延性材料的损伤断裂_张昌锁

第20卷　第2期爆炸与冲击V ol.20,N o.2 2000年4月EXP LOSI ON AND SH OCK W AVES Apr.,2000　
文章编号:100121455(2000)022*******
延性材料的损伤断裂
张昌锁1,张宝平2,梁为民3
(1.太原理工大学矿业工程学院,山西太原　030024)
(2.北京理工大学机电工程系,北京　100081)
(3.中国矿业大学北京研究生部,北京　100083)
摘要:以细观统计损伤理论为基础,对材料受冲击载荷作用下初期损伤的成核成长效应进行
了定量计算。

得到了不同动载荷作用下从损伤成核到成长阶段转换的特征时间,并把它应用于
Johns on提出的延性材料的损伤断裂模型,减小了原模型中的模型参数———初始损伤度的随意性,
增加了Johns on模型的确定性与可预测性。

用改进后的模型计算不同冲击速度下OFHC铜的损伤
断裂,计算结果与实测结果吻合较好。

关键词:延性材料;动态断裂模型;损伤的成核与成长
中图分类号:O346 文献标识码:A
Ξ
1　引　言
材料在动态载荷作用下的损伤断裂一直是固体力学领域的热门课题。

国内外不少学者在这方面进行了大量研究,提出了各自的理论模型。

其中最具代表性的有Seamen等提出的NAG 模型[1],Johns on提出的体胞模型[2]及Perzyna提出的带损伤的弹塑性过应力模型[3]。

以上模型各有特点,从不同侧面描述了材料的损伤断裂特性,但又有一些不足。

Seaman等的NAG模型是一种纯统计模型,需要实验测定的参数太多,而这些参数又较难得到,因此给实际应用带来不少困难。

Perzyna的模型本身是一个唯象模型,而且需要拟合许多参数。

Johns on的体胞模型不仅需要的参数较少,而且具有一定的理论依据,一些学者对此模型做了许多改进[4～5]。

但Johns on模型及其改进模型的一个最大缺点就是未计及材料损伤的成核效应。

大量的实验已经证实,材料的断裂过程分为损伤的成核、成长和汇合三个阶段,缺少任一阶段的模型都是不完善的。

但是由于损伤汇合阶段是一个雪崩式的瞬变过程,现有的任何测量手段都无法对其进行定量的测量。

因此,一般的处理方法是取一个临界值或者唯象地给一个随损伤增加而急剧减小的函数来模拟汇合阶段的应力松弛,忽略对整个汇合过程的描述。

对于损伤成核,由于对其机理认识不清,而且由于它在整个损伤演化过程中所占比重较小,许多学者都忽略了损伤的成核效应。

但是损伤的成核是材料断裂的根源,损伤成核对材料的最终断裂行为有重大影响。

如何合理地计及损伤的成核效应是问题的关键。

在Johns on模型中以初始损伤度代替成核效应并且认为它是一个材料常数,其范围为10-4～10-3。

其实只有材料在形成过程中的一些微观缺陷才是一个材料常数,称之为原始损伤。

由于原始损伤与成核损伤相比较小,直接激
Ξ收稿日期:1999204228;修订日期:1999206225
作者简介:张昌锁(1968—　),男,博士,讲师。

图1　Johns on 模型中不同初始损伤度的计算结果Fig.1　Result of different initial damage in Johns on ′s m odle
活需要较大的应力,一般只是损伤成核的成核
源。

图1为Johns on 模型中不同初始损伤度的
计算结果,实验数据取于文献[6]。

从图中可以
看出,一方面,初始损伤度d 0从0.0003变化到
0.003时材料的损伤断裂就有较大的变化。

不
仅层裂信号的回跳点有较大的变化,而且回跳
后的波形也有变化,有时甚至无法发生层裂。

另一方面,如果初始损伤度是一个材料常数,对
于同一种材料,在不同实验中应取一个定值。

而事实却不是如此,以OFHC 铜为例,对于低速
时取d 0=0.0002吻合较好的模型,却在预报较
高速度冲击的动态断裂时发生了较大偏差。

这
足以说明Johns on 模型中的初始损伤度并非一
个材料常数,而是一个模型参数,这就大大增加了模型的随意性与不确定性。

我们试图用统计损伤理论来讨论初始损伤度的决定因素。

2　微孔洞演化的统计描述
白以龙等[7]研究材料在平面冲击载荷作用下出现的损伤时建立了微裂纹数密度n (c ,t )的演化方程
5n 5t +5(nc ・)5c
=n N (1a )n N =n N (c ,t )
(1b )c ・=c ・
(c )(1c )其中方程(1b )和(1c )分别是微裂纹的成核和成长的动力学方程。

在本文中我们借用方程(1a )～(1c )来描述延性材料中微孔洞的损伤演化方程。

其中c 为微孔洞的半径。

从大量的实验可知微孔洞成核后的体积较小,而且半径尺寸的离散性较小,因此为了简化计算可以假定微孔洞成核的所有新核半径都等于b 。

其实在许多连续损伤理论如NAG 模型、Chu 等提出的成核模型[8]中都认为新核的体积相等。

由此(1a )式变为
5n 5t +5(c ・n )5c
=q (t )δ(c -b )(2)式中:q (t )为单位时间内的成核量,δ(c -b )为c 的Dirac 函数。

在b 的邻域(b -ε,b +ε)内对(2)式积分,并令ε→0,则有
∫b+εb-ε5n t d c +c ・n b +εb -ε=q (t )(3)
由于5n /5t •q (t )为有限值,且当c <b 时,n (c ,t )=0,则(3)式为
(c ・n )
c =b =q (t )(4)根据微分方程理论,右边含δ函数项方程(1a )的解与满足边界条件(4)式的右边不含δ函数项的方程5n 5t +5(c ・n )5c
=0的解完全相等,因此原方程(1a )～(1c )在所有成核孔洞半径相等的条611 爆 炸 与 冲 击 第20卷
件下变为
5n 5t +5(nc ・)5c
=0(5a )(c ・n )
c =b =q (t )(5b )c ・=c ・(c )(5c )
n (c ,t )t =0=0(5d )
n (c ,t )c =∞=0(5e )
式中b 为成核微孔洞的半径,演化方程(5a )形式上有通解
n (c ,t )=
1c ・Ψ(t -∫c b d c c ・)(6)函数Ψ的形式由边界条件(c ・n )c =b =q (t )确定。

在方程(6)中代入微孔洞的成核、成长方程可得到微孔洞数密度方程,从而可得到损伤演化方程。

然而由于人们对材料的成核与成长机理还不十分清楚,因此并未提出一个成熟的成核、成长方程。

为了说明问题,我们仅采用最简单的成核成长模型,即在成核、成长方程中不显含时间。

在损伤演化初期孔洞之间的相互作用较小,积累损伤对成核成长应力条件影响不大是适合这一条件的。

为不失一般性可令满足阈值条件的成核、成长方程为如下形式
q (t )=gH (t )
(7)c ・=kc
(8)式中g 、k 为与材料和载荷有关的常数,H (t )=
0 t <01 t ≥0。

则由边值条件可得到Ψ的表达式Ψ(t )=gH (t )
(9) 而微孔洞数密度的表达式为
n (c ,t )=g kc t ≥1/k (ln c -ln b )0 t <1/k (ln c -ln b )
(10)
显然,(10)式满足初边值条件,是方程(5a )～(5e )的解。

微损伤统计演化的最终目的是要揭示微损伤的演化过程对受损材料宏观力学性能的影响,因此必须通过对微损伤的某种统计平均得到损伤内变量。

一般形式的m 阶损伤函数可以定义为
f m (t )=∫∞b
c m n (c ,t )
d c (11) 如果我们选微孔洞的体积为损伤变量,并认为微孔洞为球形则有f (t )=43π∫
∞b c 3n (c ,t )d c (12) 在某一时刻t ,材料中产生的最大孔洞是由在t =0时刻成核的孔洞长大得到的,因此有t =∫C
b d
c c ・(13)
711第2期 张昌锁等:延性材料的损伤断裂
式中C 为最大孔洞的半径。

则t 时刻孔洞体积为
f (t )=4π3∫C b
g kc c 3d c (14)
把微孔洞的成长方程(7)代入(13)、
(14)式得f (t )=4π3∫b exp (kt )b g kc c 3d c =4πg 9k b 3(exp (3kt )-1)(15)
把(15)式对t 求导得
d f /d t =(4/3)πgb 3exp (3kt )(16)
由此得到损伤演化方程为f ・=3kf +(4/3)πgb 3(17)
(17)式即为含有成核成长效应的损伤演化方程,式中的常数项为成核的贡献。

这与许多连续损伤模型中所采用的演化方程f ・=f ・G +f ・N 形式是相同的。

由(16)式可以得到成核效应在总孔洞体积中的作用按如下形式变化
Δf N Δf (t )=1exp (3kt )
(18) 由(18)式可以看出成核的体积效应随时间增长迅速减小,这也正是许多模型可以通过调
整初始损伤度只考虑成长效应仍能与实验吻合的原因。

为定量计算损伤成核与成长对损伤演化的影响,可把损伤演化方程(17)嵌入一维应变条件下的波动程序。

图2为不同碰撞速度下层裂面损伤的积累过程。

从图可以看出
,在损伤演化初期,损伤主要来源于成核效应;经过一段时间的损伤演化,成长效应占主导,成核效应可以忽略。

成核与成长的转化是在极短的时间内完成的,从碰撞速度为80m/s 与180m/s 的碰撞来看,这一转化时间与冲击速度有关。

速度越大转化时间越短,这一特征是很容易从(18)式得到的。

如果假定成核的体积效应占总孔洞体积的1/10时可以忽略成核效应,则由(18)式可以得到成核成长的转化时间
t =(log10)/(3k )(19)图2　不同冲击速度下层裂面损伤积累
Fig.2　Damage accumulation of spalling sur face under different im pacting velocity
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如果不计及波的衰减及波阵面的形状,对于对称碰撞,碰撞速度v 与拉应力σ有如下关系
σ=(1/2)ρ0c 0v
(20)由此可以利用(17)式来估计初始损伤
d 0=(4π/3)gtb 3(21)
我们取Seaman 等在NAG 模型中给出的成核和成长方程
g =N ・0exp ((σ-σN0)/σ1)(22)
k =((σ-σG 0)/4η)(23)
式中:σ为平均拉应力,σN0为成核应力门槛值,σG 0为成长应力门槛值,σ1、
N ・0为材料参数,η为材料的粘性系数。

由于在此模型计算中并不考虑转化时间,因此在计算初始损伤时所用时间要小于真正的转化时间。

我们用以成核占主导的时间来代替转化时间,由此可以忽略成长效应对初始损伤的影响。

把成核方程(22)、成长方程(23)代入(21)式即可得到初始损伤
d 0=(4π/3)((log3)/(3k ))gb 3(24)
3　算例分析
对于改进后的模型进行了不同碰撞速度的数值模拟,在数值模拟过程中采用了统一的材料参数,实验条件见表1。

然后与文献[9]的实验数据进行比较。

同样是OFHC 铜,用拟合第一个实验时选用的初始损伤度d 0=0.0002来拟合第二个实
验时产生了一定的偏差。

对于较低速度的冲击
实验,从图3可以看出,层裂波形的基本特征与
实验是比较吻合的。

但是在用(24)式估计高速
冲击时并未作出准确的预测,计算值远高于拟表1　OFH C 铜层裂实验条件
T able 1　Sp alling conditions of OFH C copper 实验号飞片厚/mm 靶板厚/mm 碰撞速度/(m/s )S24S27
0.6221.143 1.5873.175158.5128.6
图3　OFHC 铜在不同冲击速度作用下的计算结果
Fig.3　Results of OFHC copper under different im pacting velocity
合实验数据所需要的初始损伤。

究其原因主要是由以下三方面造成:第一,由于材料的本构及成长方程中并未计及应变率、惯性及应变硬化效应,而这些效应都对孔洞的成长起阻碍作用,而且速度越大效果越明显;第二,所给出的成核方程指数形式并不合适,而且没有考虑应变率
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效应;第三,由于材料中的原始损伤在高速碰撞时被激活,直接进入了成长期,缩短了成核成长的转化时间。

如果把这些因素考虑在内,用(24)式计算的初始损伤会更接近些。

无论如何, (24)式的形式为我们合理简化模型提供了一种有益的思路。

4　结　论
材料的断裂是损伤成核成长及汇合的结果,成核与成长在损伤演化过程的不同阶段具有不同的作用,损伤初期成核占主导,经过一段时间的演化成长起主要作用,成核效应可以忽略。

成核与成长的转化与材料及加载幅度有关。

对于一维应变条件下材料的损伤断裂来说,通过合理的简化可以用初始损伤度来代替成核效应,但初始损伤度必须考虑加载条件的影响。

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Fracture of Ductile Materials
ZHANG Chang2suo1,ZHANG Bao2ping2,LI ANG Wei2ming3
(1.Mining Institute o f Taiyuan Univer sity o f Technology,Taiyuan030024,China)
(2.Beijing Institute o f Technology,Beijing100081,China)
(3.Beijing Apartment o f China Mine Univer sity,Beijing100083,China)
Abstract:Based on the theory of mes ostatistical damage,the effects of nucleation and growth of initial damage on failure of the im pacted material were evalucaled.The characteristic durations from the nucle2 ation of damage to its growth state were determined.This duration were used to constraint the initial dam2 age in Johns on’s m ing the m odified m odel,we predicted the failure process of OFHC copper un2 der different im pact velocity.The predicted results are in g ood agreement with the experiment data.
K ey w ords:ductile materials;dynamic fracture m odel;nucleation and growth of damage。