹣3a 2b m +2的次数相同，则m 2﹣2m 的值为 0 ．【分析】根据两个单项式的次数相同可得2+4＝2+m +2，再解即可得到m 的值，进而可得答案．【解答】解：由题意得：2+4＝2+m +2，解得：m ＝2，则m 2﹣2m ＝0．故答案为：0．【变式4-2】（2022秋•德惠市期中）已知x 2y |a |+（b +2）是关于x 、y 的五次单项式，求a 2﹣3ab 的值．【分析】根据单项式及单项式次数的定义，可得出a 、b 的值，代入代数式即可得出答案．【解答】解：∵x 2y |a |+（b +2）是关于x ，y 的五次单项式， ∴{2+|a|=5b +2=0，解得：{a =±3b =−2，则当a ＝﹣3，b ＝﹣2时，a 2﹣3ab ＝9﹣18＝﹣9；当a ＝3，b ＝﹣2时，a 2﹣3ab ＝9+18＝27．【变式4-3】（2022秋•驻马店校级期中）若﹣mx 2y |n ﹣3|是关于x 、y 的10次单项式，且系数是8，求m +n 的值．【分析】利用单项式的定义得出m 的值，进而利用单项式次数的定义得出n 的值，进而得出答案．【解答】解：∵﹣mx 2y |n ﹣3|是关于x 、y 的10次单项式，且系数是8， ∴m ＝﹣8，且2+|n ﹣3|＝10，解得：n ＝11或﹣5，则m +n ＝3或m +n ＝﹣13．【题型5 直接确定多项式的项与次数】【例5】（2022秋•端州区校级期中）多项式xy 2﹣9xy +5x 2y ﹣36是三次四项式．【分析】要确定多项式是几次几项式，就要确定多项式的次数和项数，根据多项式次数和项数的概念可知，该多项式是三次四项式．【解答】解：多项式xy 2﹣9xy +5x 2y ﹣36是三次四项式．故答案为：三，四．【变式5-1】（2022秋•平原县校级期中）多项式2x 2y ﹣x 2+12x 2y 2﹣3的最高次项是 12x 2y 2 ，三次项的系数是 2 ，常数项是 ﹣3 ．【分析】直接利用多项式的各项确定方法分别求出答案．【解答】解：多项式2x 2y ﹣x 2+12x 2y 2﹣3的最高次项是：12x 2y 2，三次项的系数是：2，常数项是﹣3．故答案为：12x 2y 2，2，﹣3．【变式5-2】（2022春•杨浦区校级期末）多项式﹣3x 2y +4xy +x ﹣2的次数与项数之和为 7 ．【分析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数可得答案．【解答】解：多项式x 2y ﹣xy 2+3xy ﹣1的次数与项数分别是3和4， 3+4＝7，故答案为：7．【变式5-3】（2022秋•苍溪县期中）已知多项式﹣2m 3n 2﹣5中，含字母的项的系数为a ，多项式的次数为b ，常数为c ，则a +b +c ＝ ﹣2 ．【分析】首先利用多项式的系数、次数及常数项确定a 、b 、c 的值，然后求和即可．【解答】解：∵多项式﹣2m 3n 2﹣5中，含字母的项的系数为a ，多项式的次数为b ，常数项为c ，∴a ＝﹣2，b ＝5，c ＝﹣5， ∴a +b +c ＝﹣2+5﹣5＝﹣2，故答案为：﹣2．【题型6 根据多项式的项与次数求参】【例6】（2022秋•呈贡区月考）若多项式12x |m |﹣（m ﹣4）x +7是关于x 的四次二项式，则m 的值是 4 ．【分析】根据四次二项式的定义可知，该多项式的最高次数为4，项数是2，所以可确定m 、n 的值，即可求解．【解答】解：由多项式是关于x 的四次二项式知： |m |＝4且m ﹣4＝0，解得m ＝4．故答案为：4．【变式6-1】（2022秋•泰兴市校级期中）已知多项式x ﹣3xy m +1+x 3y ﹣3x 4﹣1是五次多项式，则m ＝ 3 ．【分析】先观察多项式的各项，再确定每项的次数，最高次项的次数就是多项式的次数．【解答】解：∵多项式x﹣3xy m+1+x3y﹣3x4﹣1是五次多项式，∴1+m+1＝5，解得：m＝3．故答案为：3．x|m|−(m+2)x+7是关于x的二次三项式，则m＝2．【变式6-2】（2022秋•陇县期末）多项式12【分析】由于多项式是关于x的二次三项式，所以|m|＝2，但﹣（m+2）≠0，根据以上两点可以确定m 的值．【解答】解：∵多项式是关于x的二次三项式，∴|m|＝2，∴m＝±2，但﹣（m+2）≠0，即m≠﹣2，综上所述，m＝2，故填空答案：2．【变式6-3】（2022秋•莒县期末）如果（|k|﹣3）x3﹣（k﹣3）x2﹣2是关于x的二次多项式，则k的值是﹣3．【分析】直接利用多项式的定义得出|k|﹣3＝0，k﹣3≠0，进而得出答案．【解答】解：∵（|k|﹣3）x3﹣（k﹣3）x2﹣2是关于x的二次多项式，∴|k|﹣3＝0，k﹣3≠0，解得：k＝﹣3．故答案为：﹣3．【题型7 单项式与多项式综合运用】x2y m+1+xy2−3x3−6是五次四项式，单项式0.4x2n y5﹣m 【例7】（2022秋•麻城市期末）已知多项式−13的次数与这个多项式的次数相同，则m＝2，n＝1．x2y m+1+xy2−3x3−6是五次四项式，得到m+1＝3，根据单项式0.4x2n y5﹣m的【分析】根据多项式−13次数与这个多项式的次数相同，得到2n+5﹣m＝5，即可解答．x2y m+1+xy2−3x3−6是五次四项式，【解答】解：∵多项式−13∴m+1＝3，∴m＝2，∵单项式0.4x 2n y 5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，∴2n +5﹣m ＝5， ∴n ＝1，故答案为：2，1．【变式7-1】（2022秋•赤壁市期中）已知单项式3x 2y n 的次数为5，多项式6+x 2y −12x 2−16x 2y m +3的次数为6，求单项式（m +n ）x m y n 的次数与系数的和．【分析】根据已知求出m 、n 的值，把m 、n 的值代入单项式，求出单项式的系数和次数，即可得出答案．【解答】解：∵单项式3x 2y n 的次数为5，多项式6+x 2y −12x 2−16x 2y m +3的次数为6，∴2+n ＝5，2+m +3＝6，解得：m ＝1，n ＝3，∴（m +n ）x m y n ＝4xy 3，系数是4，次数是1+3＝4， 4+4＝8，即单项式（m +n ）x m y n 的次数与系数的和是8．【变式7-2】（2022秋•建华区校级期中）已知多项式（m +4）x |m |y 2+xy ﹣4x +1六次四项式，单项式5x 2n y 6﹣m与多项式的次数相同，（m ，n 是常数），则m n ＝ 16 ．【分析】利用多项式的次数定义得出m 的值，进而利用单项式的次数得出n 的值，即可得出答案．【解答】解：∵多项式（m +4）x |m |y 2+xy ﹣4x +1六次四项式，单项式5x 2n y 6﹣m与多项式的次数相同，∴|m |+2＝6且m +4≠0，2n +6﹣m ＝6，解得m ＝4，n ＝2，则m n ＝42＝16．故答案为：16．【变式7-3】有三个单项式：a 2，b ，1，请问由这三个单项式与加、减、乘、除等运算符号能组成哪些多项式？【分析】根据单项式和多项式的定义即可得出答案．【解答】解：根据题意得，组成的多项式有：a 2+b +1；a 2+b ﹣1；a 2﹣b +1；a 2﹣b ﹣1；a 2b +1；a 2b ﹣1；﹣a 2+b +1；﹣a 2+b ﹣1；﹣a 2﹣b +1；﹣a 2﹣b ﹣1；﹣a 2b +1；﹣a 2b ﹣1．【题型8 单项式与多项式中的结论开放性问题】【例8】（2022秋•鄞州区期末）某单项式的系数为2，只含字母x，y，且次数是3次，写出一个符合条件的单项式可以是2xy2或2x2y（答案不唯一）．【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．【解答】解：2xy2或2x2y是只含字母x、y，系数为2，次数为3的单项式，故答案为：2xy2或2x2y（答案不唯一）．【变式8-1】（2022秋•南川区期末）一个单项式满足下列两个条件：①系数是﹣3；②次数是四次．请写出一个同时满足上述两个条件的单项式﹣3x4（答案不唯一）．【分析】根据单项式的数字因数为单项式的系数，单项式的所有字母的指数的和为单项式的次数可解决此题．【解答】解：根据单项式的系数与次数的定义，满足条件的单项式可为﹣3x4（答案不唯一）．故答案为：﹣3x4（答案不唯一）．【变式8-2】（2022秋•朝阳区校级期中）试写出只含有字母x、y，同时满足下列条件的两个多项式：①六次三项式．②各项系数绝对值为1．③不含常数项．【分析】根据多项式的相关概念回答即可．【解答】解：根据题意得：xy5﹣xy+xy2（答案为不唯一）．【变式8-3】（2022秋•朝阳区校级期中）写出同时满足下列4个条件的一个多项式：①该多项式含有字母x和y；②该多项式第一项是常数项；③该多项式是三次四项式；④该多项式各项系数和为零．【分析】根据题目的要求可直接写出符合条件的多项式，本题为开放题，答案不唯一．【解答】解：3﹣x+2y﹣4xy2（答案不唯一）．【题型9 单项式中的规律探究】【例9】（2022秋•硚口区期中）观察下面有规律的三行单项式：x，2x2，4x3，8x4，16x5，32x6，…①﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，64x6，…②2x2，﹣3x3，5x4，﹣9x5，17x6，﹣33x7，…③（1）根据你发现的规律，第一行第8个单项式为128x8；（2）第二行第n个单项式为（﹣2）n x n；（3）第三行第8个单项式为﹣129x9；第n个单项式为（﹣1）n+1（1+2n﹣1）x n+1．【分析】通过观察很容易得到三组数据数字因数、字母次数之间的关系，根据规律写出相应的式子即可．【解答】解：（1）因为第一行的每个单项式，数字因数后面都是前面的2倍，字母次数与这个单项式是第几个有关，根据这个规律可得第一行第8个单项式为128x8；（2）因为第二行的每个单项式，数字因数后面都是前面的（﹣2）倍，字母次数与这个单项式是第几个有关，根据这个规律可得第n个单项式为（﹣2）n x n；（3）通过观察第三行的这组单项式，这组单项式符合（﹣1）n+1（1+2n﹣1）x n+1，第8个单项式是﹣129x9；第n个单项式为（﹣1）n+1（1+2n﹣1）x n+1．故答案为：（1）128x8，（2）（﹣2x）n，（3）﹣129x9 ，（﹣1）n+1（1+2n﹣1）x n+1【变式9-1】（2022•雁塔区校级开学）观察下列关于x的表达式，探究其规律：﹣x，﹣4x3，+7x5，﹣10x7，﹣13x9，16x11…，按照上述规律，第2017个表达式是﹣6049x4033．【分析】系数的规律：第n个对应的系数的绝对值是3n﹣2，指数的规律：第n个对应的指数是2n﹣1，依此即可求解．【解答】解：根据分析的规律，2017÷3＝672…1，第2017个表达式是：﹣6049x4033．故答案为：﹣6049x4033．【变式9-2】（2012秋•和平区期中）观察下列排列的单项式的规律：1 2a2b，−14a2b2，18a2b3，−116a2b4，…．（1）请按照此规律写出第10个单项式；（2）试猜想写出第n个单项式，并写出其系数和次数．【分析】（1）要看各单项式的系数和次数与该项的序号之间的变化规律．本题中，奇数项符号为负，偶数项符号为正，数字变化规律是（﹣1）n+112n，字母变化规律是a2b n；（2）利用（1）中规律得出答案．【解答】解：（1）∵12a2b，−14a2b2，18a2b3，−116a2b4，…∴第10个单项式为：−1210a2b10；（2）第n个单项式为：（﹣1）n+1×12n a2b n（n≥2），系数为：（﹣1）n+1×12n，次数为：2+n．【变式9-3】（2022秋•海珠区期末）一组按规律排列的式子：a2，a 43，a65，a87，⋯则第1008个式子是a20162015．【分析】观察分子、分母的变化规律，总结出一般规律即可求解．【解答】解：a2，a4，a6，a8…，分子可表示为：a2n，1，3，5，7，…分母可表示为2n﹣1，则第n个式子为：a 2n2n−1．故第1008个式子是a 20162015．故答案为：a 20162015．【题型10 多项式中的规律探究】【例10】（2022秋•北流市期中）观察下列依次排列的多项式：a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，…，请写出第9个式子是a9+b17．【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律．【解答】解：多项式的第一项依次是a，a2，a3，a4，…，a n，第二项依次是b，﹣b3，b5，﹣b7，…，（﹣1）n+1b2n﹣1，所以第9个式子即当n＝9时，代入到得到a n+（﹣1）n+1b2n﹣1＝a9﹣b17．故答案为：a9+b17．【变式10-1】（2022秋•黔东南州期末）观察下列多项式：2a﹣b，4a+b2，8a﹣b3，16a+b4，…按此规律，则可以得到第7个多项式是128a﹣b7．【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律．【解答】解：多项式的第一项依次是2a，4a，8a，16a，…2n a，第二项依次是﹣b，b2，﹣b3…（﹣1）n b n，则可以得到第7个多项式是128a﹣b7．故答案为：128a﹣b7．【变式10-2】（2022•淮安一模）如图是有关x的代数式的方阵，若第10行第2项的值为1034，则此时x 的值为2．【分析】由方阵可以看出每一行的每一个式子的第一项为2n﹣1x，第二项是n，由此得出等式求得x的数值即可．【解答】解：∵每一个式子的第二项是2n﹣1x+n，∴第10行第2项的值为29x+10＝1034，解得x＝2，故答案为2．【变式10-3】（2022秋•永安市期末）观察右表，我们把某格中字母和所得到的多项式称为特征多项式，如第1格的“特征多项式”为4x+y，第3格的“特征多项式”为16x+9y，则第n格的“特征多项式”为（n+1）2x+n2y．【分析】先根据已知数据找出规律，根据所得的规律得出即可．【解答】解：∵第1格的“特征多项式”为4x+y＝（1+1）2x+12•y，第2格的“特征多项式”为9x+4y＝（2+1）2x+22•y，第3格的“特征多项式”为16x+9y＝（3+1）2x+32•y，∴第n格的“特征多项式为：（n+1）2x+n2y，故答案为：（n+1）2x+n2y．。

人教版2020年初中(7-9年级)数学知识点全总结(打印版)

人教版2020年初中（7-9年级）数学知识点全总结(打印版)七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容.第一章有理数一、知识框架二．知识概念1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞ 0，小数-大数＜ 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a .13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。

浙江省七年级数学上册第11讲三线八角预习讲义(pdf)(新版)浙教版【精品教案】

第十一讲三线八角本讲目标：1.掌握两线四角和三线八角相关概念．2.判断不同的位置角.一、两线四角同一平面两线位置关系：平行或相交.平行相交如图相交出现了4个角，分别是∠1，∠2，∠3，∠4.对顶角：∠1和∠3；∠2和∠4.邻补角：两线四角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角.如∠1和∠2，∠1和∠4.二、垂直如图，直线AB 垂直直线CD 于O 点.交点O 为垂足.记作“AB CD 于O ”.性质:1.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2.连直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短.OABCD三、三线八角两条直线被第三条直线相截，有8个角，是为三线八角.如图，直线AB 、CD 被第三条直线EF 所截.同位角：两个角分别在两条直线的同一侧，并且在第三条直线的同旁.如图，∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8.内错角：两个角在两条直线之间，并且位置交错.如图，∠3与∠5，∠4与∠6.同旁内角：两个角在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁.如图，∠3与∠6，∠4与∠5.思考：如果直线AB 与CD 平行，则同位角、内错角、同旁内角会有哪些性质？小试牛刀：（看清定义↖(^ω^)↗）1.顶点相同并且相等的两个角是对顶角.（）2.有一条公共边且互补的两个角是邻补角.（）3.如图，∠3和∠10不是对顶角.（）4.如图，∠2和∠10是内错角.（）5.如图，∠2和∠3是同旁内角.（）6.如图，∠1和∠3是同位角.（）7.如图，∠3=∠9.（）答案：×，×，√，×，×，×，×（想想这些为什么不对）2345678EA CFD1B。

浙江省七年级数学上册第8讲含参一元一次方程的解法预习讲义(新版)浙教版【含解析】

第八讲含参一元一次方程的解法本讲目标：1.回顾一元一次方程基础内容2.学会讨论方程有唯一解、无解、无穷解时参数的取值.基础复习:1.方程：含有未知数的等式.如 1xy x y z +++=.2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值.例如3x =是方程36x +=的解.3.解方程：求方程的解的过程.4.一元一次方程：只含有一个未知数、未知数次数为1、系数不为0的整式方程.例如235,10, 3.x y x +=-==.5.解一元一次方程示例：12223x x x -+-=- 解：两边同时乘以6，得：()()6311222x x x --=-+去括号，得： 6331224x x x -+=-- 移项，得： 6321243x x x -+=--合并同类项，得： 55x =系数化为1，得： 1x =模块一：同解方程两个一元一次方程的解若有等量关系，可先求出这两个方程的解，再通过数量关系列等式.两个解之间可以是相等、互为倒数、互为相反数、倍数关系等.思考1：关于x 的方程415x -=-与203a x --=的解相同，求a 的值;若解互为倒数、互为相反数时，求a 的值.提示：若两个方程的解相同，只需将第一个方程的x 带入第二个方程即可.模块二：含字母系数的一元一次方程思考2：关于x 的方程ax b =（1）当0a ≠时，方程有唯一解b x a=；（2）当0a =且0b =，方程有几个解？解有什么规律？（3）当0a =且0b ≠时，方程有没有解？思考3：基于思考2（2）的猜想，若关于x 的方程()2283a x x b ++=+有无数个解，求a b +的值.模块三：绝对值方程相信大家学了这么久的绝对值，对绝对值方程（如235x -=）肯定不陌生了.常见的绝对值方程考法：1.求绝对值方程;2.根据根的个数判断范围.思考4：形如ax b c +=的绝对值方程，根据绝对值的非负性，x 的解的个数怎么分类讨论？如何求这类方程的解？思考题答案：思考1：5；5；7思考2：无数个解；解可为任意实数.思考3：化简得()8322a x b a -=--.要使方程无数解，则803220a b a -=⎧⎨--=⎩，即8a =，6b =.则14a b +=.思考4：略。

一元一次方程浙教版2019-2020学年度七年级数学上册讲义+分层训练(含答案)

浙江版2019-2020学年度七年级数学上册第5章一元一次方程 5.1 一元一次方程【知识清单】一、一元一次方程：1.方程：含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解：使方程左右两边的值都相等的未知数的值叫做方程的解3.一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程. 二、方程的判定方法归纳：1.判断一个式子是不是方程必须看两点：一是等式，二是含有未知数，二者缺一不可；2.判定一个方程是不是一元一次方程，要看方程是否只含一个未知数并且未知数的指数都是1，而且是整式方程. 【经典例题】例题1、下列方程中，是一元一次方程的是( )A ．x 2-2x =1B ．-5x =0C ．3x +2y =5D ．x =x1【考点】一元一次方程的定义．【分析】根据一元一次方程的定义判断即可．【解答】A 、方程的次数是2次，即不是一元一次方程，故本选项错误；B 、是一元一次方程，故本选项正确；C 、含有两个未知数，即不是一元一次方程，故本选项错误；D 、不是整式方程，即不是一元一次方程，故本选项错误；故选B ．【点评】本题考查了对一元一次方程的定义的应用，熟练掌握一元一次方程的定义是解决问题的关键．例题2、如果方程(m -2)1-m x+26=0是关于x 的一元一次方程，那么m 的取值是______．【考点】一元一次方程的定义．【分析】只含有一个未知数(元)，并且未知数的指数是1(次)的方程叫做一元一次方程，高于一次的项系数是0．据此可得出关于m 的方程，继而可求出m 的值．【解答】由一元一次方程的定义，得⎩⎨⎧=-≠-1102m m ，解得m =-2．故填：-2．【点评】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．【夯实基础】1．下列方程中，是一元一次方程的是( )A ．2x =3y B.y 1＋1=0 C ．2x 2＋3x =2 D. )2(31-x =1 2．下列说法正确的是( )A ．x =-2是方程2x ＋5=0的解B ．y =0是方程0.5(5-2y )=2.5的解C ．方程3x -4=)3(31-x )的解是x =3D ．方程43-x =2的解是x =383．一件高于成本50%标价的上衣，按8折销售仍可获利40元．设这件上衣的成本价为x 元，根据题意，下面所列方程正确的是( )A ．x (1+50%)×0.8-x =30B ． ( x +50%)×0.8-x =30C ．x (1+50%)×0.8=30-xD ．( x +50%)×0.8=30-x 4．关于｜x -2｜=2的说法正确的是 ( )A ．不是方程B ．是方程其解为0C ．是方程其解为4D ．是方程其解为0或45．若关于x 的方程(3k -2)x 2- (3k +2)x +5=0是一元一次方程，则k 的值为 .6．如图，两边都放着物体的天平处于平衡状态，用等式表示天平两边所放物体的质量关系为__ __________．7．下列不是方程的是__________．(填序号)① 1＋2=3； ② 2x ＋1； ③ 2m ＋15=3； ④ x 2－6=0； ⑤ 3x ＋2y =9； ⑥ 3a ＋9＞15.8．已知关于x 的方程5a -2x =9的解为x =3，求代数式(-a )2-2a ＋1的值．9．有甲、乙两支同样长的蜡烛，甲蜡烛可使用12 h ，乙蜡烛可使用10 h ．两蜡烛同时点燃，几小时后乙蜡烛的长度是甲蜡烛长度的三分之一？(列出方程，不必求解)【提优特训】10．若5x -6与2x -8是一个正数两个平方根，则可列方程来表示为( )A ．5x -6=2x -8B ．5x -6+2x -8=0C ．5x +6+2x +8=0D ．5x +6+2x -8=0 11．若方程(3a -2)x 2+bx +c =0是关于x 的一元一次方程，则字母系数a ，b ，c 的值满足( )A ．a =32，b =0，c 为任意数 B ．a ≠32，b ≠0，c =0 C ．a =32，b ≠0，c 为任意数 D ．a =32，b ≠0，c ≠0 12．下列方程中，解为x =-2的方程是( )A ．21x ＋3=x B ． x -2=0 C ．2x =4 D ．321)63(31-=-x x 13．已知单项式-ma 3b m -1与单项式4a 3b 2是同类项，则关于m 的方程一定正确的是( )A ．-m +4=0B ．-m -4=0C ．m -1+2=0D ． m -1=2 14．已知53-m x-1=m 是关于x 的一元一次方程，则这个方程的解．15．对于有理数a ，b ，c ，d ，规定一种运算bc ad dbc a -=，如43525342⨯-⨯==-2. 若32331=----x x ，则所得到的方程为．16．根据下列条件列出方程． 1.设某数为x : (1)某数的65与-5的和是6； (2)某数的5倍等于该数的2倍与18的差； (3)某数减少20%后比该数的60%小5； (4)比某数的3倍大6的数是12”用方程表示为.2.(1)某长方形的周长是64，长与宽之比为5∶3，则长和宽各是多少？设长方形的长为5x . (2)爸爸今年38岁，比儿子年龄的3倍少4岁，则小明今年几岁？设小明今年x 岁．17．已知关于x 的方程ax 2+x b -3-2=0是一元一次方程，试求x a +b 的值.18．数学课上老师出示了四张卡片，上面分别写着不同的代数式，要求同学们解决下面的问题：用等号将这四张卡片的任意两张卡片上的数或式子连接起来，就会得到等式或方程． (1)你一共能写出几个等式？(2)在这些等式中，有几个一元一次方程？请写出这几个一元一次方程．19．汽车的油箱内储油40kg，已知工作时的耗油以及油箱内的剩油量的关系如表所示工作时间t(h) 耗油量p(kg) 剩油量m(kg)1 2.5 40-2.5=37.52 5 40-5=353 7.5 40-7.5=32.54 10 40-10=30………(1)写出工作10h后，油箱内的剩油量；(2)写出工作t h后，油箱内的剩油量为7.5kg，请你列出关于t的方程(不解方程).20．如图用火柴棒搭正方形，用n表示所搭正方形的个数，从而计算火柴棒的根数，当n=1，所需火柴棒为4根，当n=2，所需火柴棒为7根，当n=3，所需火柴棒为10根，…，请问：(1)第5个图形中火柴棒有多少根？(2)第n个图形中火柴棒有多少根？(3)若有一个图形由781根火柴棒组成，那么这个图形由几个正方形组成？【中考链接】21．(2018•临安)(3分)中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球体的重量等于()个正方体的重量．A．2 B．3 C．4 D．522．(2018•临沂)任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数7.0 为例进行说明：设7.0 =x ，由7.0 =0.7777…可知，l0x =7.7777…，所以l0x -x =7，解方程，得x =97，于是．得7.0 =97．将63.0 写成分数的形式是．参考答案1、D2、B3、A4、D5、326、x+4=107、①②⑥ 10、B 11、C 12、D 13、D 14、-1或3 15、-(x -2)+3(3-x )=3 21、D 22、114 8．已知关于x 的方程5a -2x =9的解为x =3，求代数式(-a )2-2a ＋1的值．解：∵方程5a -2x =9的解为x =3，∴5a -2×3=9， ∴a =3.∴(-a )2-2a ＋1 =(-3)2-2×3＋1=4.9．有甲、乙两支同样长的蜡烛，甲蜡烛可使用12 h ，乙蜡烛可使用10 h ．两蜡烛同时点燃，几小时后乙蜡烛的长度是甲蜡烛长度的三分之一？(列出方程，不必求解) 解：设x 小时后乙蜡烛的长度是甲蜡烛长度的一半，则1-101x =31(1-121x ). 16．根据下列条件列出方程． 1.设某数为x : (1)某数的65与-5的和是6； (2)某数的5倍等于该数的2倍与18的差； (3)某数减少20%后比该数的60%小5； (4)比某数的3倍大6的数是12”用方程表示为.2.(1)某长方形的周长是64，长与宽之比为5∶3，则长和宽各是多少？设长方形的长为5x . (2)爸爸今年38岁，比儿子年龄的3倍少4岁，则小明今年几岁？设小明今年x 岁． 16．解：1.(1)65x -5=6； (2) 5x =2x -18；(3) (1-20%)x =60%x -5； (4) 3x +6=12；2．解：(1)由长方形的长为3x ，得宽为2x ，则2(5x ＋3x )=64.(2)根据题意，得3x -4=38.17．已知关于x 的方程ax 2+x b -3-2=0是一元一次方程，试求x a +b 的值. 解：∵ax 2+x b-3-2=0是关于x 的一元一次方程，∴a =0，b -3=1， ∴a =0，b =4， ∴x -2=0， ∴x =2. ∴x a +b =24=16.18．数学课上老师出示了四张卡片，上面分别写着不同的代数式，要求同学们解决下面的问题：用等号将这四张卡片的任意两张卡片上的数或式子连接起来，就会得到等式或方程． (1)你一共能写出几个等式？(2)在这些等式中，有几个一元一次方程？请写出这几个一元一次方程． 18．解：(1)6个．(2)有3个一元一次方程，它们分别是5x -3=-6，6261-=-x ，5x -3=261-x . 19．汽车的油箱内储油40kg ，已知工作时的耗油以及油箱内的剩油量的关系如表所示工作时间t (h) 耗油量p (kg) 剩油量m (kg) 1 2.5 40-2.5=37.5 2 5 40-5=35 3 7.5 40-7.5=32.5 4 10 40-10=30 ………(1)写出工作10h 后，油箱内的剩油量；(2)写出工作t h 后，油箱内的剩油量为7.5kg ，请你列出关于t 的方程(不解方程). 解: (1)40-10×2.5=15；工作10h 后，油箱内的剩油量为15 kg ； (2)根据题意，得40-2.5t =7.5.20．如图用火柴棒搭正方形，用n 表示所搭正方形的个数，从而计算火柴棒的根数，当n =1，所需火柴棒为4根，当n =2，所需火柴棒为7根，当n =3，所需火柴棒为10根，…，请问：(1)第5个图形中火柴棒有多少根？(2)第n个图形中火柴棒有多少根？(3)若有一个图形由781根火柴棒组成，那么这个图形由几个正方形组成？解：根据图形特点和题意可得：第1个图形n=1，火柴棒为3×1+1=4根，第2个图形n=2，火柴棒为3×2+1=7根，第3个图形n=3，火柴棒为3×3+1=10根，…(1)第5个图形中火柴棒有3×5+1=16根，(2)第n个图形中火柴棒有3×n+1=(3n+1)根，(3)3n+1=781，解得n=260，答：这个图形由260个正方形组成.。

浙教版2019-2020学年度七年级数学上册第6章图形的初步知识6.6角的大小比较(有答案)

浙江版2019-2020学年度七年级数学上册第6章图形的初步知识6.6 角的大小比较【知识清单】一、角的大小比较；1.度量法：一般地，如果两个角的度数相等，那么我们就说这两个角相等，如果两个角的度数不相等，那么我们就说度数大的角较大.2.叠合法：我们也可以把两个角“叠”在一起来比较大小.把一块三角尺中的∠BAC与另一块三角尺中的∠QPO叠在一起，使两个角顶点A与P重合，∠BAC就一边AC与∠QPO的一边PO重合，并使两个角的另一边AB与PQ都在重合的一边的同侧.①如果AB落在∠QPO的内部，表明∠BAC 的度数小于∠QPO的度数，即∠BAC<∠QPO或∠QPO>∠BAC；②如果AB落在∠QPO的外部，表明∠BAC的度数大于∠QPO的度数，即∠BAC>∠QPO或∠QPO<∠BAC；③如果AB与PO重合，表明∠BAC的度数等于∠QPO的度数，即∠BAC=∠QPO或∠QPO=∠BAC.二、角的分类：角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角.1.锐角：大于0°小于90°的角，小于直角的角叫做锐角.2.直角：等于90°的角是直角.3.钝角：大于90°小于180°的角，大于直角且小于平角的角叫做钝角.三、注意：直角可以用Rt∠表示，画图时常在直角的顶点处加上符号“”来表示这个角是直角.【经典例题】例题1、下列说法正确的是()A. 一个钝角与一个直角的和一定等于平角B. 一个钝角与一个锐角的和一定大于平角C. 一个钝角与一个锐角的和一定小于平角D. 一个钝角与一个锐角的和一定大于直角【考点】角的大小比较．【分析】根据钝角、直角、锐角的含义可知：锐角是大于0°小于90°的角；钝角是大于90°小于180°的角；直角是等于90°的角；据此解答即可．【解答】A、钝角与锐角的和可以是平角也可以是钝角或大于平角，故本选项错误；B、钝角与锐角的和可以是平角也可以是钝角或大于平角，故本选项错误；C、钝角与锐角的和可以是平角也可以是钝角或大于平角，故本选项错误；D、因为钝角大于直角，钝角与锐角的和一定大于直角，故本选项正确．故选D．【点评】本题考查了角的比较与计算，解答此题应根据各种角的定义进行分析判断．例题2、下面一些角中，可以用一副三角尺画出来的角是()(1) 15°的角；(2) 55°的角；(3) 75°的角；(4) 100°的角；(5) 105°的角．A．(1) (3) (4) B．(1) (3) (5) C．(1) (2) (4) D．(2) (4 )(5)【考点】角的大小比较．【分析】用一副三角尺能画出来的角有15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、135°、150°、180°. 【解答】解：(1) 60°-45°=15°，可以；(2) 55°不可以；(3) 90°-15°=75°可以；(4) 100°不可以；(5) 60°+45°=105°可以；故选B．【点评】本题是常见的题型，牢记一副三角尺能画出来的角是解决问题的关键．【夯实基础】1．下列各角中，属于锐角的是( )A．81周角B．32平角C．23直角D．两个锐角的和2．在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定存在( )A．∠BOC>∠AOC B．∠AOC>∠BOC C．∠AOB>∠AOC D．∠AOC=∠BOC 3．∠α和∠β的顶点和一边都重合，另一边都在重合边的同侧，且∠α＞∠β，那么∠α的另一边落在∠β的( )A．另一边上B．外部C．内部D．以上结论都不对4．已知α，β是两个钝角，计算61(α＋β)的值，甲、乙、丙、丁四名同学算出了四种不同的答案，分别为29°，46°，72°，85°，其中只有一个答案是正确的，则正确的答案是( )A．85°B．72°C．46°D．29°5．(1)比较大小：直角____锐角；钝角_____2直角，平角____钝角．(填“>”“=”或“<”)(2)如图所示，其中最大的角是__∠DOA ____，∠DOC，∠DOB，∠DOA的大小关系是________________(用“>”连接)．6．如图所示，将一个长方形沿图中的虚线折叠，请用量角器测量一下其中的∠1，∠2，并比较∠1______∠2.(填“>”“<”或“=”)7．已若∠A=53°18′，∠B=53°15′30″，∠C=53.25°，则这三个角中最大的角是________．8．已知∠α，用量角器作一个角，使它等于∠α.第8题图第6题图第5题图(2)9．如图，回答下列问题：(1)比较∠COD与∠BOD的大小；(2)借助三角尺比较∠AOC与∠COE的大小；(3)借助量角器比较∠1与∠2的大小.【提优特训】10．用一副三角板可以画出所有小于平角的角有( )A．9个B．10个C．11个D．12个11．下列说法正确的是A．大于90度的角是钝角B．任何一个角都可能一个大写字母表示C．平角是两条边互为反向延长的角D．有公共定点的两个直角成平角12．如图所示，射线OB、OC在∠AOD的内部，若∠BOD>∠COA，则∠DOC与∠AOB的大小关系是( )A．∠DOC>∠AOB B．∠DOC=∠AOB C．∠DOC<∠AOB D．无法比较13. 设时钟的时针与分针所成的角是α，则正确的说法是( )A．九点一刻时，∠α是平角B．十点五分时，∠α是锐角C．十一点十分时，∠α是钝角D．十二点一刻时，∠α是直角14．如图，小于平角的角有________个，其中，最大的一个角的是______，它的度数为________．15．(1) 用放大镜看一个角时，角的大小_____.(2) 将∠1、∠2的顶点和其中一边重合，另一边都落在重合边的同侧，若∠1的另一边落在∠2的内部，则∠1 ∠2(填“>”“=”或“<”).16．下列各角中：①52周角；②121周角+31直角；③43平角，④74直角；⑤直角+锐角.其中钝角的序号是．第9题图第12题图第14题图17．如图所示：(1)若∠α=∠β，则∠DOB=∠AOC吗？(2)若∠DOB=∠AOC，则∠α=∠β吗？18．已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB和OC，使∠AOB=55°，∠AOC=75°，求∠BOC的度数.19．已知∠ABC是平角，过点B任作一条射线BD，将∠ABC分成∠DBA与∠DBC，当∠DBA是什么角时，∠DBA＞∠DBC?∠DBA=∠DBC?【中考链接】20．(2019•模拟) 下列各式不正确的是( )A．24000″<420′ B．56°30′ >56.4°C．108000″<1740′D．2°15′25″>8100″参考答案1、A2、C3、B4、C 5．(1) > <> (2) ∠DOA 或∠AOD , ∠DOA >∠DOB >∠DOC 6、= 7、∠A 10、A 11、B 12、A 13、B 14、7 ∠ACB 或∠ACD 90° 15、(1) 不变 (2) < 16、①③⑤ 20、C 21、38 34 32 8．已知∠α，用量角器作一个角，使它等于∠α.作法：(1)用量角器量得∠α=130°. (2)作射线OA .(3)用量角器作射线OB ，使∠AOB =130°. ∠AOB =130°=∠α，∠AOB 就是所求作的角. 9．回答下列问题：(1)比较∠COD 与∠BOD 的大小；(2)借助三角尺比较∠AOC 与∠COE 的大小； (3)借助量角器比较∠1与∠2的大小. 解：(1)由“叠合法”可知∠BOD >∠COD ；(2) ∠AOC =∠COE ； (3) ∠1=∠2.17．如图所示：(1)若∠α=∠β，则∠DOB =∠AOC 吗？(2)若∠DOB =∠AOC ，则∠α=∠β吗？解：(1)∠DOB =∠AOC . ∵∠α=∠β，∴∠α+∠COB =∠β+∠COB ，第17题图第9题图第8题图第8题图∴∠DOB=∠AOC.(2)∠α=∠β.∵∠DOB=∠AOC，∴∠DOB-∠COB =∠AOC-∠COB，∴∠DOC=∠AOB.即：∠α=∠β.18．已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB和OC，使∠AOB=55°，∠AOC=75°，求∠BOC的度数.解：射线OC的位置有两种情形，(1)射线OB在∠AOC的内部，如第18题图(1)所示；则有∠BOC=∠AOC-∠AOB=75°-55°=20°；第18题图(1) 第18题图(2)(2)射线OC在OA的另一侧，则如第18题图(2)所示：此时可知∠BOC=∠AOB+∠AOC=55°+75°=130°，所以∠AOC为20°或130°.19．已知∠ABC是平角，过点B任作一条射线BD，将∠ABC分成∠DBA与∠DBC，当∠DBA 是什么角时，∠DBA＞∠DBC?∠DBA=∠DBC?解: ∵∠ABC是平角，所以∠DBA+∠DBC=180°，∴当∠DBA是钝角时，∠DBA＞∠DBC.当∠DBA是直角时，∠DBA=∠DBC.学海迷津：数学学习十大方法1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。

浙教版七年级上册数学知识点

浙教版七年级上册数学知识点浙江省教育出版社出版的七年级上册数学教科书涵盖了多个重要的数学知识点。

以下是该教材中的主要知识点概述，以便于教师、学生和家长了解和复习。

# 第一章数与式1. 有理数- 有理数的概念- 有理数的分类（正数、负数、整数、分数）- 有理数的运算（加法、减法、乘法、除法、乘方）- 有理数的比较大小- 绝对值的概念和性质2. 整式的加减- 整式的概念- 合并同类项- 去括号法则- 带符号的运算3. 一元一次方程- 方程的概念- 解一元一次方程- 方程的解的检验- 方程的应用问题# 第二章几何图形1. 线段、射线、直线- 线段的性质- 射线和直线的定义- 两点间的距离2. 角- 角的定义- 角的度量- 角的分类（锐角、直角、钝角、平角、周角） - 角的比较和运算3. 平行线- 平行线的定义- 平行公理及其推论- 平行线的判定和性质# 第三章数据的收集和处理1. 统计调查- 调查的分类（全面调查、抽样调查）- 调查的方法和步骤2. 数据的表示- 条形图、折线图、饼图的绘制和解读- 频数和频率的概念- 频数分布表的编制# 第四章探索规律1. 图形的变化- 平移、旋转、翻转的性质- 探索图形变化的规律2. 数字的变化- 探索数字变化的规律- 等差数列的初步认识# 第五章应用题1. 比例问题- 比例的概念- 比例的性质- 解决比例问题2. 利率问题- 利率的计算- 利息的计算3. 行程问题- 速度、时间和距离的关系- 解决行程问题# 附录- 数学公式和定理清单- 常见数学符号的使用- 练习题和答案以上是浙教版七年级上册数学的主要知识点。

这些知识点构成了学生数学基础的核心部分，对于培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力至关重要。

教师和家长应鼓励学生通过练习和实际应用来巩固这些知识点。

人教版七年级数学上册第五章一元一次方程知识归纳与题型突破(单元复习 8类题型清单)

1第五章一元一次方程知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图02知识速记一、基本概念1、等式的概念：含有等号，表示相等关系的式子2、方程的概念：含有未知数的等式3、一元一次方程的概念：（1）只含有1个未知数；（2）未知数的最高次数为1次；（3）等式两边都是整式．二、等式的性质若b a =，则c b c a +=+、c b c a -=-、bc ac =、cbc a =．特别注意：等式两边须同时乘以或除以一个不为0的数．三、解一元一次方程1、去分母（不漏乘不含分母的项，去分母应加括号）2、去括号（带着符号计算，不要漏乘）3、移项（移项要变号；未知数移到左边，常数移到右边；先后顺序不重要）4、合并同类项5、系数化为1（系数不能为0，若未知数的系数含有字母则需要讨论）四、列方程解应用题的步骤①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x ）③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）五、一元一次方程的应用（4）工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量）；（5）行程问题（路程=速度×时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）．03题型归纳题型一判断是否是一元一次方程例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各式：①236x y -=；②2430x x --=；③()2353x x +=-；④310x+=；⑤()3425x x --．其中，一元一次方程有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个巩固训练1．（23-24七年级下·全国·期中）下列各式中，属于一元一次方程的是（）A ．6518x y -=B ．242715x x =+-C ．438x x+=D ．94x x-=2．（23-24七年级上·全国·单元测试）在方程①231325x +=，②=0，③235x y +=，④3120x+=中，一元一次方程共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（23-24七年级上·全国·单元测试）①12x x -=；②0.31x ≤；③243x x -=；④512x x =-；⑤6x =；⑥20x y +=．其中一元一次方程的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5题型二根据一元一次方程的定义求参数的值例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知1320m x --=是关于x 的一元一次方程，则m 的值是．巩固训练1．（23-24七年级上·全国·单元测试）若()1246a a x--+=-是关于x 的一元一次方程，则a =．2．（23-24七年级上·河南漯河·期中）已知关于x 的方程()||233m m x m --+=是一元一次方程，则m 的值为．3．（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于x 的方程()21120m mx m x -+--=是一元一次方程，则m 的值为．题型三已知一元一次方程的解求参数的值例题：（23-24七年级下·全国·期中）关于x 的一元一次方程213mx x -=-有解，则m 的值为．巩固训练1．（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知3x =是方程26ax a -=-+的解，则a =．2．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）整式ax b +的值随着x 的取值的变化而变化，下表是当x 取不同的值时对应的整式的值：x 1-0123ax b+8-4-048则关于x 的方程8ax b +=的解是．3．（23-24七年级上·浙江·期末）若关于x 的方程30ax +=的解为2x =，则方程()130a x -+=的解为．题型四列一元一次方程例题：（23-24六年级下·全国·单元测试）设某数为x ，如果某数的2倍比它的相反数大1，那么列方程是．巩固训练1．（23-24七年级上·福建福州·期末）“x 的5倍与2的和等于x 的13与4的差”，用等式表示为2．（2024·湖南益阳·模拟预测）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，刚好每车坐满后还剩余2辆车没人坐；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘只能步行，问共有多少人，多少辆车？设共有x 辆车，则可列方程．3．（2023·吉林长春·模拟预测）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住：若每间住9人，则余下一间无人住，设店中共有x 间房，可列方程为．题型五等式的基本性质例题：（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（）A ．若22x y -=-，则x y =B ．若25x x =，则5x =C ．若a b =，则66a b -=-D ．若2211a bc c =++，则a b =巩固训练1．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（）A ．若x y =，则33x y -=+B ．若a b =，则32a b =C ．若22x y=，则x y =D ．若ax ay =，则x y=2．（23-24七年级上·安徽·单元测试）下列运用等式的性质变形中正确的是（）A ．如果a b =，则a c b c +=-B ．如果23x x =，则3x =C ．如果a b =，则22a bc c =D ．如果22a b c c =，则a b =3．（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）下列变形正确的是（）A ．4532x x -=+变形得4325x x -=-+B ．211332x x -=+变形得4633x x -=+C ．3(1)2(3)x x -=+变形得3126x x -=+D ．32x =变形得23x =4．（2024·贵州贵阳·一模）用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a ，b ，c 均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（）A ．如果a c b c +=+，那么a b =B ．如果a b =，那么a c b c +=+C ．如果22a b =，那么a b=D ．如果a b =，那么22a b=题型六解一元一次方程巩固训练题型七解一元一次方程中的错解复原问题巩固训练(2)仿照上例解方程：0.2 0.3x+题型八用一元一次方程解决实际问题例题：（2024上·辽宁大连·七年级统考期末）某车间生产一批螺钉和螺母，由一个人操作机器做需要200h完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加5人与他们一起做6h，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同．(1)求具体应先安排多少人工作？(2)在增加5人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母成为一个完整的产品，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？(3)若该车间有10台A型和11台B型机器可以生产这种产品，每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品．已知5台A型机器一天的产品装满8箱后还剩4个，7台B型机器一天的产品装满11箱后还剩1个，且每箱装的产品数相同．某天有6台A型机器和m台B型机器同时开工，请问一天生产的产品能否恰好装满29箱．若能，请计算出m的值；若不能，请说明理由．巩固训练1．（2024上·甘肃酒泉·七年级统考期末）合肥庐阳区实验学校七（6）班为迎接学校秋季运动会计划购买30支签字笔，若干本笔记本（笔记本数量超过签字笔数量），用来奖励运动会中表现出色的运动员和志愿者，甲、乙两家文具店的标价都是签字笔8元/支、笔记本2元/本，甲店的优惠方式是签字笔打九折，笔记本打八折；乙店的优惠方式是每买5支签字笔送1本笔记本，签字笔不打折，购买的笔记本打七五折．(1)请用含x的代数式分别表示学校在甲、乙两家店购物所付的费用；(2)如果购买笔记本数量为60本，并且只在一家店购买的话，请通过计算说明，到哪家店购买更合算？(2)小亮家—年缴纳水费1180元，则小亮家这一年用水多少立方米？(3)小红家去年和今年共用水520立方米，共缴纳水费2950元，并且今年的用水量超过去年的用水量，则小红家今年和去年各用水多少立方米？第五章一元一次方程知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图02知识速记一、基本概念1、等式的概念：含有等号，表示相等关系的式子2、方程的概念：含有未知数的等式3、一元一次方程的概念：（1）只含有1个未知数；（2）未知数的最高次数为1次；（3）等式两边都是整式．二、等式的性质若b a =，则c b c a +=+、c b c a -=-、bc ac =、cbc a =．特别注意：等式两边须同时乘以或除以一个不为0的数．三、解一元一次方程1、去分母（不漏乘不含分母的项，去分母应加括号）2、去括号（带着符号计算，不要漏乘）3、移项（移项要变号；未知数移到左边，常数移到右边；先后顺序不重要）4、合并同类项5、系数化为1（系数不能为0，若未知数的系数含有字母则需要讨论）四、列方程解应用题的步骤①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x ）③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）五、一元一次方程的应用（4）工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量）；（5）行程问题（路程=速度×时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）．03题型归纳题型一判断是否是一元一次方程例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各式：①236x y -=；②2430x x --=；③()2353x x +=-；④310x+=；⑤()3425x x --．其中，一元一次方程有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【知识点】一元一次方程的定义【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义进行判定．【详解】解：①是二元一次方程，不符合题意；②是一元二次方程，不符合题意；③是一元一次方程，符合题意；④是分式方程，不符合题意；⑤是代数式，不是方程，不符合题意．故选：A ．巩固训练1．（23-24七年级下·全国·期中）下列各式中，属于一元一次方程的是（）A ．6518x y -=B ．242715x x =+-C ．438x x+=D ．94x x-=2．（23-24七年级上·全国·单元测试）在方程①231325x +=，②=0，③235x y +=，④120x+=中，一元一次方程共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【知识点】一元一次方程的定义3．（23-24七年级上·全国·单元测试）①2x x -=；②0.31x ≤；③243x x -=；④512x x =-；⑤6x =；⑥20x y +=．其中一元一次方程的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5题型二根据一元一次方程的定义求参数的值例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知1320m x --=是关于x 的一元一次方程，则m 的值是．【答案】2【知识点】一元一次方程的定义【分析】本题考查了一元一次方程的概念，根据一元一次方程的定义得到11m -=，求出m 即可．【详解】解：根据题意得：11m -=，解得：2m =，故答案为：2．巩固训练1．（23-24七年级上·全国·单元测试）若()1246a a x --+=-是关于x 的一元一次方程，则a =．2．（23-24七年级上·河南漯河·期中）已知关于x 的方程()||233m m x m --+=是一元一次方程，则m 的值为．故答案为：13．（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于x 的方程()21120m mx m x -+--=是一元一次方程，则m 的值为．【答案】1或0【知识点】一元一次方程的定义【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．根据一元一次方程的一般形式即可判定有3种情况，分别讨论①当0m ≠且10m -≠时，②当0m =且10m -≠时，③当10m -=时是否满足该方程为一元一次方程即可．【详解】解：关于x 的方程()21120m mxm x -+--=是一元一次方程，可考虑三种情况，①当0m ≠且10m -≠时，即0m ≠且1m ≠，则211m -=，解得：1m =，此时1m ≠，故排除；②当0m =且10m -≠时，即0m =且1m ≠，∴0m =，符合条件；③当10m -=即1m =时，211m -=，符合条件；综上：m 的值为1或0，故答案为：1或0．题型三已知一元一次方程的解求参数的值例题：（23-24七年级下·全国·期中）关于x 的一元一次方程213mx x -=-有解，则m 的值为．1．（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知3x =是方程26ax a -=-+的解，则a =．【答案】2【知识点】方程的解【分析】本题考查了方程解的定义，使方程的左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．将3x =代入原方程，可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出a 的值．【详解】解：将3x =代入原方程得326a a -=-+，解得：2a =，∴a 的值为2．故答案为：2．2．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）整式ax b +的值随着x 的取值的变化而变化，下表是当x 取不同的值时对应的整式的值：x 1-0123ax b+8-4-048则关于x 的方程8ax b +=的解是．【答案】3x =【知识点】方程的解【分析】此题考查了方程的解，根据表格中的数据求解即可．【详解】根据题意可得，当3x =时，8ax b +=∴关于x 的方程8ax b +=的解是3x =．故答案为：3x =．3．（23-24七年级上·浙江·期末）若关于x 的方程30ax +=的解为2x =，则方程()130a x -+=的解为．题型四列一元一次方程例题：（23-24六年级下·全国·单元测试）设某数为x ，如果某数的2倍比它的相反数大1，那么列方程是．【答案】21x x =-+【知识点】列方程【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数x 的2倍为2x ，相反数为x -，据此根据题意列出方程即可．【详解】解：由题意得，21x x =-+，故答案为：21x x =-+．巩固训练1．（23-24七年级上·福建福州·期末）“x 的5倍与2的和等于x 的13与4的差”，用等式表示为2．（2024·湖南益阳·模拟预测）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，刚好每车坐满后还剩余2辆车没人坐；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘只能步行，问共有多少人，多少辆车？设共有x 辆车，则可列方程．【答案】()3229x x -=+【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．根据人数不变，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解．【详解】解：依题意，得：()3229x x -=+．故答案为：()3229x x -=+．3．（2023·吉林长春·模拟预测）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住：若每间住9人，则余下一间无人住，设店中共有x 间房，可列方程为．【答案】()7791x x +=-【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查一元一次方程的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程即可．【详解】解：每间住7人，则余下7人无房可住：若每间住9人，则余下一间无人住，∴客人可表示为()77x +个，也可表示为()91x -个，()7791x x ∴+=-，故答案为：()7791x x +=-．题型五等式的基本性质例题：（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（）A ．若22x y -=-，则x y =B ．若25x x =，则5x =C ．若a b =，则66a b -=-D ．若2211a bc c =++，则a b =【答案】B1．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（）A ．若x y =，则33x y -=+B ．若a b =，则32a b =C ．若22x y=，则x y =D ．若ax ay =，则x y=2．（23-24七年级上·安徽·单元测试）下列运用等式的性质变形中正确的是（）A ．如果a b =，则a c b c+=-B ．如果23x x =，则3x =C ．如果a b =，则22a b c c =D ．如果22a b c c =，则a b =3．（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）下列变形正确的是（）A ．4532x x -=+变形得4325x x -=-+B ．211332x x -=+变形得4633x x -=+C ．3(1)2(3)x x -=+变形得3126x x -=+D ．32x =变形得23x =4．（2024·贵州贵阳·一模）用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a ，b ，c 均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（）A ．如果a c b c +=+，那么a b=B ．如果a b =，那么a c b c +=+C ．如果22a b =，那么a b=D ．如果a b =，那么22a b=【答案】A【知识点】等式的性质【分析】本题考查等式的性质，根据天平两端相等即可求得答案．【详解】解：由图形可得如果a c b c +=+，那么a b =，故选：A ．题型六解一元一次方程例题1：解方程：(1)25433x x -=-；(2)576132x x -=-+.【答案】(1)35x =(2)415x =【分析】()1方程移项合并，把x 系数化为1，即可求解；()2方程移项合并，把x 系数化为1，即可求解．【详解】（1）移项，得24353x x -+=-，合并同类项，得1023x -=-，系数化为1，得35x =．（2）移项，得756123x x -+=-，合并同类项，得5223x -=-，系数化为1，得415x =．【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．例题2：解方程：(1)5(1)2(31)41---=-x x x ；(2)23(1)12(10.5)-+=-+x x ．题型七解一元一次方程中的错解复原问题巩固训练(2)仿照上例解方程：0.2 0.3x+【答案】(1)③④①②(2)3x=-题型八用一元一次方程解决实际问题1．（2024上·甘肃酒泉·七年级统考期末）合肥庐阳区实验学校七（6）班为迎接学校秋季运动会计划购买30支签字笔，若干本笔记本（笔记本数量超过签字笔数量），用来奖励运动会中表现出色的运动员和志愿者，甲、乙两家文具店的标价都是签字笔8元/支、笔记本2元/本，甲店的优惠方式是签字笔打九折，笔记本打八折；乙店的优惠方式是每买5支签字笔送1本笔记本，签字笔不打折，购买的笔记本打七五折．答：小红家去年和今年用水分别为245立方米、275立方米．。

数轴中的九类动态模型(学生版)--2023-2024学年七年级数学上册常见几何模型全归纳

数轴中的九类动态模型数轴中的动态问题属于七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。

解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。

即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t 的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t 表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解(注意：要检验解是否符合动点的运动时间范围)。

【知识储备】①求A 、B 两点间的距离：若能确定左右位置：AB =右-左；若无法确定左右位置：AB =A −B ；②求A 、B 的中点：A +B 2；③数轴动点问题主要步骤：1)画图--在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；2)写点--写出所有点表示的数：一般用含有t 的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示；3)表示距离--右-左，若无法判定两点的左右需加绝对值；4)列式求解--根据条件列方程或代数式，求值。

注意：要注意动点是否会来回往返运动。

模型1.左右跳跃模型(动态规律模型)【模型解读】1(2023·浙江七年级阶段练习)一个动点P 从数轴上的原点O 出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点P 1，第2次向右移动2个单位长度到达点P 2，第3次向左移动3个单位长度到达点P 3，第4次向左移动4个单位长度到达点P 4，第5次向右移动5个单位长度到达点P 5⋯，点P 按此规律移动，则移动第158次后到达的点在数轴上表示的数为()A.159 B.-156 C.158 D.12(2022·浙江嘉兴·七年级期末)一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，x n 表示第n 秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①x 3=3；②x 5=1；③x 108<x 104；④x 2019>x 2020．其中，正确结论的序号是．1.(2023·广西·七年级期中)如图，在数轴上，点A 表示-4，点B 表示-1，点C 表示8，P 是数轴上的一个点．(1)求点A 与点C 的距离．(2)若PB 表示点P 与点B 之间的距离，PC 表示点P 与点C之间的距离，当点P满足PB=2PC时，请求出在数轴上点P表示的数．(3)动点P从点B开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动2个单位长度，第三次向左移动3个单位长度，第四次向右移动4个单位长度，依此类推⋯在这个移动过程中，当点P满足PC=2PA时，则点P移动次．2.(2022·湖北孝感·七年级期末)点P从数轴上表示-3的点开始连续移动：第一次先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度；第二次先向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度；第三次先向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度；⋯⋯按此规律继续移动，则第n次移动后点P在数轴上表示的数为．模型2.点的常规运动模型【模型解读】3(2023·江苏、·七年级期中)已知数轴上有A、B、C三点，分别对应有理数-26、-10、10，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，同时，动点Q从A出发，以每秒3个单位的速度向终点C移动，设点P的移动时间为t秒．(1)当t=5秒时，数轴上点P对应的数为，点Q对应的数为；P、Q两点间的距离为．(2)用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为．(3)在点P运动到C点的过程中(点Q运动到C点后停止运动)，请用含t的代数式表示P、Q两点间的距离．1.(2022·河北石家庄·七年级期末)如图，已知A，B(B在A的左侧)是数轴上的两点，点A对应的数为8，且AB=12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t(t>0)秒，则下列结论中正确的有()①B对应的数是-4；②点P到达点B时，t=6；③BP=2时，t=5；④在点P的运动过程中，线段MN 的长度不变A.1个B.2个C.3个D.4个2.(2022·江西赣州·七年级期中)定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是A,B的美好点．例如；如图1，点A表示的数为-1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是[A,B]的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距高是2，那么点D就不是[A,B]的美好点，但点D是[B,A]的美好点．如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为-7，点N所表示的数为2．(1)点E，F，G表示的数分别是-3，6.5，11，其中是[M,N]美好点的是；写出[N,M]美好点H 所表示的数是．(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？模型3.中点与n等分点模型【模型解读】4(2022·河北唐山·七年级期末)如图1，已知在数轴上有A、B两点，点A表示的数是-6，点B表示的数是9．点P在数轴上从点A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，同时，点Q在数轴上从点B 出发，以每秒3个单位的速度在沿数轴负方向运动，当点Q到达点A时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．(1)AB=；t=1时，点Q表示的数是；当t=时，P、Q两点相遇；(2)如图2，若点M为线段AP的中点，点N为线段BP中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长；(3)如图3，若点M为线段AP的中点．点T为线段BQ中点，则直接写出用含t的代数式表示的线段MT的长．5(2022·江苏扬州·七年级期末)已知在数轴上A，B两点对应数分别为-2，6．(1)请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B；(2)若同一时间点M从点A出发以1个单位长度/秒的速度在数轴上向右运动，点N从点B出发以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左运动，点P从原点出发以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动．①若点P向右运动，几秒后点P到点M、点N的距离相等？②若点P到A的距离是点P到B的距离的三倍，我们就称点P是【A，B】的三倍点．当点P是【B，A】的三倍点时，求此时P对应的数．1.(2022·福建南平·七年级期末)【阅读】在数轴上，若点A表示数a，点B表示数b，则点A与点B之间的距离为AB=a-b=4．．例如：两点A，B表示的数分别为3，-1，那么AB=3--1(1)若x-3=2，则x的值为．(2)当x=(x是整数)时，式子x-1+ x+2=3成立．(3)在数轴上，点A表示数a，点P表示数p．我们定义：当p-a=1时，点P叫点A的1倍伴随点，当p-a=2时，点P叫点A的2倍伴随点，⋯⋯当p-a=n时，点P叫点A的n倍伴随点．试探究以下问题：若点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，是否存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，若存在，求出线段AB的长；若不存在，请说明理由．2.(2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习)在数轴上，若点M、点N表示的数分别是m、n，则M、N两点间的距离可以表示为MN=m-n，例如，在数轴上，表示数-7和数1的两点间的距离是-7-1=5，利用上述结论，解决问题： =8，表示数3和数8的两点间的距离是8-3(1)若x-3=7，则x=；(2)若有一个半径为r的圆上有一点P，与数轴上表示-1的点重合，将圆沿数轴无滑动的滚动1周，点P到达点Q的位置，则点Q表示的数为(用含有r的代数式表示)；(3)A，B为数轴上的两个动点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a-b=6(b>a)，点C表示的数为-2，若点A、B、C、三点中的某一点到另外两点的距离相等，求a、b的值．模型4.动态定值(无参型)模型【模型解读】设未知数并表示各动点对应的数，若是行程问题一般设运动时间为t，从而表示出两点之间的距离。

立方根浙教版2019-2020学年度七年级数学上册讲义+分层训练(含答案)

中a是被开方数，3是根指数，符号读做“三次根号”，注意：3是根指数不能省略.二、性质:1.一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0.2. a=3. 熟记：立方根等于它本身的数是0，1和-1.三、符号表示: 一个数a a叫做被开方数.如3，那么-8的立方根是：.四、开立方:求一个数的平方根的运算叫做开平方，可用平方运算求一个数的平方根【经典例题】例题1、如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是______．【考点】立方根．A. x≤5B. x≥5C. 0≤x≤5D. 任意数【考点】立方根．【分析【解答】x取任意数时，都能使-55(33．)xx-=故选D．【点评】此题主要考查立方根的性质：①正数的立方根是正数；②负数的立方根是负数；③0的立方根是0．【夯实基础】1、下列式子成立的是( )2C. 393-=-D. 33125125-≠-2、下列说法中，正确的是( )A ．一个数的立方根有两个，它们是互为相反数B ．负数没有平方根，也没有立方根C ．0的平方根是0，0的立方根也是0D ．a 3的立方根可能是a ，也可能是-a3、估计377大小在( )A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间 4、下列各式中，计算正确的是( )A ． 2)2(-=2B ．636±=C ．33)1(- =1D ．364=±45、若实数x ，y 满足(2x -3)2+y 49+=0，则xy 的立方根为．6、若a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则333cd b a +--＝____________.7、(1)当a ＜0时，aa 33-＝____；(2)若a 为任意实数，则33a ＝_ __． 8、求下列各式的值：(1)3833； (2) 352710-； (3) 3412315÷-； (4) 3216--－2)7(-.9、求下列各式中x 的值：(1)27x 3=-125；(2)(x -1)3-216=0．【提优特训】10、若3211a -的值为最大的负整数，则a 的值为( )A. 6B. ±6C. 5D. ±511、实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则3a 和3b 的大小关系为( ) A ．3a >3b B ．3a ＜3bC ．3a ≥3bD ．3a ≤3b12、若a 2=25，b 3=27，则a b 的值为( )A ．-125B ．±5C ．±125D ．±1513、若a 是(-3)2的平方根，则3a 等于 ( )A ．-3B ．33C ．33或33-D ．3或-314、已知738.125.53≈，3525≈8.067，则3000525.0- ( )A ．-17.38B ．-0.01738C ．-806.7D ．-0.0806715、若372n 是一个正整数，则n 的最小值为______ ．16、(1)364的平方根是 ______ ．(2)若3a 的平方根是±3，则a =______ ．(3)a 的立方根是2，则a =______ ．17、一个正方体A 的体积是棱长为8cm 的正方体B 的体积的1251，则正方体A 的棱长是多少cm ？18、先阅读理解，再解决问题：…解答下列各题：(2) =2019).方根．20、我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39.众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道怎样迅速准确地计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：(1)103＝1000，1003＝1000000，你能确定59319的立方根是几位数吗？答：________位数．(2)由59319的个位数字是9，你能确定59319的立方根的个位数字是几吗？答：________．(3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而33＝27，43＝64，由此你能确定59319的立方根的十位数字是几吗？答：________．因此59319的立方根是________．(4)现在换一个数185193，你能按这种方法说出它的立方根吗？①它的立方根是________位数；②它的立方根的个位数字是________；③它的立方根的十位数字是________；④185193的立方根是________．【中考链接】21、(2018•聊城)下列实数中的无理数是( )A ．21.1BC ．2D ．22722、(2018•济宁( )A ．1B ．-1C ．3D ．-323、(2018•菏泽)下列各数：-2，0，31，0.020020002…，π，9，其中无理数的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．124、(2018•恩施)64的立方根为( )A ．8B ．-8C ．4D ．-425、(2018•泰州•常德)8的立方根等于．参考答案1、B2、C3、C4、A 5 6、1 7、-1，a 10、B 11、B 12、C 13、C 14、D 15、3 16、(1) ±2 ， (2)729 (3)64 21、C 22、B 23、B 24、C 25、28、求下列各式的值：(1) 3833； (2) 352710-； (3) 3412315÷-； (4) 3216--－2)7(-. 解(1) 原式=323827=； (2) 原式=3271352710-=327125-=35-； (3) 原式=349316÷-=394316⨯-=32764-=34-； (4) 原式=6-7=-1.9、求下列各式中x 的值：(1)27x 3=-125；(2)(x -1)3-216=0．∴x 25-=； ∵(x -1)3-216=0，∴(x -1)3=216，∴x -1=62163=，∴x =7.17、一个正方体A 的体积是棱长为8cm 的正方体B 的体积的1251，则正方体A 的棱长是多少cm ？解：∵V B =83=512cm 3，V A =125512cm 3， ∴a 3=125512， ∴a =58cm ， ∴正方体A 的棱长是58cm. 18、先阅读理解，再解决问题：…解答下列各题：(2) =2019).解：原式=-1+(-2)+(-3)+…+(-n)当n =20192039190.方根．解：根据题意，可得4a +1=25，3a +b -9=8；可得c=7；则2a+6b+3c =2×6+6×( 1)+3×7=27；则27的立方根为3．20、我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39.众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道怎样迅速准确地计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：(1)103＝1000，1003＝1000000，你能确定59319的立方根是几位数吗？答：________位数．(2)由59319的个位数字是9，你能确定59319的立方根的个位数字是几吗？答：________．(3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而33＝27，43＝64，由此你能确定59319的立方根的十位数字是几吗？答：________．因此59319的立方根是________．(4)现在换一个数185193，你能按这种方法说出它的立方根吗？①它的立方根是________位数；②它的立方根的个位数字是________；③它的立方根的十位数字是________；④185193的立方根是________．解：(1)∵1000<59319<1000000，∴59319的立方根是两位数．(2)∵9×9×9＝729，∴59319的立方根的个位数字是9.(3)∵27<59<64，∴59319的立方根的十位数字是3，∴59319的立方根是39.(4)①∵1000<185193<1000000，∴185193的立方根是两位数．②∵7×7×7＝343，∴185193的立方根的个位数字是7.③∵125<185<216，∴185193的立方根的十位数字是5.④185193的立方根是57.。

浙教版2019-2020学年七年级数学上册第2章有理数的运算2.4有理数的除法(知识清单+经典例题+

浙江版2019-2020学年度七年级数学上册第2章有理数的运算2.4有理数的除法【知识清单】1、有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不为0的数都得0. 2、有理数的除法与乘法的转换：除以一个数(不等于0)，等于乘以这个数的倒数.且0不能作除数，否则无意义. 3、解决含有除法的题目一般步骤：(1)先将除法转化乘法；(2)再根据乘法法则和运算律进行计算. 【经典例题】例题1、等式[(-7.5) -□]÷(-221)=0中，□表示的数是．【考点】有理数的除法，简单方程.【分析】根据有理数的除法，可得答案．【解答】 [(-7.5)-□]÷(-221)=0，得 (-7.5) -□=0，解得□=-7.5，故答案为：-7.5．【点评】本题考查了有理数的除法，零除以任何非零的数都得零．例题2、计算：(-15)÷(-5)×51= ． A ．4 B ．10 C ．12 D ．20 【考点】有理数的除法.【分析】先把除法转化为乘法，再根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．【解答】(-15)÷(-5)×51 =(﹣15)×(﹣51)×51 =15×51×51 =53．故答案为：53．【点评】本题考查了有理数的除法，有理数的乘法，是基础题，要注意按照从左到右的顺序依次进行计算，不能随意简化．【夯实基础】1、711-的倒数与7的相反数的商为( )A ．-8个B ．8C ．81-2、下列运算中，正确的是( )A ．-21÷(-3) =-7B ．-6 C ．(-0.375)÷(-53、若两个有理数的和除以这两个有理数的积，其商为0，则这两个数为( )A ．互为倒数B ．互为相反数C ．都为0D ．互为相反数且都不为中“□”的所在的位置，填入下列运算符号，计算出来的值最小的是( )A. ＋B. －C. ×D. ÷5、若a ，b ，c 为非零有理数，则acacb b aa ++可能为 . 6、有理数a 、b 在数轴上是位置如图所示，则ba ab- 0. 7、若a +5没有倒数，则a = ；在计算24÷a 时，误将“÷”看成“＋”，结果得16，而24÷a 的正确结果是________ 8、计算：(1)-7÷(-1121)×76×(-612)÷11；(2)-15÷)517()65()65(-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯-)；(3)1251-÷)216132(-+ ； (4)-3÷(83-)+15÷(65-).9、有若干数，第一个数记作a 1，第二个数记作a 2, 第三个数记作a 3，…，第n 个数记作a n ，若a 1=-32，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”. 第6题图(1)试计算a 2= , a 3= ； (2)求a 2019的值.【提优特训】10、下列四个算式中，误用分配律的是( ) A ．-24×(-81+61-41)=24×81-24×61+24×41B ．(-81+61-41)×(-48)=81×48-61×48+41×48 C ．-24÷(-81+61-41)=24÷81-24÷61+24÷41D ．(-81+61-41)÷(-24)=81÷24-61÷24+41÷24 11、若a +b <0，ba<0，则a ，b 为 ( ) A ．异号0 B ．都小于0 C ．异号，且正的绝对值大 D ．异号，且负的绝对值大 12、已知a 是负整数，则a ，-a ，a1的大小关系为( ) A ．-a >a 1>a B ．-a >a 1≥a C ．a >a 1>-a D ． a1>a >-a 13、若a ，b 是互为相反数且都不等于零，则(a -3+b )×(ba+3) A ．6 B ．3 C ．0 D ．-614、已知两个数的积为-31，若其中一个因数为615-，则另一个数为． 15、若b a 36122-++=0，则ba ab+的值为． 16、在11.2与它的倒数之间有a 个整数，在11.2与它的相反数之间有b 个整数．求(a -b )÷(a +b )+17、若a 、b 互为相反数(a 、b 均不为0)，c 、d 互为倒数，且032=+m ，求m c d bam b a 63299-++ 的值.18、计算：(1))202011()411()311()211(1-÷⋅⋅⋅÷-÷-÷-÷；(2) (-2161+-43125+)÷(121-)19、阅读下列材料，然后解决问题：计算：(481-)÷(3281-61+43-)．解法一：原式=(481-)÷32-(481-)÷81＋(481-)÷61-(481-)÷43 =-321＋6181-＋361=28811；解法二：原式=(481-)÷[(3261+)+(81-43-)]=(481-)÷(6587-)=481-×(-24)=21；解法三：原式的倒数为(3281-61+43-)÷(481-)=(3281-61+43-)×(－48)=-32＋6-8＋36 ＝2，故原式＝21. 解决问题：上述三种解法得出的结果不同，肯定有错误的，你认为哪种解法是错误的，在正确的解法中，你认为哪种解法比较简捷？然后请你解答下列问题：计算：(361-)÷(61-125+94-41+)．20、(1)判断[])9()27(36-÷-+-与)9()27()9()36(-÷-+-÷-的结果是否相等？ (2)计算(-72)÷(-24-8)与(-72)÷(-24)＋(-72)÷(-8)，观察其结果是否相等？ (3)总结(1)、(2)的规律，我们得到(a +b )÷c _____，a ÷c + b ÷c ；c ÷(a +b ) _______ c ÷a + c ÷b (填入“=”或“≠”)，其中(2)的计算结果说明：除法的分配律_____(填入“成立”或“不成立”).21、已知a =201820182018201920192019+⨯⨯-, b =201920192019202020202020+⨯⨯-, c =202020202020202120212021+⨯⨯-,求(a +b +c )÷abc 的值.【中考链接】22．(2018•株洲)如图，52的倒数在数轴上表示的点位于下列两个点之间( ) A. 点E 和点FB. 点F 和点GC. 点F 和点GD. 点G 和点H 23、(2019•山东省聊城市•3分)计算：(2131--)÷54＝． 24、(2019•浙江嘉兴•4分)数轴上有两个实数a ，b ，且a ＞0，b ＜0，a +b ＜0，则四个数a ，b ，-a ，-b 的大小关系为 (用“＜”号连接)．第22题图参考答案1、D2、C3、D4、C5、3或1或-16、<7、-5，-3 10、C 11、D 12、B 13、D 14、6 15、-3 22、D 23、32- 24、b <-a <a <-b 8、计算：(1)-7÷(-1121)×76×(-612)÷11；(2)-15÷)517()65()65(-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯-)；(3)1251-÷)216132(-+ ； (4)-3÷(83-)+15÷(65-).解：(1)原式=-7×1311×76×613×111=-1； (2)原式=15×3652536⨯=3； (3)原式=1217-÷)636164(-+ =1217-÷31=-441； (4)原式=3×38+15×(56-) =8-18=-10.9、有若干数，第一个数记作a 1，第二个数记作a 2, 第三个数记作a 3，…，第n 个数记作a n ，若a 1=-32，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”.(1)试计算a 2= 53 , a 3= 25; (2)求a 2019的值.解：由题意得：a 1=-32，a 2不难发现-32，53，25，这三个数反复出现． ∵2019÷3=673，其余数为0， 16、在11.2与它的倒数之间有a 个整数，在11.2与它的相反数之间有b 个整数．求(a -b )÷(a+b )+∴a =11，∵11.2的相反数为-11.2，之间的整数有-11～11共23个， ∴b =23， ∴(a -b )÷(a +b=(1117、若a 、b 互为相反数(a 、b 均不为0)，c 、d 互为倒数，且032=+m ，求m c d bam b a 63299-++ 的值.解：∵a 、b 互为相反数，且a 、b 均不为0，∴a +b =0，∵c 、d 互为倒数， ∴cd =1，03=+m ， ∴2m+3=0，即2m=-3. mcd ba63-+=cd m bam b a )2(332)(9⨯-++ =0-3-3×(-3)×1 =-3+9=6. 18、计算：(1))202011()411()311()211(1-÷⋅⋅⋅÷-÷-÷-÷；(2) (-2161+-43125+)÷(121-) 解：(1)原式=202020194332211÷⋅⋅⋅÷÷÷÷=202020192020342321=⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯. (2)原式=(-2161+-43125+)⨯(-12) =(-21)⨯(-12)61+⨯(-12)-43⨯(-12)125+⨯(-12) =6-2+9-5=8.19、阅读下列材料，然后解决问题：计算：(481-)÷(3281-61+43-)．解法一：原式=(481-)÷32-(481-)÷81＋(481-)÷61-(481-)÷43 =-321＋6181-＋361=28811；解法二：原式=(481-)÷[(3261+)+(81-43-)]=(481-)÷(6587-)=481-×(-24)=21；解法三：原式的倒数为(3281-61+43-)÷(481-)=(3281-61+43-)×(－48)=-32＋6-8＋36 ＝2，故原式＝21. 解决问题：上述三种解法得出的结果不同，肯定有错误的，你认为哪种解法是错误的，在正确的解法中，你认为哪种解法比较简捷？然后请你解答下列问题：计算：(361-)÷(61-125+94-41+)．解：解法一是错误的．在正确的解法中，解法三比较简捷．原式的倒数为(61-125+94-41+)÷(361-) =(61-125+94-41+)×(－36) =6-15+16-9=-2. 故原式＝21-. 20、(1)判断[])9()27(36-÷-+-与)9()27()9()36(-÷-+-÷-的结果是否相等？ (2)计算(-72)÷(-24-8)与(-72)÷(-24)＋(-72)÷(-8)，观察其结果是否相等？ (3)总结(1)、(2)的规律，我们得到(a +b )÷c _____，a ÷c + b ÷c ；c ÷(a +b ) _______ c ÷a + c ÷b (填入“=”或“≠”)，其中(2)的计算结果说明：除法的分配律_____(填入“成立”或“不成立”). (1)相等，其结果均为7. (2)不相等. (－72)÷(－24－8)=49；(－72)÷(－24)＋(－72)÷(－8)=12. 49≠12. (3)=；≠；不成立. 21、已知a =201820182018201920192019+⨯⨯-, b =201920192019202020202020+⨯⨯-, c =202020202020202120212021+⨯⨯-,求(a +b +c )÷abc 的值. 解：a =201820182018201920192019+⨯⨯-=12019201820182019-=⨯⨯-，b =201920192019202020202020+⨯⨯-=12020201920192020-=⨯⨯-，c =202020202020202120212021+⨯⨯-=12021202020202021-=⨯⨯-.∴ (a +b +c )÷abc =(-1-1-1)÷(-1)⨯(-1)⨯(-1) =-3÷(-1)=3.。

2022-2023学年浙江七年级上学期数学重难题型精炼专题03 有理数的运算重难点题型(含详解)

专题03 有理数的运算重难点题型题型1 有理数加减法乘除再认识解题技巧：该类题型的实质是有理数加减乘除法的计算，通过理解题干条件，利用有理数加减乘除法运算规律逐一判别即可。

1．（2022·浙江杭州市·七年级期末）在数轴上，四个不同的点A ，B ，C ，D 分别表示有理数a ，b ，c ，d ，且，则这四个点在数轴上的大致位置表示不正确的是（）A ．B ．C ．D ．2．（2022·长沙市开福区七年级月考）在数轴上有a 、b 两个有理数的对应点，则下列结论中，正确的是（） A ．0a b +> B ．0ab > C ．0a b -< D ．0a b > 3．（2021·北京二中七年级期末）有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是（）A ．0a b +>B ．0ab >C ．0b a -> D ．0b a -> 4．（2022·吉林白城市·七年级期末）已知数,a b 在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A ．0a b +>B ．0a b ->C ．10b +<D ．0⋅<a b5．（2022·广东省初一期中）已知 , ,且 ,则的值是（） A ．7 B ．3 C ．―3或－7 D ．3或76．（2022·广东省初一月考）如果是有理数，则下列各式子成立的是（）A ．如果，那么B ．如果，那么C ．若，则D ．若，且，则题型2 有理数加、减法运算的实际应用解题技巧：与利用正负数求平均数方法类似。

（1）选择合适的标准数，超过标准数的记为正数，不足的记为负数；（2）对处理后的正负数进行加法运算；（3）最后还需要将处理后的正负数还原为实际数。

（4）根据题意列出算式；（5）进行有理数加减法运算，可利用运算律进行简算；（6）比较结果，得出结论。

七年级上册数学重点知识归纳

七年级上册数学重点知识归纳
七年级上册数学重点知识归纳包括以下内容：
1. 相反数：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0
的相反数还是0。

相反数的和为0，即a+b=0，a、b互为相反数。

相反数
的商为-1。

相反数的绝对值相等。

2. 绝对值：正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数。

绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离。

绝对值可表示为 a，a 是重要的非负数，即a ≥ 0。

3. 有理数比大小：正数永远比0大，负数永远比0小；正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小；数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大。

以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅七年级上册数学教辅或咨询数学老师。

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第一章有理数及其运算
◆整数：包含正整数和负整数，分数包含正分数和负分数。

正整数和正分数通称为正数，负整数和负分数通称为负数。

◆0既不是正数也不是负数。

◆数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。

◆任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。

（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数，因为还有无理数）
◆相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，a和-a互为相反数，0的相反数是0。

◆在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。

数轴上，右边的数总比左边的数大。

◆绝对值：数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，用“| |”表
示。

正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

◆互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等，即|±b|=b
任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0
比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。

第二章有理数的运算
◆加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
◆乘法交换律：axb=bxa乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：(a+b)c=a ◆有理数的乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

◆乘方的运算性质：
①正数的任何次幂都是正数；②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
③任何数的偶数次幂都是非负数；④1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0；
⑤-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1；
⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。

◆混合运算顺序：
·先算乘方，再乘除，后加减；
·如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

◆与实际相符的数，叫做准确数，与实际接近的数，叫近似数
◆有效数字：一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，
保留几位有效数字
第三章实数
◆一般地如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫a的二次方根. 一个正数有正负两个平方根,它们互为相反数; 0的平方根是0; 负数没有平方根. 正数的平方根称为算数平方根.
◆实数定义：有理数与无理数统称为实数，有理数能写成有限小数和无限循环小数。

◆无理数定义：无限不循环的小数就是无理数。

性质1 无理数加（减）无理数既可以是无理数又可以是有理数
性质2 无理数乘（除）无理数既可以是无理数又可以是有理数
性质3 无理数加（减）有理数一定是无理数
性质4 无理数乘（除）一个非0有理数一定是无理数
◆一般地如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根,也叫a的三次方根
求一个数的立方根的运算,叫做开立方.
一个正数有一个立方根, 一个负数有一个立方根，0的立方根是0.
在实数运算时，先算乘方和开平，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算。

规律：正数的平方根中被开方数大的较大。

正数的立方根中被开方数大的较大。

被开方数相同时，开方的次数越大结果越小。

第四章代数式
◆ 代数式的概念：用运算符号（加、减、乘除、乘方、开方等）把数与表示数的字母
连接而成的式子叫做代数式。

①单独的一个数或一个字母也是代数式。

②代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号，但不含有“=、>、<、≠”等符号。

◆ 代数式的书写格式：
①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt ；
②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a ； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后与字母相乘，如a a 37312=； ④数字与数字相乘，“×”号不省略；
⑤在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，如4÷（a-4）应写作44−a ⑥在表示和（或）差的代差的代数式后有单位时，必须把代数式用括号括起来，再将单位名称写在式子的后面，如(a 2-b 2）平方米
◆ 代数式的系数：代数式中的数字因数叫做代数式的系数，如3x,4y 系数分别为3、4。

注意：只含字母的代数式的系数是1或-1，如-ab 的系数是-1、a 3b 的系数是1。

◆ 单项式：由数与字母的乘积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是
单向式。

多项式：几个单项式的和叫做多项式。

其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

多项式6X 2-2X-7中包含6X 2、-2X 、-7这三个项，注意：某一项前面的符号也属于该项。

◆ 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

◆同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

①判断几个代数式是否是同类项有两个条件：a.所含字母相同；b.相同字母的指数也相同,这两个条件缺一不可.
②同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；
③几个常数项也是同类项。

◆合并同类项：把多项式中的同类项合成一项，叫做合并同类项。

合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变。

注意：①如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后结果为0；
②不是同类项的不能合并，不能合并的项，在每步运算中都要写上；
③只要不再有同类项，就是最后结果，结果还是代数式。

◆去括号时符号变化规律：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号
与原来的符号不变；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。

第五章一元一次方程
◆含有未知数的等式叫做方程，使方程左右两边的值都相等的未知数的值叫做方程的
解。

◆只含有一个未知数，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。

等式的性质：1、等式两边同时加上或减去同一个数，结果仍相等。

等式两边乘同一个数，或同除以一个不为0的数，结果仍相等。

◆移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项
◆解方程步骤：解一元一次方程一般要去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数
的系数化为1等，最后得出x=a的形式。

第六章图形的初步认识
◆正确理解直线、射线、线段的概念以及它们的区别：
◆经过两点有且只有一条直线。

（两点确定一条直线）
◆两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。

两点间线段最短。

◆角:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两
条射线叫做角的边，角的表示法：角的符号为“∠”，
◆角的度数转换：1°=60分，1′=60秒
①用三个字母表示，如图1所示∠AOB
②用一个字母表示，如图2所示∠b
③用一个数字表示，如图3所示∠1
④用希腊字母表示，如图4所示∠β
◆角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的，当终边和始边成一条直线
时，所成的角叫做平角，平角为180°，当终边继续旋转和始边重合时，所成的角叫做周角，周角为360°
◆如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角。

如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角。

◆经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

如果两条直线都与第三条直
线平行，那么这两条直线互相平行。

◆互相垂直的两条直线的交点叫做垂足，
◆平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。