角平分线的判定定理习题课

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八年级数学下册第1章直角三角形1.4角平分线的性质习题课件新版湘教版

(2)①BD与ED有什么关系?为什么? 提示:BD=2ED.∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°, 又∵∠B=30°,∴BD=2ED. ②请结合CD的长,以及CD与ED的关系确定BD的长. 提示:∵ED=CD=1,∴BD=2ED=2.
【总结提升】角平分线图形结构中的两种数量关系如图,OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,DE交OC于点F, 可以得到以下结论: 1.角之间的相等关系: ∠AOC=∠BOC=∠PDF=∠PEF; ∠ODP=∠OEP=∠DFO=∠EFO=∠DFP=∠EFP;∠DPO=∠EPO =∠ODF=∠OEF. 2.线段的相等关系: OD=OE,DP=EP,DF=EF.
【证明】过点P作PE⊥OA于E,PF⊥OD于F,
∵S△PAB=S△PCD,
∴ A1 B·PE=1 CD·PF.
2
2
∵AB=CD,∴PE=PF.
∴点P在∠AOD的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这
个角的平分线上).
∴OP平分∠AOD.
6.如图,△ABC中,BP,CP分别是∠B,∠C的外角平分线. 求证:点P在∠A的平分线上.
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知识点 1 角平分线的性质【例1】(2013·温州中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分 ∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E. (1)求证:△ACD≌△AED. (2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.
【解题探究】(1)①CD与ED有什么关系?为什么? 提示:CD=ED.∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=ED. ②由CD与ED的关系能判定△ACD≌△AED吗?为什么? 提示:能.∵在Rt△ACD和Rt△AED中,AD=AD,CD=ED,∴由“HL” 定理可得Rt△ACD≌Rt△AED.

【初中数学】人教版八年级上册第1课时角的平分线的性质(练习题)

人教版八年级上册第1课时角的平分线的性质(348) 1.如图，已知∠1=∠2，BA<BC，P为BN上的一点，PF⊥BC于点F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180∘2.证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，. 求证：．请你补全已知和求证，并写出证明过程．3.如图，已知AD//BC，∠D=90∘．(1)如图①，若∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，CD经过点P．试问：P是线段CD的中点吗？为什么？(2)如图②，如果P是DC的中点，BP平分∠ABC，∠CPB=35∘，求∠PAD的度数4.如图OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为（）A.PN<3B.PN>3C.PN≥3D.PN≤35.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm6.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长为（）A.3B.4C.6D.57.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于点E，测得BC=9，BE=3，则△BDE的周长是．8.如图，在△ABC中，两条外角平分线交于点P，PM⊥AC交AC的延长线于点M．若PM=6cm，则点P到AB的距离为．9.如图，已知AB//CD，O是∠BAC与∠ACD的平分线的交点．OE⊥AC于点E，OE=2，则AB与CD之间的距离为．10.如图，已知点B，D分别在∠DAB的两边上，C为∠DAB的内部的一点，且AB=AD，DC=BC，CE⊥AD交AD的延长线于点E，CF⊥AB交AB的延长线于点F．试判断CE与CF是否相等，并说明理由．11.如图，利用尺规作∠AOB的平分线OC，其作法如下：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点②分别以D，E为圆心，以大于12C；③画射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．这样作图的原理是一种三角形全等的判定方法，这种判定方法是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS12.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C,D，则下列结论错误的是（）A.PC=PDB.∠CPD=∠DOPC.∠CPO=∠DPOD.OC=OD13.求证：直角三角形的两锐角互余14.如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠CAB=50∘，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB,AC于点E,F；EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；②分别以点E,F为圆心，大于12③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为（）A.40∘B.55∘C.65∘D.75∘15.如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径画圆弧，分别交AB，AC于E，EF的长为半径画圆弧，两条圆弧交于点G，F两点，再分别以E，F为圆心，大于12作射线AG交CD于点H．若∠C=140∘，则∠AHC的大小是（）A.20∘B.25∘C.30∘D.40∘参考答案1.【答案】:证明：如图，过点P 作PE ⊥BA 交BA 的延长线于点E ． ∵∠1=∠2，PF ⊥BC 于点F ，∴PE =PF ，∠PEA =∠PFC =90∘．在Rt △PEA 与Rt △PFC 中，PA =PC ，PE =PF ，∴Rt △PEA ≌Rt △PFC(HL )，∴∠PAE =∠PCB ．∵∠PAE +∠BAP =180∘，∴∠PCB +∠BAP =180∘．2.【答案】:解：PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D,E 求证：PD =PE证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO =∠PEO =90∘．在△PDO 和△PEO 中，{∠PDO =∠PEO ，∠AOC =∠BOC ，OP =OP.∴△PDO ≌△PEO(AAS )，∴PD =PE .3(1)【答案】解：P 是线段CD 的中点．理由如下：如图，过点P 作PE ⊥AB 于点E ．∵AD//BC ，∠D =90∘，∴∠C =180∘−∠D =90∘，即PC ⊥BC ．∵∠DAB 的平分线与∠CBA 的平分线交于点P ，∴PD =PE ，PC =PE ，∴PC=PD，∴P是线段CD的中点.(2)【答案】解：如图，过点P作PE⊥AB于点E．∵AD//BC，∠D=90∘，∴∠C=180∘−∠D=90∘，即PC⊥BC．在△PBE与△PBC中，{∠PEB=∠C，∠PBE=∠PBC，PB=PB.∴△PBE≌△PBC(AAS)，∴∠EPB=∠CPB=35∘，PE=PC．∵PC=PD，∴PD=PE．在Rt△PAD与Rt△PAE中，{PA=PA，PD=PE∴Rt△PAD≌Rt△PAE(HL)，∴∠APD=∠APE．∵∠APD+∠APE=180∘−2×35∘=110∘，∴∠APD=55∘，∴∠PAD=90∘−∠APD=35∘．4.【答案】:C【解析】:作PM⊥OB于点M．∵OP是∠AOB的平分线，PE⊥OA，PM⊥OB，∴PM=PE=3，∴PN≥3. 故选 C5.【答案】:B【解析】:因为BE平分∠ABC，∠ACB=90°，DE⊥AB于点D，所以DE=EC，AE+DE=AE+EC=AC=3cm.故选 B.6.【答案】:A【解析】:如图，过点D作DF⊥AC于点F．∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DE=DF=2.由图可知S△ABC=S△ABD+S△ACD，即12×4×2+12AC×2=7，解得AC=3.故选A．7.【答案】:12【解析】:解：∵∠C=90∘，∴AC⊥CD．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE=CD．∵BC=9，BE=3，∴△BDE的周长=BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=3+9=12.8.【答案】:6cm【解析】:如图，过点P作PN⊥BC于点N，PQ⊥AB,交AB的延长线于点Q．∵PB，PC分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，PM⊥AC,∴PN=PM，PQ=PN，∴PQ=PM．∵PM=6cm，∴PQ=6cm，即点P到AB的距离为6cm．9.【答案】:4【解析】:如图，过点O作MN，使MN⊥AB于M，交CD于N．∵AB//CD，∴MN⊥CD．∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE=2，∴OM=OE=2.∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，∴ON=OE=2，∴MN=OM+ON=4，即AB与CD之间的距离是4.10.【答案】:解：CE=CF．理由：∵AD=AB，DC=BC，AC=AC，∴△ACD≌△ACB，∴∠DAC=∠BAC，∴AC为∠EAF的平分线．∵CE⊥AE，CF⊥AF，∴CE=CF(角平分线上的点到角两边的距离相等).11.【答案】:A12.【答案】:B【解析】:∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，∴PC=PD，故A项正确．在Rt△OCP与Rt△ODP中，∵OP=OP,PC=PD,∴Rt△OCP≌Rt△ODP，∴∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C，D两项正确．不能得出∠CPD=∠DOP，故B项错误．故选B13.【答案】:已知：在△ABC中，∠C=90∘．求证：∠A+∠B=90∘．证明：∵∠A+∠B+∠C=180∘，而∠C=90∘，∴∠A+∠B=90∘，即∠A与∠B互余.14.【答案】:C【解析】:根据作图方法可得AG是∠CAB的平分线，∵∠CAB=50∘，∠CAB=25∘，∴∠CAD=12∵∠C=90∘，∴∠CDA=90∘−25∘=65∘.故选C.15.【答案】:A【解析】:解：由题意可得AH平分∠CAB．∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180∘，∠HAB=∠AHC．∵∠ACD=140∘，∴∠CAB=40∘．∵AH平分∠CAB，∴∠HAB=20∘，∴∠AHC=20∘.。

新人教版数学八年级上册第12章第9课时角平分线的性质习题课(教师版)

新人教版八年级数学上册角平分线的性质习题课导学案一、学习目标熟练掌握角平分线的性质和判定；了解常用的辅助线，掌握角平分线辅助线的作法，会利用辅助线证明问题．二、知识回顾1．角平分线的性质定理是什么？在角平分线上的点到角的两边的距离相等．∵∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．2．角平分线的判定定理是什么？角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上（OP是∠AOB的平分线）．三、新知讲解由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称以后关系现；角平分线平行线，等腰三角形来添；角平分线加垂线，三线合一试试看．角平分线具有两条性质：a．对称性；b．角平分线上的点到角两边的距离相等．对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种；①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）．通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线，其它情况下考虑构造对称图形．至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件．四、典例探究扫一扫，有惊喜哦！1．添加一条垂线为辅助线【例1】（2014秋•西城区校级期中）如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180°．总结：已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段，可得垂线段相等，或利用角平分线的性质可证三角形全等，继而可证边角相等．练1．（2014秋•鼓楼区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD交DC于点E，连接BE，且AE⊥BE，求证：AB=AD+BC．2．添加两条垂线为辅助线【例2】（2014秋•西城区校级期中）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠B AD+∠B CD=180°．总结：当题目已知条件中出现角平分线的时候，我们应立刻想到它的两个性质：1．把已知角平分成两个相等的小角；2．角平分线性质定理，若此时作角的两边的垂线，则两条垂线段相等．练2．（2010秋•柘城县校级月考）如图：在△ABC中，AD是它的角平分线．求证：S△ABD：S△ACD=AB：AC．五、课后小测解答题1．（2014秋•五华区校级期中）四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°．求证：2AE=AB+AD．2．（2014秋•启东市校级期中）如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90゜，点D为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD=AC．3．（2011秋•兴庆区校级月考）如图，已知BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，且AB+BC=2BE．（1）求证：∠BAD+∠BCD=180°；（2）若将条件“AB+BC=2BE”与结论“∠BAD+∠BCD=180°”互换，结论还成立吗？请说明理由．4．如图所示，在△ABC中，已知∠ABC和△ABC的外角∠ACD的平分线相交于点P．求证：点P 到AB、AC的距离相等．5．如图，CE=BF，且S△DCE=S△DBF，求证：AD平分∠BAC．6．如图，BP、CP分别是ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线．求证：P点在∠BAC的平分线上．7．（2014秋•启东市校级月考）如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN 和EM相交于点C．求证：点C在∠AOB的平分线上．8．（2014秋•启东市校级月考）已知：∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P 在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D，PC和PD有怎样的数量关系，请说明理由．9．（2012秋•房山区期末）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB与M，DN⊥AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现．10．（2013秋•海安县月考）如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．11．（2012春•定陶县期末）如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，且AB=AD，BC=DC，CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F．求证：CE=CF．典例探究答案：【例1】【解析】过点P 作PE ⊥BA 于E ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PF ，然后利用HL 证明Rt △PEA 与Rt △PFC 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PAE=∠PCB ，再根据平角的定义解答．证明：如图，过点P 作PE ⊥BA 于E ，∵∠1=∠2，PF ⊥BC 于F ，∴PE=PF ，在Rt △PEA 与Rt △PFC 中，PA PC PE PF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △PEA ≌Rt △PFC （HL ），∴∠PAE=∠PCB ，∵∠BAP+∠PAE=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．练1．【解析】过点E 作EF ⊥AB 于F ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF ，然后利用“HL”证明Rt △ADE 和Rt △AFE 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AED=∠AEF ，全等三角形对应边相等可得AD=AF ，再根据等角的余角相等求出∠BEC=∠BEF ，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得BC=BF ，再利用AB=AF+BF 等量代换即可得证．证明：如图，过点E 作EF ⊥AB 于F ，∵AE 平分∠BAD ，∴DE=EF ，在Rt △ADE 和Rt △AFE 中，AE AE DE EF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADE ≌Rt △AFE （HL ），∴∠AED=∠AEF ，AD=AF ，∵AE ⊥BE ，∴∠AEF+∠BEF=∠AED+∠BEC=90°，∴∠BEC=∠BEF ，又∵EF ⊥AB ，CE ⊥BC ，∴BC=BF ，∵AB=AF+BF ，∴AB=AD+BC ．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．【例2】【解析】首先过点D 作DE ⊥BC 于E ，过点D 作DF ⊥AB 交BA 的延长线于F ，由BD 平分∠ABC ，根据角平分线的性质，即可得DE=DF ，又由AD=CD ，即可判定Rt △CDE ≌Rt △ADF ，则可证得∠B AD+∠B CD=180°．证明：过点D 作DE ⊥BC 于E ，过点D 作DF ⊥AB 交BA 的延长线于F ，∵BD 平分∠ABC ，∴DE=DF.在RtCDE 和Rt △ADF 中，CD AD DE DF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CDE ≌Rt △ADF （HL ），∴∠FAD=∠B CD ，∴∠BAD+∠B CD=∠BAD+∠FAD=180°．点评：此题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌利用全等把相关角进行转化，使问题得解．练2．【解析】根据AD 平分∠BAC ，作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，由角平分线性质可知DE=DF ，△ABD 与△ACD 等高，面积比即为底边的比．证明：作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足为E 、F ，∵AD 平分∠BAC ，∴DE=DF ，∴S △ABD ：S △ACD =（×AB×DE ）：（×AC×DF ）=AB ：AC ．点评：本题考查了角平分线性质，三角形计算面积的方法，关键是作辅助线，得出角平分线上一点到角的两边距离相等，又是这两个三角形的高．课后小测答案：解答题1．【解析】证明：过C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC=∠CEB=90°，∴△AFC≌△AEC，∴AF=AE，CF=CE，∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDC=∠EBC，∴△FDC≌△EBC∴DF=EB，∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE，∴2AE=AB+AD．2．【解析】（1）过点O作OE⊥AC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OB=OE，从而求出OE=OD，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；（2）利用“HL”证明△ABO和△AEO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，然后求出∠AOC=90°，再根据垂直的定义即可证明；（3）根据全等三角形对应边相等可得AB=AE，CD=CE，然后证明即可．证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，∵∠ABD=90゜，OA 平分∠BAC ，∴OB=OE ，∵点O 为BD 的中点，∴OB=OD ，∴OE=OD ，∴OC 平分∠ACD ；（2）在Rt △ABO 和Rt △AEO 中，AO AO OE OB =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABO ≌Rt △AEO （HL ），∴∠AOB=∠AOE ，同理求出∠COD=∠COE ，∴∠AOC=∠AOE+∠COE=×180°=90°，∴OA ⊥OC ；（3）∵Rt △ABO ≌Rt △AEO ，∴AB=AE ，同理可得CD=CE ，∵AC=AE+CE ，∴AB+CD=AC ．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，以及全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．3．【解析】（1）首先过D 作DF ⊥BA ，垂足为F ，再根据条件AB+BC=2BE 可得AB+EC=BE ，再证明Rt △BFD ≌Rt △BED ，可得FB=BE ，即AB+AF=BE ，进而得到AF=EC ，然后再证明△AFD ≌△CED 可得∠DCE=∠FAD ，再根据∠BAD+∠FAD=180°，可得∠BAD+∠BCD=180°；（2）过D 作DF ⊥BA ，垂足为F ，首先证明∠DCE=∠FAD ，再证明△AFD ≌△CED ，可得AF=EC ，然后证明Rt △BFD ≌Rt △BED 可得FB=BE ，再根据线段的和差关系可得AB+BC=2BE ．（1）证明：过D 作DF ⊥BA ，垂足为F ，∵AB+BC=2BE ，∴AB=BE+BE ﹣BC ，AB=BE+BE ﹣BE ﹣EC ，AB=BE ﹣EC ，AB+EC=BE ，∵BD 为∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，DF ⊥BA ，∴DF=DE ，在Rt △BFD 和Rt △BED 中DB DB DF DE=⎧⎨=⎩，∴Rt △BFD ≌Rt △BED （HL ），∴FB=BE ，∴AB+AF=BE ，又∵AB+EC=BE ，∴AF=EC ，在△AFD 和△CED 中，90AF EC DFA DEC DF DE =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△AFD ≌△CED （SAS ），∴∠DCE=∠FAD ，∵∠BAD+∠FAD=180°，∴∠BAD+∠BCD=180°；（2）解：可以互换，结论仍然成立．理由如下：过D 作DF ⊥BA ，垂足为F ，∵∠BAD+∠FAD=180°，∠BAD+∠BCD=180°∴∠DCE=∠FAD ，∵BD 为∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，DF ⊥BA ，∴DF=DE ，在△AFD 和△CED 中，90DF DE FAD ECDDFA DEC ⎧=⎪∠=∠⎨⎪∠=∠=⎩， ∴△AFD ≌△CED （AAS ），∴AF=EC ，在Rt △BFD 和Rt △BED 中，DB DB DF DE=⎧⎨=⎩， ∴Rt △BFD ≌Rt △BED （HL ），∴FB=BE ，∴AB+AF=BE ，AB=BE ﹣AF=BE ﹣EC=BE ﹣（BC ﹣BE ）=BE ﹣BC+BE=2BE ﹣BC ，即：AB+BC=2BE ．点评：此题主要考查了角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握角平分线上的点到线段两端点的距离相等．4．【解析】过点P 作PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，PG ⊥BG ，垂足分别为E 、F 、G ，再由角平分线的性质即可得出结论．证明：过点P 作PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，PG ⊥BG ，垂足分别为E 、F 、G ，∵BP是∠ABC的平分线，∴PE=PG．∵CP是∠ACD的平分线，∴PF=PG，∴PE=PF，即点P到AB、AC的距离相等．点评：本题考查的是角平分线的性质，根据题意作出辅助线，利用角平分线的性质求解是解答此题的关键．5．【解析】过D作DN⊥AC，DM⊥AB，分别表示出再△DCE和△DBF的面积，再根据条件“△DCE和△DBF的面积相等”可得到BF•DM=DN•CE，由于CE=BF，可得结论DM=DN，根据角平分线性质的逆定理进而得到AD平分∠BAC．证明：过D作DN⊥AC，DM⊥AB，则S△DBF=BF•DM，S△DCE=DN•CE，∵S△DCE=S△DBF，∴BF•DM=DN•CE，∵CE=BF，∴DM=DN，∴AD平分∠BAC．点评：此题主要考查了角平分线的性质，关键是过D作出△DCE和△DBF的高，再证明两高相等．6．【解析】首先过点P作PM⊥AD于点M，作PN⊥BC于点N，作PG⊥AC于点G，由BP、CP分别是ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线，根据角平分线的性质，易证得PM=PN=PG，又由在角内部，且到角两边距离相等的点，在此角的平分线上，证得P点在∠BAC的平分线上．证明：过点P作PM⊥AD于点M，作PN⊥BC于点N，作PG⊥AC于点G，∵BP、CP分别是ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线，∴PM=PN，PG=PN，∴PM=PG，∴P点在∠BAC的平分线上．点评：此题考查了角平分线的性质与判定．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．7．【解析】首先证明△MOE≌△NOD（SAS），然后利用图形中的面积关系求得S△MDC=S△NEC，已知，两三角形的底相等，所以它们的高也相等，它们的高即是CG，CF，所以点C 在∠AOB的平分线上．证明：作CG⊥OA于G，CF⊥OB于F，如图，在△MOE和△NOD中，OM=ON，∠MOE为公共角，OE=OD，∴△MOE≌△NOD（SAS）．∴S△MOE=S△NOD．∴S△MOE﹣S四边形ODCE=S△NOD﹣S四边形ODCE，∴S△MDC=S△NEC，∵OM=ON，OD=OE，∴MD=NE，由三角形面积公式得：DM×CG=×EN×CF，∴CG=CF，又∵CG⊥OA，CF⊥OB，∴点C在∠AOB的平分线上．点评：本题主要考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的逆定理．而且考查了三角形全等判定和性质；所以学生所学的知识要系统．正确作出辅助线是解题的关键．8．【解析】过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，由角平分线的性质易得PE=PF，然后由同角的余角相等证明∠1=∠2，即可由ASA证明△CFP≌△DEP，从而得证．解答：答：PC=PD．证明：过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，∴∠CFP=∠DEP=90°，∵OM是∠AOB的平分线，∴PE=PF，∵∠1+∠FPD=90°，∠AOB=90°，∴∠FPE=90°，∴∠2+∠FPD=90°，∴∠1=∠2，在△CFP和△DEP中，12CFP DEP PE PF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩， ∴△CFP ≌△DEP （ASA ），∴PC=PD ．点评：此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．9．【解析】连接BD ，CD ，由角平分线的性质可得DM=DN ，线段垂直平分线的性质可得BD=CD ，所以Rt △BMD ≌Rt △CND （HL ），则BM=CN ．解答：解：BM=CN ．理由：连接BD ，CD ，∵AD 平分∠BAC ，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴DM=DN ，∵DE 垂直平分BC ，∴BD=CD ，在Rt △BMD 与Rt △CND 中∵BD CD DM DN =⎧⎨=⎩∴Rt △BDM ≌Rt △CDN （HL ），∴BM=CN ．点评：此题主要考查角平分线的性质和线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定和性质，难度中等，作辅助线很关键．10．【解析】首先过D 作DN ⊥AC ，DM ⊥AB ，分别表示出再△DCE 和△DBF 的面积，再根据条件“△DCE 和△DBF 的面积相等”可得到BF•DM=DN•CE ，由于CE=BF ，可得结论DM=DN ，根据角平分线性质的逆定理进而得到AD 平分∠BAC ．证明：过D作DN⊥AC，DM⊥AB，△DBF的面积为：BF•DM，△DCE的面积为：DN•CE，∵△DCE和△DBF的面积相等，∴BF•DM=DN•CE，∵CE=BF，∴DM=DN，∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）．点评：此题主要考查了角平分线的性质，关键是过D作出△DCE和△DBF的高，再证明两高相等．11．【解析】连接AC，证明△ABC≌△ADC，求得AC平分∠EAF，再由角平分线的性质即可证明CE=CF．证明：连接AC，∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SSS）．∴∠DAC=∠BAC．又∵CE⊥AD，CF⊥AB，∴CE=CF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．点评：本题主要考查平分线的性质，综合利用了三角形全等的判定，辅助线的作法是解决问题的关键．。

2022年秋安徽专版沪科版初二上册数学习题课件：角的平分线的性质和判定(共32张PPT)

(2)解将条件“BD＝CD”与(1)中结论“点D在∠BAC的平分线：上”互换，仍然成立．理由如下：
∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°. ∵点D在∠BAC的平分线上，∴DE＝DF. 在△BDE与△CDF中， ∴△BDE≌△CDF(ASA)，∴BD＝CD.
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2022年秋安徽专版沪科版初二上册数学习题课件：角的平分线的性质和判定（共32张PPT）
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角的内部到角的两边的___距__离___相等的点在角的 _平__分__线___上．因此判定角平分线，需要满足两个条件：“________”和“________”．其一般思路是：“作垂直，垂证直相等”．相等
D．60
点拨 4题返回
点拨：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于 E，又∠C＝90°，∴DE＝CD.∴△ABD的面积＝
AB·DE＝ ×15×4＝30.故选B.
返回
4．(中考•深圳)如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于 PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，
返回
3．(中考·淮安)如图，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M， N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，
作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD
的面积是( ) B
A．15 B．30 C．45
C．①③

第2课时角平分线的判定【习题课件】八年级上册人教版数学

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第2课时
角平分线的判定
能力突破
基础通关
素养达标
9. 如图所示，直线 l1， l2， l3表示三条公路，现要建一个货物中转站，
要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(
D
)
第9题图
A. 一处
B. 两处
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C. 三处
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D. 四处
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第2课时
角平分线的判定
第十二章
全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第2课时
角平分线的判定
第2课时
角平分线的判定
基础通关
能力突破
素养达标
角的平分线的判定
1. (2023·石家庄第40中学期末)如图，用一把长方形直尺的一边压住射
线 OB ，再用另一把完全相同的直尺的一边压住射线 OA ，两把直尺的
另一边交于点 P ，则射线 OP 就是∠ AOB 的平分线的依据是( C )
F ， DM ⊥ AC 于点 M ， AB ＝16 cm， AF ＝10 cm， AC ＝14 cm，动点
E 以2 cm/s的速度从点 A 向点 F 运动，同时动点 G 以1 cm/s的速度从点 C
向点 A 运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动
时间为 t (s).
(1)求 S△ ABD ∶ S△ ACD ；
F . 若 PE ＝ PF ，且∠ AOC ＝50°，则∠ EOP 的度数为(
A
)
第2题图
A. 65°
B. 60°

角平分线的性质1练习课

角平分线的性质1练习课
目
CONTENCT
录
• 课程介绍与目标 • 基础知识点回顾 • 典型例题解析 • 学生自主练习与讨论 • 常见问题及解决方法 • 课程总结与拓展延伸
01
课程介绍与目标
角平分线定义及性质
角平分线的定义
角平分线是从一个角的顶点出发，将该角平分为两个相等的小角的一条射线。
角平分线的性质
示例
在解决与角平分线相关的几何问题时，可以先根据题目条件画出图形，并标出相关的角和线段。然后，根据角平分线的性质进行推理和计算，逐步求解问题。
问题三：缺乏灵活运用能力
解决方法
通过大量的练习和解题经验的积累，逐渐提高对角平分线性质的灵活运用能力。可以尝试解决一些综合性强、难度较大的问题，挑战自己的思维极限。
理解了角平分线在三角形中的应用，能够运用相关知识解决一些简单的几何问题。
在学习过程中，积极参与课堂讨论和小组合作，提高了自己的思维能力和团队协作能力。
拓展延伸：角平分线在几何中的应用
角平分线与三角形的面积
通过角平分线可以将一个三角形划分为两个面积相等的小三角形，这个性质在解决一些与三角形面积相关的问题时非常有用。
B. 角平分线就是角的对称轴 C. 若射线OC平分∠AOB，则∠AOC = ∠BOC
D. 若OA = OB，则射线OC平分∠AOB
练习三：解答题
解答题1
已知：∠AOB = 70°，OM是 ∠AOB的平分线，求∠AOM和 ∠BOM的度数。
解答题2
已知：点P是∠AOB的平分线上一点，PD⊥OA于点D， PE⊥OB于点E，求证：PD = PE。
示例
角平分线将一个角分为两个相等的角，且角平分线上的点到角的两边的距离相等。这些性质可以通过画图和测量进行验证，从而加深理解。

人教版八年级上册数学习题课件第9课角平分线的判定

又由(1)知BE＝CF. ∴ AB＋AC＝2AE.
9. 如图，CP，BP分别是△ABC的外角∠BCM，∠CBN
的平分线．求证AP平分∠BAC. 证明：过P作PE⊥AM于点E， PD⊥AN于点D，PF⊥BC于点F. ∵ PC平分∠BCM，∴ PE＝PF. 又 PB平分∠CBN， ∴ PD＝PF. ∴ PE＝PD，又 PE⊥AM，PD⊥AN， ∴ AP平分∠BAC.
25°
提示：证BD为∠ABC的平分线，
所以∠DBC＝
1 2
×(180°－90°－40°)＝25°.
4. (例2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF. 求证AD平分∠BAC.
证明：∵ DE⊥AB，DF⊥AC.∴ ∠BED＝∠CFD＝90°.
∵D是BC中点，∴BD=CD.
在Rt△BED和Rt△CFD中，
BE CF,

BD

CD,
∴ Rt△BED≌Rt△CFD，∴ DE＝DF.
又DE⊥AB，DF⊥AC，∴ AD平分∠BAC.
5. 如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF相交于D. 若BD＝CD，求证AD平分∠BAC.
提示：由AAS证明△BDF≌△CDE. 从而DF＝DE，结合BE⊥AC，CF⊥AB. 可证得AD平分∠BAC.
_P_B_⊥__A_B__，_P_C__⊥__A_C_ ∴ AP平分∠BAC.
1. 如图，AD⊥CD于点D，AB⊥BC于点B，AD＝AB，则由角平分线的判定可直接得到( A ) A. ∠1＝∠2 B. ∠3＝∠4 几何语言： ∵ _A_D__⊥__C_D_________， _A_B__⊥__B_C_，_A_D__＝__A_B_， ∴ _∠__1_＝__∠__2________.

角平分线的性质课件

05
角平分线的习题与解析
基础习题
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基础习题1
已知角平分线AD，点E在AD上，若∠BAC=50°， ∠CAD=25°，求∠BCA的度数。
基础习题2
2
在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若∠B=40°，∠C=70°，
求∠BAD的度数。
基础习题3
在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若∠BAC=120°， ∠C=30°，求∠BAD的度数。
03
角平分线将一个多边形分成面积相等的两部分。
02
角平分线的性质证明
性质1的证明
总结词
角平分线将相对边分成两段相等的线段
详细描述
根据角平分线的定义，我们知道角平分线将一个角分为两个相等的子角。因此，相对边被角平分线分成两段相等的线段。
性质2的证明
总结词
角平分线上的点到角的两边距离相等
详细描述
总结词
基于角平分线定理，我们可以推导出一些重要的推论，这些推论在解决几何问题时非常有用。
详细描述
推论一，若AD为角BAC的角平分线，则有 AB/BD = AC/CD。这个推论可以直接从角平分线定理得出。推论二，若AD为角BAC的角平分线，且在点D上作线段DE平行于AB交AC于点E，则有AE =EB。这个推论可以用于证明线段的等分。
角平分线定理的应用
要点一
总结词
角平分线定理在实际问题中有着广泛的应用，它可以用于解决各种与角度和线段比例相关的几何问题。
要点二
详细描述
应用一，在建筑设计时，可以利用角平分线定理来确定建筑物的位置和角度，以确保建筑物的美观和功能性。应用二，在地图绘制时，可以利用角平分线定理来确定道路、河流等地理要素的走向和分布，以保证地图的准确性和实用性。应用三，在土地测量时，可以利用角平分线定理来确定土地的边界和面积，以确保土地测量的准确性和公正性。

角平分线的性质和判定讲义2017.8

角平分线的性质及判定文档内容指引:角平分线尺规作图角平分线性质角平分线判定经典例题课后练习一. 教学内容：1. 角平分线的作法．2. 角平分线的性质及判定．3. 角平分线的性质及判定的应用．二. 知识要点：1. 角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．2. 角平分线的性质及判定（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．①推导已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A、点B．求证：PA＝PB．②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB．（2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．①推导已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）3. 角平分线性质及判定的应用①为推导线段相等、角相等提供依据和思路；②实际生活中的应用．例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300米．在下图中标出工厂的位置，并说明理由．4. 画一个任意三角形并作出两个角（内角、外角）的平分线，观察交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系．三. 重点难点：1. 重点：角平分线的性质及判定2. 难点：角平分线的性质及判定的应用【考点分析】本讲内容作为基础内容来讲，它在中考题中偶尔以选择题或填空题的形式出现，但角平分线的性质及判定有时出现在综合题题目当中，因此还是比较重要的．【典型例题】例1. 已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．例2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．例3. 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？例4.如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系．（1）学校距铁路的距离是多少？（2）请写出学校所在位置的坐标．例5.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不能，请说明理由．【方法总结】学过“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”与“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”这两个结论后，许多涉及角的平分线的问题用这两个结论解决很方便，需要注意的是有许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用这两个结论，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论．所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路．练习题一. 选择题1. 如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系是（）A. PC＞PDB. PC＝PDC. PC＜PDD. 不能确定2. 在R t△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若BC＝10，BD∶CD＝3∶2，则点D到AB的距离是（）A. 4B. 6C. 8D. 103. 在△ABC中，∠C＝90°，E是AB边的中点，BD是角平分线，且DE⊥AB，则（）A. BC＞AEB. BC＝AEC. BC＜AED. 以上都有可能4. （2007年浙江义乌）如图所示，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE＝3，则点P到AB的距离是（）A. 3B. 4C. 5D. 65. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AE＝AC，下列结论中错误的是（）A. DC＝DEB. ∠AED＝90°C. ∠ADE＝∠ADCD. DB＝DC6. 到三角形三边距离相等的点是（）A. 三条高的交点B. 三条中线的交点C. 三条角平分线的交点D. 不能确定7. 如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（）A. 4cmB. 6cmC. 10cmD. 以上都不对8. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）A. 一处B. 二处C. 三处D. 四处二. 填空题9. 如图所示，点P是∠CAB的平分线上一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，如果PF＝3cm，那么PE＝__________．10. 如图所示，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，则∠BAD＝__________，∠CDA＝__________．11. 如图所示，P在∠AOB的平分线上，在利用角平分线性质推证PD＝PE时，必须满足的条件是____________________．12. 如图所示，∠B＝∠C，AB＝AC，BD＝DC，则要证明AD是∠BAC的__________线．需要通过__________来证明．如果在已知条件中增加∠B与∠C互补后，就可以通过__________来证明．因为此时BD与DC已经分别是__________的距离．13. 如图所示，C为∠DAB内一点，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，且CD＝CB，则点C在__________．14. 如图所示，在R t△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．（1）若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是__________．（2）若BD∶DC＝3∶2，点D到AB的距离为6，则BC的长为__________．15. （1）∵OP平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴__________（依据：角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴OP平分∠AOB（依据：___________）．三. 解答题16. 已知：如图，在R t△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．17. 如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF＋∠BAF＝180°．（1）求证：DE＝DF；（2）若把最后一个条件改为：AE＞AF，且∠AED＋∠AFD＝180°，那么结论还成立吗？18. 如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD相交于点C．求证：AC＝BC．19. 如图所示，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为1cm．（1）在图上标出仓库G的位置．（比例尺为1∶10000，用尺规作图）（2）求出仓库G到铁路的实际距离．四. 探究题20. 有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法，其方法为：（1）如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧交OM、ON于点A、B；（2）以O为圆心，不等于（1）中的半径长为半径画弧交OM、ON于点C、D；（3）连接AD、BC相交于点E；（4）作射线OE，则OE为∠MON的平分线．你认为他这种作法对吗？试说明理由．答案：例1：分析：由条件∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′，可以把点A看作是∠CBC′平分线上的点，由此可打开思路．证明：（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知），∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定义）．又∵AC＝AC′（已知），∴点A在∠CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．∴∠ABC＝∠ABC′．（2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，∴180°－（∠C＋∠ABC）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）（三角形内角和定理）．即∠BAC＝∠BAC′，∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，∴BC＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用，但也会产生消极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样性．例2：分析：判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的判定定理．根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出∠1＝∠2，再利用平行线推得∠3＝∠4，最后用角平分线的定义得证．解：AD平分∠BAC．∵D到PE的距离与到PF的距离相等，∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．评析：由角平分线的判定判断出PD平分∠EPF是解决本例的关键．“同理”是当推理过程相同，只是字母不同时为书写简便可以使用“同理”．例3：分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段．解：AP平分∠BAC．结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、D．∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上，∴PD＝PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．同理PF＝PE，∴PD＝PF．∴AP平分∠BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）．例：4分析：因为角平分线上的点到角的两边距离相等，所以点P到铁路的距离与到公路的距离相等，也是400m；点P在第四象限，求点P的坐标时要注意符号．解：（1）∵点P在公路与铁路所夹角的平分线上，∴点P到公路的距离与它到铁路的距离相等，又∵点P到公路的距离是400m，∴点P（学校）到铁路的距离是400m．（2）学校所在位置的坐标是（400，－400）．评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等．例5：分析：由于点D在∠CAB的平分线上，若过点D作DE⊥AB于E，则DE＝DC．于是有BD＋DE＝BD＋DC＝BC＝AC，只要知道AC与AE的关系即可得出结论．解：能．过点D作DE⊥AB于E，则△BDE的周长等于AB的长．理由如下：∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC＝DE．在R t△ACD和R t△AED中，，∴R t△ACD≌R t△AED（HL）．∴AC＝AE．又∵AC＝BC，∴AE＝BC．∴△BDE的周长＝BD＋DE＋BE＝BD＋DC＋BE＝BC＋BE＝AE＋BE＝AB．评析：本题是一道探索题，要善于利用已知条件获得新结论，寻找与要解决的问题之间的联系．本题利用角平分线的性质将要探究的结论进行转化．这是初中几何中常用的一种数学思想．。

北师版八年级下册数学第1章 1.4.1目标二角平分线的判定习题课件1

＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分 ∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝( B ) A．30° B．35° C．45° D．60°
认知基础练
5 如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，
OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于
点M，连接OM.下列结论：
思维发散练
8 【教材P30习题T4改编】如图，已知OA和OB两条公路，以及C，D两个村庄，现在建立一个车站P，使车站到两个村庄的距离相等(即PC＝PD)，且点P到OA，OB 两条公路的距离相等(点P在∠AOB内部)．
思维发散练
解：如图，点P即为所求的车站位置．
思维发散练
【点拨】若要找到某两个点的距离相等的点，一般在这
认知基础练
作OG⊥MC于点G，OH⊥MB于点H，则∠OGC＝ ∠OHD＝90°，由全等三角形的性质得出∠OCG＝ ∠ODH，由AAS证明△OCG≌△ODH，得出OG＝OH，由角平分线的判定定理可得MO平分∠BMC，故④正确；
由已知条件不能得到OM平分∠BOC，故③错误．
认知基础练
6 【教材P32习题T4改编】如图，直线l1，l2，l3表示三条两两相互交叉的公路，要拟建一个货物中转站，使它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有 ____4____处．
北师版八年级下
第一章
三角形的证明
1.4. 角平分线的性质和判定 1
目标二角平分线的判定
习题链接
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1A 2A 3C 4B
5B 64 7 8
答案呈现
认知基础练
1 如图，DA⊥AC，DE⊥EC，若AD＝5 cm，DE＝5 cm， ∠ACD＝30°，则∠DCE为( A ) A．30° B．40° C．50° D．60°

角平分线的性质与判定的习题

B E
M
D
A
FN
C
18.如图，已知△ABC的周长为10，OB、OC 分别平分∠ABC.∠ACB、OD⊥BC于点D，且OD＝2，求△ABC的面积。
A
O
B
D
C
19.如图Rt△ABC中，∠C=90。AC=BC,AD是 ∠BAC
的平分线，DE⊥AB于E,
求证: △DBE的周长等于ABB长
E
D
C
A
4.如图所示，三条公路两两相交，交点分别为 A、B.C，现计划修一个油库，要求到三条公
路的距离相等，可供选择的地址有（ D ）
A. 一处 B. 二处 C.三处 D. 四处
5.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射
线OM上的一个动点，若PA=2,则PQ的最小值为
（B）
A. 1
B. 2
C. 3
用数学语言表示为: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE. ∴点Q在∠AOB的平分线上.
练习题 :
1.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证: 点F在∠DAE的平分线上．
证明:过点F作FG⊥AE于G, FH⊥AD于H, FM⊥BC于M
∵点F在∠BCE的平分线上, FG⊥AE, FM⊥BC ∴FG＝FM
D. 4
6.如图所示, 在△ABC中, ∠C＝90°, AD平分
∠BAC, AE＝AC, 下列结论中错误的是（ D ）
A. DC＝DE
B. ∠AED＝90°
C. ∠ADE＝∠ADC D. DB＝DC
7.如图所示, △ABC中, ∠C＝90°, AC＝BC, AD
平分∠CAB交BC于D, DE⊥AB于E, 且AB＝6cm,

第一章角平分线习题汇总2

是题库不是教案第一章1.4角平分线2一、角平分线性质与判定1．如图，ABC ∠，ACB ∠的平分线相交于F ，过点F 作//DE BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，连接AF ，那么下列结论正确的是（）①,BDF CEF 都是等腰三角形；②1902BFC BAC ∠=+∠ ③ADE 的周长为+AB AC ；④AF 平分BAC ∠．A ．①③④B ．①②③C ．①②③④D ．②③④ 2．如图，在△ABC 中，BF 、CF 分别平分∠ABC 和∠ACB ，过点F 作EG ∥BC 分别交于点AB 、AC 于点E 、G ．若AB =9，BC =10，AC =11，则△AEG 的周长为（）A ．15B ．20C ．21D ．193．如图所示，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线相交于点D ，过点D 作EF ∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点E ．若AB+AC=20，可求得△AEF 的周长为________．4．已知，ABC ∆中，9AB =，7BC =，8AC =，点O 是ABC ∆的三个内角的角平分线的交点，AOB S ∆、BOC S ∆、AOC S ∆分别表示AOB ∆、BOC ∆、AOC ∆的面积，则::AOB BOC AOC S S S ∆∆∆=__________．5．如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点D ，过点D 作EF BC ∥交AB 于点E ，交AC 于点F ．若2BE =，3CF =，求线段EF 的长．6．如图，ABC 中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ，过O 作EF BC ∥交AB ，AC 于E ，F ．若ABC 的周长比AEF 的周长大12cm ，O 到AB 的距离为3cm ，则OBC 的面积为__________2cm ．7．如图，在ABC 中，AB AC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线分别交于点O ，过O 点作//MN BC ，分别交AB 、AC 于点M 、N ．（1）求证：AMN 是等腰三角形；（2）求证：2MN BM =8．如图，点O 是△ABC 中∠BCA ，∠ABC 的平分线的交点，已知△ABC 的面积是12，周长是8，则点O 到边BC 的距离是（）是题库不是教案A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，在ABC ∆中，AD 为BAC ∠的平分线， DE AB ⊥于点,E DF AC ⊥于点F ，ABC ∆面积是228,16,12cm AB cm AC cm ==，则DE 的长为( )A ．2B ．2.4C ．3D ．3.2 10．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ．若28ABC S =，4DE =，8AB =，则AC =_________．11．已知，如图，ABC 中，90C ∠=︒，点O 为ABC 的三条角平分线的交点，OD 垂直BC ，OE AC ⊥，OF AB ⊥，点D 、E 、F 分别是垂足，且10cm AB =，8cm BC =，6cm CA =，则OF =__________．12．如图，OP 平分AOB ∠，15AOP ∠=︒，PC OB ∕∕，PD OB ⊥于点D ，4PD =，则PC 等于____．13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D ，E ，F 分别是垂足，且AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，CA ＝6cm ，则OD 的长度为________cm.14．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，DE AC ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ，且BC=4，DE=2，则△BCD 的面积是（）A ．4B ．2C ．8D ．6 15．如图，在ABC ∆中，8AB =，6AC =，O 为ABC ∆角平分线的交点，若ABO ∆的面积为20，则ACO ∆的面积为是（）A ．12B ．15C ．16D ．1816．如图，ABC ∆的三边AB 、AC 、BC 的长分别为6、4、8，其三条内角平分线将ABC ∆分成3个三角形，则::OAB OAC OBC S S S ∆∆∆=（）A ．3:2:4B ．1:1:1C ．2:3:4D ．4:3:2 17．如图，,AO BO 分别平分,CAB CBA ∠∠，且点O 到AB 的距离 2 OD cm =，ABC 的周长为28cm ，则ABC 的面积等于( )是题库不是教案A ．27cmB ．214cmC ．221cmD ．228cm 18．如图所示，已知点P 是△ABC 三条角平分线的交点，PD ⊥AB ，若PD =5，△ABC 的周长为20，求△ABC 的面积．19．如图，在△ABC 中，点D 为边AC 上的一点，BD ＝BC ，过点D 作DE ∥AB 交BC 于点E ，且 DE 平分∠BDC ．求证：AD ＝BC ．20．如图所示，己知ABC ∆的周长是22,,OB OC 分别平分ABC ∠和ACB OD BC D ∠⊥，于,且3OD =，则ABC ∆的面积是__________．21．如图，△ABC 中，AB =4cm ，BC =AC =5cm ，BD ，CD 分别平分∠ABC ，∠ACB ，点D 到AC 的距离是1cm ，则△ABC 的面积是_____．22．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别为14，12，8，其三条角平分线的交点为O ，则::ABO BCO CAO S S S =_____．23．如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为30、40、50．其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO =______ 。

人教版八年级数学上册角的平分线的性质同步练习题(含答案)

人教版八年级数学上册角的平分线的性质同步练习题（含答案）12.3 角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质要点感知1 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离_____.预习练习1-1 如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA,垂足为C,PD⊥OB,垂足为D,则PC与PD的大小关系是( )A.PC>PDB.PC=PDC.PC<PDD.不能确定要点感知2 命题证明的一般步骤为：(1)明确命题中的已知和求证；(2)根据题意画出图形,并用数学符号表示已知和求证；(3)写出证明过程.预习练习2-1 命题“全等三角形对应角的角平分线长度相等”的已知是____,求证是____.知识点1 角平分线的作法1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( )A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边距离相等2.已知△ABC,用尺规作图作出∠ABC的角平分线,保留作图痕迹,但不写作法.知识点2 角平分线的性质3.如图，BD是∠ABC的平分线，P是BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4 cm，则点P到边BC的距离为cm.4.如图所示,E 是∠AOB 的平分线上一点,EC ⊥OA,ED ⊥OB,垂足分别为C ，D.求证：OC=OD.5.如图，BD 平分∠ABC ，DE 垂直于AB 于E 点，△ABC 的面积等于90，AB=18，BC=12，求DE 的长.知识点3 命题证明6.命题“全等三角形对应边上的高线相等”的已知是____,结论是____.7.证明：全等三角形对应边上的中线相等.8.如图,AD ∥B C,∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交于点P,作PE ⊥AB 于点E.若PE ＝2,则两平行线AD 与BC 间的距离为____.9.如图，在△ABC ，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，小于AC 的长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点E 、F ；②分别以点E,F 为圆心，大于21EF 的长为半径画弧，两弧相交于点G ；③作射线AG 交BC 边于点D ，则∠CDA 的度数为____. 10.已知，如图所示，△ABC 的角平分线AD 将BC 边分成2∶1两部分，若AC=3 cm ，则AB=____.11.已知:如图所示,点O 在∠BAC 的平分线上,BO ⊥AC,CO ⊥AB,垂足分别为D ，E,求证：OB ＝OC.12.如图,△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠BAC 交BC 于D,DE ⊥AB,垂足为E,且AB=10 cm,求△DEB 的周长.13.求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等.挑战自我14.如图，∠AOB=90°，OM 平分∠AOB ，直角三角板的顶点P 在射线OM 上移动，两直角边分别与OA 、OB 相交于点C 、D ，问PC 与PD 相等吗？试说明理由.参考答案课前预习要点感知1 相等预习练习1-1 B预习练习2-1 全等三角形对应角的角平分线对应角的角平分线长度相等当堂训练 1.A 2.图略. 3.4 4.证明：∵E 是∠AOB 的平分线上一点,CE ⊥OA,ED ⊥OB ，∴EC=ED.在Rt △OCE 和Rt △ODE 中,OE=OE,EC=ED,∴Rt △OCE ≌Rt △ODE(HL).∴OC=OD.5.∵BD 平分∠ABC ，DE 垂直于AB 于E 点，∴点D 到BC 的距离等于DE 的长度.∵AB=18，BC=12，∴S △ABC =S △ABD +S △BCD =21×18·DE+21×12·DE=21DE(18+12)=15·DE.∵△ABC 的面积等于90，∴15·DE=90.∴DE=66.全等三角形对应边的高线对应边的高线相等7.已知:△ABC ≌△A ′B ′C ′,AD ，A ′D ′分别是BC ，B ′C ′边上的中线.求证：AD=A ′D ′.证明：∵△ABC ≌△A ′B ′C ′,∴AB=A ′B ′,∠B=∠B ′,BC=B ′C ′.又∵AD ，A ′D ′分别是BC ，B ′C ′边上的中线,∴BD=21BC,B ′D ′=21B ′C ′.∴BD=B ′D ′.∴△ABD ≌△A ′B ′D ′(SAS).∴AD=A ′D ′.课后作业 8.4 9.65° 10.6 cm 11.证明:∵点O 在∠BAC 的平分线上,BO ⊥AC,CO ⊥AB,∴OE ＝OD,∠BEO ＝∠CDO ＝90°.在△BEO 与△CDO 中,∠BEO ＝∠CDO,OE ＝OD,∠EOB ＝∠DOC,∴△BEO ≌△CDO(ASA).∴OB ＝OC.12.∵AD 平分∠BAC 交BC 于D,DE ⊥AB,∠C=90°,∴CD=DE.∴Rt △ACD ≌Rt △AED.∴AE=AC.∴△DEB 的周长=DE+DB+EB=CD+DB+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10 cm. 13.已知：如图,在△ABC 和△A ′B ′C ′中,∠B=∠B ′,∠BAC=∠B ′A ′C ′,AD,A ′D ′分别是∠BAC,∠B ′A ′C ′的平分线,且AD=A ′D ′.求证：△ABC ≌△A ′B ′C ′.证明：∵∠BAC=∠B ′A ′C ′,AD ，A ′D ′分别是∠BAC ，∠B ′A ′C ′的角平分线,∴∠BAD=∠B ′A ′D ′.∵∠B=∠B ′,AD=A ′D ′，∴△ABD ≌△A ′B ′D ′(AAS).∴AB=A ′B ′.在△ABC 和△A ′B ′C ′中,∠B=∠B ′,AB=A ′B ′,∠BAC=∠B ′A ′C ′,∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(ASA).14.PC=PD.理由如下：过点P 分别作PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，垂足分别为点E ，F.又∵OM 平分∠AOB ，∴PE=PF.又∵∠AOB=90°，∠PEO=∠PFO=90°，∴∠EPF=90°.∴∠EPC+∠CPF=90°.又∵∠CPD=90°，∴∠CPF+∠FPD=90°.∴∠EP C=∠FPD.在△PCE 与△PDF 中，∠PEC=∠PFD ，PE=PF ，∠EPC=∠FPD ，∴△PCE ≌△PDF(ASA).∴PC=PD.第2课时角的平分线的判定要点感知1 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的______上.预习练习1-1 已知点P 为∠AOB 内部的一点,PD ⊥OB 于点D,PC ⊥OA 于点C,且PC=PD,则OP 平分_____.要点感知2 三角形的三条内角平分线相交于一点,并且这一点到_____.预习练习2-1 如图,在△ABC 中,BD ，CE 分别平分∠ABC ，∠ACB,并且BD ，CE 相交于点O,过O 点作OP ⊥BC 于点P,OM ⊥AB 于点M,ON ⊥AC 于点N,则OP ，OM ，ON 的大小关系是_____.知识点1 角平分线的判定1.已知：如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件中:①∠AOC=∠BOC，②PD=PE，③OD=OE，④∠DPO=∠EPO,能判定OC是∠AOB的角平分线的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.已知：如图所示，BE=CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.知识点2 角平分线的性质与判定的综合运用3.如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线相交于O，下面结论中正确的是( )A.∠1＞∠2B.∠1=∠2C.∠1＜∠2D.不能确定4.如图,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D,连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线.知识点3 角平分线的性质与判定的实际应用5.如图,铁路OA和铁路OB交于O处,河道AB与铁路分别交于A处和B处,试在河岸上建一座水厂M,要求M到铁路OA，OB的距离相等,则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置.6.某市有一块由三条公路围成的三角形绿地,现准备在其中建一小亭子,供人们休息,而且要使小亭中心到三条公路的距离相等,试确定小亭的中心位置.7.如图所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1与∠2的大小关系是( )A.∠1=∠2B.∠1＞∠2C.∠1＜∠2D.无法确定8.如图所示,P为△ABC外部一点,D，E分别在AB，AC的延长线上,若点P到BC，BD，CE 的距离都相等,则关于点P的说法最佳的是( )A.在∠DBC的平分线上B.在∠BCE的平分线上C.在∠BAC的平分线上D.在∠DBC，∠BCE，∠BAC的平分线上9.三条公路两两相交于A，B，C三点,现计划修建一个商品超市,要求这个超市到三条公路距离相等,则可供选择的地方有_____处.10.已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O.求证：(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.11.如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BAC.12.如图所示,△ABC中,∠B＝∠C,D是BC边上一动点,过D作DE⊥AB,DF⊥AC,E，F分别为垂足,则当D 移动到什么位置时,AD 恰好平分∠BAC,请说明理由.挑战自我13.已知：如图所示，在△ABC 中，BD=DC,∠1=∠2，求证：AD 平分∠BAC.参考答案课前预习要点感知1 平分线预习练习1-1 ∠AOB要点感知2 三边的距离相等预习练习2-1 OP=OM=ON 当堂训练 1.D 2.证明：∵DF ⊥AC 于点F ，DE ⊥AB 于点E ，∴∠DEB=∠DFC=90°,在△BDE 和△CDF 中，∠BDE=∠CDF, ∠DEB=∠DFC,BE=CF,∴△BDE ≌△CDF(AAS).∴DE=DF.又∵DF ⊥AC 于点F ，DE ⊥AB 于点E ，∴AD 平分∠BAC. 3.B 4.证明：过点D 分别作DE ⊥AB,DG ⊥AC,DF ⊥BC,垂足分别为E,G,F.又∵BD 平分∠ABC,CD 平分∠ACF,∴DE=DF,DG=DF.∴DE=DG.∴AD 平分∠EAC,即AD 是∠BAC 的外角平分线.5.图略.提示：作∠AOB 的角平分线，与AB 的交点即为点M 的位置.6.在三角形内部分别作出两条角平分线,其交点O 就是小亭的中心位置,图略. 课后作业7.A8.D9.410.(1)证明：∵∠1＝∠2，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴OE ＝OD ，∠ODB ＝∠OEC ＝90°.在△BOD 和△COE 中，∠BOD=∠COE ，OD=OE ，∠ODB=∠OEC,∴△BOD ≌△COE(ASA).∴OB ＝OC. (2)证明：在△BOD 和△COE 中，∠ODB=∠OEC ，∠BOD=∠COE ， OB=OC ，∴△BOD ≌△COE(AAS).∴OD ＝OE.又∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴AO 平分∠BAC ，即∠1＝∠2.11.证明：过点D 作DH ⊥AB 于H ，DG ⊥AC 于G.∵S △DCE =21CE ·DG,S △DB F=21BF ·DH,S△DCE=S △DBF ,∴21CE ·DG=21BF ·DH.又∵CE=BF,∴DG=DH.∴点D 在∠BAC 的平分线上，即AD 平分∠BAC.12.移动到BC 的中点时,AD 恰好平分∠BAC.理由如下:∵D 是BC 的中点,∴BD ＝CD.∵DE ⊥AB,DF ⊥AC,∴∠DEB ＝∠DFC ＝90°.又∵∠B ＝∠C,∴△DEB ≌△D FC(AAS).∴DE ＝DF.又∵DE ⊥AB,DF ⊥AC,∴AD 平分∠BAC.13.证明：过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.在△BED 和△CFD 中，∠BED=∠CF D=90°,∠1=∠2,BD=CD,∴△BED ≌△CFD(AAS).∴DE=DF.又DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD 平分∠BAC.。

【中考数学】《角的平分线》专项练习题2套含答案

角的平分线第1课时角的平分线的性质01基础题知识点1角的平分线的作法1．如果要作已知∠AOB的平分线OC，合理的顺序是(C)①作射线OC；②在OA、OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE；③分别以D、E为圆心，大于12DE长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C. A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①2．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(A)A．SSSB．ASAC．AASD．角平分线上的点到角两边距离相等3．已知△ABC，用尺规作图作出∠ABC的角平分线，保留作图痕迹，不写作法．解：作图略．知识点2角的平分线的性质4．(茂名中考)如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P 到边OB的距离为(A)A ．6B ．5C ．4D ．35．(怀化中考)如图，OP 为∠AOB 的角平分线，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C ，D ，则下列结论错误的是(B )A ．PC ＝PDB ．∠CPD ＝∠DOPC ．∠CPO ＝∠DPOD ．OC ＝OD6．已知：如图所示，点O 在∠BAC 的平分线上，BO ⊥AC ，CO ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，求证：OB ＝OC.证明：∵点O 在∠BAC 的平分线上，BO ⊥AC ，CO ⊥AB ， ∴OE ＝OD ，∠BEO ＝∠CDO ＝90°. 在△BEO 和△CDO 中，⎩⎨⎧∠BEO ＝∠CDO ，OE ＝OD ，∠EOB ＝∠DOC ，∴△BEO ≌△CDO(ASA )． ∴OB ＝OC.知识点3 文字命题的证明7．命题“全等三角形对应边上的高相等”的已知是两个三角形全等，结论是这两个三角形对应边上的高相等．8．(咸宁中考)证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，∠AOC ＝∠BOC ，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ．求证：PD ＝PE ．请你补全已知和求证，并写出证明过程.证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴∠PDO ＝∠PEO ＝90°. 在△PDO 和△PEO 中，⎩⎨⎧∠PDO ＝∠PEO ，∠AOC ＝∠BOC ，OP ＝OP ，∴△PDO ≌△PEO(AAS )． ∴PD ＝PE. 02 中档题9．(淮安中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC ，AB 于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD ＝4，AB ＝15，则△ABD 的面积为(B )A ．15B ．30C ．45D ．6010．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(A) A．M点B．N点C．P点D．Q点11．(湖州中考)如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是(C)A．8 B．6 C．4 D．212．已知，如图，△ABC的角平分线AD交BC于D，BD∶DC＝2∶1，若AC＝3 cm，则AB＝6_cm．13．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝10 cm，求△DEB的周长．解：∵AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE.又∵AD＝AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED.∴AE＝AC.∴△DEB 的周长为DE ＋DB ＋EB ＝CD ＋DB ＋BE ＝BC ＋BE ＝AC ＋BE ＝AE ＋BE ＝AB ＝10 cm .14．求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等．已知：如图，在△ABC 和△A′B′C′中，∠B ＝∠B′，∠BAC ＝∠B′A′C′，AD ，A ′D ′分别是∠BAC ，∠B ′A ′C ′的平分线，且AD ＝A′D′.求证：△ABC ≌△A′B′C′.证明：∵∠BAC ＝∠B′A′C′，AD ，A ′D ′分别是∠BAC ，∠B ′A ′C ′的角平分线， ∴∠BAD ＝∠B′A′D′. ∵∠B ＝∠B′，AD ＝A′D′， ∴△ABD ≌△A ′B ′D ′(AAS )． ∴AB ＝A′B′.在△ABC 和△A′B′C′中，⎩⎨⎧∠B ＝∠B′，AB ＝A′B′，∠BAC ＝∠B′A′C′，∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(ASA )． 03 综合题15．(长春中考)感知：如图1，AD 平分∠BAC ，∠B ＋∠C ＝180°，∠B ＝90°.易知：DB ＝DC.探究：如图2，AD 平分∠BAC ，∠ABD ＋∠ACD ＝180°，∠ABD ＜90°.求证：DB ＝DC.证明：过点D 分别作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. ∵DA 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF.∵∠B ＋∠ACD ＝180°， ∠ACD ＋∠FCD ＝180°， ∴∠B ＝∠FCD. 在△DFC 和△DEB 中，⎩⎨⎧∠F ＝∠DEB ，∠FCD ＝∠B ，DF ＝DE ，∴△DFC ≌△DEB. ∴DC ＝DB.第2课时角的平分线的判定01 基础题知识点1 角的平分线的判定1．如图，OC 是∠AOB 内部的一条射线，P 是射线OC 上任意点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB.下列条件中：①∠AOC ＝∠BOC ；②PD ＝PE ；③OD ＝OE ；④∠DPO ＝∠EPO ，能判定OC 是∠AOB 的角平分线的有(D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，∠AOB ＝70°，QC ⊥OA 于点C ，QD ⊥OB 于点D ，若QC ＝QD ，则∠AOQ ＝35°．3．如图，BE ＝CF ，DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC ，求证：AD 是∠BAC 的平分线．证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴∠BED ＝∠DFC ＝90°.在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，⎩⎨⎧BE ＝CF ，DB ＝DC ，∴Rt △DEB ≌Rt △DFC.∴DE ＝DF. ∴AD 是∠BAC 的平分线．4．如图，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE ，CD 相交于点O.求证：(1)当∠1＝∠2时，OB ＝OC ； (2)当OB ＝OC 时，∠1＝∠2.证明：(1)∵∠1＝∠2，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ， ∴OE ＝OD ，∠ODB ＝∠OEC ＝90°. 在△BOD 和△COE 中，⎩⎨⎧∠BOD ＝∠COE ，OD ＝OE ，∠ODB ＝∠OEC ，∴△BOD ≌△COE(ASA )． ∴OB ＝OC.(2)在△BOD 和△COE 中，⎩⎨⎧∠ODB ＝∠OEC ，∠BOD ＝∠COE ，OB ＝OC ，∴△BOD ≌△COE(AAS )． ∴OD ＝OE.又∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ， ∴AO 平分∠BAC ，即∠1＝∠2.知识点2 三角形的角平分线5．到△ABC 的三条边距离相等的点是△ABC 的(B )A ．三条中线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条高的交点D ．以上均不对6．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ∶S △BCO ∶S △CAO ＝4∶5∶6．知识点3角的平分线的性质与判定的实际应用7．如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置．解：图略．提示：∠AOB的平分线与AB的交点即为点M的位置．8．如图，某市有一块由三条公路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭子，供人们休息，而且要使小亭中心到三条公路的距离相等，试确定小亭的中心位置．解：△ABC的角平分线的交点就是小亭的中心位置，图略．02中档题9．(永州中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△＝S△PCD，则满足此条件的点P(D)PABA．有且只有1个B．有且只有2个C．组成∠E的角平分线D．组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)10．如图，已知△ABC的周长是20 cm，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若OD＝3 cm，则△ABC的面积为30_cm2．11．如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线．证明：过点D分别作DE⊥AB，DG⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，G，F.又∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，∴DE＝DF，DG＝DF.∴DE＝DG.∴AD平分∠EAC，即AD是∠BAC的外角平分线．12．如图所示，△ABC中，∠B＝∠C，D是BC边上一动点，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则当D移动到什么位置时，AD恰好平分∠BAC，请说明理由．解：当D移动到BC的中点时，AD恰好平分∠BAC.理由：∵D是BC的中点，∴BD＝CD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB ＝∠DFC ＝90°.又∵∠B ＝∠C ，∴△DEB ≌△DFC(AAS )．∴DE ＝DF.又∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD 平分∠BAC.03 综合题13．如图，在四边形ABDC 中，∠D ＝∠B ＝90°，O 为BD 的中点，且AO 平分∠BAC.求证：(1)CO 平分∠ACD ；(2)OA ⊥OC ；(3)AB ＋CD ＝AC.证明：(1)过点O 作OE ⊥AC 于点E ，∵∠B ＝90°，AO 平分∠BAC ，∴OB ＝OE.∵点O 为BD 的中点，∴OB ＝OD.∴OE ＝OD.又∵∠D ＝90°，∠OEC ＝90°.∴CO 平分∠ACD.(2)在Rt △ABO 和Rt △AEO 中，⎩⎨⎧AO ＝AO ，OB ＝OE ，∴Rt △ABO ≌Rt △AEO(HL )．∴∠AOB ＝∠AOE ＝12∠BOE. 同理，∠COD ＝∠COE ＝12∠DOE.∵∠AOC ＝∠AOE ＋∠COE ，∴∠AOC ＝12∠BOE ＋12∠DOE ＝12×180° ＝90°.∴OA ⊥OC.(3)∵Rt △ABO ≌Rt △AEO ，∴AB ＝AE.同理可得CD ＝CE.∵AC ＝AE ＋CE ，∴AB ＋CD ＝AC.。

角平分线的判定定理习题课知识分享

已知：如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C， ∠1=∠2，BE⊥AE．求证：AC-AB=2BE
．
课内拓展延伸
如图，△ABC中，点O是∠BAC与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长.
A
D OE
B
C
课堂练习
角平分线的性质：在角的平分线上的点到这
个角的两边的距离相等。
D
∵ OP 是 AOB的平分线
PDOA PEOB
O
\ PD = PE
用途：证线段相等
E
角平分线的判定到一个角的两边的距离相等的
点，在这个角的平分线上。
∵ PDOAPEOB
A C
P BΒιβλιοθήκη PD = PE\ OP 是 AOB的平分线
用途：判定一条射线是角平分线
练习：如图，三条公路相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，问加油站该选在什么位置上？
7．已知:如图,在ΔABC中，O是∠B、∠C外角的平分线的交点，那么点O在∠A的平分线上
吗？为什么？
A
B C
O
动脑筋已知：在∠ABC中，D是
∠ABC平分线上一点,E、F分别在AB、AC
上，且DE=DF. 试判断∠BED与∠BFD的
关系，并说明理由.
A
M
E
D
B
NF
C
2、如图：AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F连接EF， EF与AD交于G，AD与EF垂直吗？
拓展与延伸
如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°M是
BC的中点，DM平分∠ADC 求证：AM平分∠DAB

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用途：判定一条射线是角平分线
练习：如图，三条公路相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，问加油站该选在什么位置上？
7．已知:如图,在ΔABC中，O是∠B、∠C外角的平分线的交点，那么点O在∠A的平分线上吗？为什么？
A
B C
O
动脑筋
已知：在∠ABC中，D是
∠ABC平分线上一点,E、F分别在AB、AC 上，且DE=DF. 试判断∠BED与∠BFD的关系，并说明理由.
．
课内拓展延伸
如图，△ABC中，点O是∠BAC与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长.
A
D B
O
E C
课堂练习
如图，O是三条角平分线的交点， OD⊥BC于D，OD=3， △ABC的周长为15，求S△ABC A
M
E D A
B
N
F
C
2、如图：AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F连接EF， EF与AD交于G，AD与EF垂直吗？
拓展与延伸
如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°M是
BC的中点，DM平分∠ADC
求证：AM平分∠DAB
D
C
M
A
B
如图，△ABC中，∠BAC=90度， AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线 CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．
N M O B G D
CLeabharlann 角平分线的性质：在角的平分线上的点到这
个角的两边的距离相等。
D P E
A C
∵ \
OP 是 AOB 的平分线
PD OA
PE OB
O
PD = PE
用途：证线段相等
B
角平分线的判定到一个角的两边的距离相等的
点，在这个角的平分线上。
∵ \
PD OA
PE OB
PD = PE OP 是 AOB 的平分线
已知：∠A=90°，AB=AC，BD平分 ∠ABC，CE⊥BD，垂足为E．求证：BD=2CE．
如图三角形abc中,角ABC=3角c,AD是 ∠BAC的角平分线,BE⊥AD于点E, 求证:BE=½(AC-AB)
已知：如图，在△ABC中， ∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE．求证：AC-AB=2BE