复变函数与积分变换精品PPT课件
合集下载
复变函数与积分变换PPT_图文_图文
x y=-3
§1.4 复数域的几何模型---复球面
N
0
对复平面内任一 点z, 用直线将z 与N相连, 与球面 相交于P点, 则球 面上除N点外的 所有点和复平面 上的所有点有一 一对应的关系, 而N点本身可代 表无穷远点, 记 作.
这样的球面称作 x1
复球面.
x
x1
x3
除了复数的平
面表示方法外,
加减法与平行四边形 法则的几何意义:
乘、除法的几何意义
:
,
,
,
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复 数乘积的幅角等于它们幅角的和.
几何上 z1z2 相 当于将 z2 的 模扩大 |z1| 倍 并旋转一个角
度Arg z1 .
0
1
等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, 的意思是等式的两 边都是无限集合, 两边的集合相等, 即每给定等式左边 的一个数, 就有等式右边的一个数与之对应, 反之亦然 .
复变函数与积分变换PPT_图文_图文.ppt
引言
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次
方程
时引进了复数。他发现这个方程没有根，并
把这个方程的两个根形式地表为
。在当时，
包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，
复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，
解：
设 z = x + i y , 方程变为
y
O
x
-i
几何上, 该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨 迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直
复变函数与积分变换课件fb1-2最终版.ppt
由 f (z) 在 z0 连续, 知 u( x, y) 和 v( x, y) 在 ( x0 , y0 )处都连续, 于是 u( x, y) 和 v( x, y) 也在 ( x0 , y0 )处连续, 故 f (z) 在 z0 连续.
优选文档
28
x x0 y y0
根据定理可知, lim f (z) 不存在. z0
作业: P55：12：1），13：2），15
优选文档
24
优选文档
25
优选文档
26
优选文档
27
例4 证明: 如果 f (z) 在 z0 连续, 那末 f (z) 在 z0 也连续.
证 设 f (z) u( x, y) iv( x, y), 则 f (z) u( x, y) iv( x, y),
的点 w a ib.
y
A
B z1 2 3i
C
o
x
z2 1 2i
C A
v
w2 1 2i
o
u
B w1 2 3i
z1 w1, z2 w2 , ABC ABC.
优选文档
5
如果把 z 平面和 w 平面 重叠在一起, 不难看出w z 是关于实轴的一个对称映射.
w z21
o
不存在.
证:
令 z x iy, 则 f (z) x ,
x2 y2
u( x, y) x , v( x, y) 0, x2 y2
当z 沿直线 y kx 趋于零时,
lim u( x, y) lim
x0
x0
ykx
ykx
x
x2
y2
lim
x0
x x2 (kx)2
优选文档
21
lim
优选文档
28
x x0 y y0
根据定理可知, lim f (z) 不存在. z0
作业: P55：12：1），13：2），15
优选文档
24
优选文档
25
优选文档
26
优选文档
27
例4 证明: 如果 f (z) 在 z0 连续, 那末 f (z) 在 z0 也连续.
证 设 f (z) u( x, y) iv( x, y), 则 f (z) u( x, y) iv( x, y),
的点 w a ib.
y
A
B z1 2 3i
C
o
x
z2 1 2i
C A
v
w2 1 2i
o
u
B w1 2 3i
z1 w1, z2 w2 , ABC ABC.
优选文档
5
如果把 z 平面和 w 平面 重叠在一起, 不难看出w z 是关于实轴的一个对称映射.
w z21
o
不存在.
证:
令 z x iy, 则 f (z) x ,
x2 y2
u( x, y) x , v( x, y) 0, x2 y2
当z 沿直线 y kx 趋于零时,
lim u( x, y) lim
x0
x0
ykx
ykx
x
x2
y2
lim
x0
x x2 (kx)2
优选文档
21
lim
复变函数与积分变换-PPT课件
i i 1 2 1 2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
复变函数与积分变换课件
解: ( 2)
z 1
sin z 4 dz z2 1 1
2
z 1
sin z 4 z 1 dz 1 z 1
2
sin z 4 2i z 1
2 i; 2
z 1
11
sin z 解: ( 3) 2 4 dz 由闭路复合定理, 得 z 1 z 2 sin z 4 dz 2 z 2 1 z
如果函数 f ( z ) 在区域 D 内处处解析, C 为 D 内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含 于 D, z0 为 C 内任一点, 那末 1 f (z) f ( z0 ) C z z dz . 2 πi 0
证明: 因为 f ( z ) 在 z0 连续,
z0
C
D
则 0, ( ) 0,
2i (3(6 z 7), 而 1 i 在 C 内, 所以 f (1 i ) 2 ( 6 13i ).
9
sin z 4 dz , 其中 C : (1) z 1 1 ; 练习:计算积分 2 2 C z 1
3
关于柯西积分公式的说明: (1) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积 分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积 分表达式. (这是研究解析函数的有力工具) (2) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周 上的平均值. 如果 C 是圆周 z z0 R e i ,
1 2π f ( z0 ) f ( z0 R e i )d . 2π 0
2! f ( z) 可得 f ( z0 ) C ( z z )3 dz. 2i 0
18
至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解 析函数. 依次类推, 利用数学归纳法可证
复变函数与积分变换(全套课件334P)
z 3 z 2 z 1 0根为i, 1, i
且z z z 1 ( z i)( z 1)( z i)
3 2
§1.2 复平面上的曲线和区域
一、复平面上的曲线方程 平面曲线有直角坐标方程 和参数方程
F ( x, y ) 0
x x(t ) 两种形式。 y y (t )
5 5 z 2 r2 cos i sin 6 6
3 1 r2 r2i 2 2
3 1 3 1 则z r1 2 r1i r2 2 r2i 2 2 2 2
例4
求方程
3 2
z z z 1 0 的根。并将
1 3 2 z 13 13 13
2 2
2 arg( z ) arctan 3
（3）
i 4i i i 4i i 1 3i,
10 25 10
| z | (1) 2 32 10 ,
(4)
arg( z ) arctan 3
17512ii????232357arg21argii????57re57imii???例2求下列复数的模与辐角例2求下列复数的模与辐角12i??3i231?34iii??25104ni?????????231解12231215argarctan63zz???????????1??22321131313z????????????????32arctanarg??z132133232323231iiiii??????????????23144102510iiiiiii????????103122????z3arctanarg???z3313argarctan3ii????模为141?z23arg??knz??23nkk????????满足的313cossin233niinnei????????????????3argarctan323ez????模为14例3求满足下列条件的复数z
复变函数与积分变换课件
傅里叶级数的性质
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义
复变函数与积分变换全套精品课件
复变函数与积分变换
全套课件
§1.1 复 数
1. 复数的概念
形如 z a ib 或 z a bi 的数称为复数。 i称为虚单位,即满足 i2 1 a和b为实数,分别称为复数z的实部和虚部,记作 a Re z, b Im z. •当且仅当虚部b=0时,z=a是实数； •当且仅当a=b=0时,z就是实数0； •当虚部b≠0时,z叫做虚数； •当实部a=0且虚部b≠0时,z=ib称为纯虚数. 全体复数的集合称为复数集,用C表示. 实数集R是复数集C的真子集.
Hale Waihona Puke 1 1 1) Re z ( z z ), Im z ( z z ). 2 2i z z 2)( z w) z w, zw z w, ( ) ( w 0). w w 3) zw z w . z 4) z . w w 5) z z .
复数的模和共轭复数的性质
乘法
z1 z2 ac ibc iad i 2bd (ac bd ) i(bc ad )
z zz
2
除法
z1 a ib (a ib)(c id ) ac bd bc ad 2 i 2 , z2 0 2 2 z2 c id (c id )(c id ) c d c d
4. 复数的三角表示和复数的方根
复平面C的不为零的点 z x iy 极坐标 (r, ) : x r cos , y r sin
r z,
是正实轴与从原点O到z的射线的 夹角，称为复数z的幅角，记为 Argz
满足条件 π π 的幅角称为Argz的主值，记为 =argz，于是有=Argz=argz+2k, k=0,±1,±2,…. 复数的三角表示 z=r(cos+isin)
全套课件
§1.1 复 数
1. 复数的概念
形如 z a ib 或 z a bi 的数称为复数。 i称为虚单位,即满足 i2 1 a和b为实数,分别称为复数z的实部和虚部,记作 a Re z, b Im z. •当且仅当虚部b=0时,z=a是实数； •当且仅当a=b=0时,z就是实数0； •当虚部b≠0时,z叫做虚数； •当实部a=0且虚部b≠0时,z=ib称为纯虚数. 全体复数的集合称为复数集,用C表示. 实数集R是复数集C的真子集.
Hale Waihona Puke 1 1 1) Re z ( z z ), Im z ( z z ). 2 2i z z 2)( z w) z w, zw z w, ( ) ( w 0). w w 3) zw z w . z 4) z . w w 5) z z .
复数的模和共轭复数的性质
乘法
z1 z2 ac ibc iad i 2bd (ac bd ) i(bc ad )
z zz
2
除法
z1 a ib (a ib)(c id ) ac bd bc ad 2 i 2 , z2 0 2 2 z2 c id (c id )(c id ) c d c d
4. 复数的三角表示和复数的方根
复平面C的不为零的点 z x iy 极坐标 (r, ) : x r cos , y r sin
r z,
是正实轴与从原点O到z的射线的 夹角，称为复数z的幅角，记为 Argz
满足条件 π π 的幅角称为Argz的主值，记为 =argz，于是有=Argz=argz+2k, k=0,±1,±2,…. 复数的三角表示 z=r(cos+isin)
复变函数与积分变换课堂PPT课件
完全类似在此基础上，也可以得出类似于微积分学中的 基本定理和牛顿-莱布尼兹公式。先引入原函数的概念。
第45页/共104页
定义 即
如果函数 , 则称
在区域D内的导数等于 f (z), 为 f (z)在区域B内的原函数。
定理二表明
是 f (z)的一个原函数。
• 容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
，因此有
或
第48页/共104页
有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数
E'
E
C
B'
B
C1
即 或
第30页/共104页
上式说明如果将 C 及 沿C逆时针, 沿
看成一条复合闭路G, 其正向为: 顺时针, 则
上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变 形过程中不经过函数
D
f (z)不解析的点。这 一重要事实，称为 闭路变形原理。
今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续 的，曲线C是按段光滑的。
第10页/共104页
例1 计算
, 其中C为原点到点3+4i的直线段。
[解]直线的方程可写作
或 在C上,
。于是
又因
第11页/共104页
容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，
第27页/共104页
在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域
里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。
设函数 f (z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条
简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分 就不一定为零。
第45页/共104页
定义 即
如果函数 , 则称
在区域D内的导数等于 f (z), 为 f (z)在区域B内的原函数。
定理二表明
是 f (z)的一个原函数。
• 容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
，因此有
或
第48页/共104页
有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数
E'
E
C
B'
B
C1
即 或
第30页/共104页
上式说明如果将 C 及 沿C逆时针, 沿
看成一条复合闭路G, 其正向为: 顺时针, 则
上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变 形过程中不经过函数
D
f (z)不解析的点。这 一重要事实，称为 闭路变形原理。
今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续 的，曲线C是按段光滑的。
第10页/共104页
例1 计算
, 其中C为原点到点3+4i的直线段。
[解]直线的方程可写作
或 在C上,
。于是
又因
第11页/共104页
容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，
第27页/共104页
在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域
里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。
设函数 f (z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条
简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分 就不一定为零。
复变函数与积分变换PPT课件
11 2i (2 i )( 5i) 11 2i 5 10i 25 5i (5i) 25 25
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
复变函数与积分变换经典PPT—复变函数.ppt
解
由上例可知
(z
1 a)n1
dz
2i, 0,
n0 n 0,
此处不妨设 a z0,
则有
1
1
1,
2 i (z z0 )n dz 0,
n1 n 1.
四、小结与思考
本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原
理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它 是本章的难点.
1
2
3
CF
A
A
F
B4
D1 E C1 B
D
E
问题的提出 C
C1
复合闭路定理D
C2 C3
典型例题
小结与思考
一、.
z 2 z 1
因为 z 2 是包含 z 1 在内的闭曲线,
根据本章第一节例4可知,
1 dz 2i.
z 2 z 1 由此希望将基本定理推广到多连域中.
y C1
解 C1 和 C2 围成一个圆环域, 函数 ez 在此圆环域和其边界
z
C2 o1
2x
上处处解析, 圆环域的边界构成一条复合闭路,
根据闭路复合定理, ez dz 0. z
例3 求
(z
1 a)n1
dz
,
为含
a
的任一简单闭
路，n 为整数.
解 因为a 在曲线内部,
a
1
BB
BB
即 f (z)dz f (z)dz 0,
C
C1
或 f (z)dz f (z)dz.
C
C1
CF
A A F B
D1 E C1 B
复变函数与积分变换第四章ppt课件
定理4.4
若
n
收
敛
收
n
敛
，
且
n
n
.
n1
n1
n1
n1
证明 n an ibn an2 bn2
由比较判定法
an an2 bn2 ,
an和
bn均绝对收敛，
n1
n1
bn an2 bn2
n
n
k k ,
k 1
k 1
由定理4.2得
收敛。
n
n1
n n
n1
n1
?
若
收
n
敛
n1
n1
lim
n
n
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
证明
“
”已知
lim
n
n
即，
0, N 0,当 n N , 恒有 n
又 n (an a) i(bn b) (an a)2 (bn b)2
an a n bn b n
故
lim
n
a
n
a
,
lim
n
bn
3)
R 1 e
5. 幂级数的运算和性质
代数运算
设
an z n
f (z)
R
r1，
bn z n
g(z)
R
r2
n0
n0
anzn bnzn (an bn )zn f (z) g(z) z R
n0
n0
n0
---幂级数的加、减运算
( anzn ) ( bnzn ) (a0bn a1bn1 a2bn2 anb0 )zn
复变函数与积分变换课堂PPT第一章
[证] z 1 z 2 z 1 z 2 ( x 1 i y 1 ) ( x 2 i y 2 ) ( x 1 i y 1 ) ( x 2 i y 2 ) ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i ( x 2 y 1 x 1 y 2 ) ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i ( x 1 y 2 x 2 y 1 ) 2 ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) 2 R e ( z 1 z 2 ) .
z
1 3i i 1i
，求Re(z),Im(z)与 z
z
.
[解] z13i i 3i(1i) i 1i i( i) (1i)(1i)
i (3 3i) 22
3 1 i, 22所以 NhomakorabeaRe(z)3, Im(z)1,
2
2
zz322
122
5. 2
例 求满足下列条件的复数z : (1 )z|z|2i; (2 )(1 2 i)z 4 3 i.
x0 x 0, y 0
幅角不确定。 当z 0 时，arg z
arctg
y x
,
,
x 0, y 0 x 0, y 0
可由右边关系确定：
其中
argtgy.
长度称为z 的模或绝对值, 记作 | z|r x2 y2
显然, 还有下列各式成立
|x| |z|,|y| |z|,
y
P
y
z=x+iy
q
O
xx
|z||x||y|, zz|z|2|z2|.
在z0的情况, 以正实轴为始边, 以表示z的向量OP为终边
的角的弧度数q 称为z的辐角, 记作
这时, 有
Argzq
tg(Arg z) y x
共轭复数
z
1 3i i 1i
，求Re(z),Im(z)与 z
z
.
[解] z13i i 3i(1i) i 1i i( i) (1i)(1i)
i (3 3i) 22
3 1 i, 22所以 NhomakorabeaRe(z)3, Im(z)1,
2
2
zz322
122
5. 2
例 求满足下列条件的复数z : (1 )z|z|2i; (2 )(1 2 i)z 4 3 i.
x0 x 0, y 0
幅角不确定。 当z 0 时，arg z
arctg
y x
,
,
x 0, y 0 x 0, y 0
可由右边关系确定：
其中
argtgy.
长度称为z 的模或绝对值, 记作 | z|r x2 y2
显然, 还有下列各式成立
|x| |z|,|y| |z|,
y
P
y
z=x+iy
q
O
xx
|z||x||y|, zz|z|2|z2|.
在z0的情况, 以正实轴为始边, 以表示z的向量OP为终边
的角的弧度数q 称为z的辐角, 记作
这时, 有
Argzq
tg(Arg z) y x
共轭复数
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand (法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及 K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865)
定义复数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性
的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立 和发展。
复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有 着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中 平面问题的有力工具。
复复变变函函数数中的的许理多论概和念方，法理在论数和学方，法自是然实科变学函和数工在程复技数术领中域的 推有广着和广发泛展的。应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理
当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定. arg z可由下列关系确定:
arctan
y x
,
z在第一、四象限
arg
z
p
arctan
y x
,
z在第二象限
其中 p arctaarctan
y x
,
z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时，p arg z p p p 0
论中平面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领
域的推广和发展 。
复变函数与积分变换
Complex Functions and Integral Transformation
课程性质： 必修
选课对象： 电子类各专业。
内容概要：介绍复变函数的基本理 论和方
法。为学生学习有关专业课和 扩大数学知识面提供必要的数 学基础。
| z || x | | y |,
zz | z |2 | z2 |
0
x
x
z z r x2 y2 ----复数z的模
z与x轴正向的夹角 ----复数z的辐角(argument)
记作Arg z= . 任何一个复数z0有无穷多个幅角,将满足
p <0p 的0 称为Arg z的主值, 记作0=arg z .则 Arg z=0+2kp =arg z +2kp (k为任意整数)
2
2
tan( p ) tan(p ) tan y p arctan y
x
x
p arctan y .
x
2.指数形式与三角形式
利用直角坐标与极坐标的关系: x = r cos, y = r sin,
可以将z表示成三角表示式: z r(cos i sin )
利用欧拉公式 e i = cos + i sin 得指数表示式:
§1.1复数及其表示法
一对有序实数（x, y）构成一个复数，记为 z x iy .
x, y 分别称为 Z 的实部和虚部, 记作x=Re(Z), y=Im(Z), i 1 .
z x iy 称为 Z 的共轭复数。
两个复数相等 他们的实部和虚部都相等
特别地，z x iy 0 x y 0
z rei
(r z , Arg z)
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.
1) z 12 2i; 2) z sin p i cos p .
5
5
[解] 1) r | z | 12 4 4. z在第三象限, 因此
arctan
2 12
p
arctan
3 p 5 p . 因此
复变函数与积分变换
Complex Functions and Integral Transformation
云南师范大学物理与电子信息学院 和伟
引言
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次
方程 x 10 x 40时引进了复数。他发现这个方程没有根，并
把这个方程的两个根形式地表为 5 15与5 15。在当时， 包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，
第一章复数和复变函数基本要求
1.熟练掌握复数的各种表示方法及其运 算。
2.了解区域的概念。
3.理解复变函数的概念及其几何意义— —映射。
4.知道复变函数的极限和连续的概念。
第一章 复数与复变函数
自变量为复数的函数就是复变函数, 它是本课程的研究对象.由 于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的基 础上作简要的复习和补充; 然后再介绍复平面上的区域以及复变函 数的极限与连续性的概念, 为进一步研究解析函数理论和方法奠定 必要的基础.
与实数不同, 一般说来, 任意两个复数不能比较大小.
复数的表示法
1.代数形式 : z x iy
1)点表示 复数z x iy 平面XOY上的点 z(x, y)
虚轴 y
y
z(x,y) 复平面
r
0
x
x
实轴
2) 向量表示 复数z=x+iy 矢径z
y
y
zz=x+iy| x || z |,| y || z |,
复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，
随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler 的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的
Euler公式 ei cos i sin 揭示了复指数函数与三角函数之
3
6
z
4
cos(
5 6
p
)
i
sin(
5 6
p
)
5p i
4e 6
2) 显然, r = | z | = 1, 又
sin p
5
cos
p
2
p
5
cos 3 p ,
10
cos p
5
选用教材： 《复变函数与积分变换》
高等教育出版社.
课程的基本要求
在课程的学习中，要正确理解和掌握复变函数中 的数学概念和方法，逐步培养利用这些概念和方法 解决实际问题的能力.
与其它课程的联系和分工
复变函数中的许多概念和方法是《高等数学》中的实变量函数在 复数领域的推广和发展，因此在学习本课程之前必须学习《高等数 学》课程。本课程是数学学科的一门重要分支，同时也是数学中的 其它分支如《微分方程》、《积分变换》等的基础理论课。《积分 变换》与《复变函数》有着密切的联系,《积分变换》也是《复变函 数》的后继课程之一 。 对于理工科类专业的学生来说它们是《信号 与系统》、《通信原理》、《数字信号处理》、《小波变换》等相 关课程的基础理论课。
定义复数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性
的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立 和发展。
复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有 着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中 平面问题的有力工具。
复复变变函函数数中的的许理多论概和念方，法理在论数和学方，法自是然实科变学函和数工在程复技数术领中域的 推有广着和广发泛展的。应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理
当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定. arg z可由下列关系确定:
arctan
y x
,
z在第一、四象限
arg
z
p
arctan
y x
,
z在第二象限
其中 p arctaarctan
y x
,
z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时，p arg z p p p 0
论中平面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领
域的推广和发展 。
复变函数与积分变换
Complex Functions and Integral Transformation
课程性质： 必修
选课对象： 电子类各专业。
内容概要：介绍复变函数的基本理 论和方
法。为学生学习有关专业课和 扩大数学知识面提供必要的数 学基础。
| z || x | | y |,
zz | z |2 | z2 |
0
x
x
z z r x2 y2 ----复数z的模
z与x轴正向的夹角 ----复数z的辐角(argument)
记作Arg z= . 任何一个复数z0有无穷多个幅角,将满足
p <0p 的0 称为Arg z的主值, 记作0=arg z .则 Arg z=0+2kp =arg z +2kp (k为任意整数)
2
2
tan( p ) tan(p ) tan y p arctan y
x
x
p arctan y .
x
2.指数形式与三角形式
利用直角坐标与极坐标的关系: x = r cos, y = r sin,
可以将z表示成三角表示式: z r(cos i sin )
利用欧拉公式 e i = cos + i sin 得指数表示式:
§1.1复数及其表示法
一对有序实数（x, y）构成一个复数，记为 z x iy .
x, y 分别称为 Z 的实部和虚部, 记作x=Re(Z), y=Im(Z), i 1 .
z x iy 称为 Z 的共轭复数。
两个复数相等 他们的实部和虚部都相等
特别地，z x iy 0 x y 0
z rei
(r z , Arg z)
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.
1) z 12 2i; 2) z sin p i cos p .
5
5
[解] 1) r | z | 12 4 4. z在第三象限, 因此
arctan
2 12
p
arctan
3 p 5 p . 因此
复变函数与积分变换
Complex Functions and Integral Transformation
云南师范大学物理与电子信息学院 和伟
引言
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次
方程 x 10 x 40时引进了复数。他发现这个方程没有根，并
把这个方程的两个根形式地表为 5 15与5 15。在当时， 包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，
第一章复数和复变函数基本要求
1.熟练掌握复数的各种表示方法及其运 算。
2.了解区域的概念。
3.理解复变函数的概念及其几何意义— —映射。
4.知道复变函数的极限和连续的概念。
第一章 复数与复变函数
自变量为复数的函数就是复变函数, 它是本课程的研究对象.由 于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的基 础上作简要的复习和补充; 然后再介绍复平面上的区域以及复变函 数的极限与连续性的概念, 为进一步研究解析函数理论和方法奠定 必要的基础.
与实数不同, 一般说来, 任意两个复数不能比较大小.
复数的表示法
1.代数形式 : z x iy
1)点表示 复数z x iy 平面XOY上的点 z(x, y)
虚轴 y
y
z(x,y) 复平面
r
0
x
x
实轴
2) 向量表示 复数z=x+iy 矢径z
y
y
zz=x+iy| x || z |,| y || z |,
复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，
随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler 的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的
Euler公式 ei cos i sin 揭示了复指数函数与三角函数之
3
6
z
4
cos(
5 6
p
)
i
sin(
5 6
p
)
5p i
4e 6
2) 显然, r = | z | = 1, 又
sin p
5
cos
p
2
p
5
cos 3 p ,
10
cos p
5
选用教材： 《复变函数与积分变换》
高等教育出版社.
课程的基本要求
在课程的学习中，要正确理解和掌握复变函数中 的数学概念和方法，逐步培养利用这些概念和方法 解决实际问题的能力.
与其它课程的联系和分工
复变函数中的许多概念和方法是《高等数学》中的实变量函数在 复数领域的推广和发展，因此在学习本课程之前必须学习《高等数 学》课程。本课程是数学学科的一门重要分支，同时也是数学中的 其它分支如《微分方程》、《积分变换》等的基础理论课。《积分 变换》与《复变函数》有着密切的联系,《积分变换》也是《复变函 数》的后继课程之一 。 对于理工科类专业的学生来说它们是《信号 与系统》、《通信原理》、《数字信号处理》、《小波变换》等相 关课程的基础理论课。