三种概率定义训练题
(完整版)概率的基本性质练习题
5．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是______．
6．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是 ，乙获胜的概率是 ，则乙不输的概率是________．
7．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下：
D．“两个红球，一个白球”与“两个白球，一个红球”
2.给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则()
A．A⊆BB．A⊇B
C．A与B互斥D．A与B互为对立事件
3．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是()
A．A⊆DB．B∩D＝∅
C．A∪C＝DD．A∪B＝B∪D
4．下列四种说法：
①对立事件一定是互斥事件；
②若A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；
③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；
④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件．
其中错误的个数是()
11．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为 ，那么所选3人中都是男生的概率为________．
12．假设向三个相邻的敌军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.5，炸中其余两个军火库的概率都为0.1.若只要炸中一个，另外两个也要发生爆炸．求军火库发生爆炸的概率．
三、探究与拓展
13．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是 ，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，求P(A∪B)．
概率习题(绝对经典)
一、会判定三类事件(必然事件、不可能事件、不确定事件)及三类事件发生可能性的大小，用图来表示一件事发生可能性的大小。
1．下列事件分别是三类事件(必然事件、不可能事件、不确定事件)中的那种事件：（1）小明身高达到6米。
______________（2）将一个普通玻璃杯用力摔到水泥地上，玻璃杯碎了。
______________ （3）袋中有9个球，4个黑球，5个白球，从中任意摸出一球，摸到白球。
________ （4）小明将朋友的电话号码忘了，他随意拔了几个数字，电话打通了，正好是他朋友家。
______________（5）100个红球、1个黑球，从中任意摸一个恰好摸到红球。
______________ 2．必然事件发生的可能性大小是______可能事件发生的可能性大小是__________不确定事件发生的可能性大小是__________3．请将下列事件发生的概率标在图上：①从三个红球中摸出一个红球②从三个红球中摸出一个白球③从一红一白两球中摸出一个红球④从红、白、蓝三个球中摸出一个红二、会判定一个游戏是否公平，并说明理由。
会按题目要求设计游戏(主要是用转盘，摸球，色子)。
1．如图是一个转盘，若转到红色则小明胜，转到黑色则小东胜，这个游戏对双方是否公平？并说明理由。
12．利用摸球设计一个游戏，使得摸到红球的概率为23、请你为班会设计一个游戏，并说明在你的设计中游戏者获胜的概率是多少？三、利用计算概率的方法计算一件事的概率。
1．袋装有红、黄、白球分别为3、4、5个，这些球除颜色外都相同，从袋中任抽一个球，则抽到黄球的概率是_________，抽到的不是黄球的概率是___________2．将一副扑克牌除大小鬼(共52张)充分冼匀，从中任意抽一张，试求下列事件的概率。
(1)抽到红心8 (2) 抽到的牌不是红心8四、巩固练习：1．请将下列事件发生的概率标在下图中：(1)4月25日从西边升起 ； (2) 在10瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取一瓶，恰好是已过保质期的饮料； (3)在6张背面分别标有“1”、“2”、“3”、“4”、“5”5个数字，且形状完全一样的卡片中任取一张恰好是“3”的卡片；(4)在课堂数学活动，中某一小组有3名女生，2名男生，随机地指定一人为组长，恰好是女生。
九年级数学 概率的含义练习题含答案
25.3 概率的含义一. 选择题：1. 目前手机的号码都是11位数,某人的手机号码位于中间的数字是6的概率为( ) A.15 B.16 C.18 D.1102. 如下图,下面是两个可以自由转动的转盘,转盘被分成若干个扇形,转动两转盘,通过多次实验,转盘停止后,指针指向黄色区域的概率是 ( )A.11,46;B.11,43;C.11,36;D.11,333. 如上图所示,小明走近迷宫,站在A 处,迷宫的8扇门每一扇门都相同,其中6号门为迷宫出口,则小明一次就能走出迷宫的概率是( ) A.12; B.13 C.16; D.184. 在不透明的袋中装有大小一样的红球和黑球各一个,从中摸出一个球恰为红球的概率与一枚均匀硬币抛起后落地时正面朝上的概率( )A.摸出红球的概率大于硬币正面朝上的概率B. 摸出红球的概率小于硬币正面朝上的概率C.相等D. 不能确定二. 填空题1.一个口袋中装有2个白球,1个红球,小林从口袋中摸出1个球,是红球的概率为_________,是白球的概率为_________.2.投掷一枚正四面体骰子,掷得点数为奇数的概率为____________,是偶数的概率为_____,点数小于5的概率为________.3.从一副扑克牌(去掉大小天)中随意抽取一张,抽到红桃的概率为________,抽到10的概率为_______,抽到梅花4的概率为_____________.4.黑暗里从一串钥匙(10把)中,随意选取一把,用它打开门的概率是_________.5.小红制作一个转盘,并将其等分成12个扇形,将其中的三块扇形涂上黑色,4块涂上红色,其余涂上白色,转动转盘上的指针,指针停止后,指向黑色的概率为_________,指向红色的概率为________,指向白色的概率为_________________.三. 解答题:1.投掷一枚正方体骰子.(2)掷得“5”的概率是多少？这个数表示什么意思？(2)掷得点数不是“5”的概率是多少？这个数表示什么意思？(3)掷得点数小于或等于“4”的概率是多少？这个数表示什么意思？绿黄红红绿黄绿黄红红87654321A2.对下列说法谈谈你的看法.(1)某种彩票中奖的概率为40%,则买10张必有4张奖,买40张不可能有40张中奖;(2)甲和乙进行掷骰了游戏,甲掷了10次有3次掷到“6”点,而乙掷了10次一次都未掷到“6”点,那么就可以说甲掷得“6”点的概率为310,乙掷得“6”点的概率为0.(3)电脑选号彩票在购买时,要精心选择投注号码,因为有的号码中奖的概率大,有的中奖的概率小.3.有一个普通的骰子,6个面中的每个面都写有数字1,2,3之中的一个,通过100次掷骰子实验所得结果是:出现数字“1”的频率是33%;出现数字“2”的频率是16%;出现数字“3”的频率是15%.(1)请你判断下列说法是否正确.①这100次实验中,出现数字1,2,3的次数分别是33,66,51;②再做100次实验,出现数字1,2,3的次数也分别是33,66,51;③这枚骰子出现数字1,2,3的概率分别是33%,16%,51%;(2)请你估计一下,这枚骰子上写有数字1,2,3的面各有几个.综合创新训练四. 创新题:篮球运动员甲和乙的3分球命中的概率分别为70%和50%,本场比赛中,甲投了3分球5次,只命中一次;乙投3分球3次,全部命中.现在全场比赛即将结束,但球队还落后对手2分,还剩最后一个进攻机会,如果你是教练,这最后一个3分球由谁来投？简要说明理由.答案：更多资料请访问。
概率的基本概念与计算题目
概率的基本概念与计算题目1. 以下哪个不是等可能事件？A. 抛硬币正面朝上B. 抽屉里有一只红袜子C. 掷骰子出现偶数点数D. 随机选择一个三位数，它是质数的概率2. 一个班级有30名学生，其中有18名女生。
随机选择一名学生，选择到女生的概率是多少？3. 某人掷两次骰子，求两次掷出的点数之和为7的概率。
4. 以下哪个事件是必然事件？A. 抛硬币正面朝上B. 抽屉里有一只红袜子C. 掷骰子出现偶数点数D. 随机选择一个三位数，它是质数的概率5. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，取出红球的概率是多少？6. 以下哪个事件是不可能事件？A. 抛硬币正面朝上B. 抽屉里有一只红袜子C. 掷骰子出现偶数点数D. 随机选择一个三位数，它是质数的概率7. 某人掷三次骰子，求至少有一次掷出6点的概率。
8. 以下哪个事件是随机事件？A. 抛硬币正面朝上B. 抽屉里有一只红袜子C. 掷骰子出现偶数点数D. 随机选择一个三位数，它是质数的概率9. 一个班级有30名学生，其中有18名女生。
随机选择一名学生，选择到男生的概率是多少？10. 以下哪个事件是独立事件？A. 抛硬币正面朝上B. 抽屉里有一只红袜子C. 掷骰子出现偶数点数D. 随机选择一个三位数，它是质数的概率11. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出两个球，取出一个红球和一个蓝球的概率是多少？12. 以下哪个事件是必然事件？A. 抛硬币正面朝上B. 抽屉里有一只红袜子C. 掷骰子出现偶数点数D. 随机选择一个三位数，它是质数的概率13. 某人掷两次骰子，求两次掷出的点数之和为6的概率。
14. 以下哪个事件是不可能事件？A. 抛硬币正面朝上B. 抽屉里有一只红袜子C. 掷骰子出现偶数点数D. 随机选择一个三位数，它是质数的概率15. 一个班级有30名学生，其中有18名女生。
随机选择一名学生，选择到女生的概率是多少？16. 以下哪个事件是随机事件？A. 抛硬币正面朝上B. 抽屉里有一只红袜子C. 掷骰子出现偶数点数D. 随机选择一个三位数，它是质数的概率17. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，取出蓝球的概率是多少？18. 以下哪个事件是独立事件？A. 抛硬币正面朝上B. 抽屉里有一只红袜子C. 掷骰子出现偶数点数D. 随机选择一个三位数，它是质数的概率19. 一个班级有30名学生，其中有18名女生。
1.2 概率的定义及计算习题
F表示“零件为次品”，则显然
P R1
2 3
,
P
R2
1,PF
3
R1
2%, P F
R2 3%,
（1） P F
P R1 P F
R1 P R2 P F
R2
7 300
（2） P F 293 300
（3） P R2FFra bibliotek
D
P
B3
D B1,3
P
B3
5 9
P B1 P A1 A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3
2 P( A1 A2 A3) P( A1A2 A3) P( A1A2 A3) 9
P B2 P A1A2 A3 A1A2 A3 A1 A2 A3
成双”和“成 双”两种情形
同样的“4只配成两双”算了两次
解法 3 正确做法
P( A)
C
1 5
C
2 8
C
4 10
C52
与5双中任取一双 时已出现“4只恰 有两双”的情形重
复
在用排列组合公式计算古典概型时
多算了
C
2 5
种
必须注意不要重复计数，也不要遗漏
15. P AB P A PB P A B
C
1 2
C140
C
1 2
C21
1
8 21
13 . 21
还有其它解法吗？
从5双不同的鞋中任取4只，求这 4 只鞋中至少有 2 只配成
概率的定义练习题
二、计算题1.在房间里有6个人,问至少有两个人的生日在同一个月的概率是多少? 解．设A表示事件“至少有两个人的生日在同一个月”.对于这类问题,我们通常采用先求其对立事件的概率的方法,即表示事件“6个人中没有两个人的生日在同一个月”.显然,在这个试验中,每个人的生日在一年中的每一个月的可能性是相同的,共有12种可能,因此总的基本事件个数n=126; 6个人的生日都在不同的月份, 因此所包含的基本事件个数m=P126.∴,即.2.设四位数中的4个数字都取自6, 7, 8, 9, 求所组成的四位数含有重复数字的概率. 解．设A表示事件“所组成的四位数含有重复数字”.先求其对立事件的概率, 即表示事件“所组成的四位数不含有重复数字”.由于四位数是由6, 7, 8, 9组成, 因此总的基本事件的个数, 所包含的基本事件的个数,,.3.甲袋中有白球3只,红球7只,黑球15只; 乙袋中有白球10只, 红球6只, 黑球9只. 现从两袋中各取一球, 试求两球颜色相同的概率. 解．设A表示事件“取出两球颜色相同”在这个试验中, 要求两球颜色相同的概率, 它包括取出的两球都是白球或都是红球或都是黑球. 因此总的基本事件的个数, 事件A所包含的基本事件的个数, ∴.4.一批灯泡有40只,其中3只是坏的,从中任取5只检查,问(1) 5只都是好的概率是多少?(2) 5只中有2只坏的概率是多少?解．(1)设A表示事件“取出灯泡5只都是好的”这个试验是从40只灯泡中任取5只进行检查, 因此总的基本事件的个数;又由于在40只灯泡中有3只是坏的,事件A 所包含的基本事件的个数,∴.(2) 设B表示事件“取出灯泡5只中有2只坏的”事件B所包含的基本事件的个数,.5.有5条线段,长度分别为1, 3, 5, 7, 9,从这五条线段中任取三条,求所取三条线段能构成三角形的概率.解．设A表示事件“所取的三条线段能构成三角形”.在这个试验中,从5条线段中任取3条,总的基本事件的个数为; 3条线段能构成三角形的条件是两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,因此事件A 所包含的基本事件的个数为m=3,∴.6. 从一副扑克牌(52张)中任意抽取3张, 求抽出的牌中至少有两张花色相同的概率.解．设A表示事件“所抽出的3张牌中至少有两张花色相同”.从52张牌中任取3张,总的基本事件的个数.这题有两种求解方法: 一种是直接求解, 要求3张牌中至少有两张花色相同的概率, 它包括有两张花色相同和三张花色相同, 此时A 所包含的基本事件个数为,∴.另一种方法是求A的对立事件的概率, 即求所取3张牌花色全都不同的概率. 因此包含的基本事件的个数为,.7. 在6副同型号的手套中任取4只, 求恰有1双配套的概率.解．设A表示事件“所取出的4只手套中恰有1双配套” .在这个试验中, 从6副(12只)手套中任取4只, 总的基本事件的个数为, 同型号的手套表示各手套之间只有左、右手之分, 恰有1双配套表示4只有1只左手和3只右手或有1只右手和3只左手, 因此, A 包含的基本事件的个数.∴.8. 一幢10层楼中的一架电梯在底层上了7位乘客, 电梯在每层都停, 乘客从第二层开始离开电梯, 设每位乘客在各层离开的可能性是相等的, 求没有两位乘客在同一层离开的概率. 解．设A表示事件“没有两位乘客在同一层离开” .对于每位乘客来讲, 他离开电梯共有9种可能, 因此7人共有n=97种可能; 没有两位乘客在同一层离开, 表示每一层只有一个或没有乘客离开, 因此事件A包含的基本事件的个数m=P97 ,∴.9. 从1, 2, 3, …,9这9个数字中,任取两个数字, 求(1)两数和为偶数的概率; (2)两数和为奇数的概率. 解．(1)设A表示事件“所取两数和为偶数”在9个数字中,任取2个,共有种可能性; 两数之和为偶数,要么两数都为奇数, 要么两数都为偶数, 因此A 包含的基本事件的个数为.∴.(2) 设B表示事件“所取两数和为奇数”.两数之和为奇数要求一数为奇数一数为偶数, 因此B包含的基本事件的个数..10.袋中装有1, 2, …, N号球各1个,采用(1)有放回;(2)无放回方式抽球,试求在第k次抽球时首次抽到1号球的概率. 解．(1)设A表示事件“在有放回方式中,第k次抽球时首次抽到1号球”.在这个试验中,由于采用的是有放回的方式,每一次取球都有N种可能,共取球k次, 因此总的基本事件的个数n=N k;第k次首次抽到1号球,表示在前面(k-1)次抽到的都是非1号球,第k次抽到1号球,因此,m=(N-1) (k-1).∴.(2)设B表示事件“在无放回方式中,第k次抽球时首次抽到1号球”.在这个试验中, 由于采用的是无放回的方式,第一次取球有N 种可能,第二次有(N-1)种可能,共取球k次, 因此总的基本事件的个数n=P N k=N(N-1)(N-2)…(N-k+1); 第k次首次抽到1号球,表示在前面(k-1)次抽到的都是非1号球,第k次抽到1号球,因此,m′=P N-1k-1=(N-1)(N-2)…(N-k+1)..11.N个朋友随机地围绕圆桌而坐, 求下列事件的概率: (1)A=“甲、乙两人坐在一起且乙在甲的左边”;(2)B=“甲、乙、丙三人坐在一起”;(3)如果N个人并排坐在长桌的一边,求上述事件的概率. 解．(1)N个人围绕圆桌而坐,共有n=(N-1)!种可能; 甲、乙两人坐在一起且乙在甲的左边,相当于共有 (N-1)人围绕圆桌而坐, 因此A包含的基本事件的个数为m=(N-2)!,∴. (N≥2)(2) 甲、乙、丙三人坐在一起,相当于共有(N-2)人围绕圆桌而坐,而他们三人之间又可以互换位置, 有3!种可能,因此事件B 包含的基本事件的个数为m′=(N-3)!3!,.(N≥4)(3) 如果N个人并排坐在长桌的一边,共有n=N!种可能; 甲、乙两人坐在一起且乙在甲的左边,相当于共有 (N-1)人并排坐在长桌的一边, 因此A包含的基本事件的个数为m=(N-1)!,∴. (N≥2)甲、乙、丙三人坐在一起,相当于共有(N-2)人并排坐在长桌的一边,而他们三人之间又可以互换位置, 有3!种可能, 因此事件B包含的基本事件的个数为m′=(N-2)!3!,.。
行测概率题
行测概率题概率在行测中是一个必须要掌握的数学概念，因为它在很多领域都有广泛的应用，尤其是在社会科学领域。
在行测中，概率题主要有以下类型：一、基础的概率题1. 定义：指概率基本公式的运用。
2. 例题：如果一件事情发生的概率是 1/4，那么这件事情不发生的概率是多少？答案：不发生的概率是 1-1/4=3/4。
二、排列组合类概率题1. 定义：指通过 C(n,m)、A(n,m)等公式计算事件发生的概率。
2. 例题：从33个球中抽取6个，求其中5个红球和1个黑球的可能性。
答案：5个红球和1个黑球的可能性为C(24,5)×C(9,1)。
三、条件概率题1. 定义：指已知某些事件已经发生，计算其他事件发生的概率。
2. 例题：在抽取有黄球、白球、黑球三种颜色的球中，如果已经抽取了一个黄球，那么从中再抽取一个白球的概率是多少？答案：使用条件概率公式，即P(A&B)=P(A)×P(B|A)，其中 A 为已经抽出黄球，B 为抽出白球，那么 P(抽出白球|已经抽出黄球) =P(A&B)/P(A)，由于已经抽出黄球，抽出白球的可能性为1/(2+3-1)=1/4，从而 P(抽出白球|已经抽出黄球)=1/4×P(A)。
其中 P(A) 表示抽出黄球的概率，即2/4。
四、贝叶斯公式概率题1. 定义：指通过贝叶斯公式计算已知某些条件下的概率，然后通过已知条件推出其他事件的概率。
2. 例题：一个人做病毒检测，假定患病的概率是0.01，测试的准确率是 0.95，而误判的概率是 0.02。
某个人被检测为患病，那么这个人真正患病的概率是多少？答案：使用贝叶斯公式，即P(B|A)=P(A|B)×P(B)/P(A)，其中 A 为测试结果出现（即被检测为患病），B 为实际患病，那么 P(B|A) 表示已知A 发生后 B 发生的概率，即这个人真正患病的概率。
P(A|B) 表示已知 B 发生后 A 发生的概率，即测试结果出现的概率。
(完整版)北师大版九年级数学上册第三章《概率》专题练习(含答案)
北师大版九年级数学上册第三章《概率》专题练习一.知识梳理(一)事件的分类：1. 频率二频数/总数，频率随着试验的不同而不同，它是一个不确定数。
2. 事件发生的——大小叫做概率。
事件的概率是一个确定的常数。
3. 事件的分类：确定事件和随机事件。
确定事件包括必然事件和不可能事件4. 必然事件的概率为1;不可能事件的概率为0;随机事件的概率位于0--1之间。
(二)概率的计算：当事件发生的结果具有有限性和等可能性时：(1) 一步试验或几何图形，利用概率的定义直接计算(2) 两步试验，且结果较少，用树状图和列表格求概率都可以；(3) 两步试验，但每步结果较多，适合用列表法求概率；(4) 三步或三步以上，适合用画树状图求概率。
(5) 用画树状图或列表法求概率时应注意：要清楚所以结果有哪些？要清楚我们关注的是哪些结果？(三)用频率估计概率概率和频率的关系：通过试验获得事件发生的频率，而大量重复试验时的频率会稳定在概率的附近，所以可以用大量试验的频率估计概率；同时也可以利用概率预测事件发生的频率。
二.简单概率计算一步试验：1. 十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，亮绿灯的概率是________________2. 一个不透明的袋子中放入除颜色外均相同的2个白球和6个红球，从中任意抽取一个球，抽到红球的概率是________________ 3. 在一只不透明的口袋中放入红球6个，黑球2个，黄球n个，这些球除颜色不同外，其他无任何差别，搅匀后随机从中摸出一个求恰好是黄球的概率是】，则放入口袋中的黄球总数是n= _____________________3两步试验：仔细区分：(1)放回；(2)不放回4. 在一个不透明的袋子中，有2个白球和2个红球，它们只有颜色不同，从袋子中随机摸出一个球记下颜色后放回，再随机摸出一个球，则两次都摸到白球的概率为_________5. 某校安排了3辆车，组织九年级学生团员去敬老院参加学雷锋活动，其中小王和小菲都可以从这三辆车中任意选取1辆搭乘，则小王和小菲同车的概率是_______6. 某校决定从2名男生和3名女生中选出2名同学作为兰州国际马拉松赛的志愿者，则选出1男1女的概率是 ___________7. 袋子中放着型号，大小完全相同的红，白，黑三种颜色的衣服，红色2件，黑色1件，白色1件，小明随意从袋中取出2件衣服，则取出的是1红1白的概率是 ________三步试验：8. 随机安排甲乙丙3人在3天节日中值班，每人值班一天，则按“乙，甲，丙”的先后顺序值班的概率是____________三：概率与其他知识的综合9. 在x2口2xy 口y2的“口”中分别填上“ +”或“-”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是__________A.1B. 3C.丄D.丄4 2 410. 已知a,b可以取-2 , -1,1,2中的任意一个值(a z b),则直线y=ax+b的图像不经过第四象限的概率是____________11. 一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字-2,1,4，随机摸出一个小球(不放回)，其数字记为p,再随机摸出另一个小球其数字记为q,则满足关于X的方程x2px q 0有实数根的概率是 _ _12. 如图，一个质地均匀的正四面体的四个面上依次标有数字-2,0 ,1,2，连续抛掷两次，朝下一面的数字分别为a,b,将其作为M点横，纵坐标，则点M(a,b)落在以A (-2,0 ) , B (2,0 ) , C (0,2 )为顶点的三角形内(包括边界)的概率是_______________________________________ 标的数字不同外其他都相同，若从袋子中随机摸出两个球，则这两个球上的数字之和为负数的概率是 _____________________ 14.在盒子里放有3张分别写有整式a+1,a+2,2的卡片，从中随机抽出2张卡片，把2张卡片上的整式分别作为分子和分母，贝惟组成分式的概率是—15. 有四根木棒，长度分别为2,3,4,5，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是——16. 小明和小亮用如图所示的两个转盘做“配紫色”游戏，游戏规则是：分别转动两个转盘，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色，则可以配成紫色，此时小明的1分，否则小亮的1分.用树状图或列表求出小明获胜的概率；(2)这游戏对双方公平吗？请说明理由.若不公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平?17. 端午节前，小明爸爸去超市购买了大小，形状，重量等相同的火腿粽子和豆沙粽子若干，放入不透明的盒子中，此时从盒中随机取出火腿13. 一个不透明的袋子中有3个分别标有3,1 , -2的球，这些球除了所粽子的概率为1;妈妈从盒中取出火腿粽子3只、豆沙粽子7只送给爷3爷和奶奶后，这时随机取出火腿粽子的概率为2 .（1）请你用所学知5识计算：爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？（2）若小明一次从盒内剩余粽子中任取2只，问恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率是多少？（用列表法或树状图计算）四.样本估计总体18. 一个口袋中有红球24个和绿球若干个，从口袋中随机摸出一个球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，实验200次，其中有125次摸到绿球，由此估计口袋中共有球 __________ 个。
概率试题及答案
概率试题及答案### 概率试题及答案题目1：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机从袋子里取出一个球，然后放回。
再取出一个球。
求两次取出的球都是红球的概率。
解答：首先，我们定义事件A为第一次取出红球，事件B为第二次取出红球。
- 事件A发生的概率P(A)为红球数除以总球数，即P(A) = 5/8。
- 由于取出的球放回，事件B发生的概率与事件A相同，即P(B) =5/8。
我们需要计算的是两次事件都发生的概率，即P(A∩B)。
由于这两个事件是独立的，我们可以使用乘法法则计算：\[ P(A∩B) = P(A) \times P(B) = \frac{5}{8} \times \frac{5}{8} = \frac{25}{64} \]题目2：一个班级有30名学生，其中有15名男生和15名女生。
随机选取5名学生参加一个活动，求至少有2名男生的概率。
解答：我们可以使用组合来解决这个问题。
首先计算总的选取方式，然后计算没有男生或只有1名男生的选取方式。
- 总的选取方式是从30名学生中选取5名，即C(30, 5)。
- 没有男生的方式是从15名女生中选取5名，即C(15, 5)。
- 只有1名男生的方式是从15名男生中选取1名，从15名女生中选取4名，即C(15, 1) * C(15, 4)。
至少有2名男生的概率是1减去没有男生或只有1名男生的概率：\[ P(\text{至少2名男生}) = 1 - \frac{C(15, 5) + C(15, 1)\times C(15, 4)}{C(30, 5)} \]题目3：一个工厂有3条生产线，每条生产线每天生产1000个产品。
每条生产线每天出现次品的概率是0.01。
求至少有一条生产线出现次品的概率。
解答：我们可以使用对立事件的概念来解决这个问题。
首先计算所有生产线都没有次品的概率，然后用1减去这个概率。
- 每条生产线没有次品的概率是1 - 0.01 = 0.99。
- 所有生产线都没有次品的概率是0.99^3。
概率论考试题及答案
概率论考试题及答案概论：概率是研究不确定性的数学工具，通过数量化分析来描述事件发生的可能性。
在概率论考试中，学生需要掌握概率的基本概念、计算方法和应用技巧。
下面是一些概率论考试题及其答案，供大家参考和学习。
题目一：某班级有60位学生，其中30人喜欢足球，40人喜欢篮球。
随机选择一位学生，求他既喜欢足球又喜欢篮球的概率。
解答一：根据题意，先确定喜欢足球和篮球的学生人数分别为30人和40人。
选择一位学生，他既喜欢足球又喜欢篮球的情况相当于从这60人中选出的人。
根据概率计算的基本原理，该事件发生的概率为既喜欢足球又喜欢篮球的人数除以总人数。
因此，概率为(30+40-60)/60=10/60=1/6。
题目二：一个箱子里有5只红球和3只绿球，从中不放回地依次摸两只球，求摸到一只红球和一只绿球的概率。
解答二：根据题意，有5只红球和3只绿球，共8只球。
依次摸两只球，求摸到一只红球和一只绿球的概率。
首先，第一次摸出红球的概率为5/8，然后第二次摸出绿球的概率为3/7，因为第二次时箱子里还剩下7只球，其中3只是绿球。
所以，摸到一只红球和一只绿球的概率为(5/8)*(3/7)=15/56。
题目三：有一批产品，其中10%有缺陷。
现在随机抽取5个产品进行检查，如果其中有缺陷品，则该批产品被判定为不合格。
求该批产品被判定为不合格的概率。
解答三：根据题意，产品有10%的概率有缺陷，因此没有缺陷的概率为90%。
抽取5个产品进行检查，其中有缺陷品的概率为(0.1)*(0.9)^4*(5!)/(1!*(5-1)!)=0.32805。
所以，该批产品被判定为不合格的概率为0.32805。
以上是几道概率论考试题目及其答案。
通过这些例题的学习，我们可以更好地理解概率论的概念和应用，为概率论考试做好准备。
在复习过程中，可以结合课本上的知识点进行深入学习，并通过大量的练习题提升自己的计算能力。
祝大家考试顺利！。
概率与统计下的新定义(学生版)--2024年新高考数学突破新定义压轴题
概率与统计下的新定义【题型归纳目录】题型一：二项式定理新定义题型二：排列组合新定义题型三：概率新定义题型四：统计方法新定义题型五：信息熵问题【方法技巧与总结】解概率与统计下的新定义题，就是要细读定义关键词，理解本质特征，适时转化为“熟悉”问题．总之，解决此类问题，取决于已有知识、技能、数学思想的掌握和基本活动经验的积累，还需要不断的实践和反思，不然就谈不上“自然”的、完整的解题．【典型例题】题型一：二项式定理新定义1(2024·湖南衡阳·二模)莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数n 都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：n =p r 11p r 22⋅⋅⋅p r kk (k 为n 的质因数个数，p i 为质数，r i ≥1,i =1,2,⋅⋅⋅,k )，例如：90=2×32×5，对应k =3,p 1=2,p 2=3,p 3=5,r 1=1,r 2=2,r 3=1．现对任意n ∈N *，定义莫比乌斯函数μn =1,n =1-1 k,r 1=r 2=⋅⋅⋅=r k =10,存在r i >1 (1)求μ78 ,μ375 ；(2)若正整数x ,y 互质，证明：μxy =μx μy ；(3)若n >1且μn =1，记n 的所有真因数(除了1和n 以外的因数)依次为a 1,a 2,⋅⋅⋅,a m ，证明：μa 1 +μa 2 +⋅⋅⋅+μa m =-2．2(2024·安徽合肥·一模)“q -数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设q 是非零实数，对任意n ∈N *，定义“q -数”(n )q =1+q +⋯+q n -1利用“q -数”可定义“q -阶乘”n !q =(1)q (2)q ⋯(n )q ,且0 !q =1.和“q -组合数”，即对任意k ∈N ,n ∈N *,k ≤n ，n kq =n !qk !q n -k !q(1)计算：532；(2)证明：对于任意k ,n ∈N *,k +1≤n ，n k q =n -1k -1q +q k n -1kq(3)证明：对于任意k ,m ∈N ,n ∈N *,k +1≤n ，n +m +1k +1 q -n k +1 q =∑m i =0q n -k +i n +ikq.3(2024·高三·江苏苏州·阶段练习)甲、乙、丙三人以正四棱锥和正三棱柱为研究对象，设棱长为n ，若甲从其中一个底面边长和高都为2的正四棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，定义随机变量X 的值为其三角形的面积；若乙从正四棱锥(和甲研究的四棱锥一样)的8条棱中任取2条，定义随机变量ξ的值为这两条棱的夹角大小(弧度制)；若丙从正三棱柱的9条棱中任取2条，定义随机变量ψ的值为这两条棱的夹角大小(弧度制).(1)比较三种随机变量的数学期望大小；(参考数据arctan 5≈0.3661,arctan 52≈0.2677,arctan22≈0.3918)(2)现单独研究棱长n ，记x +1 ×x +12 ×⋯×x +1n(n ≥2且n ∈N *)，其展开式中含x 项的系数为S n ，含x 2项的系数为T n .①若T nS n=an 2+bn +c ，对n =2,3,4成立，求实数a ，b ，c 的值；②对①中的实数a ，b ，c 用数字归纳法证明：对任意n ≥2且n ∈N *，Tn S n=an 2+bn +c 都成立.题型二：排列组合新定义4(2024·高三·北京·阶段练习)设n 为正整数，集合A =α∣α=t 1,t 2,⋯,t n ,t k ∈0,1 ,k =1,2,⋯,n .对于集合A 中的任意元素α=x 1,x 2,⋯,x n 和β=y 1,y 2,⋯,y n ，定义d α,β =x 1-y 1 +x 2-y 2 +⋯+x n -y n .(1)当n =4时，若α=0,1,0,1 ,β=1,1,0,1 ，直接写出所有使d α,γ =2,d β,γ =3同时成立的A 的元素γ；(2)当n =3时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同元素α,β,d α,β ≥2.求集合B 中元素个数的最大值；(3)给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素α,β,d α,β ≥2，写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由.5(2024·高三·浙江·开学考试)一般地，n 元有序实数对a 1,a 2,⋯,a n 称为n 维向量.对于两个n 维向量a=a 1,a 2,⋯,a n ,b =b 1,b 2,⋯,b n ，定义：两点间距离d =b 1-a 1 2+b 2-a 2 2+⋯+b n -a n 2，利用n 维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准点的距离d n ，与哪个标准点的距离d n 最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务能力分值a 1 ､管理能力分值a 2 ､计算机能力分值a 3 ､沟通能力分值a 4 (分值a i ∈N *,i ∈1,2,3,4 代表要求度，1分最低，5分最高)并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表：岗位业务能力分值a 1管理能力分值a 2计算机能力分值a 3沟通能力分值a 4合计分值会计(1)215412业务员(2)523515后勤(3)235313管理员(4)454417对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量β =a 1,a 2,a 3,a 4 的四个坐标.(1)将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；(2)小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方d 2n 均小于20的应聘者才能被招录.(i )小刚测试报告上的四种能力分值为β0=4,3,2,5 ，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业1､2､3､4的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位；(ii )小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业1､2､3､4的推荐率p 分别为1443,1343,943,743p n =d 2n d 21+d 22+d 23+d 24，试求小明的各项能力分值.题型三：概率新定义6(2024·浙江·一模)混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N 个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为p 0<p <1 ．目前，我们采用K 人混管病毒检测，定义成本函数f X =NK+KX ，这里X 指该组样本N 个人中患病毒的人数．(1)证明：E f X ≥2p ⋅N ；(2)若0<p <10-4，10≤K ≤20．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．7(2024·辽宁·模拟预测)条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念.近年来，随着人们对随机现象的不断观察和研究，条件概率和条件期望已经被广泛的利用到日常生产生活中.定义：设X ，Y 是离散型随机变量，则X 在给定事件Y =y 条件下的期望为E X Y =y =∑ni =1x i ⋅P X =x i Y =y =∑ni =1x i ⋅P X =x i ,Y =yP Y =y ，其中x 1,x 2,⋯,x n 为X 的所有可能取值集合，P X =x ,Y =y 表示事件“X =x ”与事件“Y =y ”都发生的概率．某射击手进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为p (0<p <1)，射击进行到击中目标两次时停止.设ξ表示第一次击中目标时的射击次数，η表示第二次击中目标时的射击次数．(1)求P ξ=2,η=5 ，P η=5 ；(2)求E ξη=5 ，E ξη=n n ≥2 ．8(2024·福建漳州·一模)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，发送每个信号数字之间相互独立．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．(1)记发送信号变量为X，接收信号变量为Y，且满足P X=0=12，P Y=1X=0=13，P Y=0X=1=14，求P Y=0；(2)当发送信号0时，接收为0的概率为34，定义随机变量η的“有效值”为Hη =-ni=1Pη=x ilg Pη=x i(其中x i是η的所有可能的取值，i=1,2,⋅⋅⋅,n)，发送信号“000”的接收信号为“y1y2y3”，记ξ为y1，y2，y3三个数字之和，求ξ的“有效值”．(lg3≈0.48，lg2≈0.30)题型四：统计方法新定义9(2024·全国·模拟预测)某校20名学生的数学成绩x i (i =1,2,⋯,20)和知识竞赛成绩y i (i =1,2,⋯,20)如下表：学生编号i 12345678910数学成绩x i 100999693908885838077知识竞赛成绩y i29016022020065709010060270学生编号i 11121314151617181920数学成绩x i 75747270686660503935知识竞赛成绩y i4535405025302015105计算可得数学成绩的平均值是x =75，知识竞赛成绩的平均值是y =90，并且20i =1x i -x 2 =6464，20i =1y i -y2=149450，20i =1x i -x y i -y =21650．(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数(精确到0.01)．(2)设N ∈N *，变量x 和变量y 的一组样本数据为x i ,y i |i =1,2,⋯,N ，其中x i (i =1,2,⋯,N )两两不相同，y i (i =1,2,⋯,N )两两不相同．记x i 在x n |n =1,2,⋯,N 中的排名是第R i 位，y i 在y n |n =1,2,⋯,N 中的排名是第S i 位，i =1,2,⋯,N ．定义变量x 和变量y 的“斯皮尔曼相关系数”(记为ρ)为变量x 的排名和变量y 的排名的样本相关系数．(i )记d i =R i -S i ，i =1,2,⋯,N ．证明：ρ=1-6N N 2-1 Ni =1d 2i ．(ii )用(i )的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”(精确到0.01)．(3)比较(1)和(2)(ii )的计算结果，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势．注：参考公式与参考数据．r =ni =1x i -x y i -yni =1x i -x 2 ni =1y i -y2；nk =1k 2=n (n +1)(2n +1)6；6464×149450≈31000．10(2024·全国·模拟预测)冰雪运动是深受学生喜爱的一项户外运动，为了研究性别与学生是否喜爱冰雪运动之间的关系，从某高校男、女生中各随机抽取100名进行问卷调查，得到如下列联表m≤40,m∈N．喜爱不喜爱男生80-m20+m女生60+m40-m(1)当m=0时，从样本中不喜爱冰雪运动的学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人调研不喜爱的原因，记这3人中女生的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．(2)定义K2=A i,j-B i,j2B i,j2≤i≤3,2≤j≤3,i,j∈N，其中A i,j为列联表中第i行第j列的实际数据，B i,j为列联表中第i行与第j列的总频率之积再乘以列联表的总额数得到的理论频数，如A2,2=80-m，B2,2=100 200×140200×200=70．基于小概率值α的检验规则：首先提出零假设H0(变量X，Y相互独立)，然后计算K2的值，当K2≥xα时，我们推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；否则，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立．根据K2的计算公式，求解下面问题：①当m=0时，依据小概率值α=0.005的独立性检验，分析性别与是否喜爱冰雪运动有关？②当m<10时，依据小概率值α=0.1的独立性检验，若认为性别与是否喜爱冰雪运动有关，则至少有多少名男生喜爱冰雪运动？附：α0.10.0250.005xα 2.706 5.0247.87911(2024·高三·北京·期末)在测试中，客观题难度的计算公式为P i=R iN，其中P i为第i题的难度，R i为答对该题的人数，N为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号12345考前预估难度P i 0.90.80.70.60.4测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：题号12345实测答对人数161614144(1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；(2)从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X，求X的分布列和数学期望；(3)定义统计量S=1n[(P 1-P1)2+(P 2-P2)2+⋯+(P n-P n)2]，其中P i 为第i题的实测难度，P i为第i题的预估难度(i=1,2,⋯,n)．规定：若S<0.05，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理.题型五：信息熵问题12(2024·高三·河北·阶段练习)信息熵是信息论之父香农(Shannon)定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量X所有可能的取值为1,2,⋯,n n∈N*，且P(X=i)=p i>0(i=1,2,⋯,n),ni=1p i=1，定义X的信息熵H(X)=-ni=1p ilog2p i.(1)当n=1时，计算H X ；(2)若p i=1ni=1,2,⋯,n，判断并证明当n增大时，H X 的变化趋势；(3)若n=2m m∈N*，随机变量Y所有可能的取值为1,2,⋯,m，且P Y=j=p j+p2m+1-j j=1,2,⋯,m，证明：H X>H Y.13(2024·高三·河北·期末)在信息论中，熵(entropy)是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件､样本或特征.(熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大)来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息(熵)定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值(即期望)就是这个分布产生的信息量的平均值(即熵).熵的单位通常为比特，但也用Sh、nat、Hart计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1Sh的信息，而掷m次就为m位.更一般地，你需要用log2n位来表示一个可以取n个值的变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量ξ所有取值为1,2,⋯,n，定义ξ的信息熵H(ξ)=-ni=1P ilog2P i，n i=1P i=1，i=1,2,⋯,n.(1)若n=2，试探索ξ的信息熵关于P1的解析式，并求其最大值；(2)若P1=P2=12n-1，P k+1=2P k(k=2,3,⋯,n)，求此时的信息熵.14(2024·安徽合肥·模拟预测)在一个典型的数字通信系统中，由信源发出携带着一定信息量的消息，转换成适合在信道中传输的信号，通过信道传送到接收端.有干扰无记忆信道是实际应用中常见的信道，信道中存在干扰，从而造成传输的信息失真.在有干扰无记忆信道中，信道输入和输出是两个取值x 1,x 2,⋯,x n 的随机变量，分别记作X 和Y .条件概率P Y =x j ∣X =x i ,i ,j =1,2,⋯,n ，描述了输入信号和输出信号之间统计依赖关系，反映了信道的统计特性.随机变量X 的平均信息量定义为：H (X )=-ni =1p X =x i log 2p X =x i .当n =2时，信道疑义度定义为H (Y ∣X )=-2i =12j =1p X =x i ,Y =x j log 2p Y =x j ∣X =x i =-P X =x 1,Y =x 1 log 2p Y =x 1∣X =x 1 +P X =x 1,Y =x 2 log 2p Y =x 2∣X =x 1 +P X =x 2,Y =x 1 log 2p Y =x 1∣X =x 2 +P X =x 2,Y =x 2 log 2p Y =x 2∣X =x 2(1)设有一非均匀的骰子，若其任一面出现的概率与该面上的点数成正比，试求扔一次骰子向上的面出现的点数X 的平均信息量log 23≈1.59,log 25≈2.32,log 27≈2.81 ；(2)设某信道的输入变量X 与输出变量Y 均取值0，1.满足：P X =0 =ω,p Y =1∣X =0 =p Y =0∣X =1 =p (0<ω<1,0<p <1).试回答以下问题：①求P Y =0 的值；②求该信道的信道疑义度H Y ∣X 的最大值.【过关测试】1(2024·高三·全国·专题练习)定义：int x 为不超过x的最大整数部分，如int2.3=2，int-2.3= -3．甲、乙两个学生高二的6次数学测试成绩(测试时间为90分钟，满分100分)如下表所示：高二成绩第1次考试第2次考试第3次考试第4次考试第5次考试第6次考试甲687477848895乙717582848694进入高三后，由于改进了学习方法，甲、乙这两个学生的数学测试成绩预计有了大的提升．设甲或乙高二的数学测试成绩为x，若10int x+x-int x2≤100，则甲或乙高三的数学测试成绩预计为10int x+x-int x2；若10int x+x-int x2>100，则甲或乙高三的数学测试成绩预计为100．(1)试预测：在将要进行的高三6次数学测试成绩(测试时间为90分钟，满分100分)中，甲、乙两个学生的成绩(填入下列表格内)；高三成绩第1次考试第2次考试第3次考试第4次考试第5次考试第6次考试甲乙(2)记高三任意一次数学测试成绩估计值为t，规定：t∈84,90，记为转换分为3分；t∈91,95，记为转换分为4分；t∈96,100，记为转换分为5分．现从乙的6次数学测试成绩中任意抽取2次，求这2次成绩的转换分之和为8分的概率．2(2024·全国·一模)正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量X，定义其累积分布函数为F(x)=P(X≤x)．已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立．(1)已知电源电压X(单位：V)服从正态分布N(40,4)，且X的累积分布函数为F(x)，求F(44)-F(38)；(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量T(单位：天)表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为G t =0,t<0 1-14t,t≥0 .(ⅰ)设t1>t2>0，证明：P(T>t1|T>t2)=P(T>t1-t2)；(ⅱ)若第n天元件A发生故障，求第n+1天系统正常运行的概率．附：若随机变量Y服从正态分布N(μ,σ2)，则P(|Y-μ|<σ)=0.6827，P(|Y-μ|<2σ)=0.9545，P(|Y-μ| <3σ)=0.9973．3为考查一种新的治疗方案是否优于标准治疗方案，现从一批患者中随机抽取100名患者，均分为两组，分别采用新治疗方案与标准治疗方案治疗，记其中采用新治疗方案与标准治疗方案治疗受益的患者数分别为X 和Y ．在治疗过程中，用指标I 衡量患者是否受益：若μ-σ≤I ≤μ+σ，则认为指标I 正常；若I >μ+σ，则认为指标I 偏高；若I <μ-σ，则认为指标I 偏低．若治疗后患者的指标I 正常，则认为患者受益于治疗方案，否则认为患者未受益于治疗方案．根据历史数据，受益于标准治疗方案的患者比例为0.6．(1)求E Y 和D Y ；(2)统计量是关于样本的函数，选取合适的统计量可以有效地反映样本信息．设采用新治疗方案治疗第i 位的患者治疗后指标I 的值为x i ，i =1，2，⋅⋅⋅，50，定义函数：f x i =1,x i >μ+σ0,μ-σ≤x i ≤μ+σ.-1,x i <μ-σ(ⅰ)简述以下统计量所反映的样本信息，并说明理由．①A =f x 1 +f x 2 +⋅⋅⋅+f x 50 ；②B =f x 1 f x 1 +1 +f x 2 f x 2 +1 +⋅⋅⋅+f x 50 f x 50 +12；(ⅱ)为确定新的治疗方案是否优于标准治疗方案，请在(ⅰ)中的统计量中选择一个合适的统计量，并根据统计量的取值作出统计决策．4(2024·高二·四川遂宁·期末)2020年新冠肺炎疫情期间，某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度，从本区居民中随机抽取若干居民进行评分(满分100分)，根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图，已知评分在80,100的居民有600人．满意度评分40,6090,10080,9060,80满意度等级不满意基本满意满意非常满意(1)求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数；(2)定义满意度指数η=(满意程度的平均分)/100，若η<0.8，则防疫工作需要进行大调整，否则不需要大调整．根据所学知识判断该区防疫工作是否带要进行大调整？(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表) (3)为了解部分居民不满意的原因，从不满意的居民评分在40,50中用分层抽样的方法抽取6名居，50,60民，倾听他们的意见，并从6人中抽取2人担任防疫工作的监督员，求这2人中仅有一人对防疫工作的评分在40,50内的概率．5(2024·高三·北京·阶段练习)设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为P X=a k=x k，P Y=a k=y k，x k>0，y k>0，k=1,2,⋯,n,nk=1x k=nk=1y k=1．指标D(X‖Y)可用来刻画X和Y的相似程度，其定义为D(X‖Y)=nk=1x kln x ky k．设X~B(n,p),0<p<1．(1)若Y~B(n,q),0<q<1，求D(X‖Y)；(2)若n=2,P(Y=k-1)=13,k=1,2,3，求D(X‖Y)的最小值；(3)对任意与X有相同可能取值的随机变量Y，证明：D(X‖Y)≥0，并指出取等号的充要条件6(2024·高三·河南·期末)某国家队要从男子短道速滑1500米的两名种子选手甲、乙中选派一人参加2022年的北京冬季奥运会，他们近期六次训练成绩如下表：次序(i)123456甲(x i秒)142140139138141140乙(y i秒)138142137139143141(1)分别计算甲、乙两人这六次训练的平均成绩x甲,x乙，偏优均差ξ甲,ξ乙；(2)若x i-y i<2i=1,2,3,4,5,6，则称甲、乙这次训练的水平相当，现从这六次训练中随机抽取3次，求有两次甲、乙水平相当的概率．注：若数据x1,x2,⋅⋅⋅,x n中的最优数据为m，定义ξ=1nx1-m2+x2-m2+⋅⋅⋅+x n-m2为偏优均差．本题中的最优数据即最短时间．7(2024·全国·模拟预测)某医科大学科研部门为研究退休人员是否患痴呆症与上网的关系，随机调查了M 市100位退休人员，统计数据如下表所示：患痴呆症不患痴呆症合计上网163248不上网341852合计5050100(1)依据α=0.01的独立性检验，能否认为该市退休人员是否患痴呆症与上网之间有关联？(2)从该市退休人员中任取一位，记事件A 为“此人患痴呆症”，B 为“此人上网”，则A为“此人不患痴呆症”，定义事件A 的强度Y 1=P A 1-P A ，在事件B 发生的条件下A 的强度Y 2=P A B1-P A B．(i )证明：Y1Y 2=P B AP B A ；(ⅱ)利用抽样的样本数据，估计Y 1Y 2的值．附：χ2=n ad -bc 2a +bc +d a +c b +d，其中n =a +b +c +d ．α0.0500.0100.001x α3.8416.63510.8288(2024·高三·山西朔州·开学考试)某校20名学生的数学成绩x i i =1,2,⋅⋅⋅,20 和知识竞赛成绩y ii =1,2,⋅⋅⋅,20 如下表：学生编号i 12345678910数学成绩x i 100999693908885838077知识竞赛成绩y i 29016022020065709010060270学生编号i 11121314151617181920数学成绩x i 75747270686660503935知识竞赛成绩y i4535405025302015105计算可得数学成绩的平均值是x =75，知识竞赛成绩的平均值是y =90，并且20i =1x i -x 2 =6464，20i =1y i -y2=149450，20i =1x i -x y i -y =21650.(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数(精确到0.01)；(2)设N ∈N *，变量x 和变量y 的一组样本数据为x i ,y i i =1,2,⋅⋅⋅,N ，其中x i i =1,2,⋅⋅⋅,N 两两不相同，y i i =1,2,⋅⋅⋅,N 两两不相同.记x i 在x n n =1,2,⋅⋅⋅,N 中的排名是第R i 位，y i 在y n n =1,2,⋅⋅⋅,N 中的排名是第S i 位，i =1,2,⋅⋅⋅,N .定义变量x 和变量y 的“斯皮尔曼相关系数”(记为ρ)为变量x 的排名和变量y 的排名的样本相关系数.(i )记d i =R i -S i ，i =1,2,⋅⋅⋅,N .证明：ρ=1-6N N 2-1 Ni =1d 2i ；(ii )用(i )的公式求得这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”约为0.91，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势.注：参考公式与参考数据.r =ni =1x i -x y i -yni =1x i -x 2 ni =1y i -y2；nk =1k 2=n n +1 2n +16；6464×149450≈31000.9(2024·高二·湖北·阶段练习)“难度系数”反映试题的难易程度，难度系数越大，题目得分率越高，难度也就越小，“难度系数”的计算公式为L=1-YW，其中L为难度系数，Y为样本平均失分，W为试卷总分(一般为100分或150分)．某校高二年级的老师命制了某专题共5套测试卷(总分150分)，用于对该校高二年级480名学生进行每周测试，测试前根据自己对学生的了解，预估了每套试卷的难度系数，如下表所示：试卷序号i12345考前预估难度系数L i0.70.640.60.60.55测试后，随机抽取了50名学生的数据进行统计，结果如下：试卷序号i12345平均分/分10299939387(1)根据试卷2的预估难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分；(2)试卷的预估难度系数和实测难度系数之间会有偏差，设L i 为第i套试卷的实测难度系数，并定义统计量S=1 nL 1-I i2+L 2-L22+⋯+L n-L n2，若S<0.001，则认为试卷的难度系数预估合理，否则认为不合理．以样本平均分估计总体平均分，试检验这5套试卷难度系数的预估是否合理．(3)聪聪与明明是学习上的好伙伴，两人商定以同时解答上述试卷易错题进行“智力竞赛”，规则如下：双方轮换选题，每人每次只选1道题，先正确解答者记1分，否则计0分，先多得2分者为胜方.若在此次竞赛中，聪聪选题时聪聪得分的概率为23，明明选题时聪聪得分的概率为12，各题的结果相互独立，二人约定从0:0计分并由聪聪先选题，求聪聪3:1获胜的概率 .10(2024·高三·四川成都·开学考试)在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标a 1,a 2,a 3 表示，其中a i ∈0,1 1≤i ≤3,i ∈N ．而在n 维空间中n ≥2,n ∈N ，以单位长度为边长的“立方体”的项点坐标可表示为n 维坐标a 1,a 2,a 3,⋯⋯,a n ，其中a i ∈0,1 1≤i ≤n ,i ∈N ．现有如下定义：在n 维空间中两点间的曼哈顿距离为两点a 1,a 2,a 3,⋯⋯,a n 与b 1,b 2,b 3,⋯⋯,b n 坐标差的绝对值之和，即为a 1-b 1 +a 2-b 2 +a 3-b 3 +⋯⋯+a n -b n ．回答下列问题：(1)求出n 维“立方体”的顶点数；(2)在n 维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X 为所取两点间的曼哈顿距离①求出X 的分布列与期望；②证明：在n 足够大时，随机变量X 的方差小于0.25n 2．(已知对于正态分布X ∼N μ,σ2 ，P 随X 变化关系可表示为φμ,σx =1σ2π⋅e -x -μ22σ2)11(2024·高二·福建莆田·期末)为了考查一种新疫苗预防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机抽查了50只，得到如下的样本数据(单位：只)：发病没发病合计接种疫苗81624没接种疫苗17926合计252550(1)能否有95%的把握认为接种该疫苗与预防该疾病有关？(2)从该地区此动物群中任取一只，记A 表示此动物发病，A表示此动物没发病，B 表示此动物接种疫苗，定义事件A 的优势R 1=P A 1-P A ，在事件B 发生的条件下A 的优势R 2=P A B1-P A B.(ⅰ)证明：R 2R 1=P B A P B A；(ⅱ)利用抽样的样本数据，给出P B A ，P B A 的估计值，并给出R2R 1的估计值.附：χ2=n ad -bc 2a +bc +d a +c b +d，其中n =a +b +c +d .P χ2≥x 00.0500.0100.001x 03.8416.63510.82812(2024·高一·山东济南·期末)独立事件是一个非常基础但又十分重要的概念，对于理解和应用概率论和统计学至关重要．它的概念最早可以追湖到17世纪的布莱兹·帕斯卡和皮埃尔·德·费马，当时被定义为彼此不相关的事件．19世纪初期，皮埃尔·西蒙·拉普拉斯在他的《概率的分析理论》中给出了相互独立事件的概率乘法公式．对任意两个事件A 与B ，如果P AB =P A P B 成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称为独立．(1)若事件A 与事件B 相互独立，证明：A与B 相互独立；(2)甲、乙两人参加数学节的答题活动，每轮活动由甲、乙各答一题，已知甲每轮答对的概率为35，乙每轮答对的概率为23．在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲乙两人在两轮活动中答对3道题的概率．13(2024·高二·浙江台州·期末)袋中有大小、形状完全相同的2个红球，4个白球.采用放回摸球，从袋中摸出一个球，定义T 变换为：若摸出的球是白球，把函数f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来110倍，(纵坐标不变)；若摸出的是红球，将函数f x 图象上所有的点向下平移1个单位.函数f x 经过1次T 变换后的函数记为f 1x ，经过2次T 变换后的函数记为f 2x ，⋯，经过n 次T 变换后的函数记为f n x n ∈N * .现对函数f x =lg x 进行连续的T 变换.(1)若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是红球，求f 2x ；(2)记X =f 31 ，求随机变量X 的分布列及数学期望.14(2024·高三·上海宝山·阶段练习)已知n为正整数，对于给定的函数y=f x ，定义一个n次多项式g nx 如下:g n x =ni=0C i n f inx i1-xn-i(1)当f x =1时，求g n x ;(2)当f x =x时，求g n x ;(3)当f x =x2时，求g n x .15(2024·高一·辽宁葫芦岛·期末)通信信号利用BEC信道传输，若BEC信道传输成功，则接收端收到的信号与发来的信号完全相同．若BEC信道传输失败，则接收端收不到任何信号．传输技术有两种：一种是传统通信传输技术，采用多个信道各自独立传输信号(以两个信道为例，如图1)．另一种是华为公司5G信号现使用的土耳其通讯技术专家Erdal Arikan教授的发明的极化码技术(以两个信道为例，如图2)．传输规则如下，信号U2直接从信道2传输；信号U1在传输前先与U2“异或”运算得到信号X1，再从信道1传输．若信道1与信道2均成功输出，则两信号通过“异或”运算进行解码后，传至接收端，若信道1输出失败信道2输出成功，则接收端接收到信道2信号，若信道1输出成功信道2输出失败，则接收端对信号进行自身“异或”运算而解码后，传至接收端．(注：定义“异或”运算：U1⊕U2=X1,X1⊕U1=U2,X1⊕U2=U1,X1⊕X1=U2)．假设每个信道传输成功的概率均为p0<p<1．(1)对于传统传输技术，求信号U1和U2中至少有一个传输成功的概率；(2)对于Erdal Arikan教授的极化码技术；①求接收端成功接收信号U1的概率；②若接收端接收到信号U2才算成功完成一次任务，求利用极化码技术成功完成一次任务的概率．。
概率的基本概念综合练习题
概率的基本概念综合练习题概率作为数学中的重要分支，被广泛应用于各个领域，如统计学、金融、物理学等。
它帮助我们理解随机事件发生的可能性，并为我们提供了一种分析和预测未知结果的方法。
在这篇文章中，我们将回顾和练习一些概率的基本概念。
一、概率的定义和基本性质1. 简明定义：概率是指一个随机事件发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的数字来表示。
2. 基本性质：a. 概率的范围：概率值必须介于0和1之间，包括0和1。
b. 必然事件和不可能事件：事件的概率为1的称为必然事件，事件的概率为0的称为不可能事件。
c. 互补事件：事件A和事件A的补集的概率之和为1，即 P(A) + P(A') = 1。
d. 加法公式：对于两个互不相容的事件A和B，它们的并集的概率等于它们各自概率的和，即 P(A∪B) = P(A) + P(B)。
二、概率计算方法练习题1. 掷骰子：假设你有一个六面骰子（上面的数字分别为1、2、3、4、5、6），求以下事件的概率：a. A：得到的点数是一个偶数。
b. B：得到的点数小于等于3。
c. C：得到的点数既是偶数又小于等于3。
2. 抽扑克牌：假设你有一副标准扑克牌（52张），求以下事件的概率：a. A：抽到一张黑桃牌。
b. B：抽到一张红色的Ace牌。
c. C：抽到一张红桃或方块的牌。
3. 球袋问题：假设一个袋子中有10个红球和5个蓝球，从中随机抽取2个球，求以下事件的概率：a. A：两个球都是红球。
b. B：一个红球和一个蓝球。
c. C：两个球都是蓝球。
三、条件概率练习题1. 从一副标准扑克牌（52张）中随机抽取一张牌，求以下事件的条件概率：a. A：抽到一张红色的牌，已知抽到的牌是扎克。
b. B：抽到一张大小王，已知抽到的是一张红牌。
2. 从一个已知有6个红球和4个白球的袋子中随机抽取2个球，求以下事件的条件概率：a. A：两个球都是白球，已知第一个球是红球。
b. B：两个球都是红球，已知至少有一个球是红球。
概率初中练习题初二数学
概率初中练习题初二数学概率是数学中的一个重要分支，也是我们日常生活中经常用到的概念。
它帮助我们预测事件的可能性，并在决策和问题解决中起到重要的作用。
为了帮助初二学生更好地理解和掌握概率的概念，以下是几道概率练习题。
练习题一：某班级有30名学生，其中有12名男生和18名女生。
现从中随机选择一名学生，求选择一名女生的概率。
解答：首先计算女生数量占总人数的比例：18 / 30 = 0.6。
所以选择一名女生的概率为0.6。
练习题二：某班级有40名学生，其中有15名喜欢蓝色，25名喜欢红色。
现从中随机选择一名学生，求选择一名喜欢蓝色的概率。
解答：首先计算喜欢蓝色学生数量占总人数的比例：15 / 40 = 0.375。
所以选择一名喜欢蓝色的概率为0.375。
练习题三：某班级有50名学生，其中有30名学生擅长语文，25名学生擅长数学。
现从中随机选择一名学生，求选择一名既擅长语文又擅长数学的概率。
解答：首先计算既擅长语文又擅长数学的学生数量占总人数的比例：30 / 50 = 0.6。
所以选择一名既擅长语文又擅长数学的概率为0.6。
练习题四：一批电视机分为两个工厂，工厂A生产的电视机有100台，其中有5台是次品；工厂B生产的电视机有150台，其中有10台是次品。
现从中随机选择一台电视机，求选择一台次品的概率。
解答：首先计算次品电视机数量占总电视机数量的比例：5 / (100 + 150) ≈ 0.024。
所以选择一台次品电视机的概率约为0.024。
练习题五：一宝箱中有12个相同形状的球，其中有4个红球、3个蓝球和5个绿球。
现从中随机选择一个球，求选择一个绿球或蓝球的概率。
解答：首先计算绿球和蓝球数量占总球数量的比例：(3 + 5) / 12 = 8 / 12 = 2 / 3。
所以选择一个绿球或蓝球的概率为2 / 3。
以上是初二数学概率题的练习，通过对这些题目的解答，我们可以更好地理解概率的概念，并提高解决概率问题的能力。
《概率》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
概率考纲要求1.了解随机现象和概率的统计定义，理解必然事件和不可能事件的意义.2.知道概率的性质，理解古典概率模型的含义，掌握求古典概型的方法，并会求古典概型的概率.3.知道互斥事件，会用概率加法公式求互斥事件的概率.4.认识n 次独立重复实验模型，并记住n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率公式，并会简单应用.5.了解随机变量、离散型随机变量及其概率分布；能写出简单的离散型随机变量的概率分布.6.了解二项分布，能写出简单的二项分布. 知识点一：随机事件的概率 1.随机事件的相关概念随机现象：在相同条件下具有多种可能结果,而事先又无法确定会出现哪种结果的现象称为随机现象.随机试验：研究随机现象所进行的观察和试验称为随机试验.随机事件：随机试验的结果称为随机事件，简称事件，常用大写字母A ,B ,C 等来表示. 必然事件：在一定条件下，必然发生的事件称为必然事件，用Ω来表示. 不可能事件：在一定条件下，不可能发生的事件称为不可能事件，用∅来表示. 基本事件：在随机试验中不能再分的最简单的随机事件称为基本事件. 复合事件：可以用基本事件来描述的随机事件称为复合事件. 2.频率与概率频数：设在n 次重复试验中，事件发A 生了m 次（0 ≤m ≤n ），m 称为事件A 的频数. 频率：事件A 的频数在试验的总次数中所占的比例mn，称为事件A 发生的频率. 事件A 发生的概率：当试验次数充分大时，如果事件发A 生的频率mn总稳定在某个常数附近，那么就把这个常数叫做事件A 发生的概率,记作)(A P . 事件A 发生的概率的性质：（1）对于必然事件Ω，()1=P Ω； （2）对于不可能事件∅，0)(=∅P ； （3）0≤P (A )≤1. 知识点2： 古典概型 1. 古典概型：（1）定义：如果一个随机试验的基本事件只有有限个，并且各个基本事件发生的可能性都相等，那么称这个随机试验属于古典概型.特征：试验的所有可能结果的个数是有限的；每个结果出现的机会均等.（2）在古典概型中，若试验共包含有n 个基本事件，并且每一个事件发生的可能性都相同，事件A 包含m 个基本事件，那么事件A 发生的概率()m P A n =2.互斥事件：（1）定义：在随机试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件或互不相容事件 （2）和事件：在随机试验中，若事件C 发生意味着事件A 与事件B 中至少有一个发生，则把事件C 称为事件A 与事件B 的和事件,记作C AB =（3）互斥事件的概率加法公式：互斥的事件A 和事件B 中至少有一个发生的概率()()()P A B P A P B =+知识点3：离散型随机变量及其分布 1.随机变量的概念如果随机试验的结果可以用一个变量的取值来表示，这个变量的取值带有随机性，并且取这些值的概率是确定的，那么这个变量叫做随机变量，通常用小写希腊字母ξ、η等表示，或用大写英文字母，,,X Y Z 等表示. 2.离散型随机变量的概念如果随机变量的所有可能取值可以一一列出，则这种随机变量称为离散型随机变量. 3.离散型随机变量的概率分布（1）离散型随机变量的概率分布的定义离散型随机变量ξ的所有可能取值1x ，2x ，3x …，i x …与其对应的概率(x )i i P p ξ==（i =1，2，3，…）所有组成的表叫做随机变量ξ的概率分布（分布列）. 离散型随机变量概率分布的性质. ① 0(1,2,3,)i p i =≥；②1231i p p p p +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=.（2）计算离散型随机变量的概率分布的主要步骤为 ①写出随机变量的所有取值；②计算出各个取值对应的随机事件的概率； ③列出表格.注意验证0(1,2,3,)i p i =≥以及121i p p p ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=.知识点4：二项分布 1.n 次独立重复实验定义：在相同条件下，重复进行n 次试验，如果每次试验的结果与其他各次试验的结果无关，那么这n 次重复试验叫做n 次独立重复试验. 2.n 次伯努利实验定义：在n 次独立重复试验中，如果每次试验的可能结果只有两个，且它们相互对立，即只考虑两个事件A 和A ，并且在每次试验中事件A 发生的概率都相同，这样的n 次独立重复试验叫做n 次伯努利试验. 3.伯努利公式如果在每次试验中事件A 发生的概率()P A p =，事件A 不发生的概率()1P A p =-，那么在n 次伯努利试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为k n k k n n p p k P --=)1(C )((其中0,1,2,,k n =⋅⋅⋅).4.二项分布如果在一次试验中某事件A 发生的概率的p ,随机变量ξ为n 次独立试验中事件发A 生的次数，那么随机变量ξ的概率分布为其中n k p ,,2,1,0,10 =<<我们将这种形式的随机变量ξ的概率分布叫做二项分布．称随机变量ξ服从参数为n 、p 的二项分布，记为(,)B n p ξ．二项分布是以伯努利试验为背景的重要分布． 题型一 基本概念例1 一口袋中有10个小球，其中有8个白球、2个黑球,从中任取3个小球,有以下事件：①3个都是白球. ②至少有一个是黑球. ③3个都是黑球. ④至少有一个白球.其中随机事件是 ；必然事件是 ；不可能事件是 . 分析：本题考察定义的理解及“至少”的含义. 随机事件有①②； 必然事件有④； 不可能事件有③. 解答：①②，④，③ 题型二 古典概型例2 同时抛掷两颗骰子，则所得点数之和为7的概率为 .分析：本题考查古典概型，试验发生包含的事件是抛掷两颗骰子，共有6⨯6=36种结果，满足条件的事件是点数之和为7，可以列举出所有的事件：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)共有6种结果，根据古典概型概率公式得到61=P . 解答：61. 题型三 互斥事件例3 某地区年降水量在50~100mm 范围内的概率为0.21，在100~150mm 范围内的概率为0.22，则年降水量在50~155mm ，范围内的概率为多少？ 分析：应用互斥事件的概率加法公式 解答：0.43题型四 独立重复试验及概率例4 一枚硬币连续抛掷3次，恰好有两次正面向上的概率为（ ）.A.18B.38C.12 D.23分析：设事件A =｛正面向上｝，则()P A =12，抛掷3次相当于做3次独立重复试验，恰好有两次正面向上的概率为2123113(2)228P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 解答：B .题型五 离散型随机变量的概率分布例5 从含有8个正品、2个次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽取一个，用ξ表示抽到次品的次数，求: （1） ξ的概率分布.（2） 至多有一次抽到次品的概率.解答：（1）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，且383107(0)15C P C ξ===， 1228310715C C P C ξ=（=1）=， 21283101(2)15C C P C ξ===. 所以ξ的概率分布为（2）至多有一次抽到次品的概率为715+715=1415. 题型六 二项分布例6 在人寿保险中，设一个投保人能活到65岁的概率为0.6，求三个投保人中活到65岁的人数ξ的概率分布．解答：记A ={一个投保人能活到65岁}，则A ={一个投保人活不到65岁}．于是()0.6,()10.60.4P A P A ==-=．且随机变量(3,0.6)B ξ．因此0333(0)0.6(10.6)0.064P C =⋅⋅-=， 11233(1)0.6(10.6)0.288P C =⋅⋅-=，22133(2)0.6(10.6)0.432P C =⋅⋅-=，33033(3)0.6(10.6)0.216P C =⋅⋅-=.所以，三个投保人中能活到65岁的人数ξ的概率分布为一、选择题1．在10张奖券中，有1张一等奖，2张二等奖，从中任意抽取1张，则中一等奖的概率为（ ）． A.310 B.15 C.110 D.132.甲乙两人进行一次射击，甲击中目标的概率为0.7，乙击中的概率为0.2，那么甲乙两人都没击中的概率为（ ）．A. 0.24 B .0.56 C. 0.06 D. 0.863.某人从一副不含大小王扑克牌中（52张）任意取一张出来，他抽到黑桃或是红桃的概率为（ ）．A. 0B.152 C. 1352 D. 124.书包里有中文书5本，英文书3本，从中任集抽取2本，则都抽到中文书的概率是（ ）． A.15 B.25 C.12 D.5145.一个口袋中有5个红球，7个白球，每次取出一个，有放回取三次，观察球的颜色属于（ ）．A.重复试验B.古典概型C. 3次独立重复试验概率模型D.以上都不是 6.同时抛掷三枚硬币，三枚出现相同一面的概率为（ ）．A12 B 14 C 16 D 187．某品牌种子的发芽率是0.8，在试验的5粒种子中恰有4粒发芽的概率是（ ）． A.410.8(10.8)- B.140.8(10.8)-C.41450.8(10.8)C -D.44150.8(10.8)C -8.下列变量中不是随机变量的是（ ）． A. 射手射击一次的环数 B. 在一个标准大气压下100时会沸腾 C. 城市夏季出现的暴雨次数 D. 某班期末考试数学及格人数9.若从标有3，4，5，6，7的5张卡片中任取3张，取得奇数的个数为ξ，则随机变量ξ的可能取值的个数是（ ）．A .0 B. 1 C. 2 D .3 10.已知离散型随机变量ξ的概率分布为则n 的值为（ ）．A .0.31 B. 0.25 C. 0.26 D. 0.2 二、判断题：1. 某人参加射击比赛，一次射击命中的环数为（奇数环）是随机事件( )2. 在重复进行同一试验时，随着试验总次数的增加，事件A 发生的频率一般会越来越接近概率. ( )3. 任一事件A ,其发生的概率为()P A ，则有0≤P (A )≤1 . ( )4. 必然事件的概率为0.( )5. 袋子里有3颗红球6颗白球，从中任取一颗是白球的概率是13.( ) 6. 盒内装有大小相同的3个白球1个黑球，从中摸出2个球，则两个球全是白球的概率是12. ( )7. 同时抛掷3枚硬币，三枚出现相同一面的概率是18. ( )8. 同宿舍8人抓阄决定谁负责周一值日是随机试验.( )9. 运动员进行射击训练，考察一次射击命中的环数，命中2环的概率是110. （）10. 甲、乙两台机床，它们因故障停机的概率分别为0.01和0.02，则这两台机床同时因故障停机的概率为0.03. ( )三、填空题1．在10件产品中有3件次品，若从中任取2件，被抽到的次品数用ξ表示，则2ξ=表示的随机事件为．2．盒中有3个白色的球和5个红色的球，任取出一个球，取出的是红色的概率为．3.10件产品中有2件次品，任取3件，设取出的3件产品中所含正品数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为．4．从甲、乙、丙3人中，任选2人参加社会实践，甲被选中的概率为．5．某气象站天气预报的准确率为0.8，一周中播报准确的次数为ξ，则2ξ=的概率为．（用式子表示）四、解答1．口袋里装有3个黑球与2个白球，任取3个球，求取到的白球的个数ξ的概率分布．2.口袋里装有4个黑球与1个白球，每次任取1个球，有放回地取3次，求所取过的3个球中恰有两个黑球的概率.高考链接1.(2014年) 已知离散型随机变量ξ的概率分布为则(1)Pξ==( )．A .0.24 B. 0.28 C.0.48 D.0.522.(2019年) 一口袋里装有4个白球和4个红球现在从中任取3个球，则取到既有白球又有红球的概率 .3.(2018年) 若将一枚硬币抛3次，则至少出现一次正面的概率为 .4.(2016年) 从1，2，3，4，5中任选3个数字组成一个无重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为 .5.(2017年) 取一个正方形及其外接圆，在圆内随机取一点，该点取自正方形内的概率为．积石成山1.某单选题要求从A 、B 、C 、D 四个选项中，选择一个正确答案，假设考生不会，随机地选择了一个答案，则他答对此题的概率是（）．A.1B.12C.13D.142. 某乐队有11名乐师，其中男乐师7人，现该乐队要选出一名指挥,则选出的指挥为女乐师的概率为（）．A.711B14C.47D.4113. 已知A 、B 是互斥事件，若1()5P A=,1()2P A B+=，则()P B的值是（）．A .45B.710C.310D.1104. 袋中装有3个黑球和2个白球一次取出两个球，恰好是黑白球各一个的概率（）．A. 15B.310C.25D.355. 5人站成一排照相，其中甲乙二人相邻的概率为（）．A. 25B.35C.15D.146. 一个箱子中有6个除了颜色之外完全一样的球，其中2个是红色的，4个是黑色的，那么在里面随机拿出一个是红色的概率是多少？（）．A. 12B.13C.14D.167. 掷一枚质地均匀且六面上分别有1，2，3，4，5，6点的骰子，则向上一面点数大于4的概率为（）．A. 12B.13C.23D.148. 抛掷一枚质地均匀的骰子，则向上一面出现偶数点概率是（）．A.12B.13C.16D.19.把一枚均匀的硬币连抛5次，得到5次国徽向上的概率为（）．A. 132B.532C.316D.313210.一副扑克牌去掉大小王，任意抽出一张不是黑桃的概率为（）．A. 14B .13C.12D.34概率答案一、选择题二、判断题三、填空题1.｛任抽2件，有2件次品｝.2. 58解析：151858CpC==.3. 1，2，3.4. 23解析：枚举法：选派方法有（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙）共3种，其中甲被选中有2种，故所求概率为 23P =.5. 22570.8(10.8)C ⨯⨯-解析：设A =｛播报一次，准确｝，则()0.8P A =,所以2257(2)0.8(10.8)P C ξ==⨯⨯-四、解答题1. 分析：任取3球属于古典概型，服从的分布为离散型随机变量的概率分布. 解：随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，则3032351(0)10C C P C ξ===, 2132353(1)5C C P C ξ===, 1232353(2)10C C P C ξ===. 所以概率分布为2. 分析：本题为有放回的抽取，是伯努利试验，服从二项分布. 解：设所取过的3个球中含有黑球的个数为随机变量ξ，则43,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，于是 21234148(2)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .高考链接1.B2.67解析：古典概率模型，则从中任意取3个球，取到既有白球又有红球的概率为122144443867C C C C C +=.3.78解析：试验发生包含的事件是将一枚硬币抛掷三次，共有328=（种）结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是反面，有1种结果，则至少一次正面向上的概率是17188-=.4.25解析：从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成没有重复的三位数，基本事件总数3560n P ==，这个三位数是偶数包含的基本事件个数122424m C P ==,∴这个三位数是偶数的概率为242605mPn===.5. 2π解析：设正方形的边长为11S=正方形，∴222Sππ⎛=⨯=⎝⎭外接圆∴该点取自正方形内部的概率为122Pππ==.积石成山。
(完整版)概率的意义和性质练习题
(完整版)概率的意义和性质练习题概率的意义和性质练题题目一某班级有30名学生，其中20名学生擅长足球，10名学生擅长篮球。
现从班级中随机抽取一名学生，请计算以下概率：1. 该学生擅长足球。
2. 该学生擅长篮球。
3. 该学生既擅长足球又擅长篮球。
题目二某市有100辆出租车，其中35辆是绿色的，20辆是蓝色的。
现在从这100辆出租车中随机选择一辆，请计算以下概率：1. 选择的出租车是绿色的。
2. 选择的出租车是蓝色的。
3. 选择的出租车既是绿色的又是蓝色的。
题目三某篮球队有15名男队员和10名女队员，现从球队中随机选择一名队员，请计算以下概率：1. 选择的队员是男队员。
2. 选择的队员是女队员。
3. 选择的队员既是男队员又是女队员。
题目四一批产品中有80个产品，其中60个是合格品，20个是不合格品。
现从这批产品中随机选择一个产品，请计算以下概率：1. 选择的产品是合格品。
2. 选择的产品是不合格品。
3. 选择的产品既是合格品又是不合格品。
题目五在一个有200名学生的班级中，80名学生喜欢音乐，120名学生喜欢体育。
现从班级中随机抽取一名学生，请计算以下概率：1. 选择的学生喜欢音乐。
2. 选择的学生喜欢体育。
3. 选择的学生既喜欢音乐又喜欢体育。
题目六经过统计，某城市每个春季有60%的天数下雨，25%的天数下雪，15%的天数是晴朗的。
现在选择一个春季的某天，请计算以下概率：1. 选择的天是下雨天。
2. 选择的天是下雪天。
3. 选择的天是晴朗的天。
题目七某公司有500名员工，其中250名员工精通英语，200名员工精通法语，100名员工既精通英语又精通法语。
现从该公司中随机选择一名员工，请计算以下概率：1. 选择的员工精通英语。
2. 选择的员工精通法语。
3. 选择的员工既精通英语又精通法语。
以上为概率的意义和性质练习题，请根据题目进行计算。
初三单元概率练习题
初三单元概率练习题概率是数学中一个非常重要的概念，它用来描述一个事件发生的可能性大小。
在初三的数学学习中，概率也是一个重要的内容。
下面是几道初三单元概率练习题，帮助同学们巩固对概率的理解和应用。
请仔细阅读题目，思考并解答。
题目一：某班级有60名学生，其中包括30名男生和30名女生。
从这60名学生中，随机选取一名学生，求选中的学生是男生的概率。
解答一：在这个问题中，我们需要求解选中的学生是男生的概率。
根据题目给出的条件，班级中有30名男生和30名女生，所以总共有60个学生。
由于是随机选取，每个学生被选中的机会是相等的。
所以选中男生的概率是男生人数除以总人数，即30/60=1/2。
题目二：甲、乙、丙三人射击命中率分别为1/3、1/4、1/5，若他们同时射击同一目标，求至少有一人命中的概率。
解答二：题目要求求解至少有一人命中的概率。
我们可以使用对立事件的思想来解决这个问题。
假设事件A是三人都没有命中的概率，那么事件A的对立事件A'就表示至少有一人命中的概率。
根据概率的性质，我们可以得到 P(A') = 1 - P(A)。
根据题目给出的条件，甲、乙、丙三人的命中率分别为1/3、1/4、1/5。
所以他们没有命中的概率分别为1-1/3、1-1/4、1-1/5。
由于三人同时射击，他们没有命中的概率是独立事件，所以事件A的概率等于三人没有命中的概率的乘积。
即 P(A) = (1-1/3)(1-1/4)(1-1/5)。
将上述数据代入公式 P(A') = 1 - P(A)，即可计算出至少有一人命中的概率。
题目三：有两个袋子，第一个袋子中有2个红球和3个白球，第二个袋子中有3个红球和1个白球。
现在从第一个袋子中任意取1个球，然后放入第二个袋子中，再从第二个袋子中任意取1个球。
求最后取出的球是红球的概率。
解答三：这个问题需要求解最后取出的球是红球的概率。
我们可以按照题目的步骤一步一步进行分析。
首先，从第一个袋子中任意取1个球，这个过程中红球和白球的选中概率分别是 2/5 和 3/5。
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三种概率定义训练题
1.试验：抛硬币，看它出现正面还是反面。
（1）试验前，请问正、反面出现的可能性分别是多少？
（2）抛硬币1000次，正面出现的次数是多少？正面出现的概率是多少？
（3）用硬币赌博，猜对得1000元，猜错贴1000元，请选择支持哪一面？
2.下列随机试验中，概率测度遵循古典概型的是（）
A.观察一家超市某日的营业额
B.掷两个骰子，记录它们各自出现的点数
C.随机抽5个学生来回答某个问题，观察回答正确的学生人数
D.观察一射击选手射靶10次的中靶次数
3.根据概率的古典概型，某一随机事件的概率就是（）
A.大量重复随机试验中该随机事件出现的次数占试验总次数的比重
B.该随机事件包含的基本事件数占样本空间中基本事件总数的比重
C.大量重复随机试验中该随机事件出现的次数
D.专家估计该随机事件出现的可能性大小
4.根据概率的统计定义，可用近似代替某一事件的概率的是（）
A.大量重复随机试验中该随机事件出现的次数占试验总次数的比重
B.该随机事件包含的基本事件出现的次数占试验总次数的比重
C.大量重复随机试验中该随机事件出现的次数
D.专家估计该随机事件出现的可能性大小
5.下列概率中属于主观概率的是（）
A.掷一枚骰子，出现6点的概率是1/6
B.根据交警的长期记录，汽车在某条山路上发生事故的概率是1‰
C.某批产品共有100件，其中混进了1件次品，质检部门在随机抽查时抽到的第一件产品就是次品的概率是1%
D.根据对张三的多次素质测评结果，某考核小组认为张三能胜任某项职位的概率是85%。