断裂力学期末考试试题含答案

断裂力学期末考试试题含答案
一、简答题(80分)
1. 断裂力学中，按裂纹受力情况，裂纹可以分为几种类型,请画出这些
类型裂纹的受力示意图。

(15分)
2 请分别针对完全脆性材料和有一定塑性的材料，简述裂纹扩展的能量平衡理论,(15分)
3. 请简述应力强度因子的含义，并简述线弹性断裂力学中裂纹尖端应力场的特点,(15)
4. 简述脆性断裂的K准则及其含义,(15)
5. 请简述疲劳破坏过程的四个阶段,(10)
6. 求出平面应变状态下裂纹尖端塑性区边界曲线方程，并解释为什么裂纹尖端塑性区尺寸在平面应变状态比平面应力状态小,(5分)
7. 对于两种材料，材料1的屈服极限和强度极限都比较高，材料,,sb 2的和相对较低，那么材料1的断裂韧度是否一定比材料2的高,,,sb 试简要说明断裂力学与材料力学设计思想的差别, (5分)
二、推导题(10分)
请叙述最大应力准则的基本思想，并推导出I-II型混合型裂纹问题中开裂角的表达式,
三、证明题(10分)
,,,
JwdyTuxds,,,,,(/)定义J积分如下，，围绕裂纹尖端的回路, ,
，始于裂纹下表面，终于裂纹上表面，按逆时针方向转动，其中是w, 板的应变能密度，为作用在路程边界上的力，u是路程边界上的位移T ds矢量，是路程曲线的弧元素。

证明J积分值与选择的积分路程无关，并说明J积分的特点。

四、简答题(80分)
1. 断裂力学中，按裂纹受力情况，裂纹可以分为几种类型,请画出这些类型裂纹的受力示意图。

(15分)
答:
按裂纹受力情况把裂纹(或断裂)模式分成三类:张开型(I型)、滑开型(II型)和撕开型(III型)，如图所示
y y y
x o o o z x x
I型,张开型 II型,滑开型三型,撕开型
2 请分别针对完全脆性材料和有一定塑性的材料，简述裂纹扩展的能量平衡理论,(15分)
答:对完全脆性材料，应变能释放率等于形成新表面所需要吸收的能量率。

对于金属等有一定塑性的材料，裂纹扩展中，裂尖附近发生塑性变形，裂纹扩展释放出来的应变能，不仅用于形成新表面所吸收的表面能，更主要的是克服裂纹扩展所吸收的塑性变形能，即塑性功。

对金属材料，能量平衡理论这时需要更广泛的概念。

这时，抵抗裂纹扩展能力=表面能+塑性变形能，对金属材料这是常数。

3. 请简述应力强度因子的含义，并简述线弹性断裂力学中裂纹尖端应力场的特点,(15)
答:各种类型裂尖应力和位移场可表示为
K(I)(I), ,,f(,)i,j,1,2,3ijij2r,
r(I)(I)u,Kg(,) i,1,2,3i,i,
若角标II, III，代表II型或III型裂纹。

可见应力场有如下三个特点: r,01)处，应力趋于无穷大，即在裂尖出现奇异点;
2)应力强度因子在裂尖为有限量;
,3)裂尖附近的应力分布是和的函数，与无限远处应力和裂纹长无关。

r
由上述裂尖应力场的特点可知，用应力为参量建立如传统的强度条件失去意义，但应力强度因子是有限量，它不代表某一点的应力，而代表应力场强度的物理量，用其作为参量建立破坏条件是合适的。

应力强度因子一般写为:
K,Y,,a,
4. 简述脆性断裂的K准则及其含义,(15)
答:
K,K11C
为应力强度因子准则。

其中，为裂纹尖端的应力强度因子，是表示裂纹尖端K1 应力场强度的一个参量，由载荷及裂纹体形状和尺寸决定，可以用弹性理论的方
法进行计算;称为材料的平面应变断裂韧度，是材料具有的一种机械性能，K1C 表示材料抵抗脆性断裂的能力，由试验测定。

该式称为脆性断裂的K准则，表示裂尖的应力强度因子达到时，裂纹失稳扩展。

KK1C1
当时，裂纹稳定;当时，裂纹失稳扩展。

K,KK,K11C11C
5. 请简述疲劳破坏过程的四个阶段,(10)
)裂纹成核阶段答: 1
2)微裂纹扩展阶段
3)宏观裂纹扩展阶段
4)断裂阶段
6. 求出平面应变状态下裂纹尖端塑性区边界曲线方程，并解释为什么裂纹尖
端
塑性区尺寸在平面应变状态比平面应力状态小,(5分)
解:裂纹尖端的主应力为
K,,,Icos(1sin),，,1,222r, ,
K,,,I cos(1sin),,,,2222r,, ,KI,,，,()2cos,312,,,,, 22r,,
应用Von-Mises屈服条件
2222()()()2,,,,,,,,，,，,, x122331
代入可得
K1,,2222I,,，()cos[(12)3sin]v,222,, S
在平面应变状态下，沿厚度方向约束所产生的是拉应力，在三向拉伸应力作用下材,Z
料不易屈服而变脆
7. 对于两种材料，材料1的屈服极限和强度极限都比较高，材料2的和,,,sbs相对较低，那么材料1的断裂韧度是否一定比材料2的高,试简要说明断裂,b
力学与材料力学设计思想的差别, (5分)
答:
一)材料1的断裂韧度不一定比材料2的断裂韧度高。

二)下面简述断裂力学与材料力学设计思想的差别:
断裂力学和材料力学的研究对象不同，材料力学研究完整的材料，而断裂力学则研究带裂纹的材料。

虽然断裂力学是材料力学的发展和补充，但是断裂力学与材料力学的设计思想不同，其差别可从一下几方面来看: 1)静载荷情况传统的强度条件要求最大计算应力小于材料强度指标，即:
,s(屈服)，为屈服应力 ,,,maxsns
,b(破坏)，为强度极限 ,,,maxbnb
KICK,而断裂力学的裂纹失稳准则是: In
,裂纹尖端的应力强度因子 KI
2)循环载荷情况
传统的疲劳设计，是用光滑试件作S,N曲线，求出下界限应力疲劳极,,1限。

如果最大工作应力满足下式
,,1, ,maxn,1
为循环载荷下的安全系数，并认为凡是有缺陷的构件都不能应用。

n,1
断裂力学认为:含裂纹构件，只有裂纹未达到临界长度仍可使用;在循环载荷作用下，裂纹先缓慢扩展，直至达到临界长度，构件才失稳破坏。

并选用指标da——作用载荷每循环一周裂纹的扩展量，代表材料抵抗裂纹扩展的能力。

dN
3)腐蚀介质下的情况
综上所述，断裂力学出现后，对宏观断裂有了进一步认识，对传统设计思想进行了改善与补充。

五、推导题(10分)
请叙述最大应力准则的基本思想，并推导出I-II型混合型裂纹问题中开裂角的表
达式,
答:
最大应力准则的基本假定:
1)裂纹沿最大周向应力方向开裂;
2)在该方向上周应力达到临界值时，裂纹开始扩展。

根据该假定有，
2,,,,,,， ,0,02,,,,
,cos
2,,,,K(1，cos,),3Ksin,把带入上面两式 ,III22,r
22并利用 sin,，cos,,1，可求得开裂角的表达式
24223K,K，8KK,,,,,,,arccos, 022K，9K,,,
对于纯I型，，，故根号前必须取正，则 ,,0K,00,,
24223K，K，8KK,,,,,,,arccos, 022K，9K,,,
六、证明题(10分)
1)证明J积分值与选择的积分路程无关;2)说明J积分的局限性。

答:1)由弹性力学公式
T,n,， i,j,1,2iiij
n——弧元素法线的方向余弦。

i
,u,,,J(wdyTds)dy,dxdx,dx利用，，带入 21, ,,x
,ui,,,J(wdxn,ds)可以得到 2iij, ,,x1
——位移分量。

ui
由图(1)可知，， n,dx/dsn,,dx/ds1221所以有， dx,n.ds,n,ds21j1j
,ui则， ,,,J(w,,)nds1jijj, ,,x1
**作一封闭曲线，分四段、、、，如图(2)，故内无奇异点。

,,,,,,3124 ,,QQ，,,由格林公式: (PdxQdx)()dxdx)1212,,,s,,xx12A
令，同时，，则格林公式可改写成 dx,,n.dsdx,n.dsQ,01221
,P,PndsdA j,,,s,xjA
则线积分
,,,,,,,,,,uuuwiii,,,, ,,,,,,,,(,w,)ndsw,,dA(,)dA1jijj1jijij*,,,,,,,, , ,,,,,,,xxxxxx1j11j1,,AA,,
(a)
,u,u,w1ji,,,，利用:，及,,, 可以推出 ,()ijijijjji,,x,x,2ijji
，，,,,u,,,,,uuu,,,,ww1ijjijiii,,，,,
()(),,,,ijij,,,,,,,,,,xxx2xxxxxx,,,11111ijjijj，，
,,0利用平衡方程，可得 ij,j
,u,w,i,(,) ij,x,x,x11j
将上式带入(a)式，有
,ui(w,,,,)nds,0 1jijj*, ,,x1
,uJ,(wdy,T,ds),0即 *, ,,x
注意到， J,，，，,0*,,,, , , , , ,1234
又因为在路径、上，，且由于、是自由表面， T,0,,,,dy,02424 则有， ,,,,,,, , , ,133
所以积分路径与选择的路线无关。

2)J积分的局限性主要有:
,w,,a)积分中使用了全量理论，，因此不允许卸载; ij,,ij
,u,u1jib)用到了,，，因此必须是小变形; ,()ij,x,x2ji
c)用到了，指系统处于静平衡状态。

,,0ij,j
七、简答题(70分)
1. 请简述线弹性断裂力学中裂纹尖端应力场的特点,(15)
2. 简述裂纹扩展的能量平衡理论,(15分)
3. 断裂力学中，按裂纹受力情况，裂纹可以分为几种类型,(10分)
4. 请简述疲劳破坏过程的几个阶段,(5)
5.试简要说明断裂力学与材料力学设计思想的差别, (10分)
八、推导题(20分)
在I-II复合型裂纹问题中，裂纹尖端附近周向应力场由下式给出
,,,,,,，,cos(/2)(1cos)3sin/(22)KKr ,,,III
请简述最大应力准则的基本假定，并根据基本假定推导出开裂角的表达
式,
九、证明题(25分) ,,,
JwdyTuxds,,,,,(/)定义J积分如下，，围绕裂纹尖端的回路, ,
w，始于裂纹下表面，终于裂纹上表面，按逆时针方向转动，其中是,
ds板的应变能密度，为作用在路程边界上的力，是路程边界上的位移矢量，uT 是路程曲线的弧元素。

证明J积分值与选择的积分路程无关，并说明J积分的特点。

十、简答题(70分)
1. 请简述线弹性断裂力学中裂纹尖端应力场的特点,(15)
答:裂纹尖端应力场有如下三个特点:
r,01)处，应力趋于无穷大，即在裂尖出现奇异点;
2)应力强度因子在裂尖为有限量;
,r3)裂尖附近的应力分布是和的函数，与无限远处应力和裂纹长无关。

2. 简述裂纹扩展的能量平衡理论,(15分)
答:对完全脆性材料，应变能释放率等于形成新表面所需要吸收的能量率。

对于金属等有一定塑性的材料，裂纹扩展中，裂尖附近发生塑性变形，裂纹
扩展释放出来的应变能，不仅用于形成新表面所吸收的表面能，更主要的是克服裂纹扩展所吸收的塑性变形能，即塑性功。

对金属材料，能量平衡理论这时需要更广泛的概念。

这时，抵抗裂纹扩展能力=表面能+塑性变形能，对金属材料这是常数。

3. 断裂力学中，按裂纹受力情况，裂纹可以分为几种类型,(10分) 答:按裂纹受力情况把裂纹(或断裂)模式分成三类:张开型(I型)、滑开型(II 型)和撕开型(III型)。

4. 请简述疲劳破坏过程的几个阶段,(5)
答: 1)裂纹成核阶段
2)微裂纹扩展阶段
3)宏观裂纹扩展阶段
4)断裂阶段
5.试简要说明断裂力学与材料力学设计思想的差别, (10分) 答:
断裂力学和材料力学的研究对象不同，材料力学研究完整的材料，而断
裂力学则研究带裂纹的材料。

虽然断裂力学是材料力学的发展和补充，但是断裂力学与材料力学的设计思想不同，其差别可从一下几方面来看:
1)静载荷情况
传统的强度条件要求最大计算应力小于材料强度指标，即:
,s(屈服)，为屈服应力 ,,,maxsns
,b(破坏)，为强度极限 ,,,maxbnb
KIC而断裂力学的裂纹失稳准则是:K, In
,裂纹尖端的应力强度因子 KI
2)循环载荷情况
传统的疲劳设计，是用光滑试件作S,N曲线，求出下界限应力疲劳,,1
极限。

如果最大工作应力满足下式
,,1 ,,maxn,1
为循环载荷下的安全系数，并认为凡是有缺陷的构件都不能应用。

n,1
断裂力学认为:含裂纹构件，只有裂纹未达到临界长度仍可使用;在循
环载荷作用下，裂纹先缓慢扩展，直至达到临界长度，构件才失稳破坏。

并
da选用指标——作用载荷每循环一周裂纹的扩展量，代表材料抵抗裂纹扩dN 展的能力。

3)腐蚀介质下的情况
综上所述，断裂力学出现后，对宏观断裂有了进一步认识，对传统设计思想进
行了改善
与补充。

十一、推导题(20分)
在I-II复合型裂纹问题中，裂纹尖端附近周向应力场由下式给出
,,,,,,，,cos(/2)(1cos)3sin/(22)KKr ,,,III
请简述最大应力准则的基本假定，并根据基本假定推导出开裂角的表达式, 答: 最大应力准则的基本假定:
1)裂纹沿最大周向应力方向开裂;
2)在该方向上周应力达到临界值时，裂纹开始扩展。

根据该假定有，
2,,,,,,,0,0， 2,,,,
,cos
2,,,,K(1，cos,),3Ksin,把带入上面两式 ,III22,r
22并利用，可求得开裂角的表达式 sin,，cos,,1
24223K,K，8KK,,,,,,,,arccos 022K，9K,,,
对于纯I型，，，故根号前必须取正，则 ,,0K,00,,
24223K，K，8KK,,,,,,,arccos, 022K，9K,,,
十二、证明题(25分)
,,,
JwdyTuxds,,,,,(/)定义J积分如下，，围绕裂纹尖端的回路，始,, ,
于裂纹下表面，终于裂纹上表面，按逆时针方向转动，其中是板的应变能密度，w
ds为作用在路程边界上的力，是路程边界上的位移矢量，是路程曲线的弧元uT
素。

证明J积分值与选择的积分路程无关，并说明J积分的特点。

答:1)由弹性力学公式
T,n,， i,j,1,2iiij
n——弧元素法线的方向余弦。

i
,u,,,J(wdyTds)利用，，带入 dy,dxdx,dx21, ,,x
,ui,,,可以得到 J(wdxn,ds) 2iij, ,,x1
u——位移分量。

i
n,dx/dsn,,dx/ds由图(1)可知，， 1221
dx,n.ds,n,ds所以有， 21j1j
,ui则， ,,,J(w,,)nds1jijj, ,,x1
**作一封闭曲线，分四段、、、，如图(2)，故内无奇异点。

,,,,,,3124 ,,QQ由格林公式: ，,,(PdxQdx)()dxdx)1212,,,s,,xx12A
令，同时，，则格林公式可改写成 dx,,n.dsdx,n.dsQ,01221
,P,PndsdA j,,,s,xjA
则线积分
,,,,,,,,,,uuuwiii,,,, ,,,,,,,,(,w,)ndsw,,dA(,)dA1jijj1jijij*,,,,,,,, , ,,,,,,,xxxxxx1j11j1,,AA,,
(a)
,u,u,w1ji,,,，利用:，及可以推出 ,,,,()ijijijjji,,x,x,2ijji
，，,,,u,,,,,uuu,,,,ww1ijjijiii,,，,,
()(),,,,ijij,,,,,,,,,,xxx2xxxxxx,,,11111ijjijj，，利用平衡方程,,0，可得ij,j
,u,w,i,(,) ij,x,x,x11j
将上式带入(a)式，有
,ui(w,,,,)nds,0 1jijj*, ,,x1
,uJ,(wdy,T,ds),0即 *, ,,x
注意到， J,，，，,0*,,,, , , , , ,1234
T,0,,,,又因为在路径、上，dy,0，且由于、是自由表面， 2424则
有， ,,,,,,, , , ,133
所以积分路径与选择的路线无关。

2)J积分的局限性主要有:
,wa)积分中使用了全量理论，,,，因此不允许卸载; ij,,ij
,u,u1jib)用到了，因此必须是小变形; ,，,()ij,x,x2ji
c)用到了，指系统处于静平衡状态。

,,0ij,j
十三、填空(25分，每空1分)
1. 在断裂力学中，按照裂纹受力情况可将裂纹分为三种基本类型，简述均匀各向同性材料的两种裂纹类型的受力特点:
型
_________________________________________________________________ 型
_________________________________________________________________
2. 对于有一定塑性的金属材料，应用能量平衡理论时，材料抵抗裂纹扩
展能力这个概念，包括两个部分，即
____________________________________________和
______________________________________________________________，只有当_______________________________大于代表材料抵抗裂纹扩
展能力的常数时，裂纹才失稳扩展。

3. 最大周向应力准则的两个基本假定是:
________________________________和
______________________________________________。

该假定的缺点是
____________________________________________________________________ ______________________________________________________
_______________。

4. 常用的计算应力强度因子的方法有____________________、
______________________和_________________________。

(任意写出三种即可) 5.在复合型断裂准则中，以能量为参数的断裂准则一般包括
____________________________准则和____________________________准则。

6. 经典J积分守恒性成立的前提条件包括____________________________、
___________________________________和______________________________。

(任意写出三个即可)
7. 疲劳破坏过程按其发展过程可分为四个阶段，包括裂纹成核阶段、
_____________________、_____________________和______________________。

8. HRR理论是Hutchinson、Rice和Rosengren应用_______________________以及
___________________确定应力和应变的幂次。

该理论存在一个重要矛盾
是:_____________________________________________________________________ ______。

9. 可以表征材料断裂韧性度量的力学量主要有________________________、
_______________________和_______________________________。

(任意写出三个
即可)
十四、简答题(55分)
K1. 简述脆性材料断裂的准则的物理含义以及其中各个量的意义，并K,KIIC 结合线弹性断裂力学理论简单讨论K的适用范围。

(15分) 2. 求出平面应变状
态下裂纹尖端塑性区边界曲线方程，并解释为什么裂纹尖端
塑性区尺寸在平面应变状态比平面应力状态小,(15分)
K3. 请简单推导J积分与应力强度因子以及在M-D模型中与COD的关系。

(15 分)
4. 简述COD 准则及其优缺点。

(10分)
十五、计算题(20分)
某种合金钢在不同的回火温度下，测得的性能如下:
322KMNm,52/275?C回火时，,,1780/MNm，， ICs
322KMNm,100/600?C回火时，,,1500/MNm， ICs
,,,0.5设应力强度因子为Ka,1.1,,，且工作应力为，试求两种回火温sI
度下的临界裂纹长度。

(20分)
十六、简答题(本大题共5小题，每小题6分，总计30分) 1、裂纹的分类如何,
2、工程上如何处理并列裂纹,
3、如何利用P-V曲线确定, KIC
4、论述J积分的两种定义。

5、影响疲劳裂纹扩展速率的因素有哪些,
二、推导题(本大题共2小题，每小题20分，总计40分) 1、应力强度因子和能量释放率的关系。

2、利用D-B带状塑性区模型推导J积分和COD的关系。

三、计算题(本大题共2小题，每小题15分，总计30分)
x,,b1、无限大板中具有长度为2a的穿透板厚的裂纹表面上，距离为处各作用一对集中
力。

2、无限大板中心穿透?裂纹。

y
pp
xb 2a p p
aa
1题图 2题图
断裂力学考试试题 A卷答案一、简答题(本大题共5小题，每小题6分，总计30分)
1、按裂纹的几何类型分:穿透裂纹，表面裂纹，深埋裂纹;
按裂纹的受力和断裂特征分类:张开型(I型)，滑开型(II型)，撕开型
(III)。

K2、并列裂纹的作用使下降，工程上偏安全考虑:(1)并列裂纹作为单个?
裂纹考虑;(2)对于密集的缺陷群,假定它们在空间规则排列,并可把空间裂纹简化成平面裂纹。

3、
P Pmax PAPmax A
PP55
v vOO (1)做切线OA
(2)做割线OPS，斜率比切线斜率小5%
(3)确定 P,
若在前,曲线各点小于，则 PPPP,,555
若在前,曲线各点小于，则 PPPP,55,max
(4)计算满足，则有效，否则加大试件 PP,1.1max,
(5)计算,利用前面给出公式。

KI
K2,(6)计算，每项都满足一定要求 2.5()[,,()],,aBWa,S
满足否则加大试件(厚度为原厚度1.5倍的试件) KK,IC,
4、(1)回路积分定义:围绕裂纹尖端周围区域的应力、应变和位移所围成的围线积分。

(2)形变功率定义:外加载荷通过施力点位移对试件所作的形变功率给出。

5、平均应力，超载，加载频率，温度，腐蚀介质，随机载荷等。

二、推导题(本大题共2小题，每小题20分，总计40分) 1、假设裂纹闭合
,y
O
a
, y
x,o ,,ax x
,a
K,,,3? ,，cos(1sinsin),y2222r,
K?,,0当,时,. rx,,,y2x,
Kr,,3?,，,vk[(21)sinsin]又 4222G,
rax,,,,,,当,时.
Kax,,?vk(22),， ,42G
v,00,,应力,位移. 10分 y
a,,aBvdx,在闭合时,应力在那段所做的功为. y,0
,,aaKKBaxk141,,，2?? ,,,,,，,GvdxkdxK(22)??y,,00,BaaGG,,424,2x 2K3,,?平面应力情况: kG,,,,?1，E,
21,,2kGK,,,,34平面应变情况: ,??E
EE,,平面应力,2K,?,,G 10分 E,?,E,E,平面应变2,1,,,
2、D-B模型为弹性化模型，带状塑性区为广大弹性区所包围，满足积分守恒的诸条件。

x2
D
B
x1
A
积分路径:塑性区边界。

AB上:平行于，有 dx,0,ds,dx,T,,x212s1
BD上:平行于，有 10分 dx,0,ds,dx,T,,,x212s1
,u,u,ui22J,(Wdx,Tds),,Tdx,Tdxi22121,,,ABBD,,x,x,x 10分 111 BD,,,v，,v,,(v，v),,,sssADsAB
三、计算题(本大题共2小题，每小题15分，总计30分)
,,,,ReImZyZ,，,ReImZyZ,,1、 ,yZRe,,y??x??xy?
222pzab，选取复变解析函数:。

Z,22,()zb,
边界条件:
z,,,,,,0,,,a.. xyxy
zb,,za,,,,,,0,0b.出去处裂纹为自由表面上。

10分 yxy
xypc.如切出坐标系内的第一象限的薄平板，在轴所在截面上内力总和为。

x 以新坐标表示:
222()paab,，，Z, 22[()](2)，,，aba,,,,
2pa,,,,,,KZlim2() 5分 ,?22,,0,()ab,
2、根据几何方程和物理方程:
,w1,w1,r,,,,,,,,,,0,r,, xzxzxyxyzyzyz,xG,yG
单元体的平衡方程:
,,,,yz2xz 位移函数满足laplace方程. 00w，,,,,xy,,
所以为调和函数. w
解析函数性质:任意解析函数的实部和虚部都是解析的.
1 ,,wxyZz(,)Im()?G
,ImZ,w?,,,,,GZIm xz?,,xx
,ImZ,w? 5分 ,,,,GZReyz?,,yy
边界条件:
a.. yxa,,,0,,0,yz
b.z,,,,,0,,,,. xzyz
z,选取函数满足边界条件. Zz(),?22za,
,,()，a,,Z()取新坐标. ,,,,za?(2)，a,,
KZa,,lim2,,,,令 10分 ??,,0
第2页共2页十七、简答题(本大题共5小题，每小题6分，总计30分)
1、计算应力强度因子的方法有哪些,
2、最大周向正应力判据的假定是什么,
3、什么是应变能密度因子,
4、什么是裂纹扩展的门槛值,
5、临界J积分测定实验可确定哪些J积分值,
十八、推导题(本大题10分)
利用D-B带状塑性区模型推导J积分和COD的关系。

十九、计算题(本大题共3小题，每小题20分，总计60分)
x,,a1、无限大板中具有长度为2a的穿透板厚的裂纹表面上，距离为的范围内受均1
布载荷q作用。

y
q
x q 2 a1
2、受二向均匀拉应力作用的无限大平板，在x轴上有一系列长为2a，间距为2b的裂纹。

,
y ,
,
aa
x
bbb
,
3、利用V.Mises屈服条件确定平面应力条件下的小范围屈服时的塑性区的形状和尺寸。