1.4.1正弦函数、余弦函数的图像
正弦函数、余弦函数的图像(完整)
(
3 2
,1)
(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
(2) 描点(定出五个关键点)
(3) 连y线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
图象的最高点
1-
-
(0,1) (2 ,1)
与x轴的交点
-
-1
o
6
2
3
2 3
5
7
6
6
4 3
3 5
2
3
11 6
2
x
(
2
,0)
(
3 2
,0)
-1 -
图象的最低点 ( ,1)
三角函数
三角函数线
正弦函数 余弦函数 正切函数
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
y PT
-1
O
M A(1,0) x
正弦函数的图象
问题：如何作出正弦函数的图象？
途径：利用单位圆中正弦线来解决。
描图：用光滑曲线
y
B
1
将这些正弦线的 终点连结起来
A
O1
O
2
4
5
2
x
4
5 6 x
正弦、余弦函数的图象
如何由正弦函数图像得y 到余弦函数图像？
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函数的图象
y=cosx=sin(x+ ), xR
2
余弦函数的图象
y
1
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦曲 线
-4 -3
-2
- o
-1
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象(解析版)
§1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象学习目标1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系．知识点一 正弦函数、余弦函数的概念实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦(或余弦)值．这样，任意给定一个实数x ，有唯一确定的值sin x (或cos x )与之对应．由这个对应法则所确定的函数y ＝sin x (或y ＝cos x )叫做正弦函数(或余弦函数)，其定义域是R . 知识点二 几何法作正弦函数、余弦函数的图象利用正弦线，这种作图方法称为“几何法”，其基本步骤如下：①作出单位圆：作平面直角坐标系，并在直角坐标系中y 轴左侧的x 轴上取一点O 1，作出以O 1为圆心的单位圆；②等分单位圆，作正弦线：从⊙O 1与x 轴的交点A 起，把⊙O 1分成12等份．过⊙O 1上各分点作x 轴的垂线，得到对应于0，π6，π3，π2，…，2π等角的正弦线；③找横坐标：把x 轴上从0到2π这一段分成12等份；④找纵坐标：把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上对应的点x 重合，从而得到12条正弦线的12个终点；⑤连线：用光滑的曲线将12个终点依次从左至右连接起来，即得到函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，如图．因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π)，k ∈Z 且k ≠0的图象与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象的形状完全一致．于是只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象，如图．把y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度，即可得到y ＝cos x ，x ∈R 的图象．正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 知识点三 “五点法”作正弦函数、余弦函数的图象“五点法”作正弦函数y ＝sin x (x ∈[0,2π])、余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]图象的步骤 1．列表2.描点画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是 (0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)； 画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是 (0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 3．用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦函数y ＝sin x (x ∈[0,2π])、余弦函数y ＝cos x (x ∈[0,2π])的简图．1．正弦函数y ＝sin x 的图象向左、右和上、下无限伸展．( × )提示 正弦函数y ＝sin x 的图象向左、右无限伸展，但上、下限定在直线y ＝1和y ＝－1之间．2．函数y ＝sin x 与y ＝sin(－x )的图象完全相同．( × ) 提示 二者图象不同，而是关于x 轴对称．3．余弦函数y ＝cos x 的图象与x 轴有无数个交点．( √ )4．余弦函数y ＝cos x 的图象与y ＝sin x 的图象形状和位置都不一样．( × ) 提示 函数y ＝cos x 的图象与y ＝sin x 的图象形状一样，只是位置不同．题型一“五点法”作图的应用例1利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．考点正弦函数图象题点正弦函数图象解(1)取值列表：(2)描点连线，如图所示．反思感悟作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x或y＝cos x 的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．跟踪训练1 利用“五点法”作出函数y ＝－1－cos x (0≤x ≤2π)的简图． 解 (1)取值列表如下：(2)描点连线，如图所示．题型二 利用正弦、余弦函数图象求定义域 例2 求函数f (x )＝lg sin x ＋16－x 2的定义域． 考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象的应用解 由题意，得x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，16－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，－4≤x ≤4，作出y ＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得x ∈[－4，－π)∪(0，π)．反思感悟 一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍．跟踪训练2 求函数y ＝ log 21sin x－1的定义域． 考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象的应用解 为使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0，即0<sin x ≤12.由正弦函数的图象或单位圆(如图所示)，可得函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x <2k π＋π，k ∈Z .正弦、余弦函数图象的应用典例 利用正弦曲线，求满足12<sin x ≤32的x 的集合．考点 正弦函数的图象 题点 正弦函数图象的应用解 首先作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象，如图所示，作直线y ＝12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π6和5π6.作直线y ＝32，该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π3和2π3. 观察图象可知，在[0,2π]上，当π6<x ≤π3或2π3≤x <5π6时，不等式12<sin x ≤32成立．所以12<sin x ≤32的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪ π6＋2k π<x ≤π3＋2k π，⎭⎬⎫或2π3＋2k π≤x <5π6＋2k π，k ∈Z . [素养评析] 作出相应正弦、余弦函数的图象，借助三角函数图象使问题得解，这正是数学核心素养直观想象的具体体现.1．用“五点法”作y ＝2sin 2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( ) A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象 答案 B解析 “五点法”作图是当2x ＝0，π2，π，3π2，2π时的x 的值，此时x ＝0，π4，π2，3π4，π，故选B.2．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的简图是( )考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象 答案 D解析 方法一 由y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的图象，作关于x 轴的对称图象，就可以得到函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的简图． 方法二 可以用特殊点来验证． x ＝0时，y ＝－sin 0＝0，排除A ，C. 当x ＝3π2时，y ＝－sin 3π2＝1，排除B.3．在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( ) A ．(0，π) B.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 C.⎝⎛⎭⎫4π3，5π3 D.⎝⎛⎭⎫5π3，2π考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象的应用 答案 C解析 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的草图如下：因为sin π3＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－32，sin ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝－32. 即在[0,2π]内，满足sin x ＝－32的是x ＝4π3或x ＝5π3. 可知不等式sin x <－32的解集是⎝⎛⎭⎫4π3，5π3. 4．点M ⎝⎛⎭⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m ＝________. 考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象的应用 答案 －1解析 点M 在y ＝sin x 的图象上， 代入坐标得－m ＝sin π2＝1，所以m ＝－1.5．函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－12的交点有________个．答案 2解析 画图可知(图略)．1．对“五点法”画正弦函数图象的理解(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图．(2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点．2．作函数y＝a sin x＋b的图象的步骤3．用“五点法”画的正弦型函数在一个周期[0,2π]内的图象，如果要画出在其他区间上的图象，可依据图象的变化趋势和周期性画出．一、选择题1．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( ) A ．在x ∈[2k π，2(k ＋1)π](k ∈Z )上的图象形状相同，只是位置不同 B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴仅有一个交点 考点 正弦函数的图象 题点 正弦函数图象的应用 答案 C解析 画出y ＝sin x 的图象(图略)，根据图象可知A ，B ，D 三项都正确．2．用“五点法”作函数y ＝2sin x －1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( ) A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象 答案 A解析 由“五点法”可知选A.3．(2018·山西孝义高二期末)对于余弦函数y ＝cos x 的图象，有以下描述： ①将[0,2π]内的图象向左、向右平移2k π(k ∈Z )个单位长度；②与y＝sin x图象形状完全一样，只是位置不同；③与x轴有无数个交点；④关于y轴对称．其中正确的描述有()A．1个B．2个C．3个D．4个考点余弦函数的图象题点余弦函数图象的应用答案 D解析根据余弦函数的图象可以判断都正确．4．(2018·安徽滁州高二期末)函数y＝1－sin x，x∈[0,2π]的大致图象是()考点正弦函数的图象题点正弦函数图象答案 B解析 当x ＝π2时，y ＝0；当x ＝0时，y ＝1； 当x ＝2π时，y ＝1；结合正弦函数的图象可知B 正确． 5．下列各组函数中图象相同的是( ) ①y ＝cos x 与y ＝cos(π＋x )； ②y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2； ③y ＝sin x 与y ＝sin(－x )； ④y ＝sin(2π＋x )与y ＝sin x .A ．①③B ．①②C ．③④D ．④ 考点 正弦、余弦函数图象的综合应用 题点 正弦、余弦函数图象的综合应用 答案 D解析 由诱导公式知，只有④中，y ＝sin(2π＋x )＝sin x . 6．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根考点 余弦函数的图象 题点 余弦函数图象的应用 答案 C解析 在同一坐标系中作出函数y ＝|x |及函数y ＝cos x 的图象，如图所示．由图知两函数的图象有两个交点，所以方程|x |＝cos x 有两个根． 7．(2018·广西贺州高二期末)在[0,2π]上，满足sin x ≥22的x 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π6 B.⎣⎡⎦⎤π4，5π4 C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D.⎣⎡⎦⎤3π4，π考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象的应用 答案 C解析 如图所示，在同一坐标系内作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象和y ＝22的图象．由图可知，满足sin x ≥22的x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4. 8．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图象为( )答案 D解析 y ＝cos x ＋|cos x |＝⎩⎨⎧2cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2∪⎣⎡⎦⎤3π2，2π，0，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，故选D.二、填空题9．若sin x ＝2m ＋1且x ∈R ，则m 的取值范围是________． 答案 [－1,0]解析 ∵2m ＋1＝sin x ∈[－1,1]， 即－1≤2m ＋1≤1， ∴－1≤m ≤0.10．不等式sin x <－12，x ∈[0,2π]的解集为________．答案 ⎝⎛⎭⎫7π6，11π611．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，x ＋2，x <0，则不等式f (x )>12的解集是____________．考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象的应用答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32<x <0或π6＋2k π<x <5π6＋2k π，k ∈N 解析 在同一平面直角坐标系中画出函数f (x )和函数y ＝12的图象，如图所示．当f (x )>12时，函数f (x )的图象位于函数y ＝12的图象的上方，此时－32<x <0或π6＋2k π<x <5π6＋2k π(k ∈N )．三、解答题12．求函数y ＝1－2cos x ＋lg(2sin x －1)的定义域． 考点 正弦、余弦函数图象的综合应用 题点 正弦、余弦函数图象的综合应用 解 要使函数有意义，只要⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，2sin x －1>0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >12.如图所示．cos x ≤12的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π3＋2k π≤x ≤53π＋2k π，k ∈Z .sin x >12的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6＋2k π<x <5π6＋2k π，k ∈Z ，它们的交集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π3＋2k π≤x <5π6＋2k π，k ∈Z ，即为函数的定义域．13．用“五点法”作出函数y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： (1)观察函数图象，写出满足下列条件的x 的区间．①y>1；②y<1.(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围．考点正弦函数图象题点正弦函数图象的应用解列表如下：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图：(1)由图象可知，图象在直线y＝1上方部分时y>1，在直线y＝1下方部分时y<1，所以①当x∈(－π，0)时，y>1；②当x∈(0，π)时，y<1.(2)由图可知，当直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点时，1<a<3或－1<a<1，所以a的取值范围是(－1,1)∪(1,3)．14．(2018·广西钦州高二期末)已知函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π2的图象与直线y ＝1围成一个平面图形，则这个封闭图形的面积是( ) A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π 考点 正弦函数图象 题点 正弦函图图象的应用 答案 C解析 如图，由正弦函数图象的对称性知，所围成平面图形的面积是长为5π2－π2＝2π，宽为1的矩形的面积， ∴S ＝2π.15．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象的应用解 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π].图象如图所示，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据图象可得k 的取值范围是(1,3)．。
课件12： 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
3．请补充完整下面用“五点法”作出 y＝－sin x(0≤x≤2π)的图象 时的列表．
x
0
π 2
①
3π 2
2π
－sin x ② －1 0 ③ 0
①
；②
；③
.
解析：用“五点法”作 y＝－sin x(0≤x≤2π)的图象的五个 关键点为(0,0)，π2，－1，(π，0)，32π，1，(2π，0)故①为 π， ②为 0，③为 1. 答案：π 0 1
的横坐标可以是( )
A．0，π2，π，32π，2π
B．0，π4，π2，34π，π
C．0，π，2π，3π，4π
D．0，π6，π3，π2，23π
解析：根据“五点法”作图，x 的取值为 0，π2，π，32π，2π.
答案：A
2．函数 y＝－sin x，x∈－2π，32π的简图是(
)
解析：函数 y＝－sin x 与 y＝sin x 的图象关于 x 轴对称，故选 D. 答案：D
当堂检测
1．对于余弦函数 y＝cos x 的图象，有以下三项描述：
①向左向右无限延伸；
②与 x 轴有无数多个交点；
③与 y＝sin x 的图象形状一样，只是位置不同．
其中正确的有( )
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
解析：根据正余弦函数图象可知，①②③正确．
答案：D
2．函数y＝cos x与函数y＝－cos x的图象( )
思考：y＝cos x(x∈R)的图象可由 y＝sin x(x∈R)的图象平移得到
的原因是什么？ [提示] 因为 cos x＝sinx＋π2，所以 y＝sin x(x∈R)的图象向左
平移π2个单位可得 y＝cos x(x∈R)的图象．
正弦函数余弦函数的图像(公开课)
o
A
M
1
x
正切线AT tan=AT
既然作与单位圆有关的三角函数线可得相应的角的 三角函数值,那么通过描点( x, sin x) ,连线即可得到函数 y sin x, x 0,2 的图象
问题：如何作出正弦、余弦函数的图象？
途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。
B
y
1
描图：用光滑曲线 将这些正弦线的 终点连结起来
余弦函数的图象
y
(0,1) 1
3 ( 2 ,0)
( 2 ,1) 2 3 4
余弦曲 线
5 6
8
-4
-3
-2
-
(o ,0) 2 -1
( ,-1)
x
像作二次函数图象那样为了快速用描点法 作出正弦曲线与余弦曲线。下面我们通过观察 函数图象寻找图象上起关键作用的点：
y sin x, x 0,2
2 ]的简图 例1：（1）画出y=1+sinx , x∈[0，
x
sinx
1s i n x
0 0 1
2
π
0 1
3π 2
2π
0 1
1
-1 0
2 y
1. o -1
.
π 2
2
y 1 sinx, x [0,2 π ]
.
.
3π 2
.
2
x
y sinx, x [0,2π]
（2）画出y=-cosx , x∈[0，2]的简图
解：按关键点列表
x sinx 0 0
y sin x , x R 的简图
2
0 0
-1 1
正弦函数余弦函数的图象完整版课件
y
1-
-
-
6
4
2
o
-1-
2
4
6
x
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx，x∈R的图象在
4,2 ,2,0, 0,2, 2,4,…与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
正弦曲线：ysinx xRy
1
-1
x
-cosx -1 0
1
0 -1
y
y=-cosx x[0,2 ]
1
●
o
●
3●
2
x
2
2
-1 ●
●
思考：
1、函数y=1+sinx的图象与函数y=sinx的图象有什么关系？ 2、函数y=-cosx的图象与函数y=cosx的图象有什么关系？
y 2
y=1+sinx x[0, 2]
1
o
3
2
-1
2
2
x
y=sinx x[0, 2]
1
●
●
●
●
●
7 4 3 5 11
6
6 3 2 3 6 2
●
2 0
2 5
●
11
6 32 3 6
●
●
x
●
5
6
-1
●
●
●
3
y
ysinx x [0 ,2 ]
1-
-
-1
o 6
3
2
2 3
5
7
6
6
4 3
3
5
2
3
11 6
2
-1 -
《正弦函数余弦函数的图像第1课时》人教版数学高一下册PPT课件
1.4 三角函数的图象与性质
必修④ ·人教A版
CONTEN TS
01.
自主预习学案 01 第一章 三角函数
平静的水面投下一颗石子，荡起阵阵水波．在空间中光波、声波、电磁波 无处不在，你可知道，这些波传播的波动图与我们所学的三角函数的图象 有着密切的关系吗？
1．正、余弦函数解析式 函数 解析式 定义域
03.
2．正弦曲线和余弦曲线 的关系
1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
(1)作正弦函数和余弦函数的图象时，所取的“五点”是相同的．( × ) (2)正弦曲线和余弦曲线都介于直线 y＝1 和 y＝－1 之间．( √ ) (3)正弦曲线与余弦曲线都关于原点对称．( × ) (4)将正弦曲线向右平移32π个单位可得到余弦曲线．( √ ) (5)利用正弦线可以作出三角函数的图象．( √ )
〔跟踪练习1〕用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]上的简图． (1)y＝2－sinx；(2)y＝cosx－1.
[解析] (1)按五个关键点列表：
x
0
π 2
π
3π 2
2π
sinx
010
－1
0
2－sinx
212
3
2
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图(1))．
第一章 三角函数
(2)按五个关键点列表：
典例 4
方程sinx＝lgx的实根个数有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．无穷多个
[错解] A，如图所示，y＝sinx与y＝lgx的图象，有且只有1个公共点， 故选A．
[错因分析] 作y＝lgx图象时，没有找准临界点的坐标，只作出了草图． [思路分析] 画出y＝sinx的图象后要充分利用y＝lgx过(1,0)点和(10,1) 点来确定解的个数，准确画图是解答此类题的关键． [正解] C 在同一直角坐标系中作函数y＝sinx与y＝lgx的图象．由图中 可以看出两函数图象有三个交点(xi，yi)，其中xi∈(1,10)(i＝1,2,3)是 方程sinx＝lgx的解．
1.4.1《正弦函数余弦函数的图像》教案
1.4.1《正弦函数余弦函数的图像》教案【摘要】本教案旨在帮助学生深入理解正弦函数和余弦函数的图像特点。
文章首先介绍了正弦函数和余弦函数在数学中的重要性，然后概述了本教案的主要内容和目的。
接着分别讨论了正弦函数和余弦函数的图像特点，包括周期、振幅、相位等。
通过具体的案例分析，帮助学生更好地理解函数图像的绘制方法和规律。
在结尾部分，对本教案进行了总结，并提出了相应的教学建议，同时展望了学生在学习正弦函数和余弦函数图像时可能取得的进展和突破。
通过本教案的学习，学生将能够掌握正弦函数和余弦函数的图像特点，提高数学学习的效率和兴趣。
【关键词】正弦函数、余弦函数、图像、教案、概述、特点、案例分析、总结、教学建议、展望。
1. 引言1.1 1.4.1《正弦函数余弦函数的图像》教案正弦函数和余弦函数是高中数学中重要的函数之一，它们在数学中有着广泛的应用。
本教案将重点讲解正弦函数和余弦函数的图像特点，帮助学生更好地理解和掌握这两个函数的性质。
在学习正弦函数的图像特点时，我们将介绍正弦函数的周期、幅值、对称轴等基本概念，并通过实例演示如何绘制正弦函数的图像。
我们也会讲解正弦函数的性质，如奇偶性、单调性等，以便学生更好地应用正弦函数解决实际问题。
通过本教案的学习，学生将能够准确绘制正弦函数和余弦函数的图像，并理解它们的基本特点。
学生还将学会如何利用正弦函数和余弦函数解决实际问题，提高数学应用能力。
希望本教案能够对学生的数学学习起到一定的帮助，让他们更加喜爱数学这门学科。
2. 正文2.1 引言在本节课程中，我们将学习正弦函数和余弦函数的图像特点。
正弦函数和余弦函数是我们在数学中经常接触到的函数，它们在几何学、物理学等领域也有广泛的应用。
通过学习它们的图像特点，我们可以更好地理解它们的性质和规律。
正弦函数是一种周期函数，它的图像呈现出波浪形状。
正弦函数的周期为2π，在每个周期内有一个最大值和一个最小值，这些点称为正弦函数的极值点。
1.4.1_正弦函数、余弦函数的图象
正弦函数：y sin x
xR
正弦曲线
y
1
-1
x
余弦函数：y cos x
(2 ,1)
( , 1)
2 , 0)
3 ( , 0) 2
与x轴的交点： (
第一章 三角函数
题型探究
五点作图法
•
例1
用“五点法”作出下列函数的简图． y＝sinx+1，x∈[0，2π]．
x
sinx 1+sinx
y 2 1
0
0 1
π 2 1 2
π
0 1
3π 2 -1 0
2π
0 1
y=1+sinx，x[0, 2]
第一章 三角函数
函数图象的应用
例4 (本题满分 10 分)根据正弦函数的图象， 1 求满足 sinx≥ 的 x 的范围． 2
1 【解】 在同一坐标系内画出 y＝sinx 和 y＝ 2 的图象，如图所示： 3分
第一章 三角函数
由图看到在 x∈[0，2π]内， 1 π 5π 满足 sinx≥ 的 x 为 ≤x≤ . 2 6 6 7分
描点作图法的步骤： （1）列表（2）描点（3）连线
沙漏试验
探究一:函数y sin x, x 0, 2 图象的作法
作法: (1) 等分; (2) 作正弦线; y
第一章 三角函数
(3) 平移; (4) 连线.
1P 1
/ p1
o1
6
M1
-1A
必修四1.4.1正弦余弦函数的图像一作图
几何作图法（三角函数线）
1. 正弦曲线、余弦曲线作法 描点法（五点法）
y
图象变换法
1
y=cosx，x[0, 2]
o
2
2
3
2
x
2
-1
y=sinx，x[0, 2]
2.正弦曲线和余弦曲线之间的区别与联系；
3.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系；
4.巩固图象变换的规律：对自变量x“左加右减”， 对函数值f(x) “上加下减”.
正弦曲 线
y=cosx与
y=sin(x+ ),
2
xR图象相同形 只状 是完位全置一不样同
余弦函数的图象
y
余弦曲
1
线
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
y
五点作图法
1-
图象的最高点
(
2
,1)
-
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
-
x 与x轴的交点
(0,0) ( ,0) (2 ,0)
-1
O
M A(1,0) x
函数线是有
向线段！
sin
正弦线MP
cos
余弦线OM
学习探究:
如何利用三角函数线画y=sinx，x[0,2]的图象？
B
描图：用光滑曲线
将这些正弦线的终
y 1
点连结起来
A
O1
O
2
4
5
2
x
3
3
3
3
-1
1、把单位圆12等分，并放置于直角坐标系中y轴的左侧.
1.4.1《正弦函数余弦函数的图像》教案
1.4.1《正弦函数余弦函数的图像》教案一、教学目标1. 知识与技能：掌握正弦函数和余弦函数的定义和性质，能够准确地绘制正弦函数和余弦函数的图像，并用函数图像表示周期现象。
2. 过程与方法：通过观察和分析，培养学生绘制函数图像的能力，提高数学思维和分析问题的能力。
3. 情感态度和价值观：培养学生对数学知识的兴趣，增强学习数学的自信心。
二、教学重点与难点1. 教学重点：正弦函数和余弦函数的定义和性质，函数图像的绘制方法。
2. 教学难点：函数图像的周期性表现。
四、教学过程1. 引入问题为了引起学生的兴趣，可以通过提出一个问题引入正弦函数和余弦函数的教学内容，比如：在日常生活中我们经常遇到周期性的现象，比如四季更替、日升月落等，你知道如何用数学函数来描述这些现象吗？2. 理论学习教师介绍正弦函数和余弦函数的定义，及其性质，包括周期性、奇偶性、对称性等。
然后，通过示范和解释，教师讲解如何绘制正弦函数和余弦函数的图像，包括如何确定周期、振幅、相位等参数。
3. 练习与训练让学生进行简单的练习，让他们根据已知的函数，绘制相应的函数图像，加强他们的绘图能力和对函数图像的认识。
4. 拓展应用通过讲解正弦函数和余弦函数在日常生活中的具体应用，比如声音的频率、天体运动的规律等，引导学生将知识应用于实际问题中，并启发他们对数学知识的兴趣。
5. 总结反思教师对本节课的重点内容进行总结，并引导学生进行反思，总结学习方法和技巧，以及重点难点的突破方法。
五、教学手段1. 课件2. 黑板3. 教学实例4. 练习题六、教学评价1. 练习题考核通过练习题考核学生对正弦函数和余弦函数的理解和掌握程度。
2. 课堂表现评价通过观察学生的课堂表现，包括思维活跃程度、问题解决能力等来评价学生的学习情况。
七、教学反思本节课教学设计是以学生为中心的，注重培养学生的数学思维能力和实际应用能力，通过引入问题、理论学习、练习训练、拓展应用等环节，使学生能够全面地理解和掌握正弦函数和余弦函数的知识，并能在日常生活中灵活运用。
1.4.1《正弦函数余弦函数的图像》教案
1.4.1《正弦函数余弦函数的图像》教案【摘要】本教案旨在帮助学生深入理解正弦函数和余弦函数的图像特征。
通过系统的内容安排，学生将了解到正弦函数和余弦函数的数学定义、性质以及图像特点，并明确教学重点。
教学方法包括理论讲解、示例演练和实际应用，帮助学生更好地掌握知识。
教学效果评价将从学生的表现和理解程度入手，评估教学效果。
通过学习本教案，学生将对正弦函数和余弦函数有更深刻的认识，提高数学素养和图像思维能力。
【关键词】《正弦函数余弦函数的图像》、教案、制作目的、内容安排、教学重点、教学方法、教学效果评价、引言、结论1. 引言1.1 引言在数学教学中，正弦函数和余弦函数是非常重要的函数之一，它们在图像和性质上有很多有趣的特点。
通过学习正弦函数和余弦函数的图像，可以帮助学生更深入地理解这两个函数的规律和变化。
在本节课中，我们将围绕正弦函数和余弦函数的图像展开教学，通过直观的图像展示和实际计算，让学生更加直观地理解正弦函数和余弦函数的性质。
正弦函数和余弦函数是周期函数，它们的图像呈现出明显的周期性和对称性。
通过分析正弦函数和余弦函数在不同参数下的图像变化，可以帮助学生建立起对这两个函数的直观认识，并且深入理解它们的数学性质。
在本节课中，我们将通过实际的例题和练习来帮助学生掌握正弦函数和余弦函数的图像特点，培养他们的数学思维和分析能力。
希望通过本节课的学习，学生能够更加深入地理解正弦函数和余弦函数的图像，为以后的学习打下良好的基础。
2. 正文2.1 1.4.1《正弦函数余弦函数的图像》教案的制作目的本教案旨在帮助学生深入理解正弦函数和余弦函数的图像特征，以及它们在数学中的应用。
通过学习本教案，学生将能够掌握正弦函数和余弦函数的周期、振幅、相位和对称性等重要概念，并能够准确绘制它们的图像。
本教案还旨在培养学生的数学思维能力和图形绘制能力，提高他们对数学的兴趣和自信心。
通过实际练习和应用案例的引导，学生将能够更好地理解正弦函数和余弦函数在现实生活中的应用，进而提高他们的数学解决问题的能力和应用能力。
1.4.1正弦函数、余弦函数的图像(2)
y
余弦曲
-4 -3
-2
(0,11)
3
( 2 ,1)
-
(-o12 ,0)
( 2 ,0)
2
( ,-1)
3
线
4
5 6 x
像作二次函数图象那样为了快速用描点法 作出正弦曲线与余弦曲线。下面我们通过观察 函数图象寻找图象上起关键作用的点：
y sin x, x 0,2
图象的最高点(
2
,1)
图象与x轴的交点(0,0) ( ,0) (2 ,0)
1.4.1 正弦函数、 余弦函数的图像
物理中把简谐运动的图像叫做“正弦曲线”或“余弦曲 线”
沙漏单摆实验
知识探究：正弦函数y=sinx的图象 思考1：作函数图象最原始的方法是什么？
答：列表、描点、连线
sin , cos, tan的几何意义是什么?
y
T
1P
A
oM 1 x
正弦线MP sin=MP
余弦线OM cos=OM
1
o
2
2
-1
3
2
x
2
五个关键点— (0,0)
x
0
sinx
0
( 2 ,1)
( ,0)
3 ( 2 ,-1)
( 2 ,0)
2
3
2
2
10-10正弦、余弦函数的图象y
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR
2
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦函数的图象
y= sinx，x[0, 2] 和 y= cosx，x[ , 3 ]的简图：
1.4.1正弦函数 余弦函数的图象
（一）遇到一个新的函数，画出它的图象，通过观 察图象获得对它的性质的直观认识，是研究函数的 基本方法。为了获得正弦函数和余弦函数的图象， 我们先做一个简谐振动实验，请同学们注意观察它 的图形特点。
实物演示： “装满细沙的漏斗在做单摆运动时，沙子 落在与单摆运动方向垂直运动的木板上的轨迹”
该曲线就是简谐运动的图像，物理中 把简谐运动的图像叫做“正弦曲线”或“余 弦曲线”。
的图象。 y=sinx,xR
y=sinx x[0,2]
将 y sin x 图象向左或向右平移
利用图象平移 因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图像在……， 4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , 与y=sinx,x∈[0,2π]的图像相同 ……
是同一个函数；余弦函数的图象可以通过正弦曲线向左平移 2
个单位长度而得到．
y cos x, x R与函数 y sin( x ), x R 2
（六）观察正余弦函数在 0, 2 的图象，找出起关键性作用的点， 然后利用这几个点作出正余弦函数的简图。
y
1-
五点作图法
与x轴的交点 (0,0) ( ,0) (2 ,0)
1 - 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
oo
2
3 3 2
y sin x, x [0,2 ]
2
2 2
xx
y cos x, x [0,2 ]
y
y sin x, x 0, 2
的图象
1P 1
/ p1
o1
6
M1
-1A
o
-1 -
6
2
3
2 3
1.4.1正弦函数余弦函数的图像 精品课件(人教A版必修4)
问题提出
t
p
1 2
5730
1.正弦函数和余弦函数的图象分别是什
么？二者有何相互联系？
y 1
y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
-π
O
π
3π 5π x
2π
4π
6π
-1
y y=cosx
2
2
1 22
2
2
x
2
O
2
2-1
2
2
2
t
2.
世
界
上
有
许
多事 p
1 2
5730
物
都
呈
现
“
周
而
复
始
”
的变化规律，如年有四季更替，月有阴
晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性，
在函数领域里，周期性是函数的一个重
要性质.
知识探究（一）：周期函数的概念 思考1：由正弦函数的图象可知, 正弦曲 线每相隔2π个单位重复出现， 这一规 律的理论依据是什么？
. sin(x 2k ) sin x (k Z )
0 -1 0 1
-cosx -1 0 1 0 -1
y
y=-cosx
1
3p
O
pπ
2 2π
x
-1
2
例2 当x∈[0，2π]时，求不等式 cos x ³ 1 的解集.
2y
1
O
π
2π
-1
2
2
[0, p ] U [ 5p , 2p]
3
3
y
=
1 2
x
小结作业
1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位 重复出现，因此，只要记住它们在[0， 2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲 线和余弦曲线.
1.4.1正弦函数余弦函数的图像4
(2)描点作图
Y
y=2sinx
2
y=sinx
1
0
2 X
（2）y=sin2x , x∈[0,π]
解: （1）列表 (2)描点作图
2x
x
3 0 24 2 24 2
yy==ssinin2xx 0 1 0 -1 0
Y
y=sin2x
1
0
X
2
正弦、余弦函数的图象
几何画法
小 1. 正弦曲线、余弦曲线 五点法 结
1.4.1 正弦函数，余 弦函数的图像
正弦、余弦函数的图象
三角函数
三角函数线
正弦函数 余弦函数 正切函数
-1
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
y PT
O
M A(1,0) x
注意：三角 函数线是有
向线段！
在直角坐标系中如何作点（
，sin
）?
33
y
1
o
2
2
3
2
x
2
-1
y= - cosx，x[0, 2]
正弦、余弦函数的图象
练习：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数
y= sinx，x[0, 2]
和
y=
cosx，x[
2
,
3 2
]的简图：
x
0 2
20
csionsx
10
01
3
3
2
2
2 2
-0 1
0-1
与x轴的交点
-1
o
6
-
1.4.1正弦函数、余弦函数的图像.ppt
(1)图象变换法
y
cos
x
sin(
x
2
)
y
1
9 2
7 2
5 2
3 2
2
o
-1
2 3 4 x
(2)五点作图法
余弦函数的“五点画图法”
x0
cosx 1
2
3
2
2
0 -1 0 1
y
1
o
2
3 2
-1
五点法的规律是： 横轴五点排均匀，上下顶点圆滑行； 上凸下凹形相似， 游走酷似波浪行.
2 x
例1.作函数y=1+sinx,x∈[0,2π]的简图
正弦曲线、余弦曲线
课堂小结
1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现， 因此，只要记住它们在[0，2π]内的图象形态，就可 以画出正弦曲线和余弦曲线.
2.作与正、余弦函数有关的函数图象，是解题的基 本要求，用“五点法”作图是常用的方法.
3.正、余弦函数的图象不仅是进一步研究函数性质的 基础，也是解决有关三角函数问题的工具，这是一种 数形结合的数学思想.
图像的最低点
(
3
2
, 1).
☞简图作法(五点作图法)
① 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
②描点(定出五个关键点)
③连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
3.五点法作图
(1) 列表
x0
sinx 0
2
3
2
2
1 0 -1 0
(2) 描点
(3) 连线
y
1
o
2
3 2
2 x
-1
思考1：观察函数y=x2与y=(x＋1)2 的图象，你能 发现这两个函数的图象有什么内在联系吗？
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3.正、余弦函数的图象不仅是进一步研究函数性质的 基础，也是解决有关三角函数问题的工具，这是一种 数形结合的数学思想.
主页
§1. 4. 1 正弦函数余弦函数的图象
作业：P34 第1题 P46 第1题
主页
4 3 32
5 3
11 6
2
0.87 0.5 0 0.50 0.87 1 0.87 0.5 0
(2)描点 (3)连线
y
1
O
2
1
3
2
2 x
主页
§1. 4. 1 正弦函数余弦函数的图象
3.五点法作图 y 1
o
2
3 2
2 x
-1
☞五个关键点:
图像的最高点
(
2
,1),
与x轴的交点 (0,0), ( ,0), (2 ,0)
正弦函数、余弦函数的图象
§1. 4. 1 正弦函数余弦函数的图象
1.正弦线、余弦线的概念
设任意角α的
终边与单位圆交于 点P.过点P做x轴的 垂线,垂足为M.
y α 的终边
P(x,y)
oMx
则有向线段MP叫做角α的正弦线.
有向线段OM叫做角α的余弦线.
正弦函数y =sinx与余弦函数 y=cosx的定义域都为R
y
1
y=sinx xR
4 3 2
o 2 3 4 x
1
正弦函数y=sinx, xR的图象叫正弦曲线.
主页
§1. 4. 1 正弦函数余弦函数的图象
2.用描点法作图(在精确度要求不太高时)？
(1)列表 y sin x, x 0,2
x0
sin x 0
632
0.5 0.87 1
2 5 7
36
6
o
x
主页
§1. 4. 1 正弦函数余弦函数的图象
1.方程sin x lg x的解有几个?
y
o
x
主页
§1. 4. 1 正弦函数余弦函数的图象
练习：（1）作函数 y=1+3cosx，x∈[0,2π]的简图 (２)作函数 y=2sinx-1，x∈[0,2π]的简图
（1） y x
主页
§1. 4. 1 正弦函数余弦函数的图象
向左平移a个单位.
思考3：设想由正弦函数的图象作出余弦函数的图 象，那么先要将余弦函数y=cosx转化为正弦函数， 你可以根据哪个公式完成这个转化？
主页
§1. 4. 1 正弦函数余弦函数的图象
二、余弦函数y=cosx(x∈R)的图象
(1)图象变换法
y
cos
x
sin(
x
2
)
y
1
9 2
7 2
5 2
3 2
主页
§1. 4. 1 正弦函数余弦函数的图象
一、正弦函数 y =sinx(x∈R)的图象
1.几何法作图:
问题:如何作出正弦函数的图象？
途径:利用单位圆中正弦线来解决. y
1
..
.o1 .
..
A
o
/2
.
3/2 2 x
-1
函数y=sinx,x[0,2]的图象
主页
§1. 4. 1 正弦函数余弦函数的图象
O
2 x
-1
函数y=-cosx,与函数y=cosx, x∈[0,2π] 的
图象有何联系？
主页
§1. 4. 1 正弦函数余弦函数的图象
例3.作函数 y=1-cosx, x∈[0, 2π]的简图.
x 1-cosx
0
2
3
2
2
0
1
2
10
y
o
x
主页
§1. 4. 1 正弦函数余弦函数的图象
例4.作函数y=|sinx|,x∈R的简图 y
1.几何法作图:
3 4
4
3
y
2
1
●
●
●
●
6
●
7 4 63
3 2
5 3
11 6
2
●
O
2
5
●
632 3 6
●
●
x
●
7 -1
4
●
●
●
y=sinx (x∈[0, 2π] )
主页
§1. 4. 1 正弦函数余弦函数的图象
思考:如何画函数y =sinx(x∈R)的图象?
y=sinx x[0,2]
sin(x+2k)=sinx, kZ
图像的最低点
(
3
2
, 1).
☞简图作法(五点作图法)
① 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
②描点(定出五个关键点)
③连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
主页
§1. 4. 1 正弦函数余弦函数的图象
3.五点法作图
(1) 列表
x0
sinx 0
2
3
2
1 0 -1
(2) 描点
(3) 连线
y
1
o
3
2
2
y=1+sinx, x∈[0, 2π] y
o
2
3 2
2 x
例2.作函数 y=-cosx, x∈[0, 2π]的简图.
主页
§1. 4. 1 正弦函数余弦函数的图象
解:(1)按五个关键点列表
x
0
π/2 π 3π/2 2π
cosx 1
0 -1 0 1
-cosx -1
01
0 -1
(2)用五点法
y
做出简图
1
例1.作函数y=1+sinx,x∈[0,2π]的简图
解:列表 x
0
2
3
2
2
sinx 0 1 0 -1 0
sinx+1 1 2 1 0 1
用五点法描点做出简图 y
o
2
3 2
2 x
主页
§1. 4. 1 正弦函数余弦函数的图象
函数y=1+sinx, x∈[0, 2π]与函数 y=sinx,
x∈[0, 2π]的图象之间有何联系？
(3) 当x∈[0，2π]时，求不等式 cos x 1 的解集.
2y
1
y
1 2
O
π
2π x
-1
2
2
[0, ] [ 5 , 2 ]
3
3
主页
§1. 4. 1 正弦函数余弦函数的图象
图象
图象画法
描点法 几何法 五点法
正弦曲线、余弦曲线
主页
§1. 4. 1 正弦函数余弦函数的图象
课堂小结
1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现， 因此，只要记住它们在[0，2π]内的图象形态，就可 以画出正弦曲线和余弦曲线.
2
o
-1
2 3 4 x
(2)五点作图法
主页
§1. 4. 1 正弦函数余弦函数的图象
余弦函数的“五点画图法”
x0
cosx 1
2
3
2
2
0 -1 0 1
y
1
o
2
3 2
-1
五点法的规律是： 横轴五点排均匀，上下顶点圆滑行； 上凸下凹形相似， 游走酷似波浪行.
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2 x
§1. 4. 1 正弦函数余弦函数的图象
-1
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2
0
2 x
§1. 4. 1 正弦函数余弦函数的图象
思考1：观察函数y=x2与y=(x＋1)2 的图象，你能 发现这两个函数的图象有什么内在联系吗？
y
-1
o
x
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§1. 4. 1 正弦函数余弦函数的图象
思考2：一般地，函数y=f(x＋a)(a>0)的图象是由 函数y=f(x)的图象经过怎样的变换而得到的？