最优估计与滤波
控制系统的状态空间分析与综合
第8章控制系统的状态空间分析与综合第1~7章涉及的内容属于经典控制理论的范畴，系统的数学模型是线性定常微分方程和传递函数，主要的分析与综合方法是时域法、根轨迹法和频域法。
经典控制理论通常用于单输入－单输出线性定常系统，其缺点是只能反映输入－输出间的外部特性，难以揭示系统内部的结构和运行状态，不能有效处理多输入－多输出系统、非线性系统、时变系统等复杂系统的控制问题。
随着科学技术的发展，对控制系统速度、精度、适应能力的要求越来越高，经典控制理论已不能满足要求。
1960年前后，在航天技术和计算机技术的推动下，现代控制理论开始发展，一个重要的标志就是美国学者卡尔曼引入了状态空间的概念。
它是以系统内部状态为基础进行分析与综合的控制理论，两个重要的内容如下。
（1）最优控制：在给定的限制条件和评价函数下，寻求使系统性能指标最优的控制规律。
（2）最优估计与滤波：在有随机干扰的情况下，根据测量数据对系统的状态进行最优估计。
本章讨论控制系统的状态空间分析与综合，它是现代控制理论的基础。
8.1 控制系统的状态空间描述8.1.1 系统数学描述的两种基本方法统的内部结构和内部变量，如传递函数；另一种是状态空间描述（内部描述），它是基于系统内部结构的一种数学模型，由两个方程组成。
一个反映系统内部变量x和输入变量u间的关系，具有一阶微分方程组或一阶差分方程组的形式；另一个是表征系统输出向量y与内部变量及输入变量间的关系，具有代数方程的形式。
外部描述虽能反映系统的外部特性，却不能反映系统内部的结构与运行过程，内部结构不同的两个系统也可能具有相同的外部特性，因此外部描述通常是不完整的；内部描述则能全面完整地反映出系统的动力学特征。
8.1.2 状态空间描述常用的基本概念 1.输入和输出由外部施加到系统上的激励称为输入，若输入是按需要人为施加的，又称为控制；系统的被控量或从外部测量到的系统信息称为输出，若输出是由传感器测量得到的，又称为观测。
卡尔曼滤波是一种最优估计技术
卡尔曼滤波是一种最优估计技术。
工程中，为了了解工程对象（滤波中称为系统）的各个物理量（滤波中称为状态）的确切数值，或为了达到对工程对象进行控制的目的，必须利用测量手段对系统的各个状态进行测量。
但是，测量值可能仅是系统的部分状态或是部分状态的线性组合，且量测值中有随机误差（常称为量测噪声）。
最优估计就是针对上述问题的一种解决方法。
最优估计能将仅与部分状态有关的测量进行处理，得出从某种统计意义上讲误差最小的更多状态的估值。
误差最小的标准常称为估计准则，根据不同的的估计准则和估计计算方法，有各种不同的最优估计，卡尔曼滤波是一种递推线性最小方差估计。
下图为卡尔曼滤波器的模型，描述了各个变量之间的联系和在不同的时间步中所作的转化。
图2-2 卡尔曼滤波器的模型在图2-2中，圆圈代表向量，方块代表矩阵，星号代表高斯噪声，其协方差矩阵在右下方标出[1]。
为了方便读者理解，引用一个例子解释卡尔曼滤波：假设我们要研究的对象是一个房间的温度。
根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。
假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。
我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。
另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。
我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。
好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。
下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。
假如我们要估算k时刻的是实际温度值。
首先你要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。
因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5）。
卡尔曼滤波的最优估计原理
卡尔曼滤波的最优估计原理卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的最优估计方法，它基于贝叶斯滤波理论，通过融合传感器测量值和系统模型，以最小化估计误差的均方差为目标，实现对系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波的最优估计原理可以用于多个领域，例如航天、导航、无人驾驶、自动控制等。
在这些领域中，准确地估计系统的状态是非常重要的，而卡尔曼滤波提供了一种有效的方法来实现这一目标。
卡尔曼滤波的核心思想是利用系统的动力学模型和测量模型来进行状态估计。
动力学模型描述了系统状态的演化规律，而测量模型描述了测量值与系统状态的关系。
通过不断地更新估计值，卡尔曼滤波可以提供对系统当前状态的最优估计。
卡尔曼滤波通过两个步骤来实现状态估计：预测步骤和更新步骤。
在预测步骤中，根据系统的动力学模型，预测系统的状态，并计算预测误差的协方差。
在更新步骤中，根据测量模型，将测量值与预测值进行比较，计算更新后的系统状态估计值和更新后的误差协方差。
卡尔曼滤波的最优估计原理在于它能够有效地融合动力学模型和测量模型，通过对估计误差的均方差进行最小化，提供对系统状态的最优估计。
这种方法不仅考虑了测量值的准确性，还考虑了系统模型的准确性，从而提高了状态估计的精度和鲁棒性。
卡尔曼滤波的最优估计原理在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在无人驾驶领域，通过卡尔曼滤波可以实现对车辆的位置、速度和方向的准确估计，从而实现自动驾驶的精准控制。
在导航领域，卡尔曼滤波可以用于实时估计航天器的轨道和姿态，提高导航的精度和可靠性。
除了卡尔曼滤波，还有其他的最优估计方法，例如扩展卡尔曼滤波和无迹卡尔曼滤波等。
这些方法在卡尔曼滤波的基础上进行了改进，以适应更复杂的系统模型和测量模型。
卡尔曼滤波的最优估计原理提供了一种有效的方法来实现对系统状态的最优估计。
通过融合动力学模型和测量模型，卡尔曼滤波可以提供准确、鲁棒的状态估计，广泛应用于航天、导航、无人驾驶等领域。
这一原理的应用为各个领域的技术发展和应用提供了有力支持，促进了科技进步和社会发展。
卡尔曼滤波_卡尔曼算法
卡尔曼滤波_卡尔曼算法1.引言1.1 概述卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的技术，通过融合传感器测量值和系统模型的预测值，提供对系统状态的最优估计。
它的应用十分广泛，特别在导航、图像处理、机器人技术等领域中发挥着重要作用。
在现实世界中，我们往往面临着各种噪声和不确定性，这些因素会影响我们对系统状态的准确估计。
卡尔曼滤波通过动态调整系统状态的估计值，可以有效地抑制这些干扰，提供更加精确的系统状态估计。
卡尔曼滤波的核心思想是利用系统模型的预测和传感器测量值之间的线性组合，来计算系统状态的最优估计。
通过动态地更新状态估计值，卡尔曼滤波可以在对系统状态的准确估计和对传感器测量值的实时响应之间进行平衡。
卡尔曼滤波算法包括两个主要步骤：预测和更新。
在预测步骤中，通过系统模型和上一时刻的状态估计值，预测当前时刻的系统状态。
在更新步骤中，将传感器测量值与预测值进行比较，然后根据测量误差和系统不确定性的权重，计算系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波具有很多优点，例如它对传感器噪声和系统模型误差具有鲁棒性，可以提供较为稳定的估计结果。
此外，卡尔曼滤波还可以有效地处理缺失数据和不完全的测量信息，具有较高的自适应性和实时性。
尽管卡尔曼滤波在理论上具有较好的性能，但实际应用中还需考虑诸如系统模型的准确性、测量噪声的特性等因素。
因此，在具体应用中需要根据实际情况进行算法参数的调整和优化，以提高估计的准确性和可靠性。
通过深入理解卡尔曼滤波的原理和应用，我们可以更好地应对复杂环境下的估计问题，从而在实际工程中取得更好的效果。
本文将介绍卡尔曼滤波的基本原理和算法步骤，以及其在不同领域的应用案例。
希望通过本文的阅读，读者们可以对卡尔曼滤波有一个全面的了解，并能够在实际工程中灵活运用。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：1.2 文章结构本文将围绕卡尔曼滤波和卡尔曼算法展开论述。
首先，我们会在引言部分对卡尔曼滤波和卡尔曼算法进行简要概述，介绍其基本原理和应用领域。
最优估计之维纳滤波
设计目的：滤除按照统计方式干扰信号的噪声。
9
连续系统维纳滤波器的信息流程图 W ( s) Y(t)
＋ －
X(t)
＋ ＋
Z(t)
G(s)
e( t ) ˆ t X
V(t)
X(t) —— 有用随机信号； V(t) —— 随机干扰信号； G(s) —— 实际滤波器传递函数； W(s) —— 理想滤波器传递函数； ˆ t —— G(s) 的真实输出信号； X Y(t) —— W(s) 的理想输出信号。
ˆ t e(t ) Y (t ) X
W(s) = 1 ------ 滤波问题 s 预测问题 W ( s) e-----W(s) = s ------ 微分平滑问题
10
什么是维纳滤波
目的：设计传递函数G(s)，使e(t) 尽可能小。 ˆ t X (t ) X ˆ t 误差信号： e(t ) Y (t ) X
为求极值：
1 T 2 E e (t ) lim [ X ( t ) h ( ) z ( t ) d ] dt min 0 T 2T T 采用泛函变分方法。定 义泛函： 滤波器脉冲响应 h( ) 的函数， 2
定义在集合 h( ) 上的范函。
1 J [h( )] lim T 2T
S zx ( ) G ( j ) S zz ( )
G( j ) h(t )e jt dt
0
Rzx ( ) e j d Rzz ( ) e j d16
另一方面，可得：
ˆ X t h( ) Z (t )d
8
维纳滤波的特点
最优滤波方程
最优滤波方程最优滤波方程（Optimal Filtering Equation）是信号处理领域中常用的一种滤波方法，它利用数学模型和最小均方误差准则，根据已知信号信息和观测噪声特性，通过最小化滤波误差来估计出真实信号的最佳估计值。
在介绍最优滤波方程之前，我们先来了解一下滤波的基本概念。
滤波是一种信号处理的方法，通过将输入信号通过滤波器进行处理，得到输出信号，以达到滤除噪声、平滑信号等目的。
在实际应用中，我们常常需要对信号进行估计和预测，这就涉及到了滤波估计问题。
最优滤波方程是一种基于贝叶斯准则的滤波方法，它利用贝叶斯公式，通过求解条件概率分布的最大后验概率，得到最佳估计值。
最优滤波方程的核心思想是在已知观测信号和模型的情况下，利用贝叶斯公式对未知信号进行估计，使得估计值能最大程度上接近真实信号。
最优滤波方程的推导基于马尔可夫假设，即未来的观测只与当前的状态有关，与过去的观测无关。
假设我们有一个线性状态空间模型，状态方程可以表示为：X(k+1) = A*X(k) + w(k)其中，X(k)是系统的状态向量，A是状态转移矩阵，w(k)是状态噪声。
观测方程可以表示为：Y(k) = C*X(k) + v(k)其中，Y(k)是观测向量，C是观测矩阵，v(k)是观测噪声。
我们的目标是在已知观测信号Y(k)和模型参数的情况下，估计状态向量X(k)的最佳估计值。
最优滤波方程的核心思想是通过最小化均方误差准则，选择一个合适的估计器，使得估计值与真实值之间的均方误差最小。
根据贝叶斯公式，我们可以得到后验概率分布的递推表达式，即最优滤波方程：P(X(k)|Y(1:k)) = P(Y(k)|X(k)) * P(X(k)|Y(1:k-1)) /P(Y(k)|Y(1:k-1))其中，P(X(k)|Y(1:k))是给定前k个观测值条件下的状态向量X(k)的后验概率分布，P(Y(k)|X(k))是给定状态X(k)的条件下的观测概率分布，P(X(k)|Y(1:k-1))是给定前k-1个观测值条件下的状态向量X(k)的后验概率分布，P(Y(k)|Y(1:k-1))是给定前k-1个观测值条件下的观测概率分布。
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
最优估计与滤波
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
Hale Waihona Puke ▪
中国海洋大学842自控理论问答题
2011年1.简述二阶无零点系统加一个零点后对系统的时间响应有何影响。
a)当其它条件不变时，附加一个闭环零点，二阶系统阶跃响应的超调量增大，上升时间和峰值时间减小。
b)附加零点从极点左侧向极点越靠近，上述影响越明显。
c)当零点距离虚轴很远时，零点的影响可以忽略，这时系统可以用无零点的二阶系统代替2.串接在系统中的相位滞后校正装置的作用是什么。
加入滞后校正环节，使系统的开环增益有较大幅度增加，提高系统的稳态精度，同时又使校正后的系统动态指标保持原系统的良好状态。
它利用滞后校正环节的低通滤波特性，在不影响校正后系统低频特性的情况下，使校正后系统中高频段增益降低，从而使其穿越频率前移，达到增加系统相位裕度的目的3.频率特性函数的几何表示及其意义是什么。
a)幅相频率特性曲线，又叫极坐标图。
在复平面上，向量的长度表示频率特性的复制，向量与实轴正方向的夹角等于频率特性的相位。
幅相曲线中，频率ω为参变量，可直观的表示ω增大时幅相曲线变化的方向b)对数频率特性曲线，又叫伯德图。
由对数幅频曲线和相频曲线组成，是工程上常用的一组曲线，便于在大频率范围反映频率特性的变化情况c)对数幅相曲线，又叫尼克尔斯图。
可以根据系统开环和闭环的关系，绘制欢愉闭环幅频特性的M簇线和闭环相频特性的等α簇线，根据频域指标要求确定校正网络，简化系统设计过程4.简述建立系统数学模型的两种常用方法其应用范围。
a)建立数学模型一种是分析法。
是对系统各部分的运动机理进行分析，按照物理或化学规律列写运动方程b)另一种是实验法。
又叫系统辨识。
是给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，然后用适当的数学模型去逼近。
5.为什么采样控制要采用保持器。
在系统中需要将离散信号转换成连续信号的时候，用到保持器。
另外，采样器输出的脉冲信号如果不经滤波将其恢复成连续信号，则采样信号中的高频分量相当于给系统中的连续部分加入了噪声，不但影响控制质量而且加剧机械部件的磨损6.二次型在现代控制理论中主要有哪些应用。
控制系统中的信号处理与滤波方法
控制系统中的信号处理与滤波方法信号处理与滤波方法在控制系统中的应用在现代控制系统中，信号处理与滤波方法起着至关重要的作用。
控制系统的目标是将输入信号转化为期望的输出响应，而信号处理与滤波方法则能够帮助我们对输入信号进行预处理，提取有用信息，剔除噪声干扰，从而提高控制系统的性能和稳定性。
本文将介绍一些常见的信号处理与滤波方法，并探讨它们在控制系统中的应用。
一、模拟滤波器模拟滤波器是一种用电路或传输函数来实现信号滤波的方法。
常见的模拟滤波器包括低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。
这些滤波器通过改变信号的频谱特性，选择性地通过或剔除某些频率的信号成分。
在控制系统中，模拟滤波器常用于信号采样前的预处理，以削弱高频噪声的干扰，提高系统的抗干扰能力。
二、数字滤波器数字滤波器是一种用数字信号处理算法来实现信号滤波的方法。
与模拟滤波器相比，数字滤波器具有更好的可控性和灵活性。
常见的数字滤波器包括FIR滤波器和IIR滤波器。
FIR滤波器具有线性相位特性和稳定性，适用于需要精确控制频率响应的应用；而IIR滤波器具有较窄的滤波器设计，适用于资源受限的应用。
数字滤波器在控制系统中广泛应用于信号去噪、提取特征等方面。
三、卡尔曼滤波卡尔曼滤波是一种最优估计滤波器，经典的状态估计与滤波方法。
它通过对系统的状态进行预测和校正，能够有效地估计系统的状态变量。
在控制系统中，卡尔曼滤波常用于系统辨识、状态估计和轨迹跟踪等方面。
它利用系统的动力学模型和测量值，通过最小化估计误差的方差，实现对系统状态的最优估计。
四、小波变换小波变换是一种多尺度分析方法，能够将信号分解成不同频率的成分。
小波变换具有时域和频域的特点，适用于分析非平稳和突变的信号。
在控制系统中，小波变换常用于信号降噪、故障检测、频谱分析等方面。
通过选择合适的小波基函数和分解层数，可以有效地提取信号中的有用信息和故障特征。
五、自适应滤波自适应滤波是一种能够自动调整滤波器参数的方法。
卡尔曼滤波的初值计算方法及其应用
卡尔曼滤波的初值计算方法及其应用卡尔曼滤波的初值计算方法及其应用引言：卡尔曼滤波是一种最优估计方法，广泛应用于信号处理、机器学习、自动控制等领域。
卡尔曼滤波的核心就是通过对系统的观测结果与先验知识进行融合，得出系统状态的估计。
然而，在实际应用中，卡尔曼滤波的初值对滤波结果的准确性有着重要的影响。
本文将介绍卡尔曼滤波的初值计算方法及其应用。
一、卡尔曼滤波的基本原理卡尔曼滤波是通过融合观测信息和先验信息对系统状态进行估计的一种最优估计方法。
其基本原理可以简单概括为：根据系统的动态方程和观测方程，通过递推的方式，不断更新系统状态的估计值和误差协方差矩阵。
卡尔曼滤波的基本步骤如下：1. 初始化：给定系统的初值估计和误差协方差矩阵。
2. 预测：根据系统的动态方程，通过对上一时刻的状态和误差协方差进行预测，得出当前时刻的状态预测值和误差协方差预测矩阵。
3. 更新：根据观测方程，将观测结果与预测结果进行比较，计算卡尔曼增益，更新当前时刻的状态估计值和误差协方差矩阵。
4. 重复以上步骤，直到所有状态都被滤波完毕。
二、卡尔曼滤波的初值计算方法卡尔曼滤波的初值计算方法一般有两种：直接测量法和历史数据法。
1. 直接测量法直接测量法是指使用真实观测数据直接初始化系统的状态估计和误差协方差矩阵。
这种方法适用于初值已知、且可靠的情况下。
一般来说，直接测量法的步骤如下：（1）根据系统的观测方程，将观测结果代入，计算状态估计值；（2）计算观测结果与状态估计值之间的误差，作为误差协方差矩阵的初值。
2. 历史数据法历史数据法是指根据系统的历史观测数据进行初始化。
这种方法适用于没有直接测量初值或初值不可靠的情况下。
一般来说，历史数据法的步骤如下：（1）统计系统的历史观测数据，计算均值和方差；（2）根据系统的动态方程，由均值和方差计算状态估计值和误差协方差矩阵的初值。
三、卡尔曼滤波的应用卡尔曼滤波在实际应用中有着广泛的应用。
以下将介绍卡尔曼滤波在目标跟踪、机器人定位和飞行器导航等领域的应用。
控制理论中的状态估计与滤波器
控制理论中的状态估计与滤波器状态估计和滤波器是控制理论中的重要概念，用于估计系统的内部状态并滤除来自测量或环境的噪声。
在控制系统中，状态估计和滤波器起着关键的作用，能够提高系统的性能和鲁棒性。
本文将介绍控制理论中的状态估计与滤波器的基本原理和常见方法。
一、状态估计状态估计是指根据系统的输入和输出信息，通过数学模型对系统的内部状态进行估计或推断。
在控制系统中，内部状态往往不是直接可测量的，而是通过传感器测量得到的输出和系统输入的关系来进行估计。
状态估计的基本原理是利用系统的数学模型和测量数据，通过滤波和优化算法，对系统的内部状态进行估计。
常见的状态估计方法包括卡尔曼滤波、扩展卡尔曼滤波、无迹卡尔曼滤波等。
二、滤波器滤波器是一种用于去除信号中噪声或不需要的成分的设备或算法。
在控制系统中，滤波器用于从测量数据中提取出系统内部状态的信息，并滤除来自测量或环境的噪声，以得到更准确的状态估计。
常见的滤波器包括低通滤波器、带通滤波器和高通滤波器。
低通滤波器主要用于去除高频噪声，使得信号中的低频成分能够通过；带通滤波器用于保留某一频率范围内的信号，去除其他频率范围的噪声；高通滤波器则用于去除低频噪声，使得信号中的高频成分能够通过。
三、卡尔曼滤波卡尔曼滤波是一种最优滤波算法，被广泛应用于控制系统中的状态估计。
它通过对系统的线性动态模型和测量方程进行建模，利用贝叶斯滤波的方法，联合考虑测量数据和系统模型，得到对系统内部状态的最优估计。
卡尔曼滤波由预测步骤和更新步骤组成。
在预测步骤中，根据系统的动态模型和上一时刻的状态估计，预测当前时刻的状态估计和误差协方差。
在更新步骤中，根据测量数据和预测的状态估计，使用贝叶斯定理更新状态估计和误差协方差。
四、扩展卡尔曼滤波扩展卡尔曼滤波是卡尔曼滤波的非线性扩展，用于处理非线性系统和非线性测量模型。
它通过在卡尔曼滤波的预测和更新步骤中使用线性近似，对非线性系统进行线性化处理，从而得到对系统内部状态的估计。
卡尔曼滤波最优温度估计
卡尔曼滤波最优温度估计一、卡尔曼滤波的原理概述卡尔曼滤波是一种递归的状态估计方法，它通过系统模型和测量值来更新状态的最优估计。
我们先来了解一下卡尔曼滤波的基本原理。
1. 假设条件卡尔曼滤波的基本假设如下：线性动态模型：系统的状态转移和观测模型是线性的。
即：其中x表示状态向量，z表示观测向量，F、H是状态转移矩阵和观测矩阵，B是控制矩阵，u是控制向量，w和v是系统和观测噪声。
高斯分布噪声：系统噪声和观测噪声都是高斯分布的，并且彼此之间相互独立。
2. 卡尔曼滤波的步骤卡尔曼滤波主要分为两个步骤：预测和更新。
(1) 预测步骤：在预测步骤中，我们利用系统的状态转移方程来预测下一个时刻的状态和协方差矩阵。
具体的计算公式如下：预测状态估计：预测误差协方差：(2) 更新步骤：在更新步骤中，我们将系统的测量值与预测的状态进行比较，从而校正状态估计值和协方差矩阵。
具体的计算公式如下：①预测观测值：②预测观测误差：③卡尔曼增益：④更新状态估计：⑤更新误差协方差：这些公式是卡尔曼滤波中关键的计算步骤，通过它们可以将预测的状态估计与实际观测值结合起来，从而更新并优化状态的估计值。
二、卡尔曼滤波常见应用：1. 航空航天与导航定位：在航空航天领域，卡尔曼滤波在导航定位系统中起着至关重要的作用。
它可以利用传感器的测量信息，如GPS、陀螺仪、加速度计等，提供准确的位置和姿态估计。
通过对机体状态的优化估计，可以处理传感器的测量误差、不确定性和噪声。
2.自动驾驶和机器人技术：在自动驾驶车辆和机器人技术中，卡尔曼滤波被用于实时的环境感知与动态路径规划。
通过结合传感器数据，如激光雷达、摄像头和惯性测量单元（IMU），可以对目标位置、速度和方向进行估计，并实现高精度的导航和运动控制。
3.金融领域：卡尔曼滤波在金融领域中也有广泛应用。
例如，用于股票价格和市场波动的预测，可以基于历史数据和实时市场数据进行状态估计和预测。
此外，卡尔曼滤波还用于对金融市场中的投资组合进行优化调整和风险管理。
最优估计之卡尔曼滤波器的发散抑制方法
k 1(cd) 1
2
k
k
vi
i1
E[~xk|k
~xkT|k
]
(k
1)2 4
(c
d)2
2
k
当k 时，仍有E[~xk|k~xkT|k ]
发散的直接原因k： 的随 增着 长Pk， |k 趋于零的速度过而快 使增益系Kk数 随着k的增长而迅速减新小数，据使对滤波的 作用越来越小，去直作至用失，使滤波分与离测，量最终导
xk xk1 c x0 kc zk xk vk
式中， vk ~ N(0,2)，且与x0 无关。
若建立系统模型时忽略了常数 c，即： xk xk1•
无验前知识， xˆ0|0取 0， 初 P0|0值 ，由滤波基本方 xˆk1|k xˆk|k xˆk|k Pk1|k Pk|kT Qk Pk|k
Pk|k [Pk|k11 H T Rk1H ]1
判据：
k Tkt{ E rkk T }( 1 ， k z k z ˆ k |k 1 )
当此式不成立时，滤波发散。
kzkzˆk|k1
H kxkvkH kx ˆk|k1 H k~ xk|k1vk
Ek k TH kP k|k1H k TRk
判k T 据 kt： { H rkP k|k 1 H k T R k}
N 1
C i
E [vN (k) ]0 ,E { vN (k)v [N (l)T ] } R kei k kl
N 1
C i E [xN(0) ]x ˆ(0)V , [a xN r(0) ]P (0)ei0
对模•202型1/6/(77.4.6)在N时刻以后滤波，得
•18
滤波方程组：
x ˆN (kk) (k,k 1 )x ˆN (k 1k 1 )K N (k) [z(k)H (k) (k,k 1 )x ˆN (k 1k 1 )]
自动控制原理卡尔曼滤波知识点总结
自动控制原理卡尔曼滤波知识点总结自动控制原理是探讨如何自动地控制各种系统行为的学科。
而卡尔曼滤波则是自动控制领域中一种重要的估计算法，被广泛应用于信号处理、导航、机器人等领域。
本文将对卡尔曼滤波的基本原理、算法以及应用进行总结。
一、卡尔曼滤波的基本原理卡尔曼滤波是一种最优估计算法，通过融合系统的状态量和测量信息，对系统的状态进行估计。
其基本原理可以归纳为以下几个关键点：1. 观测模型卡尔曼滤波基于线性观测模型，即系统的测量值是系统状态的线性组合，再加上随机噪声。
观测模型可以用数学表达式表示为：z = Hx + v其中，z为测量值，H为观测矩阵，x为系统的状态量，v为观测噪声。
2. 状态预测卡尔曼滤波通过系统的动态模型对状态进行预测，预测值用数学表达式表示为：x^ = Fx + Bu其中，x^为状态的预测值，F为系统的状态转移矩阵，B为输入矩阵，u为输入量。
3. 误差协方差预测卡尔曼滤波还对状态的误差协方差进行预测，预测的误差协方差用数学表达式表示为：P^ = FPF^T + Q其中，P^为误差协方差的预测值，P为当前时刻的误差协方差，Q 为系统的过程噪声协方差。
4. 更新步骤根据观测值z和观测模型，通过状态预测和误差协方差预测，可以得到最优估计值和最优估计误差协方差。
利用这些信息，卡尔曼滤波进行状态的更新，更新的过程可以归纳为以下几个步骤：1) 计算卡尔曼增益K；2) 计算当前状态的估计值x；3) 计算当前误差协方差P。
二、卡尔曼滤波的算法卡尔曼滤波的具体算法分为两个步骤：预测步骤和更新步骤。
其算法流程如下：1. 预测步骤1) 计算状态预测值：x^ = Fx + Bu；2) 计算误差协方差预测值：P^ = FPF^T + Q。
2. 更新步骤1) 计算卡尔曼增益：K = P^H^T(HP^H^T + R)^-1；2) 计算当前状态的估计值：x = x^ + Ky；3) 计算当前误差协方差：P = (I - KH)P^。
最优估计之线性连续系统卡尔曼滤波
t
•
步骤2：对上述函数关于时间求导
ˆ (t ) E[ x(t )~ x z T (t )]R 1 (t )~ z (t ) (t )~ E{x z T ( )}R 1 ( )~ z ( )d
t0
t ~ K (t ) z (t ) A(t ) E[ x(t )~ z T ( )]R 1 ( )~ z ( )d t0
若对任意初始时刻成立使得对所有的进稳定即存在且在大范围内一致渐最优滤波一致渐进稳定致完全能控和一致完全如果线性连续系统为一稳定性定理表明当测量时间足够长滤波系统的最优滤波值最终与初始状态如何选取无关
最优估计
第8章 线性连续系统 卡尔曼滤波
离散系统取极限的推导方法 卡尔曼滤波方程新息推导法 线性连续系统滤波器的一般形式 滤波的稳定性及误差分析
推导方法步骤：
• • •
步骤1：建立(8.1.1)的等效离散线性系统数学描述 步骤2：求等效离散模型的卡尔曼滤波方程
当 t 0 时 对离散卡尔曼滤波公式取极限 步骤3：
4
•
步骤1：建立(8.1.1)的等效离散线性系统数学描述 由 5.3 知，等效模型： x(t t ) (t t , t ) x(t ) (t t , t ) wn (t )
线性连续系统 (t ) A(t ) x(t ) G (t ) w(t ) x z (t ) H (t ) x(t ) v(t ) 框图如下：
x (t0 )
w(t )
G (t )
v (t ) x (t )
H (t )
+
+ +
1 s
A(t )
+
z (t )
卡尔曼滤波原理
卡尔曼滤波原理卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的数学方法，它以其优秀的性能在航空航天、导航、自动控制等领域得到了广泛的应用。
卡尔曼滤波的基本原理是利用系统的动态模型和观测数据，通过递归的方式对系统状态进行估计，从而得到对系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波的核心思想是利用系统的动态模型和观测数据进行状态估计。
在卡尔曼滤波中，系统的状态被表示为一个多维的随机变量，其动态模型和观测模型可以用线性方程组表示。
通过对系统状态的预测和观测数据的更新，可以得到对系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波包括两个主要的步骤，预测和更新。
在预测步骤中，利用系统的动态模型对系统状态进行预测；在更新步骤中，利用观测数据对系统状态进行修正。
通过不断地进行预测和更新，可以逐步地逼近系统的真实状态，从而得到对系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波的优势在于其对噪声的处理能力。
在实际应用中，系统状态和观测数据往往都会受到各种噪声的影响，而卡尔曼滤波能够通过对噪声的建模和处理，得到对系统状态的精确估计。
因此，卡尔曼滤波在实际应用中往往能够取得比较好的效果。
除了基本的卡尔曼滤波算法，还有一些对其进行改进和扩展的方法。
例如，扩展卡尔曼滤波（EKF）和无迹卡尔曼滤波（UKF）等方法，它们在处理非线性系统和非高斯噪声时表现出更好的性能。
这些改进和扩展的方法使得卡尔曼滤波在更广泛的应用领域中得到了应用。
总之，卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的优秀方法，它以其对噪声的处理能力和对系统状态的最优估计而在航空航天、导航、自动控制等领域得到了广泛的应用。
通过对系统的动态模型和观测数据进行预测和更新，卡尔曼滤波能够得到对系统状态的最优估计，从而为实际应用提供了可靠的支持。
离散卡尔曼滤波
(k j) (k j)
• 初始状态旳 一、二阶统计特征为：
EX 0 mx0 VarX 0 Cx0
• Var{·} 为对{·}求方差旳符号 • 卡尔曼滤波要求mx0和Cx0为已知量， • 且要求X0与{Wk}和{Vk}都不有关
2.2 离散卡尔曼滤波方程
• 状态一步预测方程 • 状态估值计算方程 • 滤波增益方程
（4）一步预测均方误差方程
P P Q k / k 1
T k ,k 1 k 1 k ,k 1
T k 1 k 1 k 1
• 从下式能够看出，求Kk必须先求出Pk/k-1
• 式中 KX~kXkˆ1k1P旳kX/ˆk均k11H方kTX误(Hk差k1Pk，阵/k为，1H即kTXˆ：kR1k )旳1 估计误差，能够看
T k ,k 1 k 1 k ,k 1
T k 1 k 1 k 1
Pk / k 1
K
k
Pk / k1
H
T k
(Hk
Pk
/
k
1H
T k
Rk
)1
Kk
k k 1
Pk
(I
Kk H k )Pk / k1(I
Kk Hk )T
K
k
Rk
K
T k
Pk
增益计算回路
2.3离散卡尔曼滤波基本方程使用要点
1.滤波初值旳选用 • 在滤波开始时，必须有初始值 Xˆ 0 和 • 为了确保估值旳无偏性，应选择：
Xk-1旳卡尔曼滤波估值 利用Xk-1计算得到旳一步预测
也能够以为是利用k-1时刻和此前时 刻旳量测值得到旳Xk旳一步预测
（2）状态估值计算方程
X k X k / k 1 K k (Z k H k X k / k 1 )
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x p ( x, t )dx
1
均方值函数
x 2 p1 ( x, t )dx
方差函数
2 X (t ) E{[ X (t ) x (t )]2 } [ x x (t )]2 p1 ( x, t )dx
（1） （2）
伴随方程 状态方程
X = A X + B u = A X - B R -1BT λ
为了利用线性状态反馈的办法达到最优控制的目的，通常希望将λ表达 为X的线性函数 （3） λ (t ) P(t ) X(t ) 即 简记为 对（4）求导得 将（4）（5） 代入正则方程得
λ = PX
一、系统控制的数学模型问题
优点：参数具有物理意义
机理推导法
缺点：数学模型复杂(高阶) ，在 对系统机理了解不多的情况下, 不适用
系统辨识法
优点：数学模型简单实用，不需要对 系统机理了解 缺点：参数不具有物理意义
u
系统辨识原理
被测系统
y
数据采集
数据采集
u
估计器
y
e _
y
等价系统
计算机
二、随机系统最优控制中的状态估计问题
例2 射击运动员训练成绩分布图（离散型）
y1 (k )
· · ·· · · · · · · · · · · ·
k
yn ( k )
· · ·· · · · · · · · · · · ·
k
§X-2 随机过程的统计描述
由于随机过程在每一个时刻都是随机变量，所以，对于随机变量的所有描述方 法也适用于随机过程。
X A XBu
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 性能指标
1 J [ XT Q X uT R u ] dt 2 t0
tf
边界条件
约束条件
X(t0 ) x0
固定，
X(t f )
自由
u
无约束
求
J min
时，
u* ? u* ( x ) ?
解： 用最小值原理
1、作哈密顿函数
1 T H [ X Q X uT R u] λT [ A X B u] 2
与二维概率密度 p2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 )
自相关函数
有关的数字特征
RX (t1 , t2 ) E{ X (t1 ) X (t2 )}
协方差函数
x
1
x2 p2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
C X (t1 , t2 ) E{[ X (t1 ) x (t1 )][ X (t2 ) x (t2 )]}
由于上述时间 t ∈ T 和 t1，t2，…，t n 是任意的，故与一般的随机变 量不同的是，上述函数既是随机变量取值(实值函数)的函数，也是时间的函 数。对于任意有限个时刻 t1，t2，…，t n ∈ T，上述分布函数和概率密度 函数的集合(n=l，2，…)分别称为有限维概率分布函数族和有限维概率密度 函数族，简称为有限维分布和有限维密度函数。它们全面地描述了随机过 程。
由于
X(t f ) 0
必有
P(t f ) 0
解出P→解出λ→解出u*, 最后得
u* = -R -1B T λ = -R -1B T PX K = -R -1B T P u* = KX
r
u
B
Bu
X
∫
A
X
CX y
C
1、状态不可测
2、无随机干扰
ˆ KX
–R-1BTP K
ˆ X
状态观测器
2、确定性系统的最优控制(状态不可测，无随机干扰） --------有限时间的二次型最优控制
C X (t1 , t2 ) CY (t1 , t2 )
通常，称图 (a)的过程 X (t) 相关性强，意思是不同时刻的状态之间联 系强；而称图(b)的过程 y (t)相关性弱，意思是不同时刻的状态之间联系弱。 相关性的强弱也可以理解为随机样本的变化是缓慢还是激烈。 同理，通常t1和t2越接近，则协方差函数的值越大，t1和f2时刻状态的 联系越密切；反之，当t1和t2远离时，通常协方差函数趋于零或很小。
确定性系统的最优控制
1、状态可测、无随机干扰 2、状态不可测、无随机干扰
随机系统的最优控制
状态不可测, 有随机干扰
r
u
B
Bu
X
∫
A
X
CX y
C
1、状态可测
2、无随机干扰
K
KX –R-1BTP
状态反馈
1、确定性系统的最优控制(状态可测，无随机干扰）
--------有限时间的二次型最优控制
已知状态方程
最优估计与滤波
教 材----- 无 参考书----- 1、最优估计及其应用
贾沛璋、朱征桃编著 科学出版社 1984年
2、现代控制理论基础
谢绪恺 编著 辽宁人民出版社 1980年
3、随机信号处理与控制基础
罗传翼 编著 化工出版社 2002年
4、随机信号估计与系统控制
徐寿宁 编著 北京工业大学出版社 2001年
[x
1
x
(t1 )][ x2 x (t2 )] p2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) dx1dx2
随机过程的数学期望函数
随机过程{ X (t)，t ∈T }每一时刻的方差即
2 X (t ) E{[ X (t ) X (t )]2 }
一、分布函数和概率密度函数族
给定一个随机过程{ X (t)，t ∈T }，对于每一固定时刻t ∈T，都是一个随机变 量，都存在一维分布函数；对于每 n 个固定时刻 t1,t2,…，tn ∈T，都是n个随机变 量，都存在 n 维联合分布函数，即
如果上述分布函数是连续可微的，则可以定义随机过程 { X (t)，t∈T }的 一维概率密度函数和 n 维联合概率密度函数，即
P + PA - PBR -1BTP + Q + ATP = 0
（10）
(10)式就是著名的里卡提矩阵微分方程，解这个矩阵微分方程就可解出P.
4、解里卡提方程 解里卡提矩阵微分方程必须要有边界条件,这个边界条件可由
推出,由(3)式可知
λ (t f ) 0 λ (t f ) P(t f ) X(t f )
[ x X (t )]2 p1 ( x, t )dx
定义为该随机过程的方差函数,它表示随机过程{ X (t)，t ∈T } 对于数学 期望函数μX (t) 的偏离程度。
不同随机过程的方差函数
同样，可定义随机过程的其他几个数字特征，如均方值函数（均值函数为零 时的方差函数）
2 X (t ) E{ X 2 (t )}
{ x(t2 ) p[ x(t2 )]dx(t2 ) x (t2 ) p[ x(t2 )]dx(t2 )}
依概率收敛于1
{ x (t1 ) x (t1 )}{ x (t2 ) x (t2 )} 0
综上所述，协方差函数CX(t1 , t2)表示了随机过程{X (t)，t ∈T }两状态 间的统计依赖程度。特别地，当 t1 = t2 = t，则式(1．1)为
这里的t1和t2的函数CX(t1，t2)，tl，t2∈T 称为随机过程{ X（t），T∈T } 的协方差函数。 例图(a)中，对于大部分样本，都有
X (t1 ) X (t1 ) X (t2 ) X (t2 )
在图 (b)中则不存在上述关系，故由式(1-1)，对于图中相同的时间间隔， t1~t2，有
2、建立极值条件 由于 所以
u 1
开集 即 移项得
H 0 u
Ru λ T B = Ru + B T λ 0 Ru = -B T λ
左乘
R1
得
u* = -R-1BT λ
R、B都是已知矩阵，故只要求得λ ，
就可求出u*，为求λ必须解正则方程 3、建立正则方程
﹛
H λ== -QX - λ T A = -QX - A T λ X
ˆ X
-----状态估计值
随机干扰
r
u
B
Bu
X
随机干扰
∫
A
X
CX y
C
1、状态不可测 2、有随机干扰
ˆ KX
–R-1BTP K
ˆ X
卡尔曼滤波器 （状态估计器）
3、随机系统的最优控制（状态不可测，有随机干扰）
补充
例1
随机过程简介
§X-1 随机过程
阶跃响应曲线族（连续型）
阶跃响应曲线的测试
二、数学期望函数和方差函数
从理论上来说，只有当n维分布函数族(或概率密度函数族)对所有的n (n=l，2，3, …)都已知，随机过程才完全被确定。但与随机变量相类似，对 于实际生活中的随机过程，除了较特殊的情况外，往往较难求n (n=1，2， 3，…)维分布函数族或概率密度函数族。人们往往更多地使用数学期望、方 差等数字特征来描述随机过程。它们尽管不能像有限维分布那样全面描述随 机过程，但也能分别描述随机过程各方而的重要特征，而且比较容易求出。 随机过程 {X (t)，t ∈T }在每一时刻都是随机变量，该随机变量的数学期望
（4） （5）
λ = PX+ PX
PX + PX = -Q X - A T PX X = AX - BR -1B T PX
﹛
（6） （7） （8） （9）
将(7)→(6) 即 也即