常微分方程总结归纳.ppt

微分方程的基本概念
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 常微分方程 (本章内容)
分类 偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶.
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F (x, y, y,, y(n) ) 0
或 y(n) f (x, y, y,, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
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第二节
第七章
可分离变量微分方程
可分离变量方程
dy dx
f1 ( x)
f2 ( y)
M1(x)M 2 ( y) dx N1(x) N2 ( y) dy 0
转化
解分离变量方程 g( y) dy f (x) dx
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分离变量方程的解法:
g(y)dy f (x)dx
定 义
称这条曲线为微分方程的积分曲线。
3 ②微分方程的通解是一族函数；y y(x,c1,c2,,cn )又是平面内
的一族曲线，称它们为微分方程的积分曲线族。
例1中，积分曲线为y x2 1； 例1中，积分曲线族为y x2 c 注：微分方程的积分曲线族中 的每一条曲线在点(x0, y0 )处有平 行的切线。
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①
设 y＝ (x) 是方程①的解, 则有恒等式
g( (x))(x) dx f (x) dx
两边积分, 得
f (x)dx
则有
②
当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 时, 上述过程可逆,
说明由②确定的隐函数 y＝(x) 是①的解. 同样,当F’(x)
= f (x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解.
引例1 通解:
dy dx
2x
y x1 2
引例2
y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
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2.微分方程的解（几何意义）：
①微分方程的特解是一个函数；y y(x)又是平面的一条曲线，
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微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.
n 阶方程的初始条件(或初值条件):
y(x0 ) y0 , y(x0 ) y0 , , y(n1) (x0 ) y0(n1)
(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.
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一、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程标准形式: dy P(x) y Q(x) dx
若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
1. 解齐次方程 dy P(x) y 0 dx
分离变量
3 .齐次方程的求解方法:
令
u y, x
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3. 解微分方程应用题的方法和步骤 (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.
常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 ) 3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例6 ) (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.
称②为方程①的隐式通解, 或通积分.
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第三节 齐次方程
形如
的方程叫做齐次方程 .
解法: 令 u y , x
代入原方程得 u x d u (u)
dx
分离变量:
du dx
(u) u x
两边积分, 得
du
(u) u
dx x
积分后再用
代替 u, 便得原方程的通解.
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内容小结
1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解
说明: 通解不一定是方程的全部解 .
例如, 方程 (x y) y 0 有解
y=–x 及 y=C
后者是通解 , 但不包含前一个解 .
2. 可分离变量方程的求解方法:
分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
用常数变易法:作变换 y(x) u(x) e P(x)d x , 则
u e P(x)d x P(x) u e P(x)d x P(x) 该u e定理P(易x)让d x我们Q想(x起)
即
《线性代数》中的
两端积分得对应齐u 次 方Q程(x通) e解 P(x)ydx dCxe一组C P阶的(x)非解dx齐的次结线构性定方理程。
(3) ( y x3) dx 2x dy 0
(4) 2 y dx ( y3 x) dy 0
yn d y P(x)y1n Q(x)
dx
令z
y1
n
,则
dz dx
(1 n)yn
dy dx
dz (1 n) P(x) z (1 n)Q(x) (线性方程)
dx
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解.
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内容小结
1. 一阶线性方程
方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式
故原方程的通解
y
e
P(x)d
x
Q(
x)
e
P(
x)
d
x
dx
C
即
y Ce P(x)d x e P(x)d x Q(x) e P(x)d xdx
齐次方程通解
非齐次方程特解
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二、伯努利 ( Bernoulli )方程
伯努利方程的标准形式:
解法:
除方程两边 , 得
两边积分得 ln y P(x)dx ln C
故通解为 y C e P(x)dx
注：①所谓线性，即是 方程中未知函数及其导 函数均为一次函数 ②本节的“齐次方程” 与上节的课“件 齐次方程” 是两个不同的概念
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2. 解非齐次方程 dy P(x) y Q(x) dx
y e P(x)dx Q(x) e P(x)dx dx C
2. 伯努利方程
令 u y1n , 化为线性方程求解.
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思考与练习
判别下列方程类型:
提示:
(1) x dy y xy dy
dx
dx
y 1dy dx
y
x
可分离 变量方程
(2) x dy y (ln y ln x) dx