2019-2020学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 命题“f(x)>0(x ∈R)恒成立”的否定是( )

A. ∀x ∈R ，f(x)<0

B. ∀x ∈R ，f(x)≤0

C. ∃x ∈R ，f(x)<0

D. ∃x ∈R ，f(x)≤0

2. 已知全集U =R ，集合M ={y|y =√4−x 2,x ∈R}，N ={x|2x−1≥1,x ∈R}，则M ∩(∁U N)等于

( )

A. [−2,2]

B. [−2,1)

C. [1,4]

D. [0,1) 3. 已知a >b >0，c >1，则下列各式成立的是( )

A. sina >sinb

B. c a >c b

C. a c

D.

c−1b

<

c−1a

4. 已知：f(x)={

2x−2 (x ≤2)

log 2(x −1) (x >2)

， 则f [f (5)] 等于( )． A. −2 B. −1 C. 1 D. 2

5. 如图，正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，沿

AE,EF,FA 将正方形折起，使 B,C,D 重合于点O ，构成四面体 A −OEF ，则四面体 A −OEF 的体积为( )

A. 1

3

B. √23

C. 1

2

D.

√56

6. 设f(x)=x 2−4x(x ∈R)，则f(x)>0的一个必要而不充分的条件是( )

A. x <0

B. x <0或x >4

C. |x −1|>1

D. |x −2|>3

7. 已知平面α、β、γ，则下列命题中正确的是( )

A. α⊥β，α∩β=a ，a ⊥b ，则b ⊥α

B. α⊥β，β⊥γ，则α//γ

C. α∩β=a ，β∩γ=b ，α⊥β，则a ⊥b

D. α//β，β⊥γ，则α⊥γ

8. 已知x >0，y >0，2x +3y +3xy =6，则2x +3y 的最小值是( )

A. 3

B. 4

C. 9

2

D. 11

2

9. 如果直线m//平面α，直线n ⊂平面α，则下列说法正确的为( )

A. 有且只有一个平面β，使得m ⊥β，且n ⊂β

B. 有无数个平面β，使得m ⊥β，且n ⊂β

C. 不存在平面β，使得m⊥β，且n⊂β

D. 至多有一个平面β，使得m⊥β，且n⊂β

10.若f(x)=e x

x

，1

A. f(a)>f(b)

B. f(a)=f(b)

C. f(a)

D. f(a)f(b)<1

11.在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1−y)，若不等式成立，则

实数a的取值范围是()

A. −1

B. 0

C. −1

2

2

D. −3

2

2

12.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的六个顶点都在同一球面上，且AB=3，BC=5，AC=7，AA1=2

则该球的表面积为()

A. 83π

B. 208

3π C. 796

3

π D. 20π

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.如图，圆锥的底面直径AB=2，母线长VA=3，点C在母线VB上，且VC=1，

则该圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角等于______ 的扇形，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是_______．

14.已知实数x,y满足y=22−log2x，则2

x +1

y

的最小值为___________．

15.函数f(x)=log2(x2−ax+3a)在[2,+∞)上是增函数，则a的取值范围是______ ．

16.已知正四面体ABCD的外接球的表面积为16π，则该四面体的棱长为．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.已知幂函数f(x)=x(m2+m)−1(m∈N∗)，经过点(2,√2)，试确定m的值，并求满足条件f(2−a)>

f(a−1)的实数a的取值范围．

18.解关于x的不等式：ax

x+1

<1．

19.如图，直角梯形ABCD与等腰真角三角形ABE所在的平面互相垂直．∠AEB=π

，AB//CD，AB⊥

2 BC，AB=2CD=2BC．

(1)求证：AB⊥DE；

(2)求证：平面AED⊥平面BCE；

(3)线段EA上是否存在点F，使EC//平面FBD？若存在，求出EF

的值；若不存在，说明理由．

EA

20.某企业拟在2014年度进行一系列促销活动，已知其产品年销量x万件与年促销费用t万元之间

满足3−x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件．已知2014年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．

(Ⅰ)将2014年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；

(Ⅱ)该企业2014年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？

(注：利润=销售收入−生产成本−促销费，生产成本=固定费用+生产费用)