高中数学课件 三垂线定理

B
C
2、 PA⊥正方形ABCD所在平 面,O为对角线BD的中点， 求证：PO⊥BD，PC⊥BD
P
A O
B
D C
三垂线定理解题的关键：找三垂！
怎么找？一找直线和平面垂直
解 题
二找平面的斜线在
P
回 平面内的射影和平 顾 面内的一条直线垂 α
A
Oa
直
注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件
a⊥Βιβλιοθήκη Baidu。
( ×)
(2)若a是平面α的斜线，b是 平面α内的直线，且b垂直于a 在β内的射影，则a⊥b。（×）
P
a Ao
α
强调：1°四线是对同一个平面 而言.
2°定理的关键找“平面的垂线”.
例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面ABC ，AC ⊥ BC， 求 证： PC ⊥ BC P
A
O
三垂线定理
在平面内的一条直线，如
果和这个平面的一条斜线的 射影垂直，那么，它就和这 条斜线垂直。 P
O
Aa
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如
果和这个平面的一条斜线垂直，
那么，它也和这条斜线的射影
垂直。
P
O
Aa
1、判定下列命题是否正确
(1)若a是平面α的斜线、直线
b垂直于a在平面α内的射影，则
注意：如果将定理中“在平面内” 的条件去掉，结论仍然成立吗？
解
直线a 在一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成
题 立。 回
P
b
顾
Oa
αA
练习３、 已知：PA⊥平面PBC， PB=PC， M是BC的中点，
求证：BC⊥AM P
C A
M B
练习４、 在正方体AC1中，
求证：A1C⊥BC1 ， A1C⊥B1D1
D1 C1
A1
B1
D A
C B
思考题5 求证: 如果一个角 所在平面外一点到角的两边 距离相等，那么这一点在平 面上的射影在这个角的平分 线上。
5、已知：∠BAC在平面内，点 P，PE⊥AB，PF⊥AC， PO⊥ ，垂足分别是E、F、O， PE=PF 求证：∠BAO=∠CAO
P
EBO
A
C
F
思考题 6、在四面体ABCD中，
已知AB⊥CD、AC⊥BD求证：
AD⊥BC
A
B
D
O
作业：如图，已知正方体
AA平BC面，CDAC-BBA111C，B1CB11DA1，中D1求，证连：结CBB1DD11⊥，
A1
B1
D
A
C
B
再见！