江西省历年中考数学真题压轴题集锦

江西省历年中考数学真题压轴题集锦1．(2019)（12分）特例感知

（1）如图1，对于抛物线y1＝﹣x2﹣x+1，y2＝﹣x2﹣2x+1，y3＝﹣x2﹣3x+1，下列结论正确的序号是；

①抛物线y1，y2，y3都经过点C（0，1）；

②抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移个单位得到；

③抛物线y1，y2，y3与直线y＝1的交点中，相邻两点之间的距离相等．

形成概念

（2）把满足y n＝﹣x2﹣nx+1（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．

知识应用

在（2）中，如图2．

①“系列平移抛物线”的顶点依次为P1，P2，P3，…，P n，用含n的代数式表示顶点

P n的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；

②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：C1，C2，C3，…，

∁n，其横坐标分别为﹣k﹣1，﹣k﹣2，﹣k﹣3，…，﹣k﹣n（k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．

③在②中，直线y＝1分别交“系列平移抛物线”于点A1，A2，A3，…，A n，连接∁n A n，

C n﹣1A n﹣1，判断∁n A n，C n﹣1A n﹣1是否平行？并说明理由．

2. (2018)小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：

求解体验

(1)已知抛物线经过点(-1,0),则= ，顶点坐标

为，

该抛物线关于点(0,1）成中心对称的抛物线的表达式

是 .

抽象感悟

我们定义：对于抛物线,以轴上的点为中心，作该抛物线关于

点对称的抛物线 ,则我们又称抛物线为抛物线的“衍生抛物线”，点为“衍生中心”.

(2)已知抛物线关于点的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求

的取值范围.

问题解决

(3) 已知抛物线

①若抛物线的衍生抛物线为,两抛物线有两个交点，且恰好是

它们的顶点，求的值及衍生中心的坐标；

②若抛物线关于点的衍生抛物线为 ,其顶点为；关于点

的衍生抛

物线为，其顶点为；…；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；…(为

正整数).求的长(用含的式子表示).

3．(2017)我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

特例感知：

（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．

①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=BC；

②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为4．

猜想论证：

（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．

拓展应用

（3）如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=2，DA=6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．

4. (2016)．（12分）设抛物线的解析式为y=ax2，过点B1（1，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A1（1，2）；过点B2（，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A2；…；过点B n（（）n

﹣1，0）（n为正整数）作x轴的垂线，交抛物线于点A n，连接A n B n

，得Rt△A n B n B n+1．

+1

（1）求a的值；

（2）直接写出线段A n B n，B n B n+1的长（用含n的式子表示）；

（3）在系列Rt△A n B n B n+1中，探究下列问题：

①当n为何值时，Rt△A n B n B n+1是等腰直角三角形？

②设1≤k＜m≤n（k，m均为正整数），问：是否存在Rt△A k B k B k+1与Rt△A m B m B m+1相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由．

5 .(2015)．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．

特例探索

(1)如图1，当∠ABE＝45°，c

＝a＝，b＝；如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝，b＝；

图3

图2

图1

C

A B A

归纳证明

(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；

拓展应用

(3)如图

4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝

AB＝3．求AF的长．

E

A

6． (2014) 如图1，抛物线2

(0)y

ax bx c a 的顶点为M ，直线y=m 与x 轴平行，

且与抛物线交于点A ，B ，若三角形AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A 、B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶，点M 到线段AB 的距离称为碟高。

（1）抛物线2

12

y x 对应的碟宽为____；抛物线24y x 对应的碟宽为_____；抛物线2y

ax （a>0）对应的碟宽为____；抛物线2

(2)3(0)y

a x

a

对应的碟宽____；

（2）若抛物线25

4(0)3

y ax ax a 对应的碟宽为6，且在x 轴上，求a 的值；

（3）将抛物线2

(0)n

n n n n

y a x b x

c a 的对应准蝶形记为F n （n=1,2,3，…），定

义F 1，F 2，…..F n 为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比。若F n 与F n-1的相似比为

1

2

，且F n 的碟顶是F n-1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为y 1，其对应的准蝶形记为F 1.

①求抛物线y 2的表达式

② 若F 1的碟高为h 1,F 2的碟高为h 2，…F n 的碟高为h n 。则h n =_______,F n 的碟宽右端点横坐标为_______；F 1，F 2，….F n 的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出改直线的表达式；若不是，请说明理由。

7. （2013）已知抛物线y n =﹣（x ﹣a n ）2+a n （n 为正整数，且0＜a 1＜a 2＜…＜a n ）与x 轴

的交点为A n ﹣1（b n ﹣1，0）和A n （b n ，0），当n=1时，第1条抛物线y 1=﹣（x ﹣a 1）2+a 1与x 轴的交点为A 0（0，0）和A 1（b 1，0），其他依此类推． （1）求a 1，b 1的值及抛物线y 2的解析式； （2）抛物线y 3的顶点坐标为（ 9 ， 9 ）；依此类推第n 条抛物线y n 的顶点坐标为（ n 2 ， n 2 ）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是 y=x ； （3）探究下列结论：

①若用A n ﹣1A n 表示第n 条抛物线被x 轴截得的线段长，直接写出A 0A 1的值，并求出A n ﹣1A n ；

②是否存在经过点A （2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．