八年级数学上册轴对称复习教案新人教版

轴对称复习

本章视点

一、课标要求与内容分析

1.本章的课标要求是：(1)图形的轴对称：①通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；②能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；③探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相互关系；

④欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计；⑤在同一直角坐标系中，感受图形轴对称变换后点的坐标的变化.（2）线段的垂直平分线：了解线段垂直平分线及其性质.（3）等腰三角形：①了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件，了解等边三角形的概念并探索其性质；②了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件.

2.本章的主要内容是围绕等腰三角形展开的.等腰三角形是继角、线段后接触到的第三个轴对称图形，它为后面学习等边三角形、直角三角形和特殊四边形做下铺垫，也是平面几何研究的主要对象，起着承前启后的作用.

3.本章内容分为：(1)轴对称；（2）轴对称变换；（3）等腰三角形.第一部分介绍轴对称的意义、轴对称的性质，会画一个轴对称图形的对称轴；第二部分介绍如何画一个轴对称图形，怎样用坐标表示轴对称；第三部分介绍怎样利用轴对称来探索等腰三角形的性质.本章内容的编排，体现了从一般到特殊，再到应用的特点.

4.本章的重点是轴对称、轴对称变换、等腰三角形的性质和判定.难点是等腰三角形的性质和判定.掌握等腰三角形的性质和判定，并能应用这些知识是学好本章的关键.

二、学法指导

在本章的学习中，要逐步体会轴对称的思想，同时由特殊到一般的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想及方程的思想都应引起广泛的重视和应用.

章末总结

知识网络图示

基本知识提炼整理

一、基本概念

1.轴对称图形

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.

2.线段的垂直平分线

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线

3.轴对称变换

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.

4.等腰三角形

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

5.等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形.

二、主要性质

1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分

线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

2.线段垂直平分钱的性质

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

3.（1）点P （x ，y ）关于x 轴对称的点的坐标为P ′（x ，-y ）.

（2）点P （x,y ）关于y 轴对称的点的坐标为P ″（-x ，y ）.

4.等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.

（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.

（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.

（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。

（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.

5.等边三角形的性质

（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.

（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.

（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.

三、有关判定

1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.

3.三个角都相等的三角形是等边三角形.

4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

专题总结及应用

一、用轴对称的观点证明有关几何命题

例1 试说明在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，如图14－102所示.

求证：BC=2

1AB. 证明：如图14－103所示.

作出△ABC 关于AC 对称的△AB ′C.

∴AB ′=AB.

又∵∠CAB=30°，∴∠B ′=∠B=∠B ′AB=60°.

∴AB=BB ′=AB ′

又∵AC ⊥B ′B ，

∴B ′C=BC=

21BB ′=21AB. 即BC=2

1AB. 例2 如图14－104所示，已知∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°.求证BD=

41AB. 证明：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，

∴BC=21AB ，∠B=60°. 又∵CD ⊥BA ， ∴∠BDC=90°，∠BCD=30°.∴BD=

21BC. ∴BD=

21·21AB=4

1AB. 即BD=41AB. 二、有关等腰三角形的内角度数的计算

例3 如图14－105所示，AB=AC ，BC=BD=ED=EA ，求∠A 的度数.

（分析）图形中有多个等腰三角形，因而有许多对相等的角，设定其中的某个角，再用这个角把另外的角表示出来，即可解决.

解：∵AB=AC ，BC=BD=ED=EA ，

∴∠ABC=∠C=∠BDC ，

∠ABD=∠BED ，∠A=∠EDA.

设∠A=α，则∠EDA=α，∠ABD=∠BED=2α，

∠ABC=∠C=∠BDC=3α（根据三角形的外角性质）.

在△ABC 中，∠A=α，∠ABC=∠ACB=3α，

由三角形内角和可得α+3α+3α=180°，

∴α=

7180︒，∴∠A=7

180︒. ∴∠A 的度数为7180︒. 例4 如图14－106所示，在△ABC 中，D 在BC 上，若AD=BD ，AB=AC=CD ，求∠BAC 的度数.

解：∵AD=BD ，AB=AC=CD ，

∴∠B=∠C=∠BAD ，∠CAD=∠CDA.

设∠B=∠C=∠BAD=α，

则∠CAD=∠CDA=2α，∠BAC=3α.

在△ABC 中，∠BAC=3α，∠B=∠C=α，

∴3α+α+α=180°，

∴α=36”，∴3α=108°，即∠BAC=108°.

∴∠BAC 的度数是108°.

三、作辅助线解决问题

例5 如图14－107所示，∠B=90°，AD=AB=BC ，DE ⊥AC.求证BE=DC.

证明：连接AE.

∵ED ⊥AC ，∴∠ADE=90°.

又∵∠B=90°，∴在Rt △ABE 和Rt △ADE 中，

∴Rt △ABE ≌Rt △ADE （HL ），∴BE=ED.

∵AB=BC ，∴∠BAC=∠C.

又∵∠B=90°，∴∠BAC+∠C=90°.

∴∠C=45°.∴∠DEC=45°.

∴∠C=∠DEC=∠45°.