绝对值的性质及运用

基本要求：借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值

略高要求：会利用绝对值的知识解决简单的化简问题

【知识点整理】

绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.

②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.

④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值：

①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩

②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.

绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.

例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =

绝对值的其它重要性质：

（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；

（2）若a b =，则a b =或a b =-；

（3）ab a b =⋅；a a b b

=(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；

a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．

a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离．

【例题精讲】

模块一、绝对值的性质

【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ）

A ．±2

B ．2

C ．-2

D ．4

绝对值

①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．

A ．②④⑤⑥

B ．③⑤

C ．③④⑤

D ．③⑤⑥

【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ）

A ．2

B ．-2

C ．±2

D ．12

±

【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ）

A ．11a

B ．-11a

C ．-3a

D ．3a

【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）

A ．1，0

B ．正数

C ．非正数

D ．非负数

【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）

A ．7或-7

B ．7或3

C ．3或-3

D ．-7或-3

【例7】若1-=x x

，则x 是（ ）

A ．正数

B ．负数

C ．非负数

D ．非正数

【例8】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）

A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞a

B ．1+a ＞a ＞1-b ＞-b

C ．1+a ＞1-b ＞a ＞-b

D ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a

【例9】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）

A ．2

B ．2或3

C ．4

D ．2或4

【例10】a ＜0，ab ＜0，计算|b -a +1|-|a -b -5|，结果为（ ）

A ．6

B ．-4

C ．-2a +2b +6

D ．2a-2b-6

A ．y ＞0，x ＜0

B ．y ＜0，x ＞0

C ．y ＜0，x ＜0

D ．x =0，y ≥0或y =0，x ≤0

【例12】已知：x ＜0＜z ，xy ＞0，且|y |＞|z |＞|x |，那么|x +z |+|y +z |-|x -y |的值（ ）

A ．是正数

B ．是负数

C ．是零

D ．不能确定符号

【巩固】2a b c d +++=已知、、、都是整数，且a+b b+c c+d d+a ，则=a+d 。

【例15】若x ＜-2，则|1-|1+x||=______

若|a|=-a ，则|a-1|-|a-2|= ________

【例17】若|a |+a =0，|ab |=ab ，|c |-c =0，化简：|b |-|a+b |-|c -b |+|a -c |= ________

【例18】已知数,,a b c 的大小关系如图所示，则下列各式： ①()0b a c ++->；②0)(>+--c b a ；③1=++c

c b b a a ；④0>-a bc ；

⑤b c a b c b a 2-=-++--．其中正确的有 ．（请填写番号）

当a 、b 、c 中有2个负数时，则M = ________；

当a 、b 、c 都是负数时，M =__________ ．

【巩固】已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求

a b c abc a b c abc

+++的值

c

a 0b