曲线局部微分几何

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第二章曲线的局部微分几何

•中心：

–确定和使用E 3中的曲线的局部理论基本框架．所使用的方法和观点是具有一般性的．

•具体步骤：

–首先按照刻划曲线特征的要求而给定相关的基本概念；

–进一步利用标架的运动公式而给定曲线局部的完全不变量系统；

–再考虑如何利用一般理论去处理一些具体的几何对象．

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第二章曲线的局部微分几何

•中心：E 3中的曲线的局部理论基本框架．

•具体步骤：给定相关的基本概念；给定曲线局部的完全不变量系统；利用一般理论去处理一些具体的几何对象．

•能力培养：

–本章所接触到的对象通常具有较为明显的几何直观；–因此，应该注意逐步学会在几何现象与其解析表达之间进行熟练转换，并且注意培养利用几何直观的启示进行严密解析化论证和推导的能力．

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§1参数化曲线与曲线的参数表示

•将“曲线”视为一个质点在一个时间段内随着时刻的变化而进行位移所形成的轨迹．

•将这种看法进一步抽象化，便导致数学上对于曲线的一种适当的定义．

一．E 3中参数化曲线的定义二．正则曲线三．曲线的等价

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一．E 3中参数化曲线的定义

则其位置向量终点全体C ={(x (t ), y (t ), z (t ))∈E 3∣t ∈(a , b )} 称为E 3中的一条C k 类参数化曲线，简称参数曲线，并将t 称为C 的参数；

C 可用其向量形式的参数方程表示为r =r (t ) , t ∈(a , b ) ，

或写为分量形式的参数方程

在E 3中Descartes 直角坐标系O-xyz 下，

取单位正交向量i ,j ,k 为基向量．给定三个函数x (t ), y (t ), z (t )∈C k ((a , b )) ，作向量值函数

r : (a , b )→E 3

t →r (t ) =x (t )i +y (t )j +z (t )k =(x (t ), y (t ), z (t )) ， x = x (t )

y = y (t ) , t ∈(a , b ) ．

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一．E 3中参数化曲线的定义

•给定x (t ),y (t ),z (t )∈C k ((a ,b ))，

则C ={(x (t ), y (t ), z (t ))∈E 3∣t ∈(a , b )} 称为E 3中的一条C k 类参数化曲线，简称参数曲线，并将t 称为C 的参数；可用其参数方程表示．

•参数曲线C 上对应于参数值t 的点是指向径r (t ) =OP (t ) 的终点P (t ) ，即空间中的点(x (t ), y (t ), z (t ))∈E 3，表示为实点P (t )或向量值r (t ) 或参数值t ．

•C 0类参数曲线也称为连续曲线，C ∞类参数曲线也称为

光滑曲线．

•约定：由于本课程之中微积分工具使用的广泛性，为简便起见，以后不声明时在局部总考虑C 3类参数曲线，并简称为曲线．

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一．E 3中参数化曲线的定义

•给定x (t ),y (t ),z (t )∈C k ((a ,b ))，

则C ={(x (t ), y (t ), z (t ))∈E 3∣t ∈(a , b )} 称为E 3中的一条C k 类参数化曲线，简称参数曲线，并将t 称为C 的参数；可用其参数方程表示．

•参数曲线上对应于参数值t 的点是指向径r (t ) =OP (t ) 的终点P (t ) ，即空间中的点(x (t ), y (t ), z (t ))∈E 3，表示为实点P (t )或向量值r (t ) 或参数值t ．

•连续曲线，光滑曲线．不声明时在局部总考虑C 3类参数曲线，并简称为曲线．•在数学分析或者解析几何课程中所接触到的曲线，要么其本身就是参数化的，要么总可以进行适当的局部参数化．

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•例1下列普通函数或函数组在相应的坐标系下的图像，按所给方式局部参数化为参数曲线．

①函数y =(1-x 2)1/2在平面直角坐标系xOy 下表示以原点为心的上半开单位圆周．

若上述半开单位圆周用向量形式参数方程表示，在E 3中可写为

r (t ) =(t , (1 -t 2)1/2, 0) , t ∈(-1, 1) ；

在E 2中可写为

r (t ) =(t , (1 -t 2)1/2) , t ∈(-1, 1) ；

在E 2中也可写为

r (θ) =(cos θ, sin θ) , θ∈(0, π) ．

②在E 3直角坐标系O-xyz 下，圆柱面(x -1)2+y 2=1与球面x 2+y 2+z 2=4的交线的上半叶可参数化为

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•例1下列普通函数或函数组在相应的坐标系下的图像，按所给方式局部参数化为参数曲线．

②在E 3直角坐标系O-xyz 下，圆柱面(x -1)2+y 2=1 与球面x 2+y 2+z 2=4 的交线的上半叶可参数化为r (θ) =(1 +cos θ, sin θ, (2 -2cos θ)1/2) , θ∈(0, 2π) ．其分量形式即为).2,0(,cos 22,

sin ,cos 1π∈⎪⎩⎪

⎨⎧-==+=θθθθz y x ③半立方抛物线可光滑参数化为

r (t ) =(t 3, t 2, 0) , t ∈R ．

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二．正则曲线

•参数曲线的行为的复杂性需要得到注意．对所考虑的曲线做出必要的限制是合理的．•定义1给定参数曲线C :r =r (t ),t ∈(a ,b )．

若r '(t 0)=0，则称t =t 0的对应点r (t 0) 为C 的一个奇（异）点；

若r '(t 0)≠0，则称t =t 0的对应点r (t 0)为C 的一个正则点．

若C 之上点点正则，则称C 为正则曲线，并称参数t 为正则参数．

•视参数曲线为动点轨迹，正则点的几何意义则是当参数在该点处作微小变动时动点的位置同时作真正的变动．