2019-2020年高中数学4.3平面坐标系中几种常见变换4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换同步测控苏教版选修

2019-2020年高中数学4.3平面坐标系中几种常见变换4.3.2平面直角坐

标系中的伸缩变换同步测控苏教版选修

同步测控

我夯基，我达标

1.已知同一直线上三点A 、B 、C ，其中B 是AC 中点，若向着x 轴按照伸缩系数k ＝2进行伸缩变换后，对于它们的对应点A′、B′、C′有以下说法：①仍在同一直线上；②不在同一直线上；③B′是A′C′的中点；④B′是A′C′的三等分点；⑤A′、B′、C′有可能重合．其中正确的说法是( )

A ．②

B ．①③

C ．①④

D ．⑤

解析：由于在伸缩变换作用下，点的共线性质保持不变，所以②不在同一直线上不正确；根据教材中的例2可知B′仍是A′C′的中点．故选B ．

答案：B

2.在同一平面坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C 变为曲线2x′2+8y′2=0，则曲线C 的方

程为( )

A.25x 2+36y 2=0

B.9x 2+100y 2=0

C.10x+24y=0

D.

解析：将坐标直接代入新方程，即可得原来的曲线方程．

将直接代入2x′2+8y′2＝０，得2×(5x )2+8×(3y)2＝０，即25x 2+36y 2＝０为所求曲线C 的

方程.

答案：Ａ

3.直线y=x 按伸缩系数k ＝2向着y 轴进行伸缩变换后的方程为_______________

解析：设P(x,y)是变换前直线上的点，P′(x′,y′)是变换后曲线上的点，由题意,知即

⎪⎩⎪⎨⎧'='=.

,2y y x x 代入y=x 中，得.所以直线y=x 经过伸缩变换后的方程为y=x ． 答案：y=x

4.直线y=x 按照伸缩系数k ＝2向着x 轴进行伸缩变换后的方程为___________

解析：设P(x,y)是变换前直线上的点，P′(x′,y′)是变换后曲线上的点，由题意,知 即⎪⎩

⎪⎨⎧'='=.2,y y x x 代入y=x 中，得，即y′=x′．所以直线y=x 经过伸缩变换后的方程为y=x ． 答案：y=x

5.下图是风筝的图案．

（1）写出图中所标各个顶点的坐标.

（2）纵坐标保持不变，横坐标分别乘2 ，所得各点的坐标分别是什么？所得图案与原来图案相比有什么变化？

（3）横坐标保持不变，纵坐标分别乘－2 ，所得各点的坐标分别是什么？所得图案与原来图案相比有什么变化？

思路分析：在坐标纸内,每格表示1个单位长度．

解：（1）A （0,4）、B （－3,1）、C （-3，-1）、D （0，-2）、E （3，-1）、F （3,1).

（2）A （0,4）、B （-6,1）、C （-6，-1）、D （0，-2）、E （6，-1）、F （6,1）;所得图案在x 轴方向上扩大到原来的2 倍，y 轴方向不变.

（3）A （0，-8）、B （-3，-2）、C （-3,2）、D （0,4）、E （3,2）、F （3，-2）;所得图案在y 轴方向上扩大到原来的-2倍,x 轴方向不变．

6.在平面直角坐标中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'='=y y x x 3

1,21后的图形．

（1）5x+2y ＝０；

（2）x 2+y 2=１.

思路分析：根据伸缩变换公式，分清新旧坐标代入即可．

解：由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'='=,3

1,21y y x x 得到 （1）将代入5x+2y ＝０中，得到5x′+3y′＝０,

即经过伸缩变换后，直线仍然是直线．

（2）将代入x 2+y 2＝１，得到91

412

2y x '+'=1, 即经过伸缩变换后，圆变成了椭圆．

我综合，我发展

7.已知f 1(x)=cosx,f 2(x)=cos ωx(ω＞０），f 2(x)的图象可以看作是把f 1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的倍（纵坐标不变）而得到的，则ω为( )

A. B ．2 C.3 D.

解析：本题直接考查伸缩变换规律：函数y=cos ωx,x∈R （其中ω＞０，ω≠１）的图象，可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标缩短（当ω＞１时）或伸长（当０＜ω＜１时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到的．

答案：Ｃ

8.为了得到函数y=2sin(),x∈R 的图象，只需把函数y=2sinx,x∈R 的图象上所有的点( )

A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）

B ．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）

C.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

D.向右移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

解析：将y=2sinx 向左平移个单位得到y=2sin(x+)的图象，将y=2sin(x+)图象上各点横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），则得到y=2sin(x+)的图象，故选Ｃ．

答案：Ｃ

9.圆x 2+(y-1)2＝１经过变换后变为4x′2+y′2＝１，这种变换为( ) A. B. C.⎪⎩⎪⎨⎧-='='1

21y y x x D.

解析：4x′2+y′2＝１,即(2x′)2+y′2＝１，令2x′=x,y′=y -1,代入方程4x′2+y′2

＝１中，可得x 2+(y-1)2＝１．故所求的变换为⎪⎩⎪⎨⎧-='='.

1,21y y x x 答案：Ｃ

10.在同一平面直角坐标系中，将曲线x 2-36y 2-8x ＋12＝0变成曲线x′2-y′2-4x′+3=0，求

满足图象变换的伸缩变换．

解：x 2-36y 2-8x ＋12＝0

可化为()2-9y 2=1. ①

x′2-y′2-4x′+3=0可化为（x′-2）2-y′2=1. ②

比较①②可得x′-2=,y′=3y ． 故所求的伸缩变换为⎪⎩⎪⎨⎧'='=.

3,21y y x x

我创新，我超越

11.如果不改变坐标轴的方向和长度单位，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴．设原坐标系xOy ，平移后新坐标系x′Oy′，新坐标系的坐标原点在原坐标中的坐标是O′(h,k)，在坐标平面内的任意一点，都有两个坐标，它们有如下平移公式：在新旧坐标变换、方程变换时，可选择使用．试用上述移轴思想做下面的题目：

平移坐标轴，把原点平移到O′(2,-4)，则曲线y 2-2x+8y+20=0在新坐标系中的方程为

______________．

解析：将移轴公式代入已知方程,得(y′-4)2-2(x′+2)+8(y′-4)+20=0，整理化简得

y′2=2x′．

答案：y′2=2x′．

2019-2020年高中数学4.3平面坐标系中几种常见变换单元测试苏教版选

修

1.将图形F 按向量a ＝（h ，k ）（其中h ＞０，k ＞０）平移，就是将图形F( )

A.向x 轴的正方向平移h 个单位长度，同时向y 轴的正方向平移k 个单位长度

B.向x 轴的负方向平移h 个单位长度，同时向y 轴的负方向平移k 个单位长度