数据库系统概论第4章补充练习答案

• （3） F={AB→C,D→EG,C→A,BE→C,BC→D,CG→BD,ACD →B,CE→AG} 1.F1={AB→C,D→E,D->G,C→A,BE→C,BC→D,
CG→B, CG→D,ACD→B,CE→A, CE→G} 2.F2={AB→C,D→E,D->G,C→A,BE→C,
BC→D,CG->D,ACD→B, CE→G} 或者F2={AB→C,D→E,D->G,C→A,BE→C, BC→D,CG->B,CE→G}
•G=F1-(CG→B),对G的(CG)+={CGDAB},B∈(CG)+,所以CG→B 要去掉；同理，CE→A 可去掉；
•所以，F2＝{AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D, CG→D,ACD→B, CE→G}
•（3）左边最简 • F1＝{AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→B, •CG→D,ACD→B,CE→A,CE→G} •D→E,D→G,C→A 左边是单属性，不能化简。 •对AB→C化简 •对F2，(B)+={B},C!∈(B)+,所以A不能去掉；同理，B不能去掉； 所以，AB→C不能化简。 •同理，BE→C,BC→D, CG→D, CE→G 都不能化简。 •对ACD→B化简 •对F2，(CD)+={CDEGAB},B∈(CD)+,所以A可以去掉; •F2＝{AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D, CG→D,ACD→B, CE→G} •对F2，(D)+={DEG},B!∈(D)+,所以C不能去掉；同理，D不能 去掉。 •所以，ACD→B化简为CD→B。
• F1
＝
{AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→
B,
•CG→D,ACD→B,CE→A,CE→G}
•因此，
•Fmin
＝
{AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,
CG→D, CD→B, CE→G}
•注意：由F求Fmin ，结果不是唯一的，不同的 化简次序可能得到不同的结果。如设F＝ {A→B,B→C,A→C, B→A}; 先去掉B→C, Fmin ＝{ A→B, A→C,B→A}；先去掉A→C, Fmin＝ { A→B,B→C, B→A}。
• （2）U=ABCDEG, F={ B→CD,DE→A, E→C, C→A, BD→AC } 1. Fmin={B->C,B→D, E→C, C→A} 2.分组U1=BCD，U2=EC U3=CA，U0=G 3.吸收，得U2,U3,U4 4.检查码 F2={EC,E->C}F3={CA,C->A}F4={BCD,B>D,B->D}, F4=(BEG. ф)
• 补充习题 • 1. 设关系模式
R=(U,F),U=ABCDEG,F={AB→D,DB→EG,AC→E,B E→A, A→B }，求所有候选码。(AC,BCE,BCD) • 2. 设关系模式R=(U,F),U=ABCDEG,求下列函数依 赖集F等价的最小函数依赖集Fmin. • （1）F={AB→CD,A→BE,D→E,B→D}
1.F1={AB->C,AB->D,A->B,A->E,D->E,B->D} 2.F2={AB->C,A->B, D->E,B->D} 3.Fmin={A->C,A->B,D->E,B->D} • （2）F={ABC→D, AC→E, E→AB,B→D,CD→B} 1.F1={ABC→D, AC→E, E→A, E→B,B→D,CD→B} 2.F2={AC→E, E→A, E→B,B→D,CD→B} 3.Fmin={AC→E, E→A, E→B,B→D,CD→B}
• （3）R1是BCNF，但R2中A→C不合BCNF要求，分 解R2：R3 (AC, A→C), R4(ADE, ф))，R3、R4都是 BCNF。
• 得到R的无损连接的BCNF分解ρ={R1(AB, A→B), R3(AC, A→C),R4(ADE, ф)}
• （2）分组：U1＝AC, U2＝DC,U3＝CB, U0=E 。
• （3）吸收：U1,U2,U3互不包含，无需吸收。
• 得到R的一个保持函数依赖的3NF分解
• ρ={R0(E,ф), R1(AC, A→C),R2(DC,D→C),R3(CB,C→B)}
• （4）检查码：ADE不在Fmin右边出现， (ADE)+=ADECB=U,所以ADE是R的唯一的码，不 在U1＝AC, U2＝DC,U3＝CB, U0=E的任何一个中， 所以增加R4(ADE,ф),但U4=ADE要吸收U0=E,所以 ρ={R1(AC, A→C),R2(DC,D→C),R3(CB,C→B), R4(ADE,ф)}是保持函数依赖且无损连接的3NF分解。
•所有这样的函数依赖处理完成后，F2的函数依赖左边都最简化。 •最终得到的F2是一个最小函数依赖集Fmin 。
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•例 4b.4 设 F={ AB→C,D→EG, C→A,BE→C,BC→D, CG→BD,ACD→B,CE→AG}，求其Fmin。 •解： •（1）求最简式 • F1＝ {AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→B,CG→D,ACD →B,CE→A,CE→G} •（2）除冗余函数依赖 •G=F1-(AB→C),对G的(AB)+={AB},C!∈(AB)+,所以AB→C不能 去掉； •同 理 D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D, CG→D,ACD→B, CE→G都不能去掉；
•1．函数依赖集在属性子集上的投影
•定义4b.9 设R(U,F)是一个关系模式。Ui是U的一个属 性子集，Fi={X→Y|(X→Y)∈F+∧X是Ui的子集∧Y是Ui 的子集} 称为F在Ui上的投影，记作F(Ui)。 •例 4b.5 设 R(U,F) 是 一 个 关 系 模 式 ， U=ABCD,
F={ A→B,C→B,BC→A, B→D}，U1=AD, U2=CBD,求 F(U1)，F(U2)。 •解： •(1){A} + ={ABD},所以A→D∈F+,所以A→D∈F(U1)； {D}+={D},所以D→A!∈F+，所以D→A!∈F(U1)；因此 F(U1)={ A→D}。 •(2) C→B∈F, B→D∈F, C→D被{C→B,B→D}所藴含，
CBD能形成的其他非平凡又不被{C→B,B→D}所藴含 的函数依赖都不属于F+，所以F(U2)={C→B,B→D}。
• 5． 得到无损连接和函数依赖保持的3NF分解算法
• 算法4b.3
• （1）求F的最小函数依赖集Fmin • （2）分组：对Fmin中的函数依赖中左边相同的各分
为一组，设有以X1,X2, …,Xm等为相同左边的m个组， 每组中的属性组成的属性子集为U1,U2,…,Um，把不 在F中的属性单独组成一个属性子集U0。 • （3）吸收：从U0,U1,U2,…,Um中去掉被其他属性子 集所包含属性子集，得到U0,U1,U2,…,Uk，k<=m。 • （4）分解：组成分解ρ={Ri(Ui, Fi)| Fi是F在Ui的投 影，i=0,1,2,…,k}，是保持函数依赖的得到3NF的分 解。
CD→A }(BD,CD,AD,3) • （4）R4：U=ABCD, F={ A→B,B→C }(AD,1) • （5）R2：U=ABCDE, F={AB→C, BC→D, AB→E,
ABCD→DE, BED→BE}(AB,2)
• 4. 把下列关系模式分解为无损连接和保持函数 依赖的3NF：
• （1）U=ABCD, F={AB→CD,D→C, CD→B} 1.Fmin={AB->D,D->C,D->B}，码AD,AB 2.分组U1=ABD, 根据算法 后面合并成 U2=BCD 3.吸收，得U1,U2 4. ADB中包含了码 F1={ABD,AB->D,D->B}F2={BCD,D->B,D>C}
•定理4b.5：算法4b.4是可以终止的，且所得到的分解 是全由BCNF组成，也是无损连接的。
• 这里不作证明。
• 例4b.10 设U=ABCDE, F={ A→B,B→C,CD→B}, 求R(U,F)的无损连接的BCNF分解。
• 解：
• （1）F已是最小函数依赖集Fmin。
• （2）ADE不在右边出现，(ADE)+=ADEBC=U，所 以ADE是R的唯一的码，A→B不合BCNF要求，分 解R：R1(AB, A→B), R2(ACDE, A→C))。
• （5）形成无损连接：若ρ中各子模式的属性子集中 都无R的码，则取R的一个码X，把Rx(X, Fx)加进ρ中， ρ就是无损连接的3NF的分解；否则，ρ已是无损连 接的3NF的分解。
•定理4b.5：算法4b.3是可以终止的，且所得到的分 解是全由3NF组成，也是无损连接和函数依赖保持的。 •这里不作证明。 •例4b.9 • 设 U=ABCDE, F={AB→C,A→B,D→BC,C→B}, 求 R(U,F)的保持函数依赖且无损连接的3NF分解。 •解：（1）求Fmin •右边最简：F1={AB→C,A→B,D→B,D→C,C→B} •左 边 最 简 ： A+(F1)=ABC, 所 以 AB→C 中 B 可 去 掉 ， F2={A→C,A→B,D→B,D→C,C→B} •去 掉 冗 余 函 数 依 赖 ： {A→C, C→B}=> A→B, 所 以 A→B可去掉；{D→C,C→B}=>D→B,所以D→B可去掉； 得Fmin={A→C, D→C,C→B}。
• 5. 把下列关系模式分解为无损连接的BCNF： U=ABCD, F={A→C,B→AC, D→AC, BD→A} 1.Fmin={A→C,B→A, D→A} 2.码 BD，A->C不符合
R1={AC,A->C} R2=(ABD,B->A,D->A) B->A不符合 R3={AB,B->A} R4={BD, ф} 得到R1，R3,R4
3. {AB→C,D→E,D->G,C→A,BE→C,BC→D, CG->D,CD→B, CE→G}或者 {AB→C,D→E,D->G,C→A,BE→C,BC→D, CG->B,CD→B, CE→G}
• 3.判断并证明下列关系模式最高属于哪一级范式 • （1）R1：U=ABCD, F={AB→C,C→D }( AB,2 ) • （2）R2：U=ABCD, F={AB→C,D→A, D→B }(D,2) • （3）R3：U=ABCD, F={A→B,B→C,
•6．得到无损连接的BCNF的分解算法
•算法4b.4
•（1）求F的最小函数依赖集Fmin，令ρ={R(U, Fmin)} •（2）二项分解
•①若ρ中所有子模式都属于BCNF，则算法结束；否 则，进行②
•②若ρ中存在R不是BCNF,则在R的F中存在函数依赖 X→A, 且 X 不 是 码 ， 那 就 作 二 项 分 解 ： U1=X∪ A, R1(U1,F(U1))；U2＝U-A， R2(U2, F(U2)) •③ρ=ρ∪R1∪R2-R,转到①
•算法4b.3（求最小函数依赖集的算法）
•1)求最简式：对F中所有右边为多属性形如X→ A1A2…An的函 数依赖用X→Ai，i=1,2, …,n来代替，得到函数依赖集F1，F1全 由最简式组成。
•2）消除冗余函数依赖：对所有(X→A)∈F1逐个做①令G= F1(X→A)；②对G求X+；③若A∈X+，则从F1中去掉X→A，否则 不去掉；最终得到没有冗余函数依赖的函数依赖集F2。 •3 左 边 最 简 化 ： 对 F2 中 所 有 左 边 为 多 属 性 的 形 如 X(= A1A2…An)→A的函数依赖，①i=1； ②若i>n则结束本函数依 赖的处理，转入对F2中下一个这样的函数依赖的处理；否则X=X-Ai；③若X-为空，则结束本函数依赖的处理，转入对F2中 下一个这样的函数依赖的处理；否则，对F2求X-+；④若A∈X+，则F2= F2-(X→A)∪(X-→A),X=X-，i=i+1，转②；否则， i=i+1，转②。