隐马尔科夫模型(HMM)详解

马尔科夫过程

马尔科夫过程可以看做是一个自动机，以一定的概率在各个状态之间跳转。

考虑一个系统，在每个时刻都可能处于N个状态中的一个，N个状态集合是{S1,S2,S3,...S N}。我们现在用q1,q2,q3,…q n来表示系统在t=1,2,3,…n时刻下的状态。在t=1时，系统所在的状态q取决于一个初始概率分布PI，PI(S N)表示t=1时系统状态为S N的概率。

马尔科夫模型有两个假设：

1. 系统在时刻t的状态只与时刻t-1处的状态相关；（也称为无后效性）

2. 状态转移概率与时间无关；（也称为齐次性或时齐性）

第一条具体可以用如下公式表示：

P(q t=S j|q t-1=S i,q t-2=S k,…)= P(q t=S j|q t-1=S i)

其中，t为大于1的任意数值，S k为任意状态

第二个假设则可以用如下公式表示：

P(q t=S j|q t-1=S i)= P(q k=S j|q k-1=S i)

其中，k为任意时刻。

下图是一个马尔科夫过程的样例图：

可以把状态转移概率用矩阵A表示，矩阵的行列长度均为状态数目，a ij表示P(S i|S i-1)。

隐马尔科夫过程

与马尔科夫相比，隐马尔科夫模型则是双重随机过程，不仅状态转移之间是个随机事件，状态和输出之间也是一个随机过程，如下图所示：

此图是从别处找来的，可能符号与我之前描述马尔科夫时不同，相信大家也能理解。

该图分为上下两行，上面那行就是一个马尔科夫转移过程，下面这一行则是输出，即我们可以观察到的值，现在，我们将上面那行的马尔科夫转移过程中的状态称为隐藏状态，下面的观察到的值称为观察状态，观察状态的集合表示为

O={O1,O2,O3,…O M}。

相应的，隐马尔科夫也比马尔科夫多了一个假设，即输出仅与当前状态有关，可以用如下公式表示：

P(O1,O2,…,O t|S1,S2,…,S t)=P(O1|S1)*P(O2|S2)*...*P(O t|S t) 其中，O1,O2,…,O t为从时刻1到时刻t的观测状态序列，S1,S2,…,S t则为隐藏状态序列。

另外，该假设又称为输出独立性假设。

举个例子

举个常见的例子来引出下文，同时方便大家理解！比如我在不同天气状态下去做一些事情的概率不同，天气状态集合为{下雨，阴天，晴天}，事情集合为{宅着，自习，游玩}。假如我们已经有了转移概率和输出概率，即P(天气A|天气B)和P(事情a|天气A)的概率都已知道，那么则有几个问题要问（注意，假设一天我那几件事情中的一件），

1. 假如一周内的天气变化是下雨->晴天->阴天->下雨->阴天->晴天->阴天，那么我这一周自习->宅着->游玩->自习->游玩->宅着->自习的概率是多大？

2. 假如我这一周做事序列是自习->宅着->游玩->自习->游玩->宅着->自习，

不知道天气状态的情况下这个做事序列的概率是多大？

3.假如一周内的天气变化是下雨->晴天->阴天->下雨->阴天->晴天->阴天，那我们这一周最有可能的做事序列是什么？

4.假如我这一周做事序列是自习->宅着->游玩->自习->游玩->宅着->自习，那么这一周的天气变化序列最有可能是什么？

对于第一个问题，我想大家应该都能很快知道怎么算。（啥？不知道，答案在本文最后）

隐马模型基本要素及基本三问题

综上所述，我们可以得到隐马尔科夫的基本要素，即一个五元组{S,N,A,B,PI}；

S：隐藏状态集合；

N：观察状态集合；

A：隐藏状态间的转移概率矩阵；

B：输出矩阵（即隐藏状态到输出状态的概率）；

PI：初始概率分布（隐藏状态的初始概率分布）；

其中，A、B、PI称为隐马尔科夫的参数，用X表示。

由上述问题可以引出隐马尔科夫的三个基本问题的其中两个，下文中为了简便，将隐马尔科夫模型简称为HMM(Hiden Markov Model)。

HMM的三个基本问题是：

1.给定模型（五元组），求某个观察序列O的概率（样例问题2）

（即已知模型参数，计算某一特定输出序列的概率.通常使用forward算

法解决.）

2. 给定模型和观察序列O，求可能性最大的隐藏状态序列（样例问题4）。

（即已知模型参数，寻找最可能的能产生某一特定输出序列的隐含状态

的序列.通常使用Viterbi算法解决.）

3. 对于给定的观察序列O，调整HMM的参数，使观察序列出现的概率

最大。（即已知输出序列，寻找最可能的状态转移以及输出概率.通常

使用Baum-Welch算法以及Reversed Viterbi算法解决.）前向算法

对于第一个基本问题，计算公式为：

即对于观察序列O，我们需要找出所有可能的隐藏状态序列S，计算出在给定模型下S输出为O的概率（就是样例问题一啊），然后计算概率之和。

直观上看，假如序列O的长度为T，模型的隐藏状态集合大小为N，那么一共有N T个可能的隐藏状态序列，计算复杂度极高O(N T)，暴力算法太慢了。

解决方案就是动态规划（Dynamic Programming）。

假设观察序列为O1,O2,O3,….,O t.在时刻i（1

其中，S k为任意一个隐藏状态值。

则C(i+1,S r)的计算公式为：

其中，S r为任意一个隐藏状态值。A为转移概率。B为隐藏状态到观察状态的概率。为了便于理解，还是看图：

C(3,下雨)考虑了t=1和t=2的所有组合情况，同时也是C(4,下雨|阴天|晴天)的子问题。C(3,阴天)和C(3,晴天)也是如此计算，而C(i+1,S r)计算公式则可以表示成：