专题5.2 等差数列及其前n项和(解析版)

第五篇数列及其应用

专题5.2

等差数列及其前n 项和

【考试要求】

1.理解等差数列的概念；

2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；

3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；

4.体会等差数列与一次函数的关系.【知识梳理】1.等差数列的概念

(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).

(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b

2

.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式

(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）

2

.3.等差数列的性质

(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).

(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .

(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列.(4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.

(5)若S n 为等差数列{a n }的前n .【微点提醒】

1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .

2.在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.

3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.

4.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn(A ，B 为常数).【疑误辨析】

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.()

(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.(

)

(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.()

(4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.()

【答案】(1)√

(2)√

(3)×

(4)×

【解析】

(3)若公差d ＝0，则通项公式不是n 的一次函数.(4)若公差d ＝0，则前n 项和不是二次函数.【教材衍化】

2.(必修5P46A2改编)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于()

A.31

B.32

C.33

D.34

【答案】B

【解析】

1＋5d ＝2，a 1＋10d ＝30，

1＝263

，＝－43

，

∴S 8＝8a 1＋8×7

2d ＝32.3.(必修5P68A8改编)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________.【答案】180

【解析】

由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180.

【真题体验】

4.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝(

)

A.－12

B.－10

C.10

D.12

【答案】

B

【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，则3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即d ＝－3

2a 1.又a 1＝2，∴d ＝－3，

∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.

5.(2019·上海黄浦区模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝1，前5项和S 5＝－15，则数列{a n }的公差为()

A.－3

B.－

52

C.－2

D.－4

【答案】D

【解析】

设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，

2＝1，

5＝－15，

1＋d ＝1，a 1＋5×42

d ＝－15，解得d ＝－4.

6.(2019·苏北四市联考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8>0，且S 9<0，则S 1，S 2，…，S 9中最小的是______.【答案】S 5

【解析】

在等差数列{a n }中，

∵a 3＋a 8>0，S 9<0，

∴a 5＋a 6＝a 3＋a 8>0，S 9＝9（a 1＋a 9）

2＝9a 5<0，

∴a 5<0，a 6>0，

∴S 1，S 2，…，S 9中最小的是S 5.【考点聚焦】考点一

等差数列基本量的运算

【例1】(1)(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为()

A.1

B.2

C.4

D.8

(2)(2019·潍坊检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，若a m ＝30，则m ＝()

A.9

B.10

C.11

D.15