专题24 正方形存在性问题巩固练习(基础)-冲刺2021年中考几何专项复习(解析版)

正方形存在性问题巩固练习
1．如图，抛物线y ＝﹣ax 2+bx +5过点（1，2）、（4，5），交y 轴于点B ，直线
AB 经过抛物线顶点A ，交x 轴于点C ，请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）点Q 在平面内，在第一象限内是否存在点P ，使以A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式即可求得a 、b 的值，可求得抛物线解析式；
（2）可先求得A 、B 两点的坐标，可求得AB 长度，分别过A 、B 两点作AB 的垂线，则点P 可以在这两条直线上，且P A ＝AB 或PB ＝AB ，分别求得两垂线的解析式，设出点P 的坐标，再根据线段相等可列出方程，可求得点P 的坐标．
【解答】解：
（1）∵抛物线y ＝﹣ax 2+bx +5过点（1，2）、（4，5），
∴{−a +b +5=2−16a +4b +5=5
，解得{a =−1b =−4， ∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣4x +5；
（2）在y ＝x 2﹣4x +5中，令x ＝0可得y ＝5，
∴B （0，5），
∵y ＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1，
∴A （2，1），
∴AB =√22+(1−5)2=2√5，
设直线AB 解析式为y ＝kx +n ，则有{2k +n =1n =5，解得{k =−2n =5
， ∴直线AB 解析式为y ＝﹣2x +5，
①当P A ⊥AB 时，如图1，。