计算方法引论课后答案

第一章 误差
1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差.
解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式2
4A r π=计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差.
在计算过程中,要用到π,我们利用无穷乘积公式计算π的值: 其中
我们取前9项的乘积作为π的近似值,得
这个去掉π的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差.
2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字:
816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 236
3. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位
4. 若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字? 解: 两位
5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +⨯各有几位有效数字?
解: 已知4311
d 10,d 1022
a b --<
⨯<⨯, 又0.2053210a b +=⨯,
()4332111
10100.551010222
d a b da db da db ----+=+≤+=⨯+⨯=⨯<⨯,
所以a b +有三位有效数字;
因为0.1047571410a b ⨯=⨯,
所以a b ⨯有三位有效数字.
6. 设120.9863,0.0062y y ==,是经过舍入后作为12,x x 的近似值.求
12
11,y y 的计算值与真值的相对误差限及12y y ⋅与真值的相对误差限.
解: 已知-4-41112221211
d ,d ,d =
10,d 1022
x y x x y x x x =+=+⨯=⨯, ()4
4111111110d d 12dr dr 0.50100.9863x x
x x x y --⨯⎛⎫==≈=≈⨯ ⎪⎝⎭
;
()42222222110d d 12dr dr 0.81100.0062x x
x x x y --⨯⎛⎫==≈=≈⨯ ⎪⎝⎭
;
()()()4221212dr dr dr 0.50100.81100.8210x x x x ---⋅=+≈⨯+⨯≈⨯.
7. 正方形的边长约为100cm,应该怎样测量,才能使其面积的误差不超过1cm 2. 解: 设正方形面积为S,边长为a,则S=a 2.所以要使:2
d d 2d 1s a a a ==≤,则要求211
d 0.5102200
a a -≤
==⨯.所以边长的误差不能超过2
0.510
-⨯cm.
8. 用观测恒星的方法求得某地维度为4502'''(读到秒),试问:计算sin ϕ将有多大误差?
解: ()()1d sin cos d cos 45022ϕϕϕ*
''⎛
⎫'''== ⎪⎝⎭
.
9 . 真空中自由落体运动距离s 与时间的关系由公式2
12
s gt =
确定,g 是重力加速度.现在假设g 是准确的,而对t 的测量有0.1s ±的误差,证明t 增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小. 证明: 因为:221d d d d d d d ;2.122
s gt t gt t t s gt gt t s s t gt ⎛⎫
=====
⎪⎝⎭ d s 与t
成正比,
d s s
与t 成反比,所以当d t 固定的时候, t
增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.
10. 设0x >,x 的相对误差为δ,求ln x 的绝对误差. 解: 已知
d x x δ=,所以ln x 的绝对误差()d d ln x x x
δ==. 11. 设x 的相对误差为%α,求n
x 的相对误差.
解: 1d d d %n n n n
x nx x n x
n x x x
α-===. 12. 计算球的体积,为了使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限如何? 解: 已知34
3
V R π=
,设()d dr R R a R ==,则要使得 ()()3d dr dln d ln 3d ln 3d ln 3dr 31%V V V R R R R a V =
=======,则1
1%3
a =⋅. 第二章 插值法与数值微分
1.
设y =
在100,121,144x =三处的值是很容易求得的,
试以这三个点建立y =的二次插值多项式,并用
,且给出误差估计.用其中的任意两点,构造线性插值函数,用得到的三个线性插值函
数,
,并分析其结果不同的原因.
解: 已知012012100,121,144;10,11,12x x x y y y ======,
建立二次Lagrange 插值函数可得:
()211510.7228L ≈=.
误差()()
()()()()2012012,,,,3!
f R x x x x x x x x x x ξξξ'''=---∈,所以
利用前两个节点建立线性插值函数可得:
()111510.7143L ≈=.
利用后两个节点建立线性插值可得:
()111510.7391L ≈=.
利用前后两个节点建立线性插值可得:
()111510.6818L ≈=.
与
,二次插值比线性插值效果好,利用前两个节点的线性插值比其他两个线性插值效果好.此说明,二次插值
比线性插值效果好,内插比外插效果好.
2. 利用(2.9)式证明 证明: 由(2.9)式
当0
1x x x <<时,
()()01
max x x x f f x ξ≤≤''''≤,()()()01
201101max 4
x x x x x x x x x ≤≤--≤
- 所以
3. 若()0,1,...,j x n 为互异节点,且有 证明 证明: 由于
且
()0
n
k j j j x l x =∑和k
x
都为k 次多项式,而且在k+1个不同的节点处的函数值都相同
0,1,...,k n =, 所以马上有
()0
,0,1,...,n
k k
j j j x l x x
k n =≡=∑.
4. 设给出sin x 在[],ππ-上的数值表,用二次插值进行计算,若希望截断误差小于5
10-,问函数表的步长最大能取多少?
解: 记插值函数为p(x),则
所以
()()()()11cos max sin 3!
i i i x x p x x x x x x ππ
ξ-+-≤≤--=
---
()cos 1ξ-≤;令()()()()11i i i g x x x x x x x -+=---,设1i x x th -=+,得
又()()()[]12,0,2t t t t t ϕ
=
--∈的最大值为10.3849ϕ⎛= ⎝
⎭,所以有 所以
0.0538h ≤.
5. 用拉格朗日插值和牛顿插值找经过点()()()()3,1,0,2,3,2,6,10---的三次插值公式. 解: Lagrange 插值函数:
牛顿插值: 首先计算差商
也可以利用等距节点构造,首先计算差分 可得前插公式 和后插公式
6. 确定一次数不高于4的多项式()x ϕ,使()()()()()00,00,111,21ϕϕϕϕϕ''=====. 解: 利用重节点计算差商
则可构造Hermite 插值函数满足题设条件:
7. 寻找过1n +个点01,,...,n x x x 的21n +次多项式()21n H x +,满足条件: 解: 和Lagrange 插值函数的构造类似,可将插值函数写成
其中,基函数满足条件 (1)()()(),,,21n i n i h x h x P n ∈+;
(2)()()()(),,,,,0;,0n i n i n i
j ij n i j j ij
j h x h x h x h x δ
δ''====
则可由已知条件,可得
()()()()2
,,,12n i n i i i n i h x l x x x l x '⎡⎤=--⎣⎦;
()()()2
,,n i i n i h x x x l x '=-.
所以可得
8. 过0,1两点构造一个三次Hermite 插值多项式,满足条件: 解: 计算重节点的差商
马上可得
9. 过给定数组
(1) 作一分段线性插值函数.
(2) 取第二类边界条件,作三次样条插值多项式.
(3) 用两种插值函数分别计算75.5,78.3x x ==的函数值. 解: (1)做分段线性插值函数可得:
其中, ()[][]076 75,76;
0 75,76.x x l x x ⎧-∈⎪=⎨
∉⎪⎩
()[]
[][]175 75,7677 76,77;0 75,77.
x x l x x x x ⎧-∈⎪=-∈⎨⎪∉⎩ (2)把已知节点值带入M 关系式可得: 由边界条件可得050M M ==,所以上面方程组变为可求解方程组
解得1
2340.0058,0.0067,0.0036,0.0071M M M M ====.
所以可得在每个区间上的三次样条函数的表达式: (3)当75.5x =时,
()()()50175.5 2.76875.5 2.83375.5 2.8005I l l =+=;
()()()()()3
0.00580.005875.575.576 2.7687675.5 2.83375.575 2.799
66s ⎛⎫=
-+-+--= ⎪⎝⎭
当
78.3x =时,
()()()53475.5 2.97978.3 3.06278.3 3.0039I l
l =+=;
10. 若给出sin ,cos ,tan x x x 的函数表:
用表上的数据和任一插值公式求: (1) 用tan x 表格直接计算tan1.5695.
(2) 用sin1.5695和cos1.5695来计算tan1.5695.并讨论这两个结果中误差变化的原因. 解: 利用Lagrange 插值直接用tan 表计算得
tan1.5695819.0342874999274≈;
利用Lagrange 插值计算sin 得
sin1.56950.99999917500000≈;
利用Lagrange 插值计算cos 得
cos1.56950.00129630000000≈;
最后利用sin/cos 计算tan 得
tan1.5695771.4257309264500≈.
出现小除数,误差被放大.
11. 求三次样条函数()s x ,已知
和边界条件
解: 把表中数据带入M 关系式可得
由边界条件还可得到两个方程: 联立两个方程组可解得:
带入M 表达式便可得所求三次样条函数.
12. 称n 阶方阵()
ij A a =具有严格对角优势,若 (1) 试证明:具有严格对角优势的方阵必可逆. (2) 证明:方程组(2.62)解存在唯一.
证明: (1)设矩阵A 按行严格对角占优,如果A 奇异,则存在非零向量x 使得Ax=0,写成分量形式为
令指标0i 使得
00i x x
∞
=≠,则
因此
0000010n i i i i j j j i x a a =≠⎛⎫
⎪-≤ ⎪ ⎪⎝
⎭
∑ 即
0000
10n
i i i j j j i a a =≠-≤∑
上式与矩阵按行严格对角占优矛盾,因此矩阵非奇异. (2)方程组(2.62)
由于该方程组系数矩阵为严格对角占优的方阵,所以由克拉默法则可知方程组存在唯一解.。