第2讲 数列求和及综合问题

第2讲数列求和及综合问题

高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透.

真题感悟

1.(2020·全国Ⅰ卷)数列{a n}满足a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1，前16项和为540，则a1＝________.

解析法一因为a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1，

所以当n为偶数时，a n＋2＋a n＝3n－1，

所以a4＋a2＝5，a8＋a6＝17，a12＋a10＝29，a16＋a14＝41，

所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝92.

因为数列{a n}的前16项和为540，

所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝540－92＝448.①

因为当n为奇数时，a n＋2－a n＝3n－1，

所以a3－a1＝2，a7－a5＝14，a11－a9＝26，a15－a13＝38，

所以(a3＋a7＋a11＋a15)－(a1＋a5＋a9＋a13)＝80.②

由①②得a1＋a5＋a9＋a13＝184.

又a3＝a1＋2，a5＝a3＋8＝a1＋10，a7＝a5＋14＝a1＋24，a9＝a7＋20＝a1＋44，a11＝a9＋26＝a1＋70，a13＝a11＋32＝a1＋102，

所以a 1＋a 1＋10＋a 1＋44＋a 1＋102＝184，所以a 1＝7. 法二 同法一得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝448. 当n 为奇数时，有a n ＋2－a n ＝3n －1，

由累加法得a n ＋2－a 1＝3(1＋3＋5＋…＋n )－n ＋1

2 ＝32(1＋n )·n ＋12－n ＋12＝34n 2＋n ＋1

4， 所以a n ＋2＝34n 2＋n ＋1

4＋a 1.

所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15

＝a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34×12＋1＋14＋a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34×32＋3＋14＋a 1＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫

34×52＋5＋14＋a 1＋

⎝ ⎛⎭⎪⎫34×72＋7＋14＋a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34×92＋9＋14＋a 1＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫34×112

＋11＋14＋a 1＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫

34×132＋13＋14＋a 1＝8a 1＋392＝448，解得a 1＝7. 答案 7

2.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析 法一 因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，

所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＝－2n －1.

所以S 6＝－1×（1－26）1－2

＝－63.

法二 由S n ＝2a n ＋1，得S 1＝2S 1＋1，所以S 1＝－1，当n ≥2时，由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即S n ＝2S n －1－1，∴S n －1＝2(S n －1－1)，又S 1－1＝－2，∴{S n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，所以S n －1＝－2×2n －1＝－2n ，所以S n ＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63.

答案 －63

3.(2020·新高考山东卷)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8. (1)求{a n }的通项公式；

(2)记b m 为{a n }在区间(0，m ](m ∈N *)中的项的个数，求数列{b m }的前100项和S 100. 解 (1)设{}a n 的公比为q (q ＞1). 由题设得a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8. 解得q ＝1

2(舍去)，q ＝2. 由题设得a 1＝2.

所以{}a n 的通项公式为a n ＝2n .

(2)由题设及(1)知b 1＝0，且当2n ≤m ＜2n

＋1

时，b m ＝n .

所以S 100＝b 1＋(b 2＋b 3)＋(b 4＋b 5＋b 6＋b 7)＋…＋(b 32＋b 33＋…＋b 63)＋(b 64＋b 65＋…＋b 100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480. 4.(2020·全国Ⅰ卷)设{a n }是公比不为1的等比数列，a 1为a 2，a 3的等差中项. (1)求{a n }的公比；

(2)若a 1＝1，求数列{na n }的前n 项和.

解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设得2a 1＝a 2＋a 3， 即2a 1＝a 1q ＋a 1q 2.

所以q 2＋q －2＝0，解得q ＝1(舍去)或q ＝－2. 故{a n }的公比为－2.

(2)记S n 为{na n }的前n 项和.由(1)及题设可得

a n ＝(－2)n －1，所以S n ＝1＋2×(－2)＋…＋n ·(－2)n －1， －2S n ＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n －1)·(－2)n －1＋n ·(－2)n . 所以3S n ＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n －1－n ·(－2)n ＝1－(－2)n

3

－n ·(－2)n

.

所以S n ＝19－(3n ＋1)(－2)n

9

.

考 点 整 合

1.常用公式：12＋22＋32＋42＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）

6

.