几何不变体系组成规律
结构力学 2几何组成分析
II
解: 三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体系 三刚片三铰相连,三铰不共线, 为无多余约束的几何不变体系. 为无多余约束的几何不变体系.
三刚片虚铰在无穷远处的讨论
一个虚铰在无穷远
一个虚铰在无穷远： 一个虚铰在无穷远：若组成此虚铰的二杆与另两铰的连 线不平行则几何不变；否则几何可变. 线不平行则几何不变；否则几何可变
例1: 对图示体系作几何组成分析
I II
III
解: 三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体 三刚片三铰相连,三铰不共线, 系为无多余约束的几何不变体系. 系为无多余约束的几何不变体系.
例2: 对图示体系作几何组成分析Байду номын сангаас
I
II
III
主从结构， 主从结构，顺序安装
例3: 对图示体系作几何组成分析
I III
FAy 如何求支 座反力? 座反力 静定结构
FB 无多余 联系几何 不变。 不变。
例1:如何通过减约束变成静定？ 1:如何通过减约束变成静定 如何通过减约束变成静定？
或
或
还有其他可能吗？ 还有其他可能吗？
结论与讨论
结构的组装顺序和受力分析次序密切相关。 结构的组装顺序和受力分析次序密切相关。 正确区分静定、超静定，正确判定超静定结 构的多余约束数十分重要。 超静定结构可通过合理地减少多余约束使其 变成静定结构。 变成静定结构。 分析一个体系可变性时，应注意刚体形状可 任意改换。按照找大刚体（或刚片）、减二元 任意改换。按照找大刚体（或刚片）、减二元 体、去支座分析内部可变性等，使体系得到最 大限度简化后，再应用三角形规则分析。 大限度简化后，再应用三角形规则分析。
彼此等长 →常变
彼此不等长 →瞬变
清华大学结构力学第2章几何构造分析34
17
5. 关于无穷远瞬铰的情况
1 C II
I A
2
a)
B
III
一个瞬铰C在无穷远处，铰A、B连线与形成 瞬铰的链杆1、2不平行，故三个铰不在同一直 线上，该体系几何不变且无多余约束（图a）。
18
A B
I II C
b)
III 瞬铰B、C在两个不同方向的无穷远处，它 们对应于无穷线上两个不同的点，铰A位于 有限点。由于有限点不在无穷线上，故三铰 不共线，体系为几何不变且无多余约束（见 图b）。
一、复杂链杆与复杂铰
1. 简单链杆与复杂链杆 简单链杆——仅连接两个结点的链杆称为简
单链杆，一根简单链杆相当于一个约束。
复杂链杆——连接三个或三个以上结点的链杆
称为复杂链杆。一根复杂链杆相当于（2n-3） 根简单链杆，其中n为一根链杆连接的结点数。
35
2. 简单铰与复杂铰 简单铰——只与两个刚片连接的铰称为简单铰。
19
A I II
c)
B III C
形成瞬铰B、C的四根链杆相互平行（不等 长），故铰B、C在同一无穷远点，所以三个 铰A、 B、C位于同一直线上，故体系为瞬变 体系（见图c）。
20
6. 装配格式和装配过程
基本装配（建造、施工）格式
把一个节点固定到一个刚片上；
把一个刚片固定到另一个刚片上；
把两个刚片固定到另一个刚片上。
9
3
I
解: 用混合公式计算。 m=1 j=5 g=2 b=10
W (3 1 2 5) (3 2 10)
13 16 3
41
例2-3-5 求图示体系的计算自由度。
1 2 4 A 3 B 5 6 E 7 C 8 D 10 11
结构力学 平面体系的几何构造分析
13
§2-2 几何不变体系的组成规律
4.当规则中的限制条件不被满足时则体系为瞬变或常变。
o
Ⅰ
Ⅰ
瞬变体系
ⅡAⅢ
常变体系
I
几何瞬变体系
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14
§2-2 几何不变体系的组成规律
二、组成分析的步骤和方法 1.步骤：①若体系可直接视为由两片或三片组成，可直接按规则联接。
②若体系复杂可先去掉其上的二元体简化结构，然后从中找出可 直接观察出的几何不变部分作为刚片（2～3片）按规则联结，再 以此作为一个大刚片，寻找其它刚片设法按规则联结，如此循环 反复即可分析组成。
II
1
A
I
II
A
1
32
I
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12
§2-2 几何不变体系的组成规律
3.三个刚片之间的连接
规则4：三个刚片用三个不共线的铰两两相连，则组成几何不 变体系且无多余约束。（三片三铰规则）
B
II A
B Ⅲ C
I
注：三个刚片之间的连接铰可 以是实铰亦可以是虚铰
I
III
A
II C
精选2021版课件
精选2021版课件
5
§2-1 几何构造分析的基本概念
y
y
xφ
2 3
x 1
x,
x
y
x,y,1,2,3x
单链杆约束
y
复链杆约束 n—结点个数
x
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6
§2-1 几何构造分析的基本概念
2）铰 ①单铰约束：连结两个刚片的铰称为单铰。
结论：一个单铰可减少两个自由度，相当于两个约束或联系，相当于两 根单链杆的作用。 ②复铰： 连结两个以上刚片的铰称为复饺。
几何不变体系的简单组成规则
几何不变体系的简单组成规则
几何不变体系是指一类具有几何性质不变的变换组合，其组成规则可以简化为以下几点：
1. 平移不变性：任何平移对几何体的性质不产生变化。
平移是指将几何体的每个点沿着同一方向移动相同距离而保持原始形状不变。
2. 旋转不变性：任何旋转对几何体的性质不产生变化。
旋转是指将几何体绕着一个固定的点旋转一定角度而保持原始形状不变。
3. 缩放不变性：任何等比例的缩放对几何体的性质不产生变化。
缩放是指将几何体的每个点按照相同比例放大或缩小而保持原始形状不变。
4. 对合不变性：任何对合操作下几何体的性质不产生变化。
对合是指对几何体的两个操作进行反向操作，如顺时针旋转和逆时针旋转。
5. 反射不变性：任何对称操作不改变几何体的性质。
反射是指将几何体沿着一个对称轴折叠而保持原始形状不变。
根据这些规则，可以构建一系列几何变换操作，通过不同的变换组合来产生不同的几何不变体系。
这些简单的规则可以用来描述和理解许多几何问题和模式。
24平面几何不变体系的基本组成规则.
三、三刚片规则——平面内三个刚片的联结方式
A II B I
III
C
规律III：三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在 一直线上，则组成内部几何不变且无多余约束的体系
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三个刚片两两相连，当存在无穷远瞬铰 时判断三铰共线 1、两个实铰（或有限远的虚铰）的连线与组成无 穷远瞬铰的链杆平行时， 三铰共线、体系瞬变
A
②
①
②
由二元体的性质可知：在一个体系上加上（或取消） 若干个二元体，不影响原体系的几何可变性。这一结 论，常为几何组成分析带来方便。
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二、两刚片规则——平面内两个刚片的联结方式
A
② ③
A II C B I
③
A
II B C
①
③ ②
B I
C I
规则II（表述之一）：两刚片用一铰和一链杆相连， 且链杆及其延长线不通过铰，则组成内部几何不变且 无多余约束的体系。 规则II（表述之二）：两个刚片用三个链杆相连，且 三根链杆不全交于一点且也不全平行，则组成内部几 何不变且无多余约束的体系。
C B B C
A A
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2、一个实铰（或有限远的虚铰）与两个相同方向的无
穷远瞬铰时， 三铰共线、体系瞬变。
3、三个瞬铰均为无穷远瞬铰时， 三铰共线、体系瞬变
A C A B C
B
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小 结 1) 二元体规则： 伸出两杆 （不共线）
发展结点
2) 二刚片规则： 一铰一杆 （铰可“实”可“虚”） 铰心勿穿 三根链杆 (不全平行） 不交一点
3) 三刚片规则： 三个铰链
不共一线(不全平行且不共一线)
无多余约束的平面杆件体系的几何组成规律
（2）两刚片之间用全交于一实铰的三链杆相连， 几何可变。 （3）两刚片之间用全交于一虚铰的三链杆相连 （延长线交于一点），几何瞬变。 （4）两刚片之间用三根平行但不等长的链杆相连， 瞬变体系。 （5）两刚片之间用三根平行且等长的链杆相连， 可变体系。 （6）三刚片用位于同一直线上的三个单铰（实铰 或虚铰）两两相连，瞬变体系。 4 虚铰在无穷远 （1）一个单铰虚铰在无穷远处 （2）两个单铰虚铰在无穷远处 （3）三个单铰虚铰都在无穷远处
（2）两铰在无穷远处
三刚片用三铰相联结中的两个虚铰在无限远处，
当形成两个虚铰的两对平行链杆互不平行几何不变体系； 当形成两个虚铰的两对平行链杆互相平行几何瞬变体系； 当形成两个虚铰的两对平行链杆平行且等长几何常变体系
（3）三铰在无穷远处
三刚片用三单铰相联结中的三个虚铰均在无限远处时
用不同方向的三对平行链杆两两相联，均为瞬变体系 若三对平行链杆各自等长，则为几何常变体系（每对链杆都是从 每一刚片的同侧方向联出的情况）。 若三对平行链杆各自等长，则为几何瞬变体系（平行链杆中有 从刚片的异侧方向联出的情况）。
规则：三刚片（本身无多余联系）、三单铰（实铰或虚铰）、 两两相连、不成一线 一个单铰（实、虚）等价于两根链杆
变化：1个单铰（实÷虚）= 二链杆。一、两、三虚铰
刚片＝单个构件÷已经确定的无多余联系的几何不变部分
三个规则的相通性，同一题目，不同方法，结论唯一，所以 思路一定要灵活。结合一个题目？
依据这三个原则，就可以判别一个平面体系是否几何不变体 系。几何不变体系的组成肯定满足这三条原则（全部和部 分）。先基本规则、再推论分析
结构力学前半部分重点复习
M F Q F N — 单位力作用下结构产生的弯矩
剪力、轴力
(1)梁和刚架，轴向变形和剪切变形的影响甚小，主要
考虑弯曲变形的影响，位移公式： MMP dx EI (2)桁架，只考虑轴向变形的影响，且每根杆件的内力 及截面都沿杆长不变，故位移公式： F N FNP F N FNP l dx EA EA
结点法和截面法联合运用： 有的杆件用结点法求，有的杆件用截
面法求。
判断零杆：桁架中的某些杆件可能是零杆，计算前 应先进行零杆的判断，这样可以简化计算。零杆判 断的方法：
FN1
不共线的两杆结点，当无 ▲ 两杆节点：
荷载作用时，则两杆内力为FN1=FN2=0。 由三杆构成的结点，有两杆 ▲ 三杆节点：
平面体系的几何组成分析
1. 基本概念： 几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系、自由度、 约束 2. 几何不变体系的组成规律 3.灵活运用组成规律分析体系的几何不变性
几何不变体系：不考虑材料的应变，在任意荷
载作用下，几何形状和位置保持不变的体系。 几何可变体系： 不考虑材料的应变，在微小荷 载作用下，不能保持原有几何形状和位置的体 系。
规律 2
三刚片的组成规则：
将链杆看 成刚片
规律 3
三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相联， 则组成的体系是几何不变体系且无多余约束。
两根链杆组成 的虚铰替换铰
二元体规则：
二元体的概念：由两根不共线的链杆联结一 个新结点的装置称为二元体。
二元体
去掉二元体 增加二元体
规律 4
在一个体系上，增加或去掉二元体，体系的 几何组成不变。
FP3
f
B
xk
L1 L
请简述几何不变体系的俩刚片规则。
请简述几何不变体系的俩刚片规则。
几何不变体系的俩刚片规则包括：
1、不变性原理：几何不变体系是建立在空间结构不变的物理基本法则上的，这意味着任意形变，只要不破坏原来的空间结构，就可以被视为相同的物理状态。
因此，几何不变体系的俩刚片规则保证不会存在由于形变而产生的形变变形。
2、动能原理：几何不变体系的动能原理是指，任何一种形变，要达到动能不变，就需要相应的力和位移平衡，例如，当物体进行旋转时，同时需要满足施加力和力矩的平衡状态，从而获得相应的惯性力，确保物体保持不变。
因此，几何不变体系的俩刚片规则，就是将几何空间结构和动能耦合在一起，以确保几何图形保持不变，物体能够保持动能不变，实现物体形变和动能平衡。
结构力学平面体系的几何构造分析高教书苑
高级教育
14
2.方法
§2-2 几何不变体系的组成规律
㈠计算自由度法
m—刚片总数； g—单刚结点总数；
高级教育
30
§2-3 平面杆件体系的计算自由度
例2-3-4 求图示体系的计算自由度。
解：
m 2 g 1 h 1 b 5
I A II
W 3 2 (31 2 1 5)
6 10 4
1
3
2
45
例2-3-5 求图示体系的计算自由度。
A
1
B
解：
j 5 b 10
2 34 5
W 2 5 10 0
四、约束（联系）
凡是能减少体系自由度的装置就称为约束。
约束
非多余约束：能真正减少体系自由度的约束。 多余约束：加上此约束体系的自由度并不因此而减少。
1）链杆约束
①单链杆约束（连接两个点的链杆）
结论：一根单链杆可减少一个自由度相当于一个约束或联系。
②复链杆约束（连接两个以上点的链杆） 结论：连接n个点的复链杆相当于（2n-3）根单链杆的作用。
21
§2-2 几何不变体系的组成规律
例2-2-1 试分析图示体系的几何构造。
解：
A
3
6
I
B
1 II
III
2C
5
4
刚片I、 II用链杆1、2相连， （瞬铰A)；
刚片I、 III用链杆3、4相连， （瞬铰B)；
刚片II、III用链杆5、6相连， （瞬铰C)。
结构力学(第二章)
刚片1
二元体
第二章
例2-5： 1 2
平面体系的机动分析
刚片1 二元体
二元体
§2-2 几何不变体系的组成规律
3
二元体
地基作为刚片2
没有多余约束的几何不变体系
连接n个刚片的复铰，
相当于n-1个单铰。
还有5个自由度
第二章
（4）刚结点
平面体系的机动分析
一个刚结点能减 少三个自由度，相 当于三个约束。
用刚节点连接
还有3个自由度 相当于2个刚节点
连接n个刚片的刚结点？
第二章
平面体系的机动分析
=3m-(2h+r)=2j-(b+r)
第二章
平面体系的机动分析
第二章
规律1：一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三 个铰不在一条直线上，则组成几何不变体 系，并且没有多余约束。
第二章
平面体系的机动分析
§2-2 几何不变体系的组成规律
二元体 两根不在一条直线上的 链杆用一个铰连接后，称 为二元体。 规律1还可以这样叙述： 在一个体系上加上或去掉一个二元体，是不会
改变体系原来性质的。
第二章
（1）点的自由度
Y
平面体系的机动分析
x A
y
X
点在平面内的自由度为： 2
第二章
（2）刚片的自由度
平面体系的机动分析
刚片——就是几何尺寸和形状都不变的平面刚体
由于我们在讨论体系的几何构造时是不考虑材料变形的， 因此我们可以把一根梁、一根柱、一根链杆甚至体系中已被确定 为几何不变的部分看作是一个刚片。 Y
2.2平面几何不变体系的组成规律 结构力学
（瞬铰）
二、三刚片规则
三个刚片相连
用不在一条直线上的三个铰两两相连。
将支链杆 看成刚片
三、二元体规则
在一个刚片上增加一个二元体仍为几何不变体系。
二元体
由两根不共线的链杆连接一个 新结点的装置。
（简单装配格式）
▲推广：在一个已知体系上，依次增加或去掉 二元体，不影响原体系的几何组成性 质。（分析复杂体系很有用）
学习情境二 结构的几何组成分析
学习单元 二 平面几何不变体系的组成规律
学习情境二 结构的几何组成分析
2.2.1 两刚片规则
本
2.2.2 三刚片规则
单 元
2.2.3 二元体规则
内
容
2.2.4 瞬变体系
2.2.5 常变体系
一、两刚片规则
1. 两个刚片相连
两个刚片用一个铰和一个不通过铰的链杆相连。 （或不全交于一点也不全平行的三链杆）
1. 三铰共线
三、 瞬变体系
（约束数量够，但位置不对。）
本来是几何可变体系，经微小位移后又成为几何不变的体系。
P α
N=P/2sinα α→0 N→∞
虽然经过微小位移以后变成几何不变体系，但体系会产生很大的内 力，不能作为实用的结构。
2. 三杆平行
三、 瞬变体系
（约束数量够，但位置不对。）
2. 三杆平行且不等长
Δ Δ Δ
3. 三杆共点
三、 瞬变体系
（约束数量够，但位置不对。）
三杆延长线交于一点
三、 常变体系
1. 三杆平行
如果一个几何可变体系，可以发生大位移，则这 样的体系，称为常变体系。
三链杆平行且等长
三、 常变体系
2. 三杆共点
2-2 平面杆件体系的基本组成规律
§2-2 几何不变体系的组成规律1. 教学要求熟练掌握几何不变体系的三条基本组成规律。
2. 本节目录•1. 二元体法则•2. 两刚片法则•3. 三刚片法则3. 参考章节《结构力学教程(Ⅰ)》,pp. 22-28。
2.2.1 二元体法则结论1：一刚片与一结点用两根不共线的链杆相连组成的体系内部几何不变且无多余约束。
我们把两根不共线的链杆联接一个新结点的装置称为二元体。
由前面的分析可知，不在同一直线上的两根链杆是一个点的必要约束，能使点的自由度为零。
所以体系中增加一个点的同时再增加两个交于该点的两根不共线的链杆，不会改变原体系的自由度。
由此得到结论：★在一个已知体系中增加或减去二元体，不改变原体系的几何性质。
这个结论称为二元体规则。
图2-7分析：约束对象：结点 C 与刚片I约束条件：不共线的两链杆；结论：几何不变且无多余约束。
图2-7图2-8分析：两链杆共线，A 点可垂直于AB做微小移动；结论：瞬变体系。
图2-92.2.2 两刚片法则将AB看成刚片则得到：结论2（1）. 两刚片用一铰及不过该铰的一链杆相连组成几何不变体系且无多余约束。
图2-9图2-10 瞬变体系一个铰相当于不共线的两根连杆：（2）. 两刚片用不共点的三链杆相连，组成内部几何不变整体且无多余约束图2-11特殊情况：三链杆共点三链杆平行等长三链杆平行不等长图2-12 瞬变体系图2-13 常变体系图2-14 瞬变体系2.2.3 三刚片法则把AC在看成刚片则得到：结论3：三刚片用不共线的三铰两两相连组成的体系内部几何不变且无多余约束。
图2-15图2-16 三铰共线瞬变体系上述三条规律虽然表述不同，但本质相同，即三角形规律：若三个铰不共线，则铰结三角形内部几何不变且无多余约束。
几何不变体系原则
2-1几何不变体系与几何可变体系 2-2几何不变体系旳构成规律 2-3瞬变体系与常变体系 2-4例题与习题
2-1 几何不变体系与几何可变体系
——不考虑材料旳变形 在任意荷载作用下，体系旳几何 形状和位置都不会变化。
在任意荷载作用下，不论荷载多么 小，体系旳几何形状都有可能变化。
刚片Ⅱ
刚片Ⅰ
刚片Ⅲ
2-1几何不变体系与几何可变体系
自由度：拟定体系位置所需旳独立坐标数
y
y1
o
x1
x
y
y1
φ
o
x1
x
约束：一种降低自由度旳装置
自由度：2
自由度：1
自由度：0
2-1几何不变体系与几何可变体系
常见约束 1 链杆：两端用铰与其他物体相连旳刚片, 能够是直杆、折杆、曲杆； 作用：一种支链杆能够减 少一种自由度。
例
解 去掉二元体。
例 A
解 ■去掉二元体。 ■从A点开始增长二元体。
可变体系， 少一种约束。
A
几何不变体系, 没有多出约束。
2-4 例题与习题
例 C
例 D
AB 解
■去掉两个二元体。 ■从C、D两点开始增 长二元体。
几何不变, 有1个多 出约束。
解
■折杆能够看成连接 两个端点旳支链杆。 ■从上面去掉两个二 元体。
在任意荷载作用下，不论荷载多么 小，体系旳位置都有可能变化。
2-1几何不变体系与几何可变体系
几何不变体系：不考虑材料旳弹性变形，构造在任意荷载 作用下，其几何形状和位置都不能变化。
几何可变体系：不考虑材料旳弹性变形，尽管构造受到很小 旳作用力，其几何形状或位置都可能变化。
三刚片组成几何不变体系的规则是
三刚片组成几何不变体系的规则是引言三刚片是指由三个刚体构成的刚体系统，它们通过转动关节相互连接。
在机械工程和刚体力学中，研究三刚片组成的几何不变体系的规则十分重要。
本文将详细介绍三刚片组成几何不变体系的规则，以及它在工程设计和机器人学等领域中的应用。
一、三刚片的定义及基本概念三刚片是由三个刚体构成的刚体系统，在系统中，每个刚体以一个固定点为轴心进行转动。
我们可以通过规定三个刚体之间的转动关系来描述三刚片的几何形状。
三刚片的基本概念包括以下几个方面： - 刚体：刚体是指物体的形状和大小在运动过程中不发生变化的物体。
- 转动关节：转动关节是刚体之间连接的关节，它允许刚体绕着特定轴心进行转动。
- 角度：角度是描述刚体之间相对位置的一种方式，在三刚片中，我们通常使用角度来表示转动关节的位置。
二、三刚片组成几何不变体系的规则三刚片组成的几何不变体系，是指在三刚片通过转动关节相互连接，并且满足一定规则的情况下，形成的具有几何不变性质的体系。
三刚片组成几何不变体系的规则如下： 1. 三个刚体的转动关节必须构成闭合的几何形状，通常是一个三角形。
2. 三个转动关节的角度之和必须等于360度或者2π弧度。
3. 三个转动关节的角度不能同时为0度或者2π弧度，否则将导致刚体系统无法移动。
4. 三个转动关节的角度不能同时为180度或者π弧度，否则将导致刚体系统无法保持稳定。
基于上述规则，我们可以构造出各种不同形状和结构的三刚片组成几何不变体系。
例如，当三个转动关节的角度分别为120度、120度和120度时，我们可以得到一个等边三角形结构的三刚片组成几何不变体系。
同样地，当三个转动关节的角度分别为90度、135度和135度时，我们可以得到一个等腰直角三角形结构的三刚片组成几何不变体系。
三、三刚片几何不变体系的应用三刚片组成几何不变体系在工程设计和机器人学等领域中具有广泛的应用。
在工程设计中，三刚片几何不变体系常用于设计复杂的机械结构，例如变形机构和运动传输系统。
结构力学第二章 平面体系的几何组成分析
2 3 固定一个结点的装配格式简单装配格式
B
I
C
A
A
II
II
固定一个刚片的装配格式
3
3
B
I
B C 12 I
C 联合装配格式
A
II
III
固定两个刚片的装配格式
B
I C 复合装配格式
29/73
2-2 平面几何不变体系的组成规律 四、体系的装配 多次应用上述基本组成规律或基本装配格式，可以组成各 种各样的几何不变且无多余约束的体系。 装配的过程通常有两种： 1 从基础出发进行装配
x
一个链杆相当于1个约束
若用数学表达式，则应满足以下条件： xB xA 2 yB yA 2 l2
4个坐标参数必须受到上述条件的限制，故只有3个独立运动 几何参数。
14/73
2-1 几何构造分析的几个概念 五、多余约束
如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此 而减少，这种约束称为多余约束。
二、刚片
在几何组成分析中，可能遇到各种各样的平面物体，不论其具 体形状如何，凡本身为几何不变者，则均可把它看作为刚片。
6
4 2
5 3
1
5/73
2-1 几何构造分析的几个概念 三、自由度
y A'
A Dx
O
x
平面内一点有两种独立运动方式 (两个坐标x, y可以独立地改变)
一点在平面内有两个自由度
Dy Dy
A
II B
3
I
C
II
B 12
A
3
I
C
几何不变 无多余约束
几何不变 无多余约束
规律3 两个刚片用三个链杆相连，且三链杆不交于同一点，则 组成几何不变的整体，并且没有多余约束。
几何不变体系的简单组成规则
几何不变体系的简单组成规则1.平移：平移是最基本的几何变换之一，它将图形的每个点都沿着相同方向和距离移动。
在几何不变体系中，平移被定义为一个不变操作，即它不会改变图形的任何性质。
2.旋转：旋转是将图形围绕一个固定点旋转一定角度的变换。
在几何不变体系中，旋转也是一个不变操作，即它保持图形的性质不变。
旋转可以通过矩阵运算或使用复数表示来描述。
3.缩放：缩放是通过改变图形的大小来进行的几何变换。
在几何不变体系中，缩放也是一个不变操作。
缩放可以被定义为一个矩阵运算，其中图形的每个顶点都乘以一个比例因子。
4.对称：对称是通过翻转图形的一部分来进行的几何变换。
在几何不变体系中，对称也是一个不变操作。
对称可以沿着一个直线或一个点进行。
5.直线和圆：直线和圆是几何不变体系中最基本的图形元素。
直线可以通过两个点确定，而圆可以通过一个点和一个距离确定。
在几何不变体系中，直线和圆的性质是不变的，即它们保持不变。
6.平行：平行是直线之间没有交点的关系。
在几何不变体系中，平行性质是不变的，即无论如何进行几何变换，平行直线仍然保持平行。
7.垂直：垂直是直线之间成90度角的关系。
在几何不变体系中，垂直性质也是不变的，即无论如何进行几何变换，垂直直线仍然保持垂直。
8.角度：角度描述了两条线之间的旋转关系。
在几何不变体系中，角度保持不变，即无论如何进行几何变换，两条线之间的角度不会改变。
9.面积和体积：面积和体积描述了图形和物体的大小。
在几何不变体系中，面积和体积也是不变的，即无论如何进行几何变换，图形和物体的面积和体积保持不变。
10.拓扑性质：拓扑性质描述了空间中点、线、面之间的连接关系。
在几何不变体系中，拓扑性质是不变的，即无论如何进行几何变换，点、线、面之间的连接关系保持不变。
总结起来，几何不变体系由一系列的组成规则组成，例如平移、旋转、缩放、对称等操作，以及基本的几何图形元素如直线、圆等，以及几何性质如平行、垂直、角度、面积和体积、拓扑性质等。
结构力学几何不变体系的组成规则说课稿【施工类优秀文档首发】
说课稿各位评委：下午好！我叫XXX，来自XXX。
今天我说课的课题是《几何不变体系的组成规则》。
下面我将围绕本节课“教什么”、“怎样教”以及“为什么这样教”三个问题，从教材分析、教学目标分析、教学重难点分析、教法与学法、课堂设计五方面逐一加以分析和说明。
一、教材分析（一）教材的地位和作用《几何不变体系的组成规则》是结构力学中第二章第三节的内容，选用的是文国治主编的重庆大学的版本，这个版本适合三本院校的教学要求，理论体系合理，突出工程应用，淡化过程推导，图文并茂。
杆件结构是由杆件组成的体系，在不计材料应变的条件下，若体系的形状或各杆的相对位置能保持不变的，称为几何不变体系。
如果体系的形状或者各杆的相对位置可以改变的，则称为几何可变体系。
在实际工程中，各种结构都要承受一定的荷载，但可变体系不能担负这样的工作，所以结构必须采用几何不变体系。
因此，每个结构设计者都应当具备几何组成分析的知识，掌握结构的组成规律，从而避免在实际结构中出现几何可变的体系。
这一节的学习为之后的学习奠定了基础，通过学习，可以了解体系中各个部分的相互关系，从而改善和提高结构的受力性能，以及可以有条不紊地计算结构的内力，是必须牢固掌握的重要规则。
（二）学情分析存在问题：课程难度较大。
学生学习主动性较差，对教师和教材的依赖较大。
解决办法：让学生了解课程的重要性。
选择合理的教学内容，贯彻理论够用和工程实践相结合的原则。
采用灵活的教学的方法。
二、教学目标分析知识目标：了解和掌握结构的基本组成规律和合理组成形式，判别体系是否几何不变。
能力目标：研究几何不变体系的组成规律。
正确区分各类体系，选择合理的结构形式、分析结构各部分之间的相互关系。
素质目标：培养学生抽象、推理、分析和综合的逻辑思维能力。
三、重难点分析重点：组成几何不变体系的条件以及三个基本组成规则。
难点：三个基本组成规则的灵活运用四、教法与学法分析（一）学法指导学生是课堂教学的主体，学是中心，会学是目的，因此在教学中要不断指导学生学习。