二重积分的概念及性质

表示以区域D为底，以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的
(2) 若在D上f(x,y)≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下
方，二重积分
的值是负的，其绝对值
为该曲顶柱体的体积.
(3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些
子区域上为负的，则
表示在这些子区域
上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶 柱体体积减去Oxy平面之下的
性质7(二重积分中值定理) 设f(x,y)在有界闭区域D上 连续，则在D上存在一点 ，使
(4)
证 由f(x,y)在D上连续知，f(x,y)在D上能达到其最小值m和最大值M，因而估值式(3) 成立.即有
成立.再由有界闭区域上连续函数的介值定理知，存在
，使
(5)
(5)式的等号右边的式子称为函数f(x,y)在D上平均
取极限 若记
，则定义
为所讨论的曲顶柱体的体积.
二、二重积分的定义
定义1 设f(x,y)在闭区域D上有定义且有界.
分割 用任意两组曲线分割D成n个小块 其中任意两小块 和
除边界外无公共点， 既表示第i小块，也表示第i小块的面积.
近似、求和 对任意点
，作和式
取极限 若 为 的直径，记
,若极限
存在，且它不依赖于区域D的分法，也不依赖于点 的取法，称此极限为f(x,y)在D上的二重积分.
一、引例
引例1 质量问题. 已知平面薄板D的面密度(即单位面积的质量)
随点(x,y)的变化而连续变化,求D的质量.
解 分三步解决这个问题.
分割 将D用两组曲线任意分割成n 个小块:
其中任意两小块 和
除边界外无公共
点.与一元函数的情况类似，我们用符号 既表
示第i个小块，也表示第i个小块的面.(i=1,2,…,n).
性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即
性质3 若D可以分为两个区域D1，D2，它们除边界外无公共点，则 性质4 若在积分区域D上有f(x,y)=1，且用S(D)表示区域D的面积，则 性质5 若在D上处处有f(x,y)≤g(x,y)，则有 推论
性质6(估值定理) 若在D上处处有m≤f(x,y)≤M，且S(D)为区域D的面积，则 (3)
记为
(2)
称f(x,y)为被积函数，D为积分区域，x，y为积分变元， 为面积微元(或面积元 素).
由这个定义可知，质量非均匀分布的薄板D的质
量等于其面密度
在D上的二重积分.因此二重积
分
的物理意义可以解释为：二重积分的值
等于面密度为f(x,y)的平面薄板D的质量.
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二重积分
的几何意义：
(1) 若在D上f(x,y)≥0，则 体积.
值.因而，积分中值定理又可以这样说：“对有界闭区
域D上连续函数f(x,y)，必在D上存在一个点
使
取f(x,y)在D上的平均值”.故积分中值定理也是连
续函数的平均值定理.
例1 设D是圆域：
，证明
解 在D上， 由估值公
式(3)得
的最小值m=e，最大值M=e4，而D的面积S(D)=4π–π=3π.
近似、求和 若记 为 的直径(即 表示 中任
意两点间距离的最大值)，将任意一点
处的密度
近似看作为整个小块 的面密
度.得
故所要求的质量m的近似值为
取极限 记
，则定义
为所求薄板D的质量m.
引例2 曲顶柱体的体积. 若有一个柱体，它的底是Oxy平面上的闭区域D， 它的侧面是以D的边界曲线为准线，且母线平行于z轴 的柱面，它的顶是曲面z=f(x,y)，设f(x,y)≥0为D上的连 续函数.我们称这个柱体为曲顶柱体.现在来求这个曲 顶柱体的体积.
解 也分三步解决这个问题.
分割 区域D用两组曲线任意分割成n个小块:
其中任意两小块 和
除边界外无公共点.
其中 既表示第i个小块，也表示第i个小块的面积.
近似、求和 记 为 的直径(即 表示 中任
意两点间距离的最大值)，在 中任取一点 ,
以
为高而底为 的平顶柱体体积为
此为小曲顶柱体体积的近似值，故曲顶柱体的近 似值可以取为
曲顶柱体的体积).
二重积分的存在定理 若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上的二重积分 必存在(即f(x,y)在D上必可积).
三、二重积分的性质
二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f(x,y)，g(x,y) 在区域 D上都是可积的. 性质1 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的 代数和，即