立体几何中的存在性问题

高中数学立体几何存在性问题专题

1.（天津理17）如图，在三棱柱中，

是正方形的中心，，平面，且

（Ⅰ）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的

长．

本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分.

方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点.

依题意得

（I）解：易得，

于是

所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为

（II）解：易知

设平面AA1C1的法向量，

则即

不妨令可得，

同样地，设平面A1B1C1的法向量，

则即不妨令，

可得

于是

从而

所以二面角A—A1C1—B的正弦值为

（III）解：由N为棱B1C1的中点，

得设M（a，b，0），

则

由平面A1B1C1，得

即

解得故

因此，所以线段BM的长为

方法二：

（I）解：由于AC因为平面AA1B1B，又H为正方形AA1B1B的中心，

可得

因此

（II）解：连接AC1，易知AC1=B1C1，

又由于AA1=B1A1，A1C1=A1=C1，

所以≌，过点A作于点R，

连接B1R，于是，故为二面角A—A1C1—B1的平面角.

在中，

连接AB1，在中，

，

从而

所以二面角A—A1C1—B1的正弦值为

（III）解：因为平面A1B1C1，所以

取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点，

所以ND又平面AA1B1B，

所以平面AA1B1B，故

又

所以平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E，

则

由

得，延长EM交AB于点F，

可得连接NE.

在中，

所以

可得

连接BM，在中，

2.（浙江理20）

如图，在三棱锥中，，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（Ⅰ）证明：AP⊥BC；

（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。

本题主要考查空是点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。

方法一：

（I）证明：如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，

建立空间直角坐标系O—xyz

则，

，由此可得，所以

，即

（II）解：设

设平面BMC的法向量，

平面APC的法向量

由

得

即

由即

得

由

解得，故AM=3。

综上所述，存在点M符合题意，AM=3。

方法二：

（I）证明：由AB=AC，D是BC的中点，得

又平面ABC，得

因为，所以平面PAD，

故

（II）解：如图，在平面PAB内作于M，连CM，

由（I）中知，得平面BMC，

又平面APC，所以平面BMC平面APC。

在

在，

在

所以

在

又

从而PM，所以AM=PA-PM=3。

综上所述，存在点M符合题意，AM=3。

3.（重庆理19）

如题（19）图，在四面体中，平面平面，，，．

（Ⅰ）若，，求四面体的体积；

（Ⅱ）若二面角为，求异面直线与所成角的余弦值．

（I）解：如答（19）图1，设F为AC的中点，由于AD=CD，所以DF⊥AC.

故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，

即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，

且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=.

在Rt△ABC中，因AC=2AF=，AB=2BC，

由勾股定理易知

故四面体ABCD的体积

（II）解法一：如答（19）图1，设G，H分别为边CD，BD的中点，则FG 设E为边AB的中点，则EF由（I）有DF⊥平面ABC，

故由三垂线定理知DE⊥AB.

所以∠DEF为二面角C—AB—D的平面角，由题设知∠DEF=60°

设

从而

因Rt△ADE≌Rt△BDE，故BD=AD=a，从而，在Rt△BDF中，，

又从而在△FGH中，因FG=FH，由余弦定理得

因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为

解法二：如答（19）图2，过F作FM⊥AC，交AB于M，已知AD=CD，

平面ABC⊥平面ACD，易知FC，FD，FM两两垂直，以F为原点，射线FM，FC，FD分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系F—xyz.

不妨设AD=2，由CD=AD，∠CAD=30°，易知点A，C，D的坐标分别为

显然向量是平面ABC的法向量.

已知二面角C—AB—D为60°，

故可取平面ABD的单位法向量，

使得

设点B的坐标为，有

易知与坐标系的建立方式不合，舍去.

因此点B的坐标为所以

从而

故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为