【新课程】课时跟踪检测(十八) 分段函数
【三维设计】2016-2017学年人教版高中数学选修1-1课时跟踪检测(十八) 函数的极值与导数 Word版含解析
课时跟踪检测（十八） 函数的极值与导数层级一 学业水平达标1．已知函数y ＝f (x )在定义域内可导，则函数y ＝f (x )在某点处的导数值为0是函数y ＝f (x )在这点处取得极值的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件解析：选B 根据导数的性质可知，若函数y ＝f (x )在这点处取得极值，则f ′(x )＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f (x )＝x 3在R 上是增函数，f ′(x )＝3x 2，则f ′(0)＝0，但在x ＝0处函数不是极值，即充分性不成立．故函数y ＝f (x )在某点处的导数值为0是函数y ＝f (x )在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B.2．设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：选D 由f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝1x ⎝⎛⎭⎫1－2x ＝0可得x ＝2.当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．故x ＝2为f (x )的极小值点．3．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )A ．(2,3)B ．(3，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，3)解析：选B 因为函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，又f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋36，所以f ′(2)＝0解得a ＝－15.令f ′(x )＞0，解得x ＞3或x ＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．4．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )解析：选C 由题意可得f ′(－2)＝0，而且当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，此时xf ′(x )＞0；排除B 、D ，当x ∈(－2，＋∞)时，f ′(x )＞0，此时若x ∈(－2,0)，xf ′(x )＜0，若x ∈(0，＋∞)，xf ′(x )＞0，所以函数y ＝xf ′(x )的图象可能是C.5．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( )A.427，0 B ．0，427C ．－427，0 D ．0，－427解析：选A f ′(x )＝3x 2－2px －q ， 由f ′(1)＝0，f (1)＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x . 由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1，易得当x ＝13时f (x )取极大值427.当x ＝1时f (x )取极小值0.6．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点，则常数a ＝______________.解析：∵f ′(x )＝ax ＋2bx ＋1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0.∴a ＝－23.答案：－237．函数f (x )＝ax 2＋bx 在x ＝1a 处有极值，则b 的值为________． 解析：f ′(x )＝2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝1a 处有极值，∴f ′⎝⎛⎭⎫1a ＝2a ·1a ＋b ＝0，即b ＝－2. 答案：－28.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)．如图，则下列说法中不正确的是________．(填序号)①当x ＝32时，函数f (x )取得最小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时函数值取得极小值； ④当x ＝1时函数取得极大值．解析：由图象可知，x ＝1,2是函数的两极值点，∴②正确；又x ∈(－∞，1)∪(2，＋∞)时，y ＞0；x ∈(1,2)时，y ＜0，∴x ＝1是极大值点，x ＝2是极小值点，故③④正确．答案：①9．设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ，求f (x )的单调区间与极值． 解：由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R.令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2. 于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)； 且f (x )在x ＝ln 2处取得极小值．极小值为f (ln 2)＝2(1－ln 2＋a )，无极大值．10．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a ，b ，c 的值；(2)试判断x ＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由． 解：(1)由已知，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，且f ′(－1)＝f ′(1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0,3a －2b ＋c ＝0. 又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ∴a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)由(1)知f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．当x <－1或x >1时，f ′(x )>0；当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数． ∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1； 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.层级二 应试能力达标1．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，－3 B ．1,3 C ．－1,3D ．－1，－3解析：选A ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，由题意知f ′(1)＝0，f (1)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1，b ＝－3.2．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－3,6)C ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：选C f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，∵f (x )有极大值与极小值，∴f ′(x )＝0有两不等实根，∴Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，∴a <－3或a >6.3．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax (x ∈R)有大于零的极值点，则( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1 C ．a ＜－1eD ．a ＞－1e解析：选A ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a .令y ′＝e x ＋a ＝0，则e x ＝－a ，∴x ＝ln(－a )．又∵x ＞0，∴－a ＞1，即a ＜－1.4．已知函数f (x )＝e x (sin x －cos x )，x ∈(0,2 017π)，则函数f (x )的极大值之和为( ) A.e 2π(1－e 2 018π)e 2π－1B.e π(1－e 2 016π)1－e 2πC.e π(1－e 1 008π)1－e 2πD.e π(1－e 1 008π)1－e π解析：选B f ′(x )＝2e x sin x ，令f ′(x )＝0得sin x ＝0，∴x ＝k π，k ∈Z ，当2k π<x <2k π＋π时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当(2k －1)π<x <2k π时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴当x ＝(2k ＋1)π时，f (x )取到极大值，∵x ∈(0,2 017π)，∴0<(2k ＋1)π<2 017π，∴0≤k <1 008，k ∈Z. ∴f (x )的极大值之和为S ＝f (π)＋f (3π)＋f (5π)＋…＋f (2 015π)＝e π＋e 3π＋e 5π＋…＋e 2 015π＝e π[1－(e 2π)1 008]1－e 2π＝e π(1－e 2 016π)1－e 2π，故选B.5．若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值为13，则实数m 等于______．解析：y ′＝－3x 2＋12x ＝－3x (x －4)．由y ′＝0，得x ＝0或4.且x ∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，y ′＜0；x ∈(0,4)时，y ′＞0，∴x ＝4时取到极大值．故－64＋96＋m ＝13，解得m ＝－19.答案：－196．若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为______．解析：由题意，f ′(x )＝3x 2＋2x －a ，则f ′(－1)f ′(1)<0，即(1－a )(5－a )<0，解得1<a <5，另外，当a ＝1时，函数f (x )＝x 3＋x 2－x －4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，当a ＝5时，函数f (x )＝x 3＋x 2－5x －4在区间(－1,1)没有极值点．故实数a 的范围为[1,5)．答案：[1,5)7．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．8．已知函数f (x )＝ax －ae x(a ∈R ，a ≠0)． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的极值；(2)若函数F (x )＝f (x )＋1没有零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋1e x ，f ′(x )＝x －2ex . 由f ′(x )＝0，得x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的极小值为f (2)＝－1e2，函数f (x )无极大值．(2)F ′(x )＝f ′(x )＝a e x －(ax －a )e x e 2x ＝－a (x －2)e x .①当a <0时，F (x )，F ′(x )的变化情况如下表：若使函数F (x )没有零点，当且仅当F (2)＝ae 2＋1>0，解得a >－e 2，所以此时－e 2<a <0；②当a >0时，F (x )，F ′(x )的变化情况如下表：当x>2时，F(x)＝a(x－1)e x＋1>1，当x<2时，令F(x)＝a(x－1)e x＋1<0，即a(x－1)＋e x<0，由于a(x－1)＋e x<a(x－1)＋e2，令a(x－1)＋e2≤0，得x≤1－e2a，即x≤1－e2a时，F(x)<0，所以F(x)总存在零点，综上所述，所求实数a的取值范围是(－e2,0)．。
高中数学第一章集合与函数1.2.2第2课时分段函数与映射课时跟踪训练含解析新人教A版必修
学习资料第2课时分段函数与映射[A组学业达标］1．已知f（x)＝错误!则f（x）的定义域为(）A．R B．(－∞，1]C．(－∞，2) D．（1，＋∞)解析：f（x）的定义域为（－∞，1]∪(1,2）＝(－∞，2）．答案:C2．下列图形是函数y＝x｜x|的图象的是（)解析：∵f(x）＝x|x|＝错误!∴图象D符合．答案:D3．设函数f(x）＝错误!则f错误!的值为（）A.错误!B．－错误!C。
错误!D．18解析：∵f(2）＝22＋2－2＝4，∴f错误!＝f错误!＝1－错误!＝错误!。
答案：A4．在如图所示的对应中是A到B的映射的是(）A．(2）B．(3)C．（3）(4）D．(4)解析：结合映射的定义，对(1），（2)，集合A的元素在集合B中有的有两个元素与之对应，因而构不成映射，而（3），(4)则符合要求,能构成映射．答案：C5．拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费符合f（m）＝错误!其中［m]表示不超过m的最大整数，从甲地到乙地通话5。
2分钟的话费是（）A．3.71 B．4.24C．4。
77 D．7.95解析：f(5.2）＝1.06×(0.5×［5。
2]＋2)＝1。
06×(2。
5＋2)＝4。
77.答案：C6．设函数f（x）＝错误!，则f[f（2)］＝__________.解析：∵f（2）＝错误!＝1，∴f[f(2）]＝f(1)＝0。
答案：07．已知函数f(x)的图象如下图所示，则f(x）的解析式是__________．解析：由图可知,图象是由两条线段组成,当－1≤x＜0时，设f(x)＝ax＋b,将(－1,0),(0，1)代入解析式,则错误!∴错误!当0≤x≤1时,设f（x)＝kx，将（1,－1）代入,则k＝－1。
答案：f（x)＝错误!8．A＝R,B＝{x|x≥1｝，映射f：A→B，且A中元素x与B中元素y＝x2＋1对应，当y＝2时,x＝__________.解析：由题意可知，x2＋1＝2，解得x＝1或x＝－1(舍去)．答案：19．已知函数f（x）＝错误!(1）求f(f（f（5）)）的值;(2）画出函数的图象．解析：(1)∵5〉4，∴f(5）＝－5＋2＝－3.∵－3<0,∴f（f(5）)＝f（－3)＝－3＋4＝1。
【三维设计】高中数学 1.2.2第2课时 分段函数与映射课时跟踪检测 新人教a版必修1
分段函数与映射一、选择题1．给出如图所示的对应：其中构成从A 到B 的映射的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．映射f ：A →B ，在f 作用下A 中元素(x ，y )与B 中元素(x －1,3－y )对应，则与B 中元素(0,1)对应的A 中元素是( )A ．(－1,2)B ．(0,3)C ．(1,2)D ．(－1,3)3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5， x ≥6，f x ＋， x ＜6，则f (3)为A ．2B ．3C ．4D ．54．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －1， x ≥0，1x ， x <0若f (a )>1，则实数a 的取值范围是________．5．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的话费符合f (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧3.71，0<m ≤4，m ]＋，m >4，其中[m ]表示不超过m 的最大整数，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是( )A ．3.71B ．4.24C ．4.77D ．7.95 二、填空题6．已知集合A ＝{1,2,3,4}，集合B ＝{3,4}．若令M ＝A ∩B ，N ＝∁A B ，那么从M 到N 的映射有________个．7．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a <b .则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤02， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是________．三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤4，－x ＋2，x >4.(1)求f {f [f (5)]}的值； (2)画出函数的图象．10．如图所示，在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ，沿着折线BCDA 由B 点(起点)向A 点(终点)移动．设P 点移动的路程为x ，△ABP 的面积为y ＝f (x )．(1)求△ABP 的面积与P 移动的路程的函数关系式；(2)作出函数的图象，并根据图象求f (x )的最大值．答 案课时跟踪检测(八)1．选A ①是映射，是一对一；②③是映射，满足对于集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一的元素和它对应；④⑤不是映射，是一对多；⑥不是映射，a 3、a 4在集合B 中没有元素与之对应．2．选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，3－y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以与B 中元素(0,1)对应的A 中元素是(1,2)．3．选 A f (3)＝f (3＋2)＝f (5)，f (5)＝f (5＋2)＝f (7)．∵f (7)＝7－5＝2，故f (3)＝2.4．解析：当a ≥0时，f (a )＝12a －1>1，解得a >4，符合a ≥0；当a <0时， f (a )＝1a>1，无解．答案：(4，＋∞)5．选C f (5.2)＝1.06×(0.5×[5.2]＋2)＝1.06×(2.5＋2)＝4.77.6．解析：M ＝A ∩B ＝{3,4}，N ＝∁A B ＝{1,2}，从M 到N 可构成4个不同的映射，它们分别是①3→1,4→2；②3→2,4→1；③3→1,4→1；④3→2,4→2.答案：47.解析：由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1，x ，x <1，画出函数f (x )的图象得值域是(－∞，1]． 答案：(－∞，1]8．解析：由f (－4)＝f (0)⇒(－4)2＋b ×(－4)＋c ＝c ，f (－2)＝－2⇒(－2)2＋b ×(－2)＋c ＝－2，解得b ＝4，c ＝2.则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x >0.由f (x )＝x ，得x 2＋4x ＋2＝x ⇒x 2＋3x ＋2＝0⇒x ＝－2或x ＝－1，即当x ≤0时，有两个解．当x >0时，有一个解x ＝2.综上，f (x ) ＝x 有3个解．答案：39.解：(1)∵5>4， ∴f (5)＝－5＋2＝－3. ∵－3<0，∴f [f (5)]＝f (－3)＝－3＋4＝1. ∵0<1<4，∴f {f [f (5)]}＝f (1)＝12－2×1＝－1，即f {f [f (5)]}＝－1. (2)图象如右上图所示．10．解：(1)函数的定义域为(0,12)．当0<x ≤4时，S ＝f (x )＝12×4×x ＝2x ；当4<x ≤8时，S ＝f (x )＝12×4×4＝8；当8<x <12时，S ＝f (x )＝12×4×(12－x )＝24－2x.∴函数解析式为f (x )＝ 错误!(2)图象如右图所示．从图象可以看出[f (x )]max ＝8.。
【高中数学】课时跟踪检测(十八) 分段函数
课时跟踪检测（十八） 分段函数A 级——学考水平达标练1．下列给出的函数是分段函数的是( )①f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1<x ≤5，2x ，x ≤1，②f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈R ， x 2，x ≥2，③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1，④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x ＜0，x －1，x ≥5.A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④解析：选B 对于②取x ＝2，f (2)＝3或4，对于③取x ＝1，f (1)＝5或1，所以②、③都不合题意．2．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图像可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )解析：选B 根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A 、D ，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C ，故选B.3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x <0，10x ，x ≥0，则f (f (－7))的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－100解析：选A ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x <0，10x ，x ≥0，∴f (－7)＝10.f (f (－7))＝f (10)＝10×10＝100.4．已知A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A 地前往B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x (千米)表示为时间t (时)的函数表达式是( )A ．x ＝60tB ．x ＝60t ＋50C ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5，150－50t ，t ＞3.5D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5，150，2.5＜t ≤3.5，150－50(t －3.5)，3.5＜t ≤6.5解析：选D 由于在B 地停留1小时期间，距离x 不变，始终为150千米，故选D.5.已知函数f (x )的图像是两条线段(如图所示，不含端点)，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫13等于( )A ．－13B.13 C ．－23D.23解析：选B 由题图可知，函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，0＜x ＜1，x ＋1，－1＜x ＜0，所以f ⎝⎛⎭⎫13＝13－1＝－23，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫－23＝－23＋1＝13. 6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，f (x ＋1)，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫－43＋f ⎝⎛⎭⎫43＝________. 解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，f (x ＋1)，x ≤0，∴f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－43＋1＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫23＝23×2＝43，f ⎝⎛⎭⎫43＝2×43＝83， ∴f ⎝⎛⎭⎫－43＋f ⎝⎛⎭⎫43＝43＋83＝4. 答案：47．已知f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f (f (n ＋5))，n ＜10，则f (8)＝________.解析：因为8＜10，所以代入f (n )＝f (f (n ＋5))，即f (8)＝f (f (13))．因为13＞10，所以代入f (n )＝n －3，得f (13)＝10，故得f (8)＝f (10)＝10－3＝7.答案：78．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x ＜1，x 2－ax ，x ≥1，若f (f (0))＝a ，则实数a ＝________.解析：依题意知f (0)＝3×0＋2＝2， 则f (f (0))＝f (2)＝22－2a ＝a ， 求得a ＝43.答案：439．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x >2.(1)求f (2)，f (f (2))的值； (2)若f (x 0)＝8，求x 0的值． 解：(1)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4， ∴f (2)＝22－4＝0， f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4. (2)当0≤x 0≤2时，由x 20－4＝8， 得x 0＝±23(舍去)；当x 0>2时，由2x 0＝8，得x 0＝4. ∴x 0＝4.10．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示． (1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km ，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km 与时间t h 的函数解析式，并作出相应的图像．解：(1)阴影部分的面积为50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360. 阴影部分的面积表示汽车在这5 h 内行驶的路程为 360 km.(2)根据图像，有s ＝⎩⎪⎨⎪⎧50t ＋2 004， 0≤t <1，80(t －1)＋2 054， 1≤t <2，90(t －2)＋2 134， 2≤t <3，75(t －3)＋2 224， 3≤t <4，65(t －4)＋2 299， 4≤t ≤5.相应的图像如图所示：B 级——高考水平高分练1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为f (x )＝________.解析：∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (－4)2－4b ＋c ＝c ，(－2)2－2b ＋c ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2. ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0，x 2＋4x ＋2，x ≤0.答案：⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0，x 2＋4x ＋2，x ≤02．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x ＜A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是________，________.解析：因为组装第A 件产品用时15分钟，所以cA＝15.① 由题意知4＜A ，且c 4＝c2＝30.② 由①②解得c ＝60，A ＝16. 答案：60 163．如图，函数f (x )的图像是由两条射线y 1＝k 1x ＋b 1(x ≤1)，y 2＝k 2x ＋b 2(x ≥3)及抛物线y 3＝a (x －2)2＋2(1＜x ＜3)的一部分组成，求函数f (x )的解析式．解：由题图知⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＋b 1＝1，b 1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－1，b 1＝2，所以左侧射线的解析式为y 1＝－x ＋2(x ≤1)． 同理，右侧射线的解析式为y 2＝x －2(x ≥3)．已知抛物线对应的二次函数的解析式为y 3＝a (x －2)2＋2(1＜x ＜3)，由题图知a ＜0，a ＋2＝1，所以a ＝－1，所以抛物线的解析式为y 3＝－x 2＋4x －2(1＜x ＜3)． 综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x ≤1，－x 2＋4x －2，1＜x ＜3，x －2，x ≥3.4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ＞0，2，x ＝0，1－2x ，x ＜0.(1)画出函数f (x )的图像； (2)求f (a 2＋1)(a ∈R )，f (f (3))的值； (3)当f (x )≥2时，求x 的取值范围．解：(1)图像如图所示，作图时注意曲线端点处是实心点还是空心点．(2)f (a 2＋1)＝3－(a 2＋1)2＝－a 4－2a 2＋2， f (f (3))＝f (－6)＝13.(3)当x ＞0时，3－x 2≥2，解得0＜x ≤1； 当x ＝0时，2≥2，符合题意； 当x ＜0时，1－2x ≥2， 解得x ≤－12.综上，当f (x )≥2时，x 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[0,1]．5.如图，动点P 从单位正方形ABCD 的顶点A 开始，顺次经B ，C ，D 绕边界一周，当x 表示点P 的行程，y 表示PA 之长时，求y 关于x的解析式，并求f ⎝⎛⎭⎫52的值．解：当点P 在AB 上运动时，y ＝x ； 当点P 在BC 上运动时，y ＝1＋(x －1)2， 当点P 在CD 上运动时，y ＝1＋(3－x )2， 当点P 在DA 上运动时，y ＝4－x ， ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，1＋(x －1)2，1＜x ≤2，1＋(3－x )2，2＜x ≤3，4－x ，3＜x ≤4.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－522＝52.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
函数的概念及其表示-高考数学复习
， < 0
（
√
）
（4）若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函
数.
（
× ）
目录
2 − ， ≤ 1，
2. 已知函数 f （ x ）＝ቐ 1
则 f （ f （－1））＝（
， > 1，
）
1−
A. －1
解析：
D. 1
因为－1≤1，所以 f （－1）＝（－1）2－（－1）＝2，
（1））＝0.
目录
解题技法
分段函数求值的策略
先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的
解析式求值.当出现 f （ f （ a ））的形式时，应从内到外依次求值.
目录
考向2 分段函数与方程、不等式问题
− 2 − 3 + 2，＜ − 1，
【例4】 已知函数 f （ x ）＝ቊ −3
[1，＋∞）， y ＝
−1
的定义域为（1，＋∞），定义域不同，两
−1
函数不是同一个函数；C中， y ＝4lg x 与 y ＝2lg x 2＝4lg｜ x ｜的对
3
应关系不同，两函数不是同一个函数；D中， y ＝（ ）3＝ x 的定
义域为R， y ＝ x 的定义域为R，定义域和对应关系都相同，两函数
＜ − 1，
2或 a ＝5.若 f （ a ）≥2，则ቊ 2
或ቊ −3
解得－
≥ 2，
− − 3 + 2 ≥ 2 2
3≤ a ＜－1或 a ≥4，∴ a 的取值范围是[－3，－1）∪[4，＋∞）.
目录
解题技法
分段函数与方程、不等式问题的求解思路
解分段函数的方程、不等式，当自变量取值不确定时，往往要分
2021-2022年高中数学课时跟踪检测八分段函数与映射新人教A版
2021-2022年高中数学课时跟踪检测八分段函数与映射新人教A 版1．下列对应关系f 中，能构成从集合A 到集合B 的映射的是( )A ．A ＝{x |x >0}，B ＝R ，f ：x →|y |＝x 2B ．A ＝{－2,0,2}，B ＝{4}，f ：x →y ＝x 2C ．A ＝R ，B ＝{y |y >0}，f ：x →y ＝1x 2D ．A ＝{0,2}，B ＝{0,1}，f ：x →y ＝x 2解析：选D 对于A ，集合A 中元素1在集合B 中有两个元素与之对应；对于B ，集合A 中元素0在集合B 中无元素与之对应；对于C ，集合A 中元素0在集合B 中无元素与之对应．故A 、B 、C 均不能构成映射．2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10，x <0，10x ，x ≥0，则f (f (－7))的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－100 解析：选A ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10，x <0，10x ，x ≥0，∴f (－7)＝10.f (f (－7))＝f (10)＝10×10＝100.3．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是( )解析：选D 函数y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≥0，－x 2，x <0，故选D.4．已知集合M ＝{x |0≤x ≤4}，N ＝{0|0≤y ≤2}，按对应关系f 不能构成从M 到N 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝12x B ．f ：x →y ＝13x C ．f ：x →y ＝23x D ．f ：x →y ＝x解析：选C 因为当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉N ，所以C 中的对应关系f 不能构成从M 到N 的映射．5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( ) A ．RB ．[0,2]∪{3}C ．[0，＋∞)D ．[0,3]解析：选B 先求各段上的图象，再求各段值域的并集，即为该函数的值域．6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥1，1x ，x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝________. 解析：依题意，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝113＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f (3)＝32－1＝8. 答案：87．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，若f (x )＝3，则x 的值是________．解析：当x ≤－1时，x ＋2＝3，得x ＝1舍去，当－1<x <2时，x 2＝3得x ＝3或x ＝－3(舍去)． 答案： 38．在映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，且f ：(x ，y )→(x －y ，x ＋y )，则与A 中的元素(－1,2)对应的B 中的元素为________．解析：由题意知，与A 中元素(－1,2)对应的B 中元素为(－1－2，－1＋2)，即(－3,1)． 答案：(－3,1)9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x >2.(1)求f (2)，f (f (2))的值；(2)若f (x 0)＝8，求x 0的值．解：(1)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4，∴f (2)＝22－4＝0， f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4.(2)当0≤x 0≤2时，由x 20－4＝8，得x 0＝±23(舍去)；当x 0>2时，由2x 0＝8，得x 0＝4.∴x 0＝4.10．已知函数f (x )＝1＋|x |－x 2(－2<x ≤2)． (1)用分段函数的形式表示函数f (x )；(2)画出函数f (x )的图象；(3)写出函数f (x )的值域．解：(1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x 2＝1－x . 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示．(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．层级二 应试能力达标1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈0，1]，则函数f (x )的图象是( )解析：选A 当x ＝－1时，y ＝0，即图象过点(－1,0)，D 错；当x ＝0时，y ＝1，即图象过点(0,1)，C 错；当x ＝1时，y ＝2，即图象过点(1,2)，B 错．故选A.2．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，使函数值为5的x 的值是( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－52 解析：选A 当x ≤0时，令x 2＋1＝5，解得x ＝－2；当x >0时，令－2x ＝5，得x ＝－52，不合题意，舍去． 3．已知映射f ：A →B ，其中集合A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B 中的元素在A 中都能找到元素与之对应，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中元素的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选A 注意到对应法则是f ：a →|a |，因此3和－3对应集合B 中的元素3；2和－2对应集合B 中的元素2；1和－1对应集合B 中的元素1；4对应集合B 中的元素4.所以B ＝{1,2,3,4}，有4个元素．4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水量为( )A ．13立方米B ．14立方米C ．18立方米D ．26立方米解析：选A 该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x >10.由y ＝16m ，可知x >10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13. 5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋1，x ≥0，2－x ，－2≤x <0，的值域是________．解析：当x ≥0时，f (x )≥1，当－2≤x <0时，2<f (x )≤4，∴f (x )≥1或2<f (x )≤4，即f (x )的值域为[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x －1，x ≥0，1x ，x <0，若f (a )>1，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ≥0时，f (a )＝12a －1>1， 解得a >4，符合a ≥0；当a <0时，f (a )＝1a>1，无解． 答案：(4，＋∞)7.如图所示，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)．(1)求f (f (0))的值；(2)求函数f (x )的解析式．解：(1)直接由图中观察，可得f (f (0))＝f (4)＝2.(2)设线段AB 所对应的函数解析式为y ＝kx ＋b ，将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝4与⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝0代入，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝b ，0＝2k ＋b .得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝4，k ＝－2.∴y ＝－2x ＋4(0≤x ≤2)．同理，线段BC 所对应的函数解析式为y ＝x －2(2<x ≤6)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋4，0≤x ≤2，x －2，2<x ≤6.8．A ，B 两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A 地到B 地，在B 地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A 地．写出该车离A 地的距离s (公里)关于时间t (小时)的函数关系，并画出函数图象．解：(1)汽车从A 地到B 地，速度为50公里/小时，则有s ＝50t ，到达B 地所需时间为15050＝3(小时)． (2)汽车在B 地停留2小时，则有s ＝150.(3)汽车从B 地返回A 地，速度为60公里/小时，则有s ＝150－60(t －5)＝450－60t ，从B 地到A 地用时15060＝2.5(小时)． 综上可得：该汽车离A 地的距离s 关于时间t 的函数关系为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 50t ，0≤t ≤3，150，3<t ≤5，450－60t ，5<t ≤7.5.函数图象如图所示．27655 6C07 氇!1 25869 650D 攍:d:24083 5E13 帓R 20958 51DE 凞^.28548 6F84 澄。
高中数学 课时分层作业16 分段函数(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题
课时分层作业(十六) 分段函数(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知函数f(x)＝则f(3)的值是( )A．1 B．2 C．8 D．9A[f(3)＝3－2＝1.]2．函数f(x)＝x＋的图象是( )A B C DC[当x>0时，f(x)＝x＋＝x＋1，当x<0时，f(x)＝x－1，且x≠0，根据一次函数图象可知C正确．故选C.]3．函数f(x)＝的值域是( )A．R B．[0,2]∪{3}C．[0，＋∞) D．[0,3]B[当0≤x≤1时，0≤2x≤2，即0≤f(x)≤2；当1<x<2时，f(x)＝2；当x≥2时，f(x)＝3.综上可知f(x)的值域为[0,2]∪{3}．]4．已知函数f(x)＝若f(x)＝3，则x的值是( )A. B．9C．－1或1 D．－或A[依题意，若x≤0，则x＋2＝3，解得x＝1，不合题意，舍去．若0<x≤3，则x2＝3，解得x＝－(舍去)或x＝.故选A.]5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为( )A．13立方米B．14立方米C．18立方米D．26立方米A[该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13.]二、填空题6．设函数f(x)＝则f(2)＝________.[答案] 17．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是________．f(x)＝[由题图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则∴即f(x)＝x＋1.当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，则k＝－1，即f(x)＝－x.综上，f(x)＝]8．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．－[在同一平面直角坐标系内，作出函数y＝2a与y＝|x－a|－1的大致图象，如图所示．由题意，可知2a＝－1，则a＝－.]三、解答题9．已知函数f(x)＝(1)求f(f(f(5)))的值；(2)画出函数f(x)的图象．[解](1)因为5>4，所以f(5)＝－5＋2＝－3.因为－3<0，所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.因为0<1≤4.所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1.(2)f(x)的图象如下：10．如图，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C ，D ，A 绕周界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式．[解] 当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝12×4×x ＝2x ；当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时，y ＝12×4×(12－x )＝24－2x .综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，8<x ≤12.[等级过关练]1．设f (x )＝则f (5)的值是( ) A ．24 B ．21 C ．18D ．16A [f (5)＝f (f (10))，f (10)＝f (f (15))＝f (18)＝21，f (5)＝f (21)＝24.] 2．设函数f (x )＝，若f (a )＝4，则实数a ＝( ) A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2B [由或得a ＝－4或a ＝2.]3．已知实数a ≠0，函数f (x )＝若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．－ [当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1，∴2(1－a )＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－(舍去)． 当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，∴－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－.] 4．若定义运算a ⊙b ＝则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________． (－∞，1] [由题意得f (x )＝画出函数f(x)的图象得值域为(－∞，1]．]5．《中华人民某某国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税，超过5 000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率不超过3 000元的部分3%超过3 000元至12 000元的部分10%超过12 000元至25 000元的部分20%x y(1)请写出y关于x的函数关系式；(2)有一职工八月份交纳了54元的税款，请问该职工八月份的工资是多少？[解](1)由题意，得y＝错误!(2)∵该职工八月份交纳了54元的税款，∴5 000<x≤8 000，(x－5 000)×3%＝54，解得x＝6 800.故这名职工八月份的工资是6 800元．。
新教材高中数学课时跟踪检测十五分段函数新人教A版必修第一册
分段函数层级(一) “四基”落实练1．(多选)下列给出的函数是分段函数的是( )A ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1<x ≤5，2x ，x ≤1B ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈R ，x 2，x ≥2C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x ＜0，x －1，x ≥5解析：选AD 对于B ：取x ＝2,f (2)＝3或4,对于C ：取x ＝1,f (1)＝5或1,所以B 、C 都不合题意．易知A 、D 符合．2．设x ∈R,定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝|x |sgn x 的图象大致是( )解析：选C 由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，0，x ＝0，x ，x <0，则f (x )的图象为C 中图象所示．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x ＞1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f (2)的值为( )A.1516 B ．－2716C.89D ．18解析：选A 因为x ＞1时,f (x )＝x 2＋x －2, 所以f (2)＝22＋2－2＝4,1f (2)＝14. 又x ≤1时,f (x )＝1－x 2, 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫1f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516.故选A.4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，2x ，x ≥2，若f (x )＝1,则x 等于( )A ．1B ．±1 C.32D ．－1解析：选B 若⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，x ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，x ＝－1，∴x ＝－1.若⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，x 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，x ＝±1，∴x ＝1.若⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＝12，无解．故x ＝±1.5．(多选)如表表示y 是x 的函数,则( )A ．函数的定义域是(0,20]B ．函数的值域是[2,5]C ．函数的值域是{2,3,4,5}D ．该函数是分段函数解析：选ACD 由表可知,函数的定义域为(0,5)∪[5,10)∪[10,15)∪[15,20]＝(0,20],故A 正确；值域为{2}∪{3}∪{4}∪{5}＝{2,3,4,5},故B 错误,C 正确； 该函数是分段函数,故D 正确． 故选A 、C 、D.6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，f (x ＋1)，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝________. 解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，f (x ＋1)，x ≤0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23×2＝43,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝43＋83＝4. 答案：47．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧23x －1，x ≥0，1x ，x ＜0，若f (a )＞a ,则实数a 的取值范围是________．解析：当a ≥0时,由f (a )＞a 得23a －1＞a ,解得a ＜－3,又a ≥0,所以无解,当a ＜0时,由f (a )＞a 得1a＞a ,解得a ＜－1,故填(－∞,－1)．答案：(－∞,－1)8．已知函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5，x ≤0，x ＋5，0<x ≤1，－2x ＋8，x >1.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1π,f (－1)的值；(2)画出这个函数的图象； (3)求f (x )的最大值． 解：(1)∵32>1,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－2×32＋8＝5. ∵0<1π<1,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1π＝1π＋5＝5π＋1π.∵－1<0,∴f (－1)＝－3＋5＝2. (2)这个函数的图象如图．在函数y ＝3x ＋5的图象上截取x ≤0的部分, 在函数y ＝x ＋5的图象上截取0<x ≤1的部分, 在函数y ＝－2x ＋8的图象上截取x >1的部分． 图中实线组成的图形就是函数f (x )的图象． (3)由函数图象可知,当x ＝1时,f (x )取最大值6.层级(二) 能力提升练1．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2,则a 等于( ) A ．－3 B ．±3 C ．－1D ．±1解析：选D f (－1)＝－(－1)＝1. ∴f (a )＋f (－1)＝f (a )＋1＝2. ∴f (a )＝1,即⎩⎨⎧a ≥0，a ＝1① 或⎩⎨⎧a <0，－a ＝1，②解①得a ＝1,解②得a ＝－1. ∴a ＝±1.2．(多选)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1＜x ＜2，关于函数f (x )的结论正确的是( )A ．f (x )的定义域为RB ．f (x )的值域为(－∞,4)C ．若f (x )＝3,则x 的值是 3D ．f (x )＜1的解集为(－1,1)解析：选BC 由题意知函数f (x )的定义域为(－∞,2),故A 错误；当x ≤－1时,f (x )取值范围是(－∞,1],当－1＜x ＜2时,f (x )的取值范围是[0,4),因此f (x )的值域为(－∞,4),故B 正确；当x ≤－1时,x ＋2＝3,解得x ＝1(舍去),当－1＜x ＜2时,x 2＝3,解得x ＝3或x ＝－3(舍去),故C 正确；当x ≤－1时,x ＋2＜1,解得x ＜－1,当－1＜x ＜2时,x 2＜1,解得－1＜x ＜1,因此f (x )＜1的解集(－∞,－1)∪(－1,1),故D 错误．故选B 、C.3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (－4)＝f (0),f (－2)＝－2,则f (x )的解析式为f (x )＝________.解析：∵f (－4)＝f (0),f (－2)＝－2,∴⎩⎪⎨⎪⎧(－4)2－4b ＋c ＝c ，(－2)2－2b ＋c ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0，x 2＋4x ＋2，x ≤0.答案：⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0，x 2＋4x ＋2，x ≤04．根据如图所示的函数f (x )的图象,写出函数的解析式．解：当－3≤x ＜－1时,函数f (x )的图象是一条线段(右端点除外),设f (x )＝ax ＋b (a ≠0),将(－3,1),(－1,－2)代入,可得f (x )＝－32x －72；当－1≤x ＜1时,同理,可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0),将(－1,－2),(1,1)代入,可得f (x )＝32x－12； 当1≤x ＜2时,f (x )＝1.综上所述,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －72，－3≤x ＜－1，32x －12，－1≤x ＜1，1，1≤x ＜2.5.如图,动点P 从单位正方形ABCD 的顶点A 开始,顺次经B ,C ,D 绕边界一周,当x 表示点P 的行程,y 表示PA 之长时,求y 关于x 的解析式,并求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52的值．解：当点P 在AB 上运动时,y ＝x ； 当点P 在BC 上运动时,y ＝1＋(x －1)2, 当点P 在CD 上运动时,y ＝1＋(3－x )2, 当点P 在DA 上运动时,y ＝4－x ,∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，1＋(x －1)2，1＜x ≤2，1＋(3－x )2，2＜x ≤3，4－x ，3＜x ≤4.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－522＝52.层级(三) 素养培优练1．设a ,b ∈R,定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，a ∨b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a ＞b ，若正数a ,b ,c ,d 满足ab ≥4,c ＋d ≤4,则( )A ．a ∧b ≥2,c ∧d ≤2B ．a ∧b ≥2,c ∨d ≥2C ．a ∨b ≥2,c ∧d ≤2D ．a ∨b ≥2,c ∨d ≥2解析：选C 不妨设a ≤b ,c ≤d ,则a ∨b ＝b ,c ∧d ＝c . 若b <2,则a <2,∴ab <4,与ab ≥4矛盾,∴b ≥2.故a ∨b ≥2. 若c >2,则d >2,∴c ＋d >4,与c ＋d ≤4矛盾,∴c ≤2.故c ∧d ≤2. 2．已知n 为正整数,规定f 1(x )＝f (x ),f n＋1(x )＝f (f n (x )),且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2(1－x )，0≤x ≤1，x －1，1＜x ≤2.(1)解不等式f (x )≤x .(2)设集合A ＝{0,1,2},对任意x ∈A ,证明：f 3(x )＝x .(3)“对任意x ∈[0,2],总有f 3(x )＝x ”是否正确？请说明理由． 解：(1)当0≤x ≤1时,由2(1－x )≤x , 得x ≥23,故23≤x ≤1；当1＜x ≤2时,由x －1≤x ,得x ∈R,故1＜x ≤2.综上可知,不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23≤x ≤2. (2)由题可知,f (0)＝2,f (1)＝0,f (2)＝1.当x ＝0时,f 3(0)＝f (f (f (0)))＝f (f (2))＝f (1)＝0； 同理,可求得当x ＝1时,f 3(1)＝1； 当x ＝2时,f 3(2)＝2. 故对任意x ∈A ,恒有f 3(x )＝x . (3)不正确．例如,x ＝12∈[0,2],f 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (f (1))＝f (0)＝2≠12, 即f 3(x )＝x 不成立．故“对任意x ∈[0,2],总有f 3(x )＝x ”不正确．。
高中数学人教A版必修第一册课时素养评价 3.1.2.2 分段函数
课时素养评价十九分段函数(15分钟30分)1.已知函数f(x)=若f(x)=5，则x的值是( )A.-2B.2或-C.2或-2D.2或-2或-【解析】选A.由题意知，当x≤0时，f(x)=x2+1=5，得x=-2(x=2舍去)；当x>0时，f(x)=-2x=5，得x=-，舍去.【误区警示】本题容易出现忽视各段自变量的取值对x值的限制，出现错解.2.函数f(x)=x2-2|x|的图象是 ( )【解析】选C.f(x)=分段画出.3.已知f(x)=则不等式xf(x)+x≤2的解集是()A.{x|x≤1}B.{x|x≤2}C.{x|0≤x≤1}D.{x|x<0}【解析】选A.当x≥0时，f(x)=1，xf(x)+x≤2⇔x≤1，所以0≤x≤1；当x<0时，f(x)=0，xf(x)+x≤2⇔x≤2，所以x<0.综上，x≤1.4.(2020·西城高一检测)因市场战略储备的需要，某公司1月1日起，每月1日购买了相同金额的某种物资，连续购买了4次.由于市场变化，5月1日该公司不得不将此物资全部卖出.已知该物资的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易，且该公司在买卖的过程中没有亏本，那么下面三个折线图中反映了这种物资每份价格(单位：万元)的可能变化情况的是_______(写出所有正确的图标序号).【解析】图①③所反映的是公司会挣钱，而图②公司会亏本；所以反映了这种物资每份价格(单位：万元)的可能变化情况的是①③. 答案：①③5.已知函数f(x)=求：(1)画出函数f(x)的简图(不必列表).(2)求f(f(3))的值.(3)当-4≤x<3时，求f(x)取值的集合.【解析】(1)由分段函数可知，函数f(x)的简图为：(2)因为f(3)=4-32=4-9=-5，所以f(f(3))=f(-5)=1-2×(-5)=1+10=11.(3)当-4≤x<0时，1<f(x)≤9；当x=0时，f(0)=2；当0<x<3时，-5<f(x)<4，综上f(x)取值的集合为(-5，9].(20分钟40分)一、单选题(每小题5分，共15分)1.(2020·武汉高一检测)AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地3月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示3月1日的AQI指数值为201.则下列叙述不正确的是( )A.这12天中有6天空气质量为“优良”B.这12天中空气质量最好的是3月9日C.这12天的AQI指数值的中位数是90.5D.从3月4日到9日，空气质量越来越好【解析】选C.根据图象：有6天AQI指数小于100，所以这12天中有6天空气质量为“优良”，所以A叙述正确；这12天中，AQI指数的最小值是3月9日的67，所以12天中空气质量最好的是3月9日，所以B叙述正确；由图象知，AQI指数值的中位数是=99.5，所以C叙述错误；通过图象可以看出，从3月4日到9日，AQI的值逐渐减小，即空气质量越来越好，所以D叙述正确.2.已知f(x)=g(x)=3-2x，则f(g(2))= ( )A.-3B.-2C.3D.-1【解析】选 C.因为g(x)=3-2x，所以g(2)=3-2×2=-1<0，所以f(g(2))=f(-1)=-1+4=3.3.已知f(x)=则f(x)的图象大致为 ( )【解析】选A.由f(2)=-<0，排除选项B；f=-2+<0，排除选项D；函数在x=1处是连续的，排除C.二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )A.在t1时刻，甲车的速度大于乙车的速度B.t0时刻后，甲车的速度小于乙车的速度C.在t0时刻，两车的位置相同D.在t0时刻，甲车在乙车前面【解析】BD.由图可知，当时间为t1时，甲车的速度小于乙车的速度；t0时刻之前，甲车的速度一直大于乙车，时间相同的情况下，甲车行驶路程大于乙车行驶路程，故t0时刻甲车在乙车前面；t0时刻后，甲车的速度小于乙车的速度.三、填空题(每小题5分，共10分)5.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月交水费16m元，则该职工这个月实际用水量为_______立方米.【解析】设该单位职工每月应交水费为y元，实际用水量为x立方米，则y=由y=16m，可知x>10.令2mx-10m=16m，解得x=13.答案：13【补偿训练】若函数f(x)=则f(-3)=______________ .【解析】f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(-1+2)=f(1)=f(1+2)=f(3)=2×3=6.答案：66.已知函数f(x)=则f(1)=_______，若f(f(0))=a，则实数a=_______.【解析】依题意知f(1)=3+2=5；f(0)=3×0+2=2，则f(f(0))=f(2)=22-2a=a，求得a=.答案：5四、解答题7.(10分)已知函数f(x)=|x+1|+|x-2|，g(x)=|x-3|.(1)在平面直角坐标系里作出f(x)，g(x)的图象.(2)∀x∈R，用min(x)表示f(x)，g(x)中的较小者，记作min(x)={f(x)，g(x)}，请用图象法和解析法表示min(x).(3)求满足f(x)>g(x)的x的取值范围.【解析】(1)f(x)=g(x)=则对应的图象如图：(2)min(x)图象如图：解析式为min(x)=(3)若f(x)>g(x)，则由图象知在A点左侧，B点右侧满足条件.此时对应的x满足x>0或x<-2，即不等式f(x)>g(x)的解集为(-∞，-2)∪(0，+∞).关闭Word文档返回原板块由Ruize收集整理。
2018-2019学年高中新三维一轮复习数学浙江专版：课时
课时跟踪检测（十八） 导数与函数的单调性一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为( ) A ．(0,1) B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：选A 函数的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，令f ′(x )<0，得0<x <1. 2．(2018·浙江名校联考)已知函数f (x )＝1＋ln x x 在区间⎝⎛⎭⎫a ，a ＋23(a >0)上存在极值，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．⎝⎛⎭⎫13，1 C. ⎝⎛⎭⎫12，1D. ⎝⎛⎭⎫23，1解析：选B ∵f (x )＝1＋ln xx，x >0， ∴f ′(x )＝－ln x x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝1，当f ′(x )>0，即0<x <1，函数单调递增， 当f ′(x )<0，即x >1，函数单调递减， ∴1是函数的极值点，∵函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫a ，a ＋23(a >0)上存在极值， ∴a <1<a ＋23，∴13<a <1.故选B. 3．(2018·丽水月考)已知函数f (x )(x ∈R)的图象上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 20－1)(x －x 0)，那么函数f (x )的单调减区间是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(－∞，－1)和(1,2)D ．[2，＋∞)解析：选C 根据函数f (x )(x ∈R)的图象上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 20－1)(x －x 0)，可知其导数f ′(x )＝(x －2)(x 2－1)＝(x ＋1)(x －1)(x －2)，令f ′(x )<0，得x <－1或1<x <2.因此f (x )的单调减区间是(－∞，－1)和(1,2)．4．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析：由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x )＝3x 2－30x －33， 令f ′(x )＜0，即3(x －11)(x ＋1)＜0，解得－1＜x ＜11， 所以函数f (x )的单调减区间为(－1,11)． 答案：(－1,11)5．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上的单调情况是________．解析：在(0,2π)上有f ′(x )＝1－cos x ＞0，所以f (x )在(0,2π)上单调递增． 答案：单调递增二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·嘉兴高三测试)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －x 2的大致图象是( )解析：选D 由f ′(x)＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2－2x 知，当x>0时，f ′(x )<0，故排除选项B ；而由⎝⎛⎭⎫12x ln 2＝－2x 有两个根，可知f (x )有两个极值点，故选D . 2．若幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，则函数g (x )＝e x f (x )的单调递减区间为( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，－2) C ．(－2，－1)D ．(－2,0)解析：选D 设幂函数f (x )＝x α， 因为图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，所以12＝⎝⎛⎭⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )＜0，得－2＜x ＜0， 故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．3．(2018·诸暨模拟)已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．4．函数f(x)的定义域为R.f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为()A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)解析：选B由f(x)>2x＋4，得f(x)－2x－4>0.设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2.因为f′(x)>2，所以F′(x)>0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增，而F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4>0等价于F(x)>F(－1)，所以x>－1，选B.5．(2017·湖州期中)已知f(x)是定义在R上的减函数，其导函数f′(x)满足f(x)f′(x)＋x<1，则下列结论正确的是()A．对于任意x∈R，f(x)<0B．对于任意x∈R，f(x)>0C．当且仅当x∈(－∞，1)，f(x)<0D．当且仅当x∈(1，＋∞)，f(x)>0解析：选B∵f(x)f′(x)＋x<1，f(x)是定义在R上的减函数，f′(x)<0，∴f(x)＋xf′(x)>f′(x)，∴f(x)＋(x－1)f′(x)>0，∴[(x－1)f(x)]′>0，∴函数y＝(x－1)f(x)在R上单调递增，而x＝1时，y＝0，则x<1时，y<0，故f(x)>0.x>1时，x－1>0，y>0，故f(x)>0，∴f(x)>0对任意x∈R成立，故选B.6．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间为________．解析：函数f(x)＝(x－3)e x的导数为f′(x)＝[(x－3)e x]′＝e x＋(x－3)e x＝(x－2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)e x>0，解得x>2.答案：(2，＋∞)7．函数f(x)＝x2－ax－3在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．解析：f′(x)＝2x－a，∵f(x)在(1，＋∞)上是增函数，∴2x －a ≥0在(1，＋∞)上恒成立． 即a ≤2x ，∴a ≤2. 答案：(－∞，2]8．已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)< x 22＋12的解集为________．解析：设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1， 即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞) 9．(2018·丽水模拟)已知函数f (x )＝ax ＋b xe x，且a >0，b ∈R ，若函数f (x )在x ＝－1处取得极值1e，试求函数f (x )的解析式及单调区间．解：由题意f (x )＝ax ＋b xe x ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b x e x， ∴f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫a ＋b x ′e x ＋⎝⎛⎭⎫a ＋b x (e x )′＝⎝⎛⎭⎫－b x 2＋bx ＋a e x ， 由函数f (x )在x ＝－1处取得极值1e，得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝1e ，f ′(－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，a －2b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝2x ＋1xe x，定义域为{x |x ≠0}， f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫－1x 2＋1x ＋2e x ＝(x ＋1)(2x －1)x 2e x . 又e x >0对x ∈R 恒成立， 由f ′(x )≥0，得x ≤－1或x ≥12；由f ′(x )<0，得－1<x <0或0<x <12；所以函数f (x )的单调增区间为(－∞，－1]和⎣⎡⎭⎫12，＋∞，单调减区间为(－1,0)和⎝⎛⎭⎫0，12. 10．(2018·杭州七校联考)已知函数f (x )＝x 2ln x －x 22－4a ⎝⎛⎭⎫x 33－x 22，a ∈R.(1)令g (x )＝f ′(x )2x，求g (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝1处取得极小值，求实数a 的取值范围． 解：(1)因为f ′(x )＝2x (ln x －2ax ＋2a )， 所以g (x )＝ln x －2ax ＋2a ， 则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x (x >0)．若a ≤0，则g ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立， 函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增，无单调递减区间． 若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减，所以当a ≤0时，函数g (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间； 当a >0时，函数g (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，12a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞. (2)由(1)知，f ′(1)＝0，g (1)＝0，①当a ≤0时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，所以当x ∈(0,1)时，g (x )<0，则f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g (x )>0，则f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，符合题意． ②当0<a <12，即12a>1时，由(1)知函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增，则f ′(x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增， 所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1，12a 时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(0,1)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递增， 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，符合题意． ③当a ＝12，即12a＝1时，由(1)知函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 则f ′(x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不符合题意． ④当a >12，即0<12a <1时，由(1)知当x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，1时，g (x )>0， 则f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，则f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以f (x )在x ＝1处取得极大值，不符合题意． 综上可知，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，12. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·浙江名校协作体联考)已知函数f (x )＝x 2e x ，若f (x )在[t ，t ＋1]上不单调，则实数t 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝x 2e x 的导数为y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝x e x (x ＋2)， 令y ′＝0，得x ＝0或－2，所以函数f (x )在(－2,0)上单调递减，在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增， ∴0或－2是函数的极值点，∵函数f (x )＝x 2e x 在区间[t ，t ＋1]上不单调， ∴t <－2<t ＋1或t <0<t ＋1， ∴－3<t <－2或－1<t <0，故实数t 的取值范围是(－3，－2)∪(－1,0)． 答案：(－3，－2)∪(－1,0)2．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎡⎦⎤f ′(x )＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a (1－x )x. 当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)； 当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x . ∴g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数， 即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′(t )＜0，g ′(3)＞0.当g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0对任意t ∈[1,2]恒成立， 由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0， 即m ＜－5且m ＜－9，即m ＜－9； 由g ′(3)＞0，即m ＞－373.所以－373＜m ＜－9. 即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－373，－9.。
2021年秋高中数学课时分层作业18函数的极值与导数新人教A版选修11
2021年秋高中数学课时分层作业18函数的极值与导数新人教A 版选修11(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．函数f (x )＝sin x ＋x2，x ∈(0，π)的极大值是( )A.32＋π6 B ．－32＋π3C.32＋π3D ．1＋π4C [f ′(x )＝cos x ＋12，x ∈(0，π)，由f ′(x )＝0得cos x ＝－12，x ＝23π，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23π时，f ′(x )>0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，π时，f ′(x )<0，∴x ＝23π时，f (x )有极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＝32＋π3.]2．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )A ．(2,3)B ．(3，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，3)B [因为函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，因此有f ′(2)＝0，而f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋36，代入得a ＝－15.令f ′(x )＞0，解得x ＞3或x ＜2，因此函数的一个递增区间是(3，＋∞)．]3．设函数f (x )＝x e x，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点 D [∵f (x )＝x e x，∴f ′(x )＝e x＋x e x＝e x(1＋x )． ∴当f ′(x )≥0时， e x(1＋x )≥0，即x ≥－1， ∴x ≥－1时，函数f (x )为增函数． 同理可求，x <－1时，函数f (x )为减函数． ∴x ＝－1时，函数f (x )取得极小值．]4．函数f (x )＝13ax 3＋ax 2＋x ＋3有极值的充要条件是( )【导学号：97792156】A ．a ＞1或a ≤0B ．a ＞1C ．0＜a ＜1D ．a ＞1或a ＜0D [f (x )有极值的充要条件是f ′(x )＝ax 2＋2ax ＋1＝0有两个不相等的实根，即4a 2－4a ＞0，解得a ＜0或a ＞1.故选D.]5．已知a ∈R ，且函数y ＝e x＋ax (x ∈R )有大于零的极值点，则( ) A ．a <－1 B ．a >－1 C ．a <－1eD ．a >－1eA [因为y ＝e x＋ax ，因此y ′＝e x＋a .令y ′＝0，即e x ＋a ＝0，则e x＝－a ，即x ＝ln(－a )，又因为x >0，因此－a >1，即a <－1.]二、填空题6．若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值为13，则实数m 等于__________． －19 [y ′＝－3x 2＋12x ＝－3x (x －4)． 由y ′＝0，得x ＝0或4.且x ∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，y ′<0；x ∈(0,4)时，y ′>0. 因此x ＝4时函数取到极大值，故－64＋96＋m ＝13，解得m ＝－19.] 7．函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋3x 的极值点为x 1＝1，x 2＝2，则a ＝_______，b ＝________.【导学号：97792157】－2 －12 [f ′(x )＝a x ＋2bx ＋3＝2bx 2＋3x ＋ax ，∵函数的极值点为x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＝1，x 2＝2是方程f ′(x )＝2bx 2＋3x ＋a x＝0的两根，也即2bx 2＋3x ＋a ＝0的两根．∴由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－32b＝1＋2，a2b ＝1×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－12.]8．函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象与直线y ＝a 恰有三个不同的交点，则实数a 的取值范畴是__________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，283 [∵f (x )＝13x 3－4x ＋4， ∴f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情形如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗函数取得极大值f (－2)＝283；当x ＝2时，函数取得极小值f (2)＝－43.且f (x )在(－∞，－2)上递增，在(－2,2)上递减，在(2，＋∞)上递增． 依照函数单调性、极值情形，它的图象大致如图所示，结合图象知－43<a <283.]三、解答题9．设a 为实数，函数f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R ，求f (x )的单调区间与极值． [解] 由f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R ，知f ′(x )＝e x－2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.因此当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情形如下表：x (－∞，ln 2)ln 2 (ln 2，＋∞)f ′(x ) －0 ＋ f (x )↘2(1－ln 2＋a )↗因此f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )．10．已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2.(1)若f (x )在x ＝1时有极值－1，求b ，c 的值；(2)在(1)的条件下，若函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝k 的图象恰有三个不同的交点，求实数k 的取值范畴.【导学号：97792158】[解] (1)因为f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2， 因此f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由已知，得f ′(1)＝0，f (1)＝－1，因此⎩⎪⎨⎪⎧3＋2b ＋c ＝0，1＋b ＋c ＋2＝－1，解得b ＝1，c ＝－5.体会证，b ＝1，c ＝－5符合题意． (2)由(1)知f (x )＝x 3＋x 2－5x ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2x －5.由f ′(x )＝0，得x 1＝－53，x 2＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情形如下表：x ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－53 －53 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，1 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗22927↘－1↗依照上表，当x ＝－3时，函数取得极大值且极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＝27；当x ＝1时，函数取得极小值且极小值为f (1)＝－1.依照题意结合上图可知，k 的取值范畴为⎝⎛⎭⎪⎫－1，22927.[能力提升练]1．三次函数当x ＝1时有极大值4，当x ＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )A ．y ＝x 3＋6x 2＋9x B ．y ＝x 3－6x 2＋9x C ．y ＝x 3－6x 2－9xD ．y ＝x 3＋6x 2－9xB [由题意知，x ＝1与x ＝3是方程f ′(x )＝0的两根，经检验知选B.]2．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)·(x －1)k(k ＝1,2)，则 ( ) A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值 B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值 C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值 D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值C [当k ＝1时，f ′(x )＝e x (x －1)＋(e x －1)＝e x·x －1， 则f ′(1)≠0，故排除A 、B.当k ＝2时，f ′(x )＝e x (x －1)2＋2(x －1)e x ＝(x 2－1)e x令f ′(x )＝0得x ＝±1.且当x <－1时，f ′(x )>0，当－1<x <1时，f ′(x )<0， 当x >1时，f ′(x )>0，因此当x ＝1时，f (x )有极小值．]3．若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范畴为__________．[1,5) [f ′(x )＝3x 2＋2x －a ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f ′－1≤0，f ′1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤0，5－a >0，解得1≤a <5.]4．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx 在x ＝1处有极值，则4a ＋1b的最小值为__________．32[f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0 即a ＋b ＝6，则4a ＋1b ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b (a ＋b )＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫4b a ＋a b ＋5≥16⎝⎛⎭⎪⎫24b a ×a b ＋5＝32. 当且仅当4b a ＝ab且a ＋b ＝6，即a ＝4，b ＝2时等号成立．]5．若函数f (x )＝2x 3－6x ＋k 在R 上只有一个零点，求常数k 的取值范畴.【导学号：97792159】[解] f (x )＝2x 3－6x ＋k ， 则f ′(x )＝6x 2－6，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1， 可知f (x )在(－1,1)上是减函数，f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k. 要使函数f(x)只有一个零点，只需4＋k＜0或－4＋k＞0(如图所示)，即k＜－4或k＞4.∴k的取值范畴是(－∞，－4)∪(4，＋∞).。
新教材数学人教B版必修第一册课时作业：3-1-1 第3课时 分段函数
课时作业21 分段函数时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．函数f (x )＝|x －1|的图像是( B )解析：由f (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1.故B 项符合．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1，x <1，x －1，x >1，则f (2)等于( C )A ．0 B.13 C ．1D ．2解析：f (2)＝2－1＝1.3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2－x －3，x >1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (3)的值为( C )A.1516 B ．－2716 C.89D ．18解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2－x －3，x >1，∴f (3)＝32－3－3＝3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (3)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝89，故选C.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x ≤－2)，x 2(－2<x <2)，2x (x ≥2)，若f (a )＝8，则a 等于( C )A ．6B ．±2 2C ．4D ．以上均可能解析：当a ≤－2时，f (a )＝a ＋2＝8，∴a ＝6，不满足a ≤－2； 当－2<a <2时，f (a )＝a 2＝8， ∴a ＝±22，不满足－2<a <2；当a ≥2时，f (a )＝2a ＝8，∴a ＝4，满足a ≥2，故选C. 5．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx，x <A ，cA ，x ≥A .(A ，c 为常数)已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( D )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析：因为组装第A 件产品用时15分钟，所以cA ＝15①，所以必有4<A ，且c 4＝c2＝30②，联立①②解得c ＝60，A ＝16.6．对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max{|x＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值是( C )A ．0 B.12 C.32D ．3解析：函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的图像如图所示(实线部分)，由图像可得，其最小值为32.因此选C.二、填空题(每小题8分，共计24分)7．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x>0，－1，x＝0，2x－3，x<0，则f(f(f(5)))等于－5.解析：f(f(f(5)))＝f(f(0))＝f(－1)＝2×(－1)－3＝－5.8．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x∈Q，0，x∈∁R Q，则f(f(2π))＝1.解析：∵函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x∈Q，0，x∈∁R Q，∴f(2π)＝0，f(f(2π))＝f(0)＝1.9．已知实数a≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a，x<1，－x－2a，x≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为－34.解析：当a>0时，1－a<1,1＋a>1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得2－2a＋a＝－1－a－2a，解得a＝－32，不合题意；当a<0时，1－a>1,1＋a<1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得a＝－34，符合题意．三、解答题(共计40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤10．(10分)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－4，0≤x≤2，2x，x>2.(1)求f(2)，f[f(2)]的值；(2)若f(x0)＝8，求x0的值．解：(1)∵当0≤x≤2时，f(x)＝x2－4，∴f(2)＝22－4＝0，f[f(2)]＝f(0)＝02－4＝－4.(2)当0≤x0≤2时，由x20－4＝8，得x0＝±23(舍去)；当x0>2时，由2x0＝8，得x0＝4.∴x0＝4.11．(15分)如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B 开始，顺次经C、D、A绕边界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．解：当点P在BC上运动，即0<x≤4时，y＝12×4x＝2x；当点P在CD上运动，即4<x≤8时，y＝12×4×4＝8；当点P在DA上运动，即8<x<12时，y＝12×4×(12－x)＝24－2x.综上可知，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，0<x≤4，8，4<x≤8，24－2x，8<x<12.12.(15分)据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图像如图所示．过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为在时间t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)直接写出v(km/h)关于t(h)的函数关系式；(2)当t＝20 h时，求沙尘暴所经过的路程s(km)；(3)若N城位于M地的正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．解：(1)由题图可得，v＝⎩⎪⎨⎪⎧3t，0≤t≤10，30，10<t≤20，－2t＋70，20<t≤35.(2)当t＝20 h时，v＝30.所以s＝12×(10＋20)×30＝450(km)．即当t＝20 h时，沙尘暴所经过的路程为450 km.(3)会侵袭到N城．由(2)得，当0≤t≤20时，s<650.当20<t≤35时，s＝450＋[30＋(－2t＋70)](t－20)2＝－t2＋70t－550.令－t2＋70t－550＝650.解得t1＝30，t2＝40，因为20<t≤35，所以t＝30.即沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城．由Ruize收集整理。
(浙江专版)高中数学课时跟踪检测(八)分段函数与映射新人教A版必修1
课时跟踪检测（八）分段函数与映射层级一学业水平达标1 •下列对应关系f 中，能构成从集合 A 到集合B 的映射的是（）2A. A = {x |x >0}, B = R , f : x 9y | = xB.A = { — 2,0,2} ,B = {4} , f : X T y = x1C. A = R , B = {y | y >0}, f : x T y =〒z\.xD. A = {0,2} , B= {0,1} , f : X T y = 2解析：选D 对于A,集合A 中元素1在集合B 中有两个元素与之对应； 对于B,集合A 中元素0在集合B 中无元素与之对应；对于C,集合A 中元素0在集合B 中无元素与之对应.故 A B 、C 均不能构成映射.10, x <0,2已知 f (x ) = “ c 则f (f ( — 7))的值为()10x , x >0,A.100 B . 10C .—10 D . — 10010, x <0,解析：选 A ••• f(x ) = 10x , x ‘0,f (f ( — 7)) = f (10) = 10X 10= 100.3.下列图形是函数 y = x |x |的图象的是（）J厶」 —L VV “rv A15<:Dx 2, x >0,解析：选D 函数y = x | x | =2故选D.—x , x <0,4. 已知集合 M = {x |0 w x <4}, N = {0|0 w y < 2}，按对应关系f 不能构成从 M 到N 的映射的是（）1B . f : X T y = -x2 8解析：选C 因为当x = 4时，y = 3X 4= 3?N,所以C 中的对应关系 的映射.••• f ( — 7) = 10.A. f2C. f : x T y = 3xD . f : X T y = xf 不能构成从2x , O w x w 1,5.函数 f (x ) = 2, 1<x <2,3, x >2A. R C. [0，+m )解析：选B 先求各段上的图象，再求各段值域的并集，即为该函数的值域.2x —1, x >1 ,16.已知 f (x ) = 1 _________ 则 f f; =-x <1 3x ，x '，解析：依题意，得 f 3 = 1= 3，贝y f f 1 = f (3) = 32— 1= 8.3答案：8x + 2, x w — 1,7.函数 f (x ) =2x 2,— 1<x <2,解析：当x w — 1时，x + 2 = 3,得x = 1舍去, 当一1<x <2 时，x 2= 3 得 x = 3或 x =— .3(舍去).答案：•. 3& 在映射 f : Z B 中，A= B= {( x , y )| x , y € R}，且 f ： (x , y ) fx — y , x + y )，则 与A 中的元素(一1,2)对应的B 中的元素为 ______________________ .解析：由题意知，与A 中元素(一1,2)对应的B 中元素为(一1 — 2, — 1 + 2)，即(—3,1). 答案：(—3,1)2x — 4, 0w x w 2,9.已知函数f (x )=2x , x >2.(1) 求 f (2) , f (f (2))的值； (2) 若 f (x 。
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课时跟踪检测（十八） 分段函数
A 级——学考水平达标练
1．下列给出的函数是分段函数的是( )
①f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋1，1<x ≤5，2x ，x ≤1，②f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋1，x ∈R ，
x 2，x ≥2，
③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3，1≤x ≤5，x 2
，x ≤1，④f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋3，x ＜0，
x －1，x ≥5.
A ．①②
B ．①④
C ．②④
D ．③④
解析：选B 对于②取x ＝2，f (2)＝3或4，对于③取x ＝1，f (1)＝5或1，所以②、③都不合题意．
2．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图像可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是(
)
解析：选B 根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A 、D ，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C ，故选B.
3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
10，x <0，
10x ，x ≥0，
则f (f (－7))的值为( )
A ．100
B ．10
C ．－10
D ．－100
1
解析：选A ∵f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
10，x <0，
10x ，x ≥0，∴f (－7)＝10.
f (f (－7))＝f (10)＝10×10＝100.
4．已知A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A 地前往B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x (千米)表示为时间t (时)的函数表达式是( )
A ．x ＝60t
B ．x ＝60t ＋50
C ．x ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
60t ，0≤t ≤2.5，
150－50t ，t ＞3.5
D ．x ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
60t ，0≤t ≤2.5，150，2.5＜t ≤3.5，
150－50(t －3.5)，3.5＜t ≤6.5
解析：选D 由于在B 地停留1小时期间，距离x 不变，始终为150千米，故选D.
5.已知函数f (x )的图像是两条线段(如图所示，不含端点)，则f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13等于( )
A ．－13
B.13 C ．－23
D.23
解析：选B 由题图可知，函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x －1，0＜x ＜1，
x ＋1，－1＜x ＜0，所以
1
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23＝－23＋1＝1
3.
6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x ，x ＞0，
f (x ＋1)，x ≤0，
则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝________.
解析：∵f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ，x ＞0，
f (x ＋1)，x ≤0，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23×2＝43，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝8
3，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝43＋8
3
＝4. 答案：4
7．已知f (n )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
n －3，n ≥10，
f (f (n ＋5))，n ＜10，则f (8)＝________.
解析：因为8＜10，所以代入f (n )＝f (f (n ＋5))，即f (8)＝f (f (13))．因为13＞10，所以代入f (n )＝n －3，得f (13)＝10，故得f (8)＝f (10)＝10－3＝7.
答案：7
8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
3x ＋2，x ＜1，
x 2－ax ，x ≥1，
若f (f (0))＝a ，则实数a ＝________.
解析：依题意知f (0)＝3×0＋2＝2， 则f (f (0))＝f (2)＝22－2a ＝a ， 求得a ＝4
3
.。