数学思维方法

第一章数学思想方法概述

1．数学思维方法将思维、数学思维、数学发展中的发现、发明、创新的思维过程作为自己的研究对象。

2．思维是人脑借助于语言对客观事物的本质及其规律的间接与概括的反映。3．思维的特征：方向性，概括性、间接性

4．数学思想方法的两个源头：欧几里得《几何原本》和古代中国《九章算术》5．数学思想方法的发展概述：

①从算术到代数是数学思想方法的一次重大发展。

②从综合几何到代数几何是数学思想的一次质的飞跃。

③从常量数学到变量数学是数学思想方法的一次根本变革。

④从必然数学到或然数学是数学思想方法的一次深刻变革。

⑤从明晰数学到模糊数学是数学思想方法的一次辩证演变

6．数学思维：人脑在和数学对象交互作用的过程中，运用特殊的数学符号语言以抽象和概括为特点，对客观事物按照数学自身的形式或规律做出的间接概括的反映。

数学思维是由数学对象，并且主要是由数学问题推动发展的。

数学思维的过程就是不断提出问题和解决问题的过程。

7．数学思维简单地分为：具体实践问题的数学化思维，具体数学问题的解题思维8．数学思维的特征：高度抽象性，形式化的严谨性，表现方式的多样性

9．数学思维方法是由数学的符号、概念、语言，按照数学特定的规律、法则，运用数学思维在数学领域中形成的一种方法。

10．数学思维方法分类:

①按照使用范围不同：宏观数学方法,微观数学方法

②按照逻辑形式不同：逻辑思维方法，非逻辑思维方法

③按照解决问题的方式不同：程式化思维方法，发现性思维方法（带有个人特性，

主观色彩，独立特性）

④按照阶段或数学分支领域的不同，可以分为不同的带有专业特征的思维方法11．数学思维方法的研究和发展与以下三个方面相联系——

①数学思维方法研究紧紧跟随和运用数学方法论的内容

②数学思维方法的教学，不仅强调数学方法具有的方法论的意义，还强调说明在

这些数学方法中，数学思维活动的积极意义

③数学思维方法的教育内容，更应该与非逻辑思维、创造性思维相联系

12．数学思维方法的层次性：哲学，一般方法论，数学某分支，初等数学

13．在现代数学教育中，数学思维的教学有三方面的意义：

①数学思维的教学可以培养人对数学观念、数学思想、数学理论的广泛理解。

②数学思维的教学可以使人们在处理问题是迅速抓住事物本质，从而找到解决问

题的方法。

③数学思维的教学可以使人们形成良好的思维习惯，增强人们在处理问题时的应

变能力。

14．在中小学教育中，要通过“数学常识”和“数学思维能力”的组合来培养“数学智力”

15．中小学的数学素养：懂得数学的价值，对自己的数学能力有信心，有解决数学问题的能力，学会数学交流，学会数学的思维方法。

16．从数学教育的角度分析有关数学思维方法的学习，我们应该明确一下三个方面的问题：

①数学思维方法的学习，是对一个数学专业的学习者、数学专业未来教师应有数

学能力、专业素质的培养

②数学思维方法是一个刚刚开始研究的领域，因此我们的学习过程也是一个参与

研究和讨论的过程

③数学思维方法可以使人了解数学理论发展变化中的数学家思维方式的变化，也

是对大学数学专业学习的一个反思过程。

第二章数学中几种重要的思维方法

1．算术的发展演变、符号的诞生以及算术向代数的发展表现了数学思维方式中数量形式和内容之间关系的变化与发展。

2．算术的主要内容是有关自然数、分数和小数的性质及相关的四则运算。

3．数量符号脱离了事物原有属性，是一种抽象化、数理化的符号。

4．算术解题的思维方式的关键，是把已知的数量符号运用加、减、乘、除连接起来，简历其解决问题的数学算式。

5．代数解决问题的思维方式中最关键的思想是，把未知量作为一个同已知量有相同意义的数量符号同已知量一起组成关系式，并按等量关系由符号相连列出方程，然后通过方程的恒等变换或同解变换等求出未知量的数值。

6．数学具有高度抽象性，这种抽象性以形式化为特点。

7．对于中小学的数学教育，算术向代数发展的数学思维方式的演变可以给我们提供两种启示：

①数学的形式与内容中，当我们认识到数学是一种形式的时候，更应注意这种数

学形式多反映的内容。

②数学的形式都与具体内容相关，尤其是算术与代数的学习，更应注重内容与形

式的结合。

8．在数学的思维中，最先作为思维语言符号的就是数量与几何图形，数学的发展也是以数与形作为两个最基本的研究对象

9．空间思维转变的意义：

①古希腊的思维方式，有一个从毕达哥拉斯“万物皆数”的数量思维观念向柏拉

图的“世界是由几何图形构造”的空间思维观念的转变过程

②人们的空间思维由静态转向动态发展

③空间思维与数量思维的结合，使原来空间图形具有的明显直观性和经验性的特

征开始转变，拓广了人们原有的欧几里得式的空间思维

④使代数的一些内容具有了直观的图形意义，更为重要的是使人民对代数形式所

表现的结果有了一种形象直观模型的思维追求。

10．变量数学的发展是由解析几何提供直观前提，并且由无穷小量计算方法——微积分的创立而最终完成的。

11．变量数学的研究问题大体可以分为四类：

①描述非匀速运动物体的轨迹

②求曲线在某一点的切线

③求变量（函数）的极值

④计算曲线长度、曲变形面积，曲面体体积、物体的重心及大质量物体间的引力

等。

12．变量数学思维的意义：

①变量数学的确立，使人们对世界的思考由静止物体的数学思维发展到对运动物