2020-2021学年江西省景德镇市高一第一学期期末数学试题【解析版】

【详解】（1）由 可得 ，
所以直线 的定点 ，
到直线 ： 的距离 ，
解得 或 ，
所以直线 ： 或
（2）由题意，设直线 ： ，
因为直线 分别交 wenku.baidu.com 轴正半轴于A、B两点，
所以
令 ， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
故所求直线方程为 ，即
【点睛】关键点点睛：直线系过定点问题，需将直线化为含参数与不含参数的部分，如 ，可根据此形式直接写出定点；直线与坐标轴围成三角形的面积，可利用截距表示.
【详解】（1）因为截面 为正方形，
所以 ，
在 中， ，
即 ，解得 ，
在直三棱柱 中，底面 的外接圆半径为 ，
直三棱柱 的外接球球心到面 的距离为 ，
设三棱柱的外接球半径为 ，
则 ，
（2）因为 ，
在长方体中 平面 ，
所以三棱锥 的高为 ，
所以
.
【点睛】关键点点睛：根据直三棱柱外接球的的性质可知球心到底面的距离为高的一半，求出底面外接圆的半径即可利用勾股定理求解即可，利用分割法可把四棱锥转化为三棱锥求体积即可.
8．如图，圆锥的母线长为4，点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短值为 ，则此圆锥的表面积为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，且线段 计算底面圆半径即可求解.
【详解】设底面圆半径为 ，
由母线长 ，可知侧面展开图扇形的圆心角为 ，
19．已知直线 ： ， ： .
（1）求直线 的定点P，并求出直线 的方程，使得定点P到直线 的距离为 ；
（2）过点P引直线 分别交 ， 轴正半轴于A、B两点，求使得 面积最小时，直线 的方程.
【答案】（1） ， ： 或 （2）
【分析】（1）利用直线系求出定点，根据点到直线距离求出 ；
（2）由题意直线斜率存在，设出直线方程，求出截距，表示出三角形面积，利用均值不等式求最值.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设正四棱锥的底边为 ，侧面的等腰三角形的高为 ，内切球的半径为 ，建立它们之间的比值关系即可求解
【详解】由于正四棱锥：底面是正方形，侧面为4个全等的等腰三角形，设正四棱锥的底边为 ，
底面积为 ，所以，该正四棱锥的侧面积为 ，设该四棱锥的侧面的等腰三角形的高为 ，则有 ，所以， ，设内切球的半径为 ，则如图，
【详解】
对于①，由题意知 ，从而 平面 ，
故BC 上任意一点到平面 的距离均相等，
所以以P为顶点，平面 为底面，则三棱锥 的体积不变，故 正确；
对于②，连接 ， ， 且相等，由于 知： ，
所以 面 ，从而由线面平行的定义可得，故 正确；
对于③，由于 平面 ，所以 ，
若 ，则 平面DCP，
，则P为中点，与P为动点矛盾，故 错误；
4．已知三点 ， ， 在同一条直线上，则实数 的值为（）
A．0B．5C．0或5D．0或-5
【答案】C
【分析】根据 ， 知直线斜率存在，利用斜率相等求解.
【详解】因为三点 ， ， 在同一条直线上，且直线斜率存在，
所以 ，
解得 或
故选：C
5．在平面四边形 中， ，将该四边形沿着对角线 折叠，得到空间四边形 ，则异面直线 所成的角是（）
与 相似，有 ，所以， ，由于 ，
化简得， ，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为
故选：B
【点睛】关键点睛：解题关键在于利用三角形的相似关系，求出内切球的半径与底面正方形的边长关系，属于中档题
12．设函数 ，若函数 在区间 内有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】B
【分析】根据空间中的线线平行、线面平行、线面垂直的定义以及性质逐项进行判断.
【详解】A．因为 ， ，所以当 时， 不满足，故错误；
B．根据“垂直于同一平面的不同直线互相平行”可知B正确；
C．因为 ， ，所以 可能是异面直线，故错误；
所以
故答案为：
【点睛】关键点点睛：根据斜二测画法的规则，可得出三角形的直观图，并求出对应边长，根据面积公式求解．
14．已知正四棱锥的底面边长为2，现用一平行于正四棱锥底面的平面去截这个棱锥，截得棱台的上、下底面的面积之比为1：4，若截去的小棱锥的侧棱长为2，则此棱台的表面积为______________.
【详解】(1)因为 ，所以 ，
因为 且 ，
当 时， ，解不等式 可得 ；
当 时， ，解不等式 可得 ；
综上，当 时，函数的定义域为 ；当 时，函数的定义域为 ；
(2)当 时， ， ，所以函数 在定义域内单调递减；又且 在 上恒成立，
二、填空题
13．如图所示， 为水平放置的 的直观图，其中 ， ，则 的面积是________________.
【答案】
【分析】根据直观图和原图的之间的关系，由直观图画法规则将 还原为 ，如图所示， 是一个等腰三角形，直接求解其面积即可．
【详解】由直观图画法规则将 还原为 ，如图所示， 是一个等腰三角形,则有 ，
2020-2021学年江西省景德镇市高一第一学期期末数学试题【含解析】
一、单选题
1．直线 的倾斜角为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由直线的一般式方程得到直线的斜率 ，再由 求解倾斜角.
【详解】直线 的斜率 ，
，
∴ .
故选：D
2．m，n为空间中两条不重合直线， 为空间中一平面，则下列说法正确的是（）
把 代入 得， ，此时方程为
直线方程为 ；
当截距不为0时，设直线方程为 ，则 ，解得 ，
所以直线方程为 .
综上，直线方程为 或 .
故答案为： 或
16．函数 在区间 上为单调递减函数，则实数 的取值范围为___________.
【答案】
【分析】根据复合函数的单调性及函数的定义域建立不等式组求解即可.
【详解】因为函数 开口向下，对称轴是直线 ,
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 ，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
6．直线 与直线 的交点在第四象限，则实数 的取值范围为（）
且 ，
解得
18．如图，长方体 由， ， ， ，过 作长方体的截面 使它成为正方形.
（1）求三棱柱 的外接球的表面积；
（2）求 .
【答案】（1） （2）80
【分析】（1）根据直三棱柱底面为为直角三角形可得外接球球心的位置，利用勾股定理求半径，即可求解；
（2）根据等体积法及几何体的割补法可转化为求三棱锥 即可.
因为截去的小棱锥的侧棱长为2，
所以正四棱锥的侧棱长为4，
又因为正四棱锥的底面边长为2，即 ，
所以 ，
作 ，则 ，
，
所以此棱台的表面积为 ，
故答案为：
15．经过点 ，且在坐标轴上截距相等的直线方程为________.
【答案】 或
【分析】分截距为0时和截距不为0时两类讨论，分别求出直线的方程可得答案．
【详解】当截距为0时，即直线过原点时，设该直线的方程为 ，
20．已知函数 （ 且 ）.
（1）求 的定义域；
（2）若 在 上恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）当 时，函数的定义域为 ；当 时，函数的定义域为 （2）
【分析】(1)根据函数解析式，得到 ，分别讨论 和 两种情况，解对应不等式，即可得出定义域；
(2)分类讨论 和 两种情况，根据对数型函数单调性，即可得出结果.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】联立两直线的方程，解得交点的坐标，根据交点在第四象限，由 求解.
【详解】由 ，
解得 ，
因为直线 与直线 的交点在第四象限，
所以 ，
解得 ，
所以实数 的取值范围为 ，
故选：A
7．已知函数 ，记 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【答案】
【分析】根据棱台的上、下底面的面积之比为1：4，利用相似比得到棱台的上、下底面的边长之比为1：2，再根据截去的小棱锥的侧棱长为2和正四棱锥的底面边长为2，得到棱台的底面边长和斜高，代入公式求解.
【详解】如图所示：
因为棱台的上、下底面的面积之比为1：4，
所以棱台的上、下底面的边长之比为1：2，
将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B，最短距离为BM；
如图，
在 中， ，
所以 ,
所以 ,
故 ，解得 ，
所以圆锥的表面积为 ,
故选：B
【点睛】关键点点睛：首先圆锥的侧面展开图为扇形，其圆心角为 ，其次从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B，绳子的最短距离即为展开图中线段 的长，解三角即可求解底面圆半径 ，利用圆锥表面积公式求解.
对于④，连接 ，由 且 ，
可得 面 ，从而由面面垂直的判定知，故 正确．
故选C．
【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．
11．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，园林建筑.以八中校园腾龙阁为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为（）
三、解答题
17．已知直线 ： 和 ： ，分别就下列条件求出实数m的值.
（1）直线 与 垂直；
（2）直线 与 平行.
【答案】（1） （2）
【分析】(1）由已知条件利用直线与直线垂直的条件直接求解；
(2）由已知条件利用直线与直线平行的条件直接求解.
【详解】（1） ： 和 ： 垂直
，
解得
（2） ： 和 ： 平行，
【详解】解:由题意，几何体是底面为等腰直角三角形（其直角边长为2）的三棱锥和一个半圆锥（圆锥底面半径为1）的组合体，
体积
故选：D
10．如图，点 在正方体 的面对角线 上运动，则下列四个结论：
三棱锥 的体积不变；
平面 ；
；
平面 平面 ．
其中正确的结论的个数是
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
9．如图，在各小正方形边长为 的网格上依次为某几何体的正视图，侧视图与俯视图，其中正视图为等边三角形，则此几何体的体积为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可知几何体是底面为等腰直角三角形（其直角边长为2）的三棱锥和一个半圆锥（圆锥底面半径为1）的组合体，结合锥体体积公式 即可得出结果.
【分析】化简函数的解析式，画出函数的图象，利用数形结合转化求解即可．
【详解】因为
所以 ，其图象如下：
函数 在区间 内有且仅有一个零点，
等价于 在区间 内有且仅有一个实数根，
又等价于函数 的图象与直线 在区间 内有且仅有一个公共点.
于是 或 ，解得 或 .
故选：D
【点睛】关键点点睛：根据分段函数及初等函数函数的图象变换可得出 的图象，利用转化思想，转化为函数 的图象与直线 在区间 内有且仅有一个公共点，数形结合求解.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意，利用线面垂直的判定定理可得 平面 ，从而证出 ，即求.
【详解】取线段 的中点 ，
连接 .易得 ，
从而 平面 .
因此 ，
所以异面直线 所成的角是
故选：D.
【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
【分析】比较 的大小关系，再利用函数 的单调性比较 ， ， 的大小关系.
【详解】因为 ， ，所以 是偶函数，
并且当 时， 是减函数， ，
因为 ， ，即 ，
又因为 在 是减函数，所以 .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的单调性和奇偶性比较函数值的大小，本题的关键是判断函数 的性质，后面的问题迎刃而解.
D．因为 ， ，所以 时也满足，故错误，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过分析已知的平行垂直关系，找寻不符合条件描述的反例，由此排除选项.
3．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简集合A,B，根据补集、交集运算即可求解.
【详解】因为 ， ，
所以 ， .
故选：A
所以要使函数 在区间 内单调递减，需有 且 ,解得 ．
故答案为：
【点睛】方法点睛：复合函数单调性，运用口诀“同增异减”即内外两层函数单调性相同，则该函数为单调递增函数，若内外两层单调性相反即一个单调递增另一个单调递减，则该函数为单调递减函数．本题中对数函数是以2为底数，所以问题等价于函数 在区间 内恒大于零且单调递减，从而求解．