弹簧串联并连

令
02

k m
c
2m
0－－固有角（圆）频率
－－阻尼系数
d2x dt 2

2
dx dt


2 0
x

0
－－有阻尼自由振动微分方程的标准形式
其解可设为 x ert
本征方程
r 2 2r 02 0
方程的两个根为
r1 2 02
r2 2 02
（2）弹簧串联
st1

mg k1
st 2

mg k2
两个弹簧总的静伸长
st
st1
st 2
mg ( 1 k1

1) k2
若设串联弹簧系统的等效弹簧刚度系数为keq
st mg / keq
比较上面两式得
则有
1 11 keq k1 k2
k eq

k1k 2 k1 k2
第四章 机械振动基础
机械振动的特点：围绕其平衡位置往复运动。 学习目的：利用有益的振动，减少有害的振动。 振动系统包括：单自由度系统、多自由度系统和连续体等。
§ 4－1 单自由度系统的自由振动
1.自由振动微分方程
设弹簧原长为 l0
在刚重度力系数P为kmg 的作用下
弹簧的变形为 st
称为静变形
解得系统的固有频率为
0
2g 3(R r)
§ 4－3 单自由度系统的有阻尼自由振动
1.阻尼
阻尼－－振动过程中的阻力。 粘性阻尼－－当振动速度不大时，由于介质粘性引起的阻
力近似地与速度的一次方成正比。
Fd cv
其中：c－－粘性阻力系数（简称为阻力系数） 以阻尼元件c表示。
弹性元件（k） 一般的机械振动系统 惯性元件（m）
阻尼元件（c）
2.振动微分方程
如以平衡位置为坐标原点， 在建立此系统的振动微分 方程时可以不再计入重力 的作用。
在振动过程中作用在物块上的力有
（1）恢复力 Fe
Fe kx
（2）粘性阻尼力Fd
Fd

c x

c dx dt
物块的运动微分方程为
m
d2x dt 2

kx c
dx dt
(m 2J )xx kxx 0 r2
(m 2J )x kx 0 r2
－－自由振动微分方程 系统的固有频率为
0
kr2 mr 2 2J
§ 4－2 计算固有频率的能量法
如图所示无阻尼振动系统 当系统作自由振动时，运动规律为
x Asin(0t )
速度为
这一位置为平衡位置
st P / k
取重物的平衡位置点O为坐标原点
取x 轴的正向铅直向下 则
F k k(st x)
其运动微分方程为
m
d2x dt 2

P

k (st

x)
st P / k
m d2x kx dt 2
上式表明：
物体偏离平衡位置于坐标x处将受到与偏离距离成正
当物体处于平衡位置（振动中心）时，物块具有最大动能
Tmax

1 2
m02
A2
当物块处于偏离振动中心的极端位置时，系统具有最大势能
由机械守恒定律
Vmax

1 kA2 2
Tmax Vmax
可得系统的固有频率
0 k / m
例 4－5
已知：如图振动系统中，摆杆OA对铰链点O的转动惯量J，
杆的点A和B各安置一个弹簧，刚度系数分别为k1 和 k2 。系统在水平位置处于平衡。
固有频率为
0
keq m
k1k 2 m(k1 k2 )
当两个弹簧串联时，其等效弹簧刚度系数的倒数 等于两个弹簧刚度系数倒数的和。
这一结论也可以推广到多个弹簧串联的情形
4.其他类型的单自由振动系统
图为一扭振系统
运动微分方程为
JO
d 2
dt 2

kt
令
02

kt JO
则上式可变为
x Ae t sin(dt )
其中A和θ为两个积分常数，由运动的初始条件确定。
设t=0， x x0 , 0
A
x02

(v0 x0 )2 02 2
tan x0 02 2 0 x0
振动的振幅是随时间不断衰减的，称为衰减振动。 是否为周期振动呢？ 仍具有振动的特点。
x0

0

0.5kg 9.8m/s 2 sin 30 0.8N/m 1000

3.06 10 3 m
v0 2gh 29.8m/s2 0.1m 1.4m/s
A
x02

v02
02
35.1mm
arctan 0 x0 0.087rad
v0
运动方程为 x 35.1sin(40t 0.087)mm

mg

k( st

x)

kx
设
02

Fra Baidu bibliotek
k m
d2x dt 2


2 0
x

0
x Asin(0t )
固有频率
0
k m
g 70rad/s
st
在初瞬时t=0，物块位于未变形的梁上
其坐标 x0 st 2mm 重物初速度 0 0
则振幅为
A
x02

v02
微分方程的解为
x C1 cos0t C2 sin 0t
其中 C1和
C
是积分常数， 由运动的起始条件确定
2
令：
A C12 C22
tan C1
C2
x Asin(0t )
无阻尼自由振动是简谐振动
2.无阻尼自由振动的特点
（1）固有频率
若运动规律x( t ) 可以写为
02
2mm
初相角 arctan 0x0 arctan() π
v0
2
最后得系统的自由振动规律为
x 2cos(70t)mm
例 4－3
已知：图为一摆振系统，杆重不计球质量为m。摆对轴O 的转动惯量为J，弹簧刚度系数为k。杆于水平位置 平衡。
求：此系统微小振动的运动微分方程及振动固有频率。
例 4－2
已知：如图所示无重弹性梁，当中部放置质量m的物块时， 其静挠度为2mm，若将此物块在梁未变形位置处 无初速释放。
求：系统的振动规律。
解：
此无重弹性梁相当于一弹簧,其静挠度相当于弹簧的静伸长
则梁的刚度系数为 k mg
st
取其平衡位置为坐标原点,x轴方向铅直向下
运动微分方程为
m
d2x dt 2
求：此系统振动的固有频率。
解：
以系统平衡时重物的位置为原点，取x轴如图。 系统动能为
T 1 mx 2 2 1 J ( x )2
2
2r
系统的势能为
V 1 kx2 2
不计摩擦，由系统的机械能守恒
T
V

1 mx 2 2

J r2
x 2

1 kx2 2
常数
上式两端对时间取一阶导数，得
v

dx dt

0 Acos(0t
)
在瞬时t 物块的动能为
T

1 2
mv2

1 2
m02 A2
cos2 (0t
)
若选平衡位置为零势能点，有
V

1 2
k[(x
st )2


2 st
]

Px
k st P
V

1 kx2 2

1 2
k
A2
s
in
2
(0t
)
对于有重力影响的弹性系统，如果以平 衡位置为零势能位置，则重力势能与弹性力 势能之和，相当于由平衡位置处计算变形的 单独弹性力的势能。
d 2
dt 2
02

0
例 4－1
已知：质量为m＝0.5kg的物体沿光滑斜面无初速度滑下。 当物块下落高度h=0.1m时，撞于无质量的弹簧上，
并与弹簧不再分离，弹簧刚度系数k=0.8kN/m。
倾角 30 求：此系统振动的固有频率和振幅并给出物块的运动方程。
解： 若物块平衡时，弹簧应有变形量
2
当圆柱体作微振动时，可认为 sin
22
V 1 mg(R r) 2
2
设系统作自由振动时θ的变化规律为 Asin(0t )
则系统的最大动能
Tmax

3m 4
(R

r)
2
02
A2
系统的最大势能
Vmax
1 mg(R r)A2 2
由机械守恒定律 有 Tmax Vmax

k m
0
k m
0 只与表征系统本身特性的质量m和刚度k有关
而与运动的初始条件无关 它是振动系统固有的特性 所以称为固有角（圆）频率（一般也称固有频率）
m=P/g
k P / st
0
k m
0
g
st
（2）振幅与初相角
x Asin(0t ) A表示相对于振动中心点O的最大位移 －－振幅 (0t ) 表示质点在某瞬时t 的位置－－相位（或相位角）
x(t) x(t T )
－－周期振动
T为常数－－周期
由式 x Asin(0t )
[0 (t T ) ] (0t ) 2π
自由振动的周期为
T 2π
0
0

2π 1 T

2π
f
其中 f 1 －－振动的频率，表示每秒钟的振动次数。 T
由式
02
而θ表示质点运动的起始位置－－初相角
设t= 0 时，x x0 0
x Asin(0t )


dx dt

A0
cos(0t
)
A
x02


2 0
02
tan 0 x0 0
3.弹簧的并联与串联
（1）弹簧并联
F1 k1 st
在平衡时有
F2 k2 st
0

mg sin
k
以物块平衡位置O为原点，取x轴如图，运动微分方程为
m
d2x dt 2

mg
sin


k( 0

x)
m d2 x kx dt 2
通解为
x Asin(0t )
固有频率
0
k m
0.8N/m1000 40rad/s 0.5kg
当物块碰上弹簧时，取时间t=0，作为振动的起点
定义：质点从一个最大偏离位置到下一个最大偏离位置 所需要的时间称为衰减振动的周期，记为Td
2π 2π
Td d 02 2
比而与偏离方向相反的合力
恢复力
只在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动
02

k m
m d2x kx dt 2
d2x dt 2

02 x

0
－－无阻尼自由振动微分方程的标准形式
其解具有如下形式
其中r为待定常数
本征方程
x ert
r 2 02 0
本征方程的两个根为 r1 i0 r2 i0 r1和 r2是两个共轭虚根
Tmax Vmax
即
1 2
J02Φ 2

1 2
(k1l
2
k2d 2 )Φ2
解得固有频率
0
k1l 2 k2d 2 J
例 4－6
已知：如图表示一质量为m，半径为r的圆柱体，
在一半径为R的圆弧槽上作无滑动的滚动。 求：圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。
解：
vO1 (R r)
解：
摆于水平平衡处，弹簧已有压缩量 0

由平衡方程 M O (Fi ) 0
mgl k 0d
以平衡位置为原点， 摆绕轴O的转动微分方程为
J
d 2
dt 2

mgl
k( 0
d ) d
J d 2 kd 2
dt 2
0 d
k J
例 4－4
已知：如图所示两个相同的塔轮，相啮合的齿轮半径 皆为R，半径为r的鼓轮上绕有细绳。轮I连一铅 直弹簧，轮II挂一重物，塔轮对轴的转动惯量皆 为J，弹簧刚度系数为k，重物质量为m。
(R r) / r
系统的动能为
T

1 2
mvO21

1 2
J O1 2

1 2
m[(R
r) ]2

1 2
( mr2 2
)[ ( R
r)
r
]2
3m (R r)2 2
4
系统的势能为 V mg(R r)(1 cos ) 2mg(R r)sin 2
求：系统作微振动时的固有频率。
解：
Φ sin(0t )
系统振动时摆杆的最大角速度 max 0Φ
系统的最大动能为
Tmax

1 2
J02Φ 2
选择平衡位置为零势能点
最大势能为
Vmax

1 2
k1
(lΦ)
2

1 2
k2
(dΦ)
2

1 2
(k1l
2
k2d 2 )Φ2
由机械能守恒定律有
mg F1 F2 (k1 k2 ) st
令
keq k1 k2
k e q －－等效弹簧刚度系数 mg keq st st mg / keq
固有频率
0
keq m
k1 k2 m
当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度系数等于两个 弹簧刚度系数的和。
这个结论也可以推广到多个弹簧并联的情形。
通解为
x C1er1t C2er2t
3.欠阻尼状态
0
c 2 mk
欠阻尼状态
本方程的两个根为共轭复数
r1 i 02 2 r2 i 02 2
x Ae t sin( 02 2t )
令 d 02 2 －－有阻尼自由振动的固有角频率