高中数学复习提升-第一部分 专题四 第二讲 概率及应用

专题·限时训练 单独成册
A 卷 小题提速练
A 组 巩固提升练(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．在区间[1,6]上随机取一实数x ，使得2x ∈[2,4]的概率为( ) A.1
6 B.15 C.13
D ．25
解析：由2x
∈[2,4]知1≤x ≤2，∴P (2x
∈[2,4])＝2－16－1
＝15.
答案：B
2．从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( ) A.110 B ．310 C.35
D ．910
解析：根据题意，首先分析从5个球中任取3个球，共10种取法，所取的3个球中没有白球即全部红球的情况有1种，则没有白球的概率为1
10；则所取的3个球中至少有1个白球的概率是9
10，故选D. 答案：D
3．在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( ) A.45 B ．35 C.25
D ．15
解析：在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1， 即－2≤X ≤1的概率为P ＝3
5. 答案：B
4．一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻着1点至6点，甲、乙二人各掷骰子一次，则甲掷得的向上的点数比乙大的概率为( ) A.29 B ．14 C.512
D ．12
解析：基本事件一共有36种情况，其中甲掷得的向上的点数比乙大的有：(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(3,1)，(3,2)，(2,1)，共15种，所以所求概率为1536＝5
12. 答案：C
5.在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆(如图中阴影部分)中的概率是( ) A.π4 B ．14 C.π16
D ．116
解析：设正方形的边长是2，所以面积是4，圆内阴影部分的面积是π
4，所以概率是P ＝π
16. 答案：C
6．从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数a ，b ，使得a 2≥4b 的概率是( ) A.13 B ．512 C.12
D ．712
解析：基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，…，(4,3)，共12个，符合条件的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共6个，因此使得a 2≥4b 的概率是1
2. 答案：C
7．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件是次品的概率为( ) A ．0.4 B ．0.6 C ．0.8
D ．1
解析：5件产品中有2件次品，记为a ，b ，有3件合格品，记为c ，d ，e ，从这5件产品中任取2件，结果有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )共10种．恰有一件次品的结果有6种，则其概率为P ＝6
10＝0.6. 答案：B
8．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( ) A.15 B ．25 C.35
D ．45
解析：1个红球，2个白球和3个黑球记为A 1，B 1，B 2，C 1，C 2，C 3.从袋中任取两球有A 1，B 1；A 1，B 2；A 1，C 1；A 1，C 2；A 1，C 3；B 1，B 2；B 1，C 1；B 1，C 2；B 1，C 3；B 2，C 1；B 2，C 2；B 2，C 3；C 1，C 2；C 1，C 3；C 2，C 3共15种； 满足两球颜色为一白一黑的有6种，概率为615＝2
5. 答案：B
9.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( ) A.π2 B ．π4 C.π6
D ．π8
解析：P ＝S 半圆S 矩形＝12×π×12
2×1＝π
4.故选B.
答案：B
10．抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是( ) A.1
9 B ．16 C.118
D ．112
解析：抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的情况有：1,4；4,1；2,5；5,2；3,6；6,3，共6种，而抛掷两枚质地均匀的骰子的情况有36种，所以所求概率P ＝636＝1
6，故选B. 答案：B
11．从2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( ) A.34 B ．58
C.12
D ．14
解析：分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P ＝1
2. 答案：C
12．集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( ) A.23 B ．12 C.13 D ．16
答案：C 二、填空题
13．如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．
解析：设阴影部分的面积为S ，则S 1×1
＝1801 000， ∴S ＝0.18. 答案：0.18
14.甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示．如果分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩相同的概率是________．
解析：由题意知甲组三名同学的成绩为88,92,93，乙组三名同学的成绩为90,91,92，则两组中各任取一名共有9种结果，成绩相同时只有一种结果，所以概率为19.
答案：19
15．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为5
6，则m ＝________.
解析：由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .
当m ≤2时，由题意得2m 6＝5
6，解得m ＝2.5，矛盾，舍去． 当2<m <4时，由题意得m －(－2)6＝5
6，解得m ＝3.
即m 的值为3. 答案：3
16．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b ，c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率为________．
解析：将一枚骰子抛掷两次共有36种结果，方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根，则Δ＝b 2－4c ≥0， 即b ≥2c ，
则A 包含的结果有(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(5,5)，(6,5)，(5,6)，(6,6)，共19种， 由古典概型概率计算公式可得P (A )＝19
36. 答案：1936
B 组 “12＋4”组合练(建议用时：45分钟)
一、选择题
1．甲、乙、丙、丁四人排成一行，则甲、乙都不在两边的概率为( ) A.1
12 B.16 C.124
D ．14
解析：甲、乙、丙、丁四人站成一排有24种情形，其中甲、乙都不在两边有4种情形：丙甲乙丁，丙乙甲丁，丁甲乙丙，丁乙甲丙． 因此所求概率为P ＝424＝1
6. 答案：B
2．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上随机取一个数x ，则cos x 的值在⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，12之间的概率为( )
A.1
3 B ．2π
C.12
D ．23
解析：当cos x 的值在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12之间时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π2，所以所求的概率
为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝13. 答案：A
3．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝－2a n (n ∈N *)．若从数列{a n }的前10项中随机抽取一项，则该项不小于8的概率是( ) A.310 B ．25 C.35
D ．
710
解析：由题意可知a n ＝2·(－2)n －1，故前10项中，不小于8的只有8,32,128,512，共4项，故所求概率是410＝25. 答案：B
4．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →
＝0，现将一粒黑芝麻随机撒在△ABC 内，则该粒黑芝麻落在△PBC 内的概率是( ) A.14 B ．13 C.23
D ．12
解析：由PB →＋PC →＋2P A →＝0，得PB →＋PC →＝－2P A →
，设BC 边中点为D ，连接PD (图略)，则2PD →＝－2P A →
，P 为AD 中点，所以所求概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12，即该粒黑芝
麻落在△PBC 内的概率是1
2，故选D. 答案：D
5．从x 2m －y 2
n ＝1(其中，m ，n ∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为( ) A.12
B ．47
C.23 D ．34
解析：当方程x 2m －y 2
n ＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线时，不能有m ＜0，n ＞0，所以方程x 2m －y 2
n ＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的(m ，n )有(2，－1)，(3，－1)，(2,2)，(3,2)，(2,3)，(3,3)，(－1，－1)，共7种，其中表示焦点在x 轴上的双曲线时m ＞0，n ＞0，有(2,2)，(3,2)，(2,3)，(3,3)，共4种，所以所求概率P ＝4
7.
答案：B
6．如图，圆C 内切于扇形AOB ，∠AOB ＝π
3，若向扇形AOB 内随机投掷600个
点，则落入圆内的点的个数估计值为( )
A ．100
B ．200
C ．400
D ．450
解析：如图所示，作CD ⊥OA 于点D ，连接OC 并延长交扇形于点E ，设扇形半径为R ，圆C 半径为r ，∴R ＝r ＋2r ＝3r ，∴落入圆内的点的个数估计值为600·
πr 2
16
π(3r )2
＝400.
答案：C
7．(2017·郑州模拟)已知集合A ＝{－2,3,5,7}，从A 中随机抽取两个不同的元素a ，b ，作为复数z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)的实部和虚部．则复数z 在复平面内的对应点位于第一象限的概率为( ) A.12 B ．23 C.34
D ．45
解析：从集合A ＝{－2,3,5,7}中随机抽取两个不同的元素a ，b ，组成复平面内的对应点有(－2,3)，(－2,5)，(－2,7)，(3，－2)，(3,5)，(3,7)，(5，－2)，(5,3)，(5,7)，(7，－2)，(7,3)，(7,5)，共12种；
其中位于第一象限的点有(3,5)，(3,7)，(5,3)，(5,7)，(7,3)，(7,5)共6种，所以复数z 在复平面内的对应点位于第一象限的概率为P ＝612＝1
2. 答案：A
8．将一枚骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a ，第二次朝上一面的点数为b ，则函数y ＝ax 2－2bx －1在⎝ ⎛
⎦⎥⎤－∞，12上为减函数的概率是( )
A.1
4 B ．34 C.16
D ．56
解析：由函数y ＝ax 2－2bx －1在⎝ ⎛
⎦⎥⎤－∞，12上为减函数，可得对称轴x ＝2b 2a ＝b a ≥12，
即a ≤2b .列表如下：
“将一枚骰子先后抛掷两次所得点数”的基本事件的个数为36，而满足
“a≤2b”的基本事件有30个，所求概率P ＝30
36
＝5
6
，故选D.
答案：D
9．设A为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，则弦长超过半径2倍的概率是()
A.
3
4B．
1
2
C.
1
3D．
3
5
解析：作等腰直角三角形AOC和AMC，B为圆上任一点，则当点B在
上运动时，弦长|AB|＞2R，∴P＝1
2.
答案：B
10．已知椭圆
x2
4＋y
2＝1的焦点为F1，F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于点P，则使得PF1
→
·PF2
→
＜0的概率为()
A.
1
2B．
2
3
C.
26
3D．
6
3
解析：设P(x，y)，则PF1
→
·PF2
→
＜0⇒(－3－x，－y)·(3－x，－y)＜0⇒x2－3＋y2
＜0⇒x2－3＋1－x2
4
＜0⇒|x|＜26
3
，故所求的概率为
46
3
4
＝6
3.
答案：D
11．设不等式组⎩⎨⎧
x －2y ＋2≥0，
x ≤4，
y ≥－2
表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个
点，则此点到直线y ＋2＝0的距离大于2的概率是( )
A.413
B ．513 C.825
D ．925
解析：如图，各点的坐标为B (－2,0)，C (4,0)， D (－6，－2)，E (4，－2)，F (4,3)， 所以DE ＝10.EF ＝5，BC ＝6，CF ＝3.
不等式对应的区域为三角形DEF ，当点在线段BC 上时，此点到直线y ＋2＝0的距离等于2，所以要使此点到直线y ＋2＝0的距离大于2，则此点应在三角形BCF 中．根据几何概型可知所求概率P ＝S △BCF S △DEF
＝1
2×6×312×10×5＝9
25，故选D.
答案：D
12．(2017·江西两市联考)已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{1,2,3,4}．定义映射f ：M →N ，则从中任取一个映射满足由点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))构成△ABC 且AB ＝BC 的概率为( ) A.332 B ．532 C.316
D ．14
解析：∵集合M ＝{1,2,3}，N ＝{1,2,3,4}，∴映射f ：M →N 有43＝64种，∵由点A (1, f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))构成△ABC 且AB ＝BC ，∴f (1)＝f (3)≠f (2)，∵f (1)
＝f (3)有4种选择，f (2)有3种选择，∴从中任取一个映射满足由点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))构成△ABC 且AB ＝ BC 的事件有4×3＝12种，∴所求概率为1264＝316. 答案：C 二、填空题
13．(2017·福州模拟)在长度为10的线段AB 上任取一点C (异于A ，B )，则以AC ，BC 为半径的两圆面积之和小于58π的概率是________．
解析：设AC ＝x ，则BC ＝10－x,0＜x ＜10.由题意知，πx 2＋π(10－x )2＜58π，即x 2
－10x ＋21＜0，解得3＜x ＜7.故所求的概率为7－310＝25.
答案：25
14．从集合{1,2,3,4,5}中随机取一个数a ，从集合{1,3,5}中随机取一个数b ，则事件“a ≥b ”发生的概率是________．
解析：(a ，b )共有以下15种取法：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，其中满足a ≥b 的有(1,1)，(2,1)，(3,1)，(3,3)，(4,1)，(4,3)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9种取法，故所求事件的概率P ＝915＝3
5. 答案：35
15．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．
解析：这十个数是1，－3，(－3)2，(－3)3，(－3)4，(－3)5，(－3)6，(－3)7， (－3)8，(－3)9，所以它小于8的概率等于610＝3
5. 答案：35
16．已知平面区域A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤9，x ，y ∈R}，B ＝{(x ，
y )||x |＋|y |≤3，x ，y ∈R}．在A 内随机取一点，此点取自B 的概率为________． 解析：如图所示，分别画出A ，B 表示的区域，A 表示的区域为圆及其内部，B 表示的区域为正方形及其内部，根据几何概型可知，所求概率为18π·32＝2
π. 答案：2π
B 卷 大题规范练(建议用时：60分钟)
1．某校对高二年级选学生物的学生的某次测试成绩进行了统计，随机抽取了m 名学生的成绩作为样本，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：
分组 频数 频率 [60,70) 16 0.2 [70,80) 50 n [80,90) 10 p [90,100] 4 0.05 合计
m
1
(1)求表中n ，p 的值和频率分布直方图中a 的值；
(2)如果用分层抽样的方法，从样本成绩在[60,70]和[90,100]的学生中共抽取5人，再从5人中选2人，求这2人成绩在[60,70]的概率． 解析：(1)∵m ＝16＋50＋10＋4＝80， ∴n ＝50
80＝0.625，
∴p ＝1－0.2－0.625－0.05＝0.125， ∴a ＝n 10＝0.625
10＝0.062 5.
(2)样本分数在[60,70)中的有16人，在[90,100]中的有4人，则抽取的样本分数在
[60,70)，[90,100]的人数分别为：16
20×5＝4(人)，
4
20×5＝1(人)．
记样本分数在[60,70)中的4人为a1，a2，a3，a4，在[90,100]中的1人为b.从已抽取的5人中任选两人的所有可能为：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b)，(a3，a4)，(a3，b)，(a4，b)共10种．
记“2人样本分数都在[60,70)”为事件A，则事件A包括：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a3，a4)共6种．
则2人成绩在[60,70)内的概率为P(A)＝6
10＝3 5.
2．(2017·泰安市模拟)某大学高等数学老师这学期分别用A，B两种不同的教学方式试验甲、乙两个大一新班(人数均为60人，入学数学平均分数和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样)．现随机抽取甲、乙两班各20名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图如图．
(1)学校规定：成绩不得低于85分的为优秀，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”
甲班乙班合计
优秀
不优秀
合计
P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828
(参考公式：K2＝
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
，其中n＝a＋b＋c＋d)
(2)现从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为
86分的同学至少有一个被抽中的概率． 解析：(1)
K 2＝40×(3×10－10×17)213×27×20×20≈5.584＞5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的
前提下，可以认为成绩优秀与教学方式有关．
(2)记成绩为86分的同学为A ，B ，其他不低于80分的同学为C ，D ，E ，F ，“从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有：
(A ，B )、(A ，C )、(A ，D )、(A ，E )、(A ，F )、(B ，C )、(B ，D )、(B ，E )、(B ，F )、(C ，D )、(C ，E )、(C ，F )、(D ，E )、(D ，F )、(E ，F )，一共15个， “抽到至少有一个86分的同学”所组成的基本事件有：
(A ，B )、(A ，C )、(A ，D )，(A ，E )、(A ，F )、(B ，C )、(B ，D )、(B ，E )、(B ，F ) 共9个，
故所求事件的概率为P ＝915＝3
5.
3．投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P 的横坐标和纵坐标． (1)求点P 落在区域C ：x 2＋y 2≤10上的概率；
(2)若以落在区域C 上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M ，在区域C 上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M 上的概率．
解析：(1)点P 的坐标有(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，(4,2)，(4,4)，
共9种，
其中落在区域C ：x 2＋y 2≤10上的点P 的坐标有(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)，共4种，
故点P 落在区域C ：x 2＋y 2≤10上的概率为4
9.
(2)区域M 为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C 的面积为10π，则豆子落在区域M 上的概率为2
5π.
4．设f (x )和g (x )都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x ∈[1,2]，都有|f (x )＋g (x )|≤8，则称f (x )和g (x )是“友好函数”，设f (x )＝ax ，g (x )＝b
x .(1)若a ∈{1,4}，b ∈{－1,1,4}，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率；
(2)若a ∈[1,4]，b ∈[1,4]，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率．
解析：(1)设事件A 表示f (x )和g (x )是“友好函数”，则|f (x )＋g (x )|(x ∈[1,2])所有的情况有：x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，4x ＋1x ，4x ＋4
x 共6种且每种情况被取到的可能性相同．
又当a ＞0，b ＞0时，ax ＋b x 在⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
0，
b a 上递减， 在⎝
⎛⎭
⎪⎫
b a ，＋∞上递增；x －1x 和4x －1x 在(0，＋∞)上递增， ∴对x ∈[1,2]可使|f (x )＋g (x )|≤8恒成立的有x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1
x ，故事件A 包含的基本事件有4种， ∴P (A )＝46＝23，故所求概率是2
3.
(2)设事件B 表示f (x )和g (x )是“友好函数”，
∵a 是从区间[1,4]中任取的数，b 是从区间[1,4]中任取的数， ∴点(a ，b )所在区域是长为3，宽为3的正方形区域．
要使x ∈[1,2]时，|f (x )＋g (x )|≤8恒成立，
需f (1)＋g (1)＝a ＋b ≤8，且f (2)＋g (2)＝2a ＋b
2≤8， ∴事件B 表示的点的区域是如图所示的阴影部分． ∴P (B )＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋114×33×3
＝19
24，
故所求概率是19
24
.。