第六章 责任准备金

特别，h=n
k
Vx:n
x k :h k , k n Ax k :n k Px:n a k n 1,
n 1
k=n-1
Vx:n v Px:n
4）延期年金给付准备金 (x)延期n年生存年金保险，保险费在n年内每年支付一次 初付
x k P ( n| a x ) a x k :n k , k n ( n k )| a k V ( n| a x ) x k , k n. a
1 Px:10 0.06942,10 Vx 0.1443, 求 20 10Vx
第三节 半连续型理论责任准备金
1）终身寿险
k
x k V ( Ax ) Ax k P ( Ax ) a
k
UDD假设
V ( Ax )
i

kVx
2）定期寿险
1 1 x k :n k , k n A P ( A )a x k :n k 1 x:n kV ( Ax:n ) kn 0,
x k Ax k Ax a 等价公式 1) k Vx 1 ; ; 2) k Vx x 1 Ax a
Px k Px 3) k Vx ; Px k d Px 等价公式 4) k Vx (1 ) Ax k Px k
等价公式 5) k Vx ( Px k Px ) a x k
h年缴清（一年缴付m次）
h k
Vx( m )
(m) (m) A P a , kh xk h x x k :h k kh Ax k ,
2）定期寿险给付准备金 h年缴清
h k 1 1 x k :h k , k h A P x k :n k h x:n a 1 kh Ax k :n k ,
例. 已知： 5 V50 0.45, P 55 10, i 0.05, 求： P 50 . 例. 已知：
10
V25 0.1,10 V35 0.2, 求： 20V25 .
完全离散(终身寿险) h年缴清
h k
x k :h k , k h. Ax k h Px a Vx k h. Ax k ,
第一节 基本概念
责任准备金 未来 未来 责任 收入 0
未来 差值 未来 责任 收入 t w
定义： 保险公司在任意时刻对每个仍在保障范围内的被保险人的未 尽责任现时值，就称为法定责任准备金。以纯保费为基础计 算的责任准备金，又称理论准备金。 考虑费用修正的责任准备金，称为修正责任准备金。 厘定原理 1）未来来看，责任准备金就是未来给付金现值减去未来 保费收入现值。 2）过去来看，准备金就是过去保费收入大于赔付支出的 部分。
k
V bk 1 v qx k k
t 0 t 0
j t 1
( bk 1t 1 vt 2 t 1| qx k k t 1 vt 1 t 1 px k )
k
V bk 1 v qx k k
1 1 A P ( A ) ax k :h k , k h x k :n k h x:n h 1 k V ( Ax:n ) 1 hk n Ax k :n k ,
3）两全保险
Ax k :n k h V ( Ax:n ) ax k :h k , k h h V ( A ) hk n Ax k :n k , k x:n k n 1,
j 1 j 1
( bk 1 j v j 1 j| qx k k j v j j px k )
k
V bk 1 v qx k k
j 1 j 1
( bk 1 j v j 1 j| qx k k j v j j px k )
Fra Baidu bibliotek
k v k 1 V k V (bk 1 k 1 V ) v qx k
经济解释：年缴纯保费等于储蓄纯保费与风险纯保费之和。
例.（45）岁买了一份完全离散的终身寿险，65岁以前死亡年 末赔付为1000元，65岁之后死亡赔付为500，缴费期为20 年，年缴净均衡保费15.86。已知：
未来法与过去法使用优缺点 1）未来只有保险金给付而没有保费缴付，使用未来法更方便； 2）尚未进入保险金给付期，使用过去法更方便.
例.已知 Px 0.02, Px:10 0.08, 10Vx 0.10, 10Vx:n 0.2
1
求 Px:10
例.（x）岁的人投保一个完全离散的3年期两全保险，死亡 年末给付1000元。已知 qx 0.1, i 0.025,1000 Px:3 420, 计算 1000( 2 Vx:3 1 Vx:3 ) 的值。 例.已知 Px 0.01212,20 Px 0.01508,
经济解释：第k年末责任准备金加上第（k+1）年初净保费 收入，正好等于第（k+1）年末死亡给付在第k年末现值 与第（k+1）年末给付责任准备金的现值之和。
(1 i )( k V k ) k 1 V (bk 1 k 1 V )qx k
经济解释：任何情况下 k 1V 是必需的，若投保人死亡则 需增加 (bk 1 k 1 V )（ 风险净额）。
UDD假设
h k
x k :h k V ( Ax:n ) Ax k :n k h P ( Ax:n ) a i
1 h 1 ( h V V k x:n k x:n )( k h )

完全连续（未来法）
J 第k年末的损失变量 k Lx v P ( Ax ) aJ
第三节 全离散责任准备金
未来法 1）终身寿险给付准备金
J 1 J 1 第k年末的损失变量 k L v Px a
x k 第k年末的责任准备金 k Vx E ( k L) Ax k Px a
方差
Px 2 2 Var[ k V ] [1 ] [ Ax k ( Ax k ) 2 ] d
Vx1:n
特别，h=n
k
V
1 x:n
A
1 x k :n k
x k :n k P a
1 x:n
3）两全保险给付准备金 h年缴清
h k
Vx:n
x k :h k , k h Ax k :n k h Px:n a Ax k :n k , hk n k n 1,
h k
V (A )
1 x:n
i

1 h V k x:n
半连续（h年缴清） 3）两全保险
x k :h k , k h Ax k :n k h P ( Ax:n ) a h V ( A ) hk n Ax k :n k , k x:n k n 1,
t 0 t 0
v px k ( bk 1t 1 vt 1 t| qx k 1 k t 1 vt t px k 1 )
k
V bk 1 v qx k k v px k k 1V
k
V k bk 1 v qx k v px k k 1 V
i 0.025, q64 0.01952, p64 0.98048,500 A65 219.90
计算第19年末的净责任准备金。
例. 已知 ax t 12,1000 P ( Ax ) 12, 0.05, 求 1000t V ( Ax )
完全连续终身寿险其它公式
(1)t V ( Ax ) 1 ( P ( Ax ) ) ax t ;
ax t (2)t V ( Ax ) 1 ; ax Ax t Ax (3)t V ( Ax ) ; 1 Ax
保费差公式
t
V ( Ax ) ( P ( Ax t ) P ( Ax )) ax t ;
缴清保险公式
P ( Ax ) ) Ax t ; t V ( Ax ) (1 P ( Ax t )
第三节 给付准备金的递推公式
标准的终身寿险
k
Vx Px v qx k v px k k 1 Vx
t
V ( Ax ) E (t Lx ) Ax t P ( Ax ) ax t
例.已知 0.04, 0.06, 试计算： （1）净均衡保费 P ( Ax ); （2）未来任意时刻t的净责任准备金.
完全连续（h年缴清） 1）终身寿险
h k
Ax k h P ( Ax ) ax k :h k , k h. V ( Ax ) k h. Ax k , 2）定期寿险
过去法 过去净保费终值与过去赔付之差 1）终身寿险 第k年末的责任准备金
k
Vx Px sx:k
1 1 x:k Ax sx:k k k x ( Px a ) Px :k k Ex k Ex
A1 x:k
2）定期寿险 第k年末的责任准备金
1 1 V P sx:k k k x , k n k x:n x:n
例.某先生在（40）岁时投保了保险金额为10000元的死亡 年末付的两全保险，若保险费在10年缴清，i=4%。求（1） 投保第5年末的责任准备金；（2）投保第15年末的责任准 备金；（3）投保第20年末的责任准备金；
例. 已知（30）岁的人投保20年期的两全保险，采用每年年 初净均衡方式缴纳保费。已知：A30:20 0.3, d 0.05 求第19年的责任准备金 19 V30:20
半连续（h年缴清） 1）终身寿险
x k :h k , k h. Ax k h P ( Ax ) a V ( Ax ) k h. Ax k , 2）定期寿险
h k
1 1 x k :h k , k h A P ( A )a x k :n k h x:n 1 h k V ( Ax:n ) 1 kh Ax k :n k , UDD假设
一般的终身寿险 公式一 证明：
k
V k bk 1 v qx k v px k k 1 V

j 1 j V b v q v k 1 j k j j px k k j| x k j 0 j 0

k
V bk 1 v qx k k
3）两全保险 第k年末的责任准备金
k x:n
V
A1 sx:k x:k , Px:n k Ex 1,
kn k n
4）n年延期生存年金 n年缴清 第k年末的责任准备金
x ) sx:k , kn P ( n| a 1 k V ( n| a x ) x ) sx:n sx n:k n , k n P ( n| a k n Ex n