函数专题—— 一次函数的应用解析

教学过程

一、课程导入

在前几节课里，我们通过从生活中的实际问题情景出发，分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的性质，从中对一次函数在现实生活中的广泛应用有了一定的了解．怎样应用一次函数的图象和性质来解决现实生活中的实际问题，是我们这节课的主要内容。

二、 复习预习

①如图（l ）所示，当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；

②如图（2）所示，当k ＞0，b ﹥O 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）； ③如图（3）所示，当k ﹤O ，b ＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；

④如图（4）所示，当k ﹤O ，b ﹤O 时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）． k ＞0y 的值随x 值的增大而增大；当k ﹤O y 的值随x 值的增大而减小；

注意：一次函数y ＝kx ＋b 的图象为一条直线，与坐标轴的交点分别为⎪⎭

⎫

⎝⎛-0,k b ，(0，b)．它的倾斜程度由k 决定，b 决定该直线与y 轴交点的位置．

三、知识讲解

考点1 待定系数法确定一次函数表达式

先观察直线是否过坐标原点，若过原点，则为正比例函数，可设其关系式为y＝kx(k≠0)；若不过原点，则为一次函数，可设其关系式为y＝kx＋b(k≠0)；然后再观察图象上有没有明确几个点的坐标．

对于正比例函数，只要知道一个点的坐标即可；对于一次函数，则需要知道两个点的坐标；最后将各点坐标分别代入y＝kx或y＝kx＋b中，求出其中的k，b，即可确定出其关系式．

考点2 一次函数中的图表问题

通过图象获取信息

通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．

考点3 一次函数中的一次函数中数形结合的实际问题要学会通过读图分析题目中的条件和等量关系

四、例题精析

考点一待定系数法确定一次函数表达式

例1、已知一次函数的图象经过(2，5)和(－1，－1)两点．(1)画出这个函数的图象；(2)求这个一次函数的解析式．

【规范解答】: (1)图象如图所示．

(2)设函数解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧-=+-=+,1,52b k b k 解得⎩

⎨⎧==,1,

2b k

所以函数解析式为y ＝2x ＋1．

分析: 已知两点可确定一条直线，运用待定系数法即可求出对应的函数关系式．

考点二一次函数中的图表问题

例2、一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，如果A点的坐标为(2，0)，且OA＝OB，试求一次函数的解析式．

【规范解答】：

设一次函数的关系式为y ＝kx ＋b(k ，b 为常数，且k ≠0)． ∵OA ＝OB ，点A 的坐标为(2，0)， ∴点B 的坐标为(0，－2)．

∵点A ，B 的坐标满足一次函数的关系式y ＝kx ＋b ，

∴⎩⎨⎧-=+=+,20,02b b k ∴⎩⎨⎧-==.2,

1b k

∴一次函数的解析式为y ＝x －2．

分析： 通过观察图象可以看出，要确定一次函数的关系式，只要确定B 点的坐标即可，因为OB ＝OA ＝2，所以点B 的坐标为(0，－2)，再结合A 点坐标，即可求出一次函数的关系式．

考点三一次函数中数形结合的实际问题

例3、某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y（元）是行李重量x（千克）的一次函数，其图象如图所示．求：

（1）y与x之间的函数关系式；

（2）旅客可免费携带的行李的重量．

【规范解答】：

（1）设一次函数的关系式为y=kx+b ．

∵当x=60时，y=6，当x=80时，y=10，

⎩⎨⎧=+=+∴10b k 806b k 60 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==6

b 51k ∴所求函数关系式为y=15

x-6（x≥30） （2）当y=0时，15

x-6=0 ∴x=30． 故旅客最多可免费携带30千克行李．

分析：本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，同时考查了在直角坐标系中的读图能力．

例4 、在一次遥控车比赛中，电脑记录了速度的变化过程，如图所示，能否用函数关系式表示这段记录?

【规范解答】：

观察图象可知．

当t 在0～1 s 内时，速度v 与时间t 是正比例函数关系，v ＝7．5t(0≤t ≤1)．

当t 在1～8 s 内时，速度v 保持不变， v ＝7．5(1＜t ≤8)；

当t 在8～10 s 内时，速度v 与时间t 是一次函数关系，设一次函数为v ＝kt ＋b(k ≠0)，又一次函数图象过(8，7．5)和(10，0)，

则⎩⎨⎧+=+=,100,85.7b k b k 解得⎩

⎨⎧=-=.5.37,75.3b k ∴v ＝－3．75t ＋37．5(8＜t ≤10)．

即：

7.5(01),7.5(18),

3.7537.5(810).t t v t t t ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩

分析：根据所给图象及函数图象的增减性，本题要分三种情况进行讨论．电脑记录提供了赛车时间t(s)与赛车速度v(m ／s)之间的关系，在10 s内，赛车的速度从0增加到7．5 m／s，又减至0，因此要注意时间对速度的影响．

五、课堂运用

【基础】

1、已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点A(－3，－2)及点B(1，6)，求此函数关系式，并作出函数图象．