浅谈代数基本定理的证明

浅谈代数基本定理的证明

前言

代数史本身就是一串解方程式的历史，我们从最简单的开始看起。一元一次

方程式100a x a +=其中011,(0)a a a ≠为复数，则明显地有一个解01a

x a =-。

而二次方程式22100a x a x a ++=，其中0122,,(0)a a a a ≠为复数的时候，我们知道

有两个解122

2

x x ==

对任一个一般的三次方程式32321030,0a x a x a x a a +++=≠, 透过2

3

3a y x a =+

的转换，可以让它变成30y py q ++=。于是，在下列方程式 ()

3

333()()0u v uv u v u v +-+-+=中

只要33u v q +=-，3

p

uv =-

，那么y u v =+就是答案了。经过计算，

3

322q q u v =-=-

0,1,2.u v i ω

ω===

(31x =的三根为21,,ωω) 其中要取u 和v 使3

p

uv =-

而这就是卡当诺(Cardano)公式

123y y y ωω===

其中231,4272q p D ω=

+=-。 例：解31540x x --=

则()()23

23415121427427q p D --=+=+-

因

()1553

-⋅

==

==-

故三个解分别为

1234y y y ωω====

我们会发现对1次的复系数多项式方程会有1个解，2次的复系数多项式方

程会有2个解，3次的复系数多项式方程会有3个解。那4次、5次以及更高的次数呢?在1545年的时候，费拉里(Ferrari)找到了4次的多项式方程的根式解，但5次的多项式方程一直没有办法找到，在那之后阿贝尔(Abel)和葛罗瓦(Galois)，证明了5次以上的多项式没有一般的根式解。那么5次以上的n 次多项式是不是有n 个解呢?这就必须用到了代数基本定理。

代数基本定理

代数基本定理是代数上很重要的一个定理，它说明了任意一个复数多项式方程，都会有一个复数的解。完整的定理说明如下：

这个定理最早是被高斯(Gauss)在1799年在他的博士论文中提出来，直到现在，都一直不断有人再提出各种不同的证明，其中有利用复变函数、分析、代数拓朴等等方法。以下，我们利用复数的观念来证明代数基本定理。 现在想象z 是复数平面一点，而()P z 的值就是其距离复数平面的垂直高度。将所有的点连起来，就有点像山峰那样子高高低低的不间断的曲面(如下图)。

那如果我们要找到一个复数0z 使得()00P z =，也就是让()00P z =。用图来看就是找到高度和海平面等高的一点。如果不存在一个复数0z 使得()00P z =，那么也没办法使()00P z =。而只要()00P z ≠的话，()00P z ≠也会同时发生。 现在来讨论()P z 这个函数。在10max{,,...,}n n z n a a a ->⋅范围中()P z 的值都大于0，证明如下：

()1

111010......n n n n n n n n P z a z a z a z a a z a z

a ----=++++≥---≥

{}(){}(){}()

1

1

1

2

1

021

0max ,...,max ,...,...max ,...,0

n n n n n

n

n n

n

n n n

n

a a a z a z

a a

a z

a z

a a a z

a -------⋅-+⋅-++⋅->

现在我们考虑{}10max ,,...,n n z n a a a -≤⋅这个圆的范围内的()P z 的值。如果不存在一个0z 使得()00P z =，我们必定找的到某一个点1z ，使()1P z α=是

()P z 中的最小值，而0α>，换句话说，就是找这个山峰中最矮的那一点，再利用反证法证明这件事没办法做到。 下面就写出比较详细的解法：

假设对于任意在复数平面上的点z ，()0

P z ≠

那么一定找的到1z ，使得()1P z α=是()P z 中的最小值，而0α>

在复数平面上以0为半径α为半径画一个圆(如下图)，那么因为对于所有的z ，

()()1P z P z ≥，所以应该不管我们z 怎么选，()P z 都不会在圆圈内部。

令()1P z β=，βα=则

()()()

()()()

()()

1

1111110

1122111101221223411122............n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n P z z a z z a z z a z z a a z a z a z a a z b z b z b z b z P z b z z a z b z b z b -------------+=+++++++=++++++++++=++++++

其中1221,,...,,n n b b b b --和1z 有关系 先说明1b 不等于0的情况 令()2312...n n n n Q z a z b z b ---=+++

当z 取很小的时候，2z 会变的非常的小。 当z 是一个实数，而且01z <<的时候

()2323121222.........n n n n n n n n n n Q z a z b z b a z b z b a b b -------=+++≤+++<+++ 令()(0,1)

max z M Q z ∈=取2z 的大小2

z ，

使12b z M

<

的话，()2222212z Q z z M b z <<

再取2z 角度，使12b z 的方向和()1P z 相反，如下图