人教新课标版数学高二选修2-1课堂达标 空间向量与垂直关系

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1.平面α经过三点A(-1,0,1),B(1,1,2),C(2,-1,0),则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是( )

A. B.(6,-2,-2)

C.(4,2,2)

D.(-1,1,4)

【解析】选D.=( 2,1,1),=(3,-1,-1),

设平面α的法向量为n=(x,y, z).

得

取y=1,则n=(0,1,-1).

D选项中(-1,1,4)·(0,1,-1)=1-4=-3≠0.

2.在空间直角坐标系中与平面yOz垂直的向量是( )

A.(1,0,0)

B.(0,1,0)

C.(0,0,1)

D.(0,1,1)

【解析】选A.因为向量(1,0,0)为x轴所在直线的方向向量,又x轴与平面yOz垂直,所以与平面yOz垂直的向量为(1,0,0).

3.若两个不同平面α,β的法向量分别为u=(2,1,-1),v=(3,2,8),则( )

A.α∥β

B.α⊥β

C.α,β相交不垂直

D.以上均不正确

【解析】选B.因为u·v=6+2-8=0,所以u⊥v.故α⊥β.

4.两平面α,β的法向量分别为u=(3,-1,z),v=(-2,-y,1),若α⊥β,则y+z的值为.

【解析】α⊥β⇒u·v=0⇒-6+y+z=0,即y+z=6.

答案:6

5.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,且PA⊥底面ABCD,如果BC⊥PB,求证四边形ABCD是矩形.

【证明】由条件知⊥,⊥,=,

因为BC⊥PB,所以·=0,

即·(-)=0,

所以·-·=0,

因为·=0,所以·=0,

所以AD⊥AB,因为四边形ABCD为平行四边形,

所以四边形ABCD为矩形.

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