不定积分例题及参考答案

不定积分例题及参考答案第4章不定积分

内容概要

课后习题全解 习题4-1

1.求下列不定积分：

知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)

思路: 被积函数52

x -

=，由积分表中的公式（2）可解。

解：

53

2

2

23x dx x C -

-==-+⎰

★(2)dx

-

⎰

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1

14111

33322

23

()2

4dx x x dx x dx x dx x x C -

-

=-=-=-+⎰⎰⎰⎰

★(3)22x x dx +⎰

（）

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2

2

3

2122ln 23

x x

x

x dx dx x dx x C +=+=++⎰

⎰⎰（）

★(4)

3)x dx -

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：

3153

22

222

3)325

x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰

★★(5)422331

1

x x dx x +++⎰

思路:观察到422

223311311

x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，

分别积分。

解：4223

2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)2

2

1x dx x +⎰ 思路:注意到22222

111

1111x x x x x

+-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：22

21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ⎰

34

134（-

+-）2 思路:分项积分。 解：34

11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-

+-）2 223134

ln ||.423

x x x x C --=--++ ★(8)

23(

1dx x -+⎰

思路:分项积分。 解：

2231(

323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++⎰

⎰

★★(9)

思路=？111

7248

8

x x ++==，直接积分。

解：

715

8

88

.15

x dx x C ==+⎰

⎰

★★(10)

221

(1)dx x x +⎰

思路:裂项分项积分。 解：

222222

111111

()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x

x x x x x x =-=-=--++++⎰⎰⎰⎰ ★(11)21

1

x x

e dx e --⎰ 解：21(1)(1)(1).11

x x x x x

x

x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--⎰⎰⎰ ★★(12)3x x e dx ⎰

思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然33x

x

x

e e =

（）。 解：333.ln(3)

x x

x

x

e e dx e dx C e ==+⎰⎰

（）

（） ★★(13)2cot xdx ⎰

思路:应用三角恒等式“22

cot csc 1x x =-”。 解：22cot (csc 1)cot xdx x dx x x C =-=--+⎰⎰

★★(14)23523x x

x

dx ⋅-⋅⎰ 思路:被积函数 235222533

x x x

x

⋅-⋅=-（），积分没困难。 解：2

()2352232525.33ln 2ln 3

x

x

x

x x dx dx x C ⋅-⋅=-=-+-⎰⎰（（）） ★★(15)2cos 2

x dx ⎰ 思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。

解：2

1cos 11cos

sin .2222x x d dx x x C +==++⎰⎰ ★★(16)1

1cos 2dx x

+⎰

思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。

解：

2

21111sec tan .1cos 2222cos dx dx xdx x C x x ===++⎰⎰⎰ ★(17)cos 2cos sin x

dx x x

-⎰

思路:不难，关键知道“2

2

cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )x x x x x x x =-=+-”。

解：

cos 2(cos sin )sin cos .cos sin x

dx x x dx x x C x x =+=-+-⎰⎰

★(18)22

cos 2cos sin x

dx x x

⋅⎰ 思路:同上题方法，应用“2

2

cos 2cos sin x x x =-”，分项积分。

解：22222222cos 2cos sin 11

cos sin cos sin sin cos x x x dx dx dx x x x

x x x x -==-⋅⋅⎰⎰⎰⎰ 22csc sec cot tan .xdx xdx x x C =-=--+⎰⎰

★★(19)dx ⎰

思路:注意到被积函数

==

，应用公式(5)即可。

解：

22arcsin .dx x C ==+⎰

★★(20)21cos 1cos 2x

dx x

++⎰

思路:注意到被积函数 2222

1cos 1cos 11

sec 1cos 2222cos x x x x x ++==++，则积分易得。 解：221cos 11tan sec .1cos 2222

x x x dx xdx dx C x ++=+=++⎰

⎰⎰ ★2、设()arccos xf x dx x C =+⎰

，求()f x 。 知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：直接利用不定积分的性质1：[()]()d

f x dx f x dx =⎰

即可。 解：等式两边对x 求导数得：