最优估计与滤波

最优估计与滤波
教 材----- 无 参考书----- 1、最优估计及其应用
贾沛璋、朱征桃编著 科学出版社 1984年
2、现代控制理论基础
谢绪恺 编著 辽宁人民出版社 1980年
3、随机信号处理与控制基础
罗传翼 编著 化工出版社 2002年
4、随机信号估计与系统控制
徐寿宁 编著 北京工业大学出版社 2001年

[ x(t )
1
x
(t1 )] p[ x(t1 )]dx(t1 ) [ x(t2 ) x (t2 )] p[ x(t2 )]dx(t2 )

{ x(t1 ) p[ x(t1 )]dx(t1 ) x (t1 ) p[ x(t1 )]dx(t1 )}
二、数学期望函数和方差函数
从理论上来说，只有当n维分布函数族(或概率密度函数族)对所有的n (n=l，2，3, …)都已知，随机过程才完全被确定。但与随机变量相类似，对 于实际生活中的随机过程，除了较特殊的情况外，往往较难求n (n=1，2， 3，…)维分布函数族或概率密度函数族。人们往往更多地使用数学期望、方 差等数字特征来描述随机过程。它们尽管不能像有限维分布那样全面描述随 机过程，但也能分别描述随机过程各方而的重要特征，而且比较容易求出。 随机过程 {X (t)，t ∈T }在每一时刻都是随机变量，该随机变量的数学期望
X A XBu

性能指标
1 J [ XT Q X uT R u ] dt 2 t0
tf
边界条件
约束条件
X(t0 ) x0
固定，
X(t f )
自由
u
无约束
求
J min
时，
u* ? u* ( x ) ?
解： 用最小值原理
1、作哈密顿函数
1 T H [ X Q X uT R u] λT [ A X B u] 2
由于
X(t f ) 0
必有
P(t f ) 0
解出P→解出λ→解出u*, 最后得
u* = -R -1B T λ = -R -1B T PX K = -R -1B T P u* = KX
r
u
B
Bu
X
∫
A
X
CX y
C
1、状态不可测
2、无随机干扰
ˆ KX
–R-1BTP K
ˆ X
状态观测器
2、确定性系统的最优控制(状态不可测，无随机干扰） --------有限时间的二次型最优控制
2 C X (t , t ) E{[ X (t ) x (t )]2 } X (t )
即同一时刻的协方差函数就是方差函数 .
四、相关函数
协方差函数CX( t1 , t2 )可写为
C X (t1 , t2 ) E{[ X (t1 ) X (t1 )][ X (t2 ) X (t2 )]} E[ X (t1 ) X (t2 )] E[ X (t1 ) X (t2 )] E[ X (t1 ) X (t2 )] E[ X (t1 ) X (t2 )]
（1） （2）
伴随方程 状态方程
X = A X + B u = A X - B R -1BT λ
为了利用线性状态反馈的办法达到最优控制的目的，通常希望将λ表达 为X的线性函数 （3） λ (t ) P(t ) X(t ) 即 简记为 对（4）求导得 将（4）（5） 代入正则方程得
λ = PX
一、分布函数和概率密度函数族
给定一个随机过程{ X (t)，t ∈T }，对于每一固定时刻t ∈T，都是一个随机变 量，都存在一维分布函数；对于每 n 个固定时刻 t1,t2,…，tn ∈T，都是n个随机变 量，都存在 n 维联合分布函数，即
如果上述分布函数是连续可微的，则可以定义随机过程 { X (t)，t∈T }的 一维概率密度函数和 n 维联合概率密度函数，即
例 :随机过程的任意两个状态x(t1)与x(t2)相互独立，试求协方差函数。
解 两个独立随机变量的联合概率密度函数等于各自的概率密度函数之 积，即
p[ x(t1 ), x(t2 )] p[ x(t1 )] p[ x(t2 )]
故协方差函数为
C x (t1 , t2 ) E{[ x(t1 ) x (t1 )][ x(t2 ) x (t2 )]}



[x
1

x
(t1 )][ x2 x (t2 )] p2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) dx1dx2
x


[ x(t )
1
(t1 )][ x(t2 ) x (t2 )] p[ x(t1 )] p[ x(t2 )] dx(t1 ) dx(t 2 )
2、建立极值条件 由于 所以
u 1
开集 即 移项得
H 0 u
Ru λ T B = Ru + B T λ 0 Ru = -B T λ
左乘
R1
得
u* = -R-1BT λ
R、B都是已知矩阵，故只要求得λ ，
就可求出u*，为求λ必须解正则方程 3、建立正则方程
﹛
H λ== -QX - λ T A = -QX - A T λ X
第一章
绪论
1、首先解决系统控制的数学模型问题(参数估计) 2、解决随机系统最优控制中的状态估计问题
一、本课程的任务和意义
二、本课程的基本要求
总学时36学时，实验10学时。
1、要求能够实时采集一个系统的输入输出数据， 并能够利用离线和在线的算法估计系统参数。
2、利用MATLAB软件进行卡尔曼滤波的仿真实验。

[ x X (t )]2 p1 ( x, t )dx
定义为该随机过程的方差函数,它表示随机过程{ X (t)，t ∈T } 对于数学 期望函数μX (t) 的偏离程度。
不同随机过程的方差函数
同样，可定义随机过程的其他几个数字特征，如均方值函数（均值函数为零 时的方差函数）
2 X (t ) E{ X 2 (t )}



[x
1
x
(t1 )][ x2 x (t2 )] p2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) dx1dx2
随机过程的数学期望函数
随机过程{ X (t)，t ∈T }每一时刻的方差即
2 X (t ) E{[ X (t ) X (t )]2 }
与二维概率密度 p2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 )
自相关函数

有关的数字特征
RX (t1 , t2 ) E{ X (t1 ) X (t2 )}
协方差函数

百度文库 x
1
x2 p2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
C X (t1 , t2 ) E{[ X (t1 ) x (t1 )][ X (t2 ) x (t2 )]}


x 2 p1 ( x, t )dx
三、协方差函数
随机过程 { X（t），T∈T }在某两个固定时刻 t1和t2 的状态之间的 关系可用这两个时刻状态的协方差来描述，即
CX (t1 , t2 ) Cov[ X (t1 , t2 )] E{[ X (t1 ) X (t1 )][ X (t2 ) X (t2 )]}
（4） （5）
λ = PX+ PX
PX + PX = -Q X - A T PX X = AX - BR -1B T PX
﹛
（6） （7） （8） （9）
将(7)→(6) 即 也即
PX + P(AX - BR -1B T PX) = -QX - A T PX [P + PA - PBR -1B T P + Q + A T P]X = 0
由于上述时间 t ∈ T 和 t1，t2，…，t n 是任意的，故与一般的随机变 量不同的是，上述函数既是随机变量取值(实值函数)的函数，也是时间的函 数。对于任意有限个时刻 t1，t2，…，t n ∈ T，上述分布函数和概率密度 函数的集合(n=l，2，…)分别称为有限维概率分布函数族和有限维概率密度 函数族，简称为有限维分布和有限维密度函数。它们全面地描述了随机过 程。
μX (t) =E [ X (t) ] , t ∈T
是时间的函数，定义为该随机过程的数学期望函数(均值函数)，简称为期望 函数，它表示随机过程{ X (t)，t ∈T }的所有样本的某种概率平均.
与一维概率密度 p1 ( x, t )
有关的数字特征
均值函数
X (t ) E{ X (t )}
P + PA - PBR -1BTP + Q + ATP = 0
（10）
(10)式就是著名的里卡提矩阵微分方程，解这个矩阵微分方程就可解出P.
4、解里卡提方程 解里卡提矩阵微分方程必须要有边界条件,这个边界条件可由
推出,由(3)式可知
λ (t f ) 0 λ (t f ) P(t f ) X(t f )
ˆ X
-----状态估计值
随机干扰
r
u
B
Bu
X
随机干扰
∫
A
X
CX y
C
1、状态不可测 2、有随机干扰
ˆ KX
–R-1BTP K
ˆ X
卡尔曼滤波器 （状态估计器）
3、随机系统的最优控制（状态不可测，有随机干扰）
补充
例1
随机过程简介
§X-1 随机过程
阶跃响应曲线族（连续型）
阶跃响应曲线的测试

{ x(t2 ) p[ x(t2 )]dx(t2 ) x (t2 ) p[ x(t2 )]dx(t2 )}



依概率收敛于1
{ x (t1 ) x (t1 )}{ x (t2 ) x (t2 )} 0
综上所述，协方差函数CX(t1 , t2)表示了随机过程{X (t)，t ∈T }两状态 间的统计依赖程度。特别地，当 t1 = t2 = t，则式(1．1)为
C X (t1 , t2 ) CY (t1 , t2 )
通常，称图 (a)的过程 X (t) 相关性强，意思是不同时刻的状态之间联 系强；而称图(b)的过程 y (t)相关性弱，意思是不同时刻的状态之间联系弱。 相关性的强弱也可以理解为随机样本的变化是缓慢还是激烈。 同理，通常t1和t2越接近，则协方差函数的值越大，t1和f2时刻状态的 联系越密切；反之，当t1和t2远离时，通常协方差函数趋于零或很小。
一、系统控制的数学模型问题
优点：参数具有物理意义
机理推导法
缺点：数学模型复杂(高阶) ，在 对系统机理了解不多的情况下, 不适用
系统辨识法
优点：数学模型简单实用，不需要对 系统机理了解 缺点：参数不具有物理意义
u
系统辨识原理
被测系统
y
数据采集
数据采集
u
估计器
y
e _
y
等价系统
计算机
二、随机系统最优控制中的状态估计问题
这里的t1和t2的函数CX(t1，t2)，tl，t2∈T 称为随机过程{ X（t），T∈T } 的协方差函数。 例图(a)中，对于大部分样本，都有
X (t1 ) X (t1 ) X (t2 ) X (t2 )
在图 (b)中则不存在上述关系，故由式(1-1)，对于图中相同的时间间隔， t1~t2，有
例2 射击运动员训练成绩分布图（离散型）
y1 (k )
· · ·· · · · · · · · · · · ·
k
yn ( k )
· · ·· · · · · · · · · · · ·
k
§X-2 随机过程的统计描述
由于随机过程在每一个时刻都是随机变量，所以，对于随机变量的所有描述方 法也适用于随机过程。
确定性系统的最优控制
1、状态可测、无随机干扰 2、状态不可测、无随机干扰
随机系统的最优控制
状态不可测, 有随机干扰
r
u
B
Bu
X
∫
A
X
CX y
C
1、状态可测
2、无随机干扰
K
KX –R-1BTP
状态反馈
1、确定性系统的最优控制(状态可测，无随机干扰）
--------有限时间的二次型最优控制
已知状态方程
E[ X (t1 ) X (t2 )] X (t1 ) X (t2 )
2 X (t ) E{ X 2 (t )}


x p ( x, t )dx
1
均方值函数


x 2 p1 ( x, t )dx
方差函数
2 X (t ) E{[ X (t ) x (t )]2 } [ x x (t )]2 p1 ( x, t )dx