2015年全国大学生数学建模竞赛A题优秀论文太阳影子定位模型教程
2015年全国大学生数学建模竞赛国家一等奖论文 A题 太阳影子定位模型的分析
太阳影子定位模型摘要针对太阳影子定位问题，本文结合地理学和天文学的相关知识，建立了不同数据类型下的太阳影子定位模型，实现了视频拍摄地点和日期的快速精准确定。
对于问题一，首先从地理学角度，基于地理坐标，直杆长度，时间这三个影响影子长度的参数，计算出时角，赤纬角，太阳高度角，进而给出了影子长度与三个参数之间的关系式。
结果显示，影长对日期和时刻都呈现出先减小后增大的趋势；对杆长呈正比关系增长；对经度呈现先急剧增长到峰值再突变为0，而后突变到峰值后再急剧下降；对纬度呈缓慢上升趋势。
然后，根据附件1 中提供的数据，画出了天安门广场上直杆的太阳影子分布曲线图。
对于问题二，基于问题一中对影响影子长度因素的分析，根据地理学知识建∑i i∑归i 归i20 21立双目标规划模型，确立目标函数分别为：min | ∆A - ∆A' | , m in | S- S ' |。
i=1 i=1然后在约束条件下对杆子的地点坐标应用网格逼近算法优化求解，得出最符合题目所提供数据的杆子地理位置为：(19.1︒E,108.71︒N ) ——海南东方市境内，此时，杆长为2.03米，太阳方向角残差比为1.8% ，影长残差比为0.9%，误差均很小。
对于问题三，首先建立了与问题二相似的目标规划模型，由于日期未知，模型求解的时间复杂度较高。
为提高计算速度，引入了粒子群算法。
分别对附件2 和 3 中的数据进行分析，确定出的地点坐标分别为(80.51︒E，32.13︒N ) ，(110.20︒E，24.83︒N ) 和(81.43︒E，32.24︒N ) ，(111.56︒E，23.68︒N ) ，附件 2 为西藏阿里，日期为8 /14 或4 / 29 ，附件 3 为广西梧州市，日期为12 / 27或12 /14 。
可以发现，两种算法的结果极为接近，但粒子群算法计算时间要远小于网格逼近算法。
对于问题四，首先对视频数据进行采集和预处理，由于视频拍摄角度的存在，从视频中直接得到的影长并不是实际长度，而是其投影长度，这里采用基于Hough变换和透视变换的图像矫正法，对斜视图像进行矫正，得出实际影长。
太阳影子定位模型2015
2 0.3723 23.2567sin 0.1149sin 2 0.1712sin 3 0.758cos 0.3656cos 2 0.0201cos3
（5.1）
其中
2 t t N N0 365.2422 ，
N0 79.6764 0.2422 (年份-1985)-INT (年份-1985)/4 （具体定义见 4）
cos 2 cos 15 t0 12 sin 2
时影长
cos 1 cos 15 t0 12 sin 1
图 5.1
A(cos1 cos 1 ,cos1 sin 1 ,sin 1 ) ， B(cos2 cos 2 ,cos2 sin 2 ,sin 2 ) （5.2）
现对坐标系进行旋转，如图 5.2，仍以地心为原点 O ，以赤道平面内穿过 A 点所在经线 的直线为 x 轴，建立球坐标系。 则在新的坐标系中，可把原 A、B 坐标(5.2)中 1 当 做 0 代入求得新的坐标。此时易知原 2 对应的角就 是太阳时角，设为 ，有
15 (t0 12)
并且可得到 A，B 的坐标为
（5.3）
A(cos1 ,0,sin 1 ) ，B(cos2 cos ,cos2 sin ,sin 2 )
由几何关系，关于 A 处的太阳高度角，有关系如下
cos(90 h) OA OB
图 5.2
即
sin h cos1 cos2 cos sin 1 sin 2
k 8 12,8 12 即 k 4, 20 k： k t t0 ， · 相对于北京时间的时差， 由于北京在东八区，
且kN； · ：以观测点为原点，当地正东为 x 轴方向建立的坐标系旋转到与附件数据中的坐标 系重合所需转过的角度
2015国赛二等奖论文
4.符号说明
t E T ω δ 北京时间 地球绕日公转时运动和转速变化而产生的时差 真太阳时 太阳时角 太阳赤纬角 直杆所处地点的纬度 直杆所处地点的经度 制定标准时间地区的经度 直杆所处地点经度和制定标准时间地区经度的差值 太阳高度角 直杆的长度 某固定时刻直杆的影长 日期序号 任意 x（或 y）时刻的直杆影长 任意 x（或 y）时刻的太阳高度角 任意 x（或 y）时刻的太阳时角
2.3 问题三
题目要求根据直杆的顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。在问题二 的基础上又多了一个未知参数日期，杆长仍然是一个未知的常数。该问题可以通过非线性回归 的方法，建立模型，根据误差的大小，计算出符合题目要求的最优解，即为直杆所处地点的经 纬度和观测日期。
2
2.4 问题四
先对视频进行处理，计算得到直杆影长的坐标的多组数据，运用问题三的模型，通过约束 日期和不约束日期分别对数据进行求解，得到两组答案，通过对比，判断可得到直杆所处地点 的经纬度7sin 2 - 7.53cos - 1.5sin 360o （n 81） 364
（5） （6）
根据上述公式计算，可以求出太阳高度角的正弦值 sinh ，再由勾股定理，如图 3：
图3
勾股定理求影长图
计算公式如下：
sinh
即可求得直杆的影长 H。 5.1.2 模型的求解
2.2 问题二
题目要求根据直杆的顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。问题二在问题一 的基础上已知直杆在某时间范围内影子顶点的坐标，转而求解直杆所处地点的经纬度，且直杆 长度未知。首先通过拟合的方法确定直杆影长达到最短的时刻，进而确定经度，然后在问题一 的基础上建立模型，通过已知的各个参数求出直杆所处地点的经纬度。
太阳影子定位-2015年全国数学建模比赛a题全国二等奖论文
太阳影子定位摘要本文研究的问题是分析直杆在太阳的照射下，影子的角度和长度的变化，再结合相关地理知识和数学几何模型，推算出具体的所在地点和具体日期。
该模型可以用于太阳影子定位技术中，根据物体在阳光照射下影子的变化进行定位。
对于问题一，我们首先根据地球与太阳的位置关系列出太阳赤纬角，太阳高度角，太阳时角的计算式，其中需对较粗略的太阳赤纬角计算式进行修正，得出精准的计算式。
再建立数学几何模型，根据太阳高度角，影长与杆长形成的角边关系，列出影长的计算式。
最后建立一个太阳日照影长模型，该模型以太阳高度角计算式，太阳赤纬角计算式，太阳时角计算式为子函数，以太阳赤纬角，太阳日角，太阳时角，时间初值为中间变量，以当地经纬度，从1月1日到测量日的天数，时间，杆长，年份为自变量的复合函数数学模型。
然后采用由内到外计算法对此复合函数进行求解，计算出从九点到十五点的影长和太阳高度角的变化，得出直杆的太阳影子长度的变化曲线。
对于问题二，我们首先分析因为时间日期已给出，所以根据太阳赤纬角计算式可知太阳赤纬角为已知量，接着我们将影长的计算式进行等式移项变换，得到一个拟合杆长及经纬度的非线性最小二乘模型，该模型将问题一中太阳日照影长模型作为参数拟合对象，以杆长和影长与太阳高度角正切值之积的差值最小误差平方和为目标函数，以太阳高度角计算式，太阳时角计算式为约束条件，以测量时间，天数，影长为已知量。
将该模型在1stopt 软件中运行，采用麦夸尔特算法和通用全局最优化法对该模型进行迭代计算，对实验结果统计分析后得出该直杆相应的北纬为19.29392848度，东经为108.7225248度（海南岛的西海岸）。
对于问题三，除了需要拟合杆长和经纬度以外，还需拟合日期，同样参照影长等式移项变换公式，得到一个拟合杆长、经纬度及日期的非线性最小二乘模型。
同样采用问题二的计算方法得到多组结果，其中附件二最优解地点为新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县(40.0025°N,79.6587°E)，附件三最优解地点为湖北省十堰市郧西县（32.9638°N,110.277°E ）。
2015年全国大学生数学建模竞赛A题
太阳影子定位技术问题的数学模型摘要本文涉及的是太阳影子定位技术问题。
在已知视频中物体的太阳影子变化的情况下，要确定视频的拍摄地点和拍摄日期。
首先，分析了文中四个问题的关系，发现前三个问题的已知条件逐步减少，问题难度依次递进。
第四问则给出一个实际问题，该问题需要转化成数学模型利用前三问的方法求解；随后，建立了L-G模型、MinZ-模型等，并应用非线性最小二乘法、遗传算法等算法对模型求解。
得到基于模型的合理结果。
最后，将第四问的实际问题转化数学模型并求解，进而解决问题。
对于问题一，要解决的问题是杆长与影子长度的关系，根据天文、几何知识，我们建立了模型来刻画问题给出的参数之间联系，如赤纬角模型、时角模型、太阳高度角模型、影子长度模型（L-G模型）等；分析了各参数对影子长度的影响；最后运用MATLAB绘制出具体给定参数下的3米高直杆的影子变化曲线；从曲线可以看出在9:00到15:00这段时间里，影子长度先变短后变长，最短为3.627米，最长为7.182米。
问题二提供了一个关于时间、影子坐标的附件1，杆长未知，为了确定直杆所处的地点，本问建立了MinZ-模型，首先将经度、纬度、杆长离散化，搜索出大概的可行解，然后运用非线性最小二乘算法，选取matlab中的lsqcurvefit命令，以可行解为初值，再运用非线性最小二乘算法，选取MATLAB中的lsqcurvefit命令，在控制残差在10−8之内范围的情况下得到了三个可能地点皆在海南省昌江县内，最小误差的地点为海南省江黎族自治县，北纬19.3025°，东经108.6988°，此时对应直杆高度为2.0219m。
同时，将结果代入问题一的模型进行检验，验证了模型的稳定性和算法的合理性。
问题三沿用问题一的模型和问题二的算法，由于一个已知量变成一个变量，根据算法特点，在增加一个变量的情况下，算法搜索影长差时只需要增加一重循环。
关于附件2数据，残差最小对应的位置为北纬39.8926°，东经79.7438°，具体地点在新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县。
2015年数学建模全国一等奖论文
t (ts t 0) (tt 12)
其中 ts 为时间，t 为时差，t0 为最低点时间，t 北为对应的北京时间。 计算出时差 t 。 (3) 经度的求解 已知两地经度相差 1 度，时间相差 4 分钟，所以可列出：
（11）
北
ts
4
(12)
其中 γ 为当地经度，γ 北为北京经度，ts 为时差。 通过公式（12）解得经度 γ （4）纬度的求解 太阳方位角就是太阳在方位上的角度，它和坐标有以下关系：
7
7
6.5
6
影长 L
5.5
5
4.5
4
3.5 9
10
11
12 时间 t
13
14
15
图5
北京 10 月 22 日影长变化
5.2
问题二：
5．2．1 模型的准备
模型建立之前，我们分析数据得到所给影子顶点坐标并非以标准的东西南北 方向坐标系下的坐标， 所以我们必须进行矫正，把坐标系修正成正南正北的坐标 系。而后确定时差来确定经度，进而得到纬度。
（8）
（9）
获得新的坐标（x1,y1） 。 注：矫正坐标系以东西方向为 x 轴，南北方向为 y 轴。
图6
8
（2） 时差的求解 通过所给坐标在 matlab 中进行拟合，得到一条影长 L 关于时间 ts 的抛物线 方程： L=ats2-bts+c 其中 L 为影长，t 为时间。 解出最低点坐标 t0，利用北京时间 12：00 时影子最短，利用比例关系 (10)
5.1.3 模型的求解
模型中及为影长 L 和时间 t，纬度φ，以及日期 n 的函数关系。当其中两个 自变量确定后，就可建立影长 L 和另外一个自变量的模型。 （1） 影长 L 和时间 t 的模型 给定日期 n 和纬度φ， 模型就变成了影长 L 和时间 t 的一元函数， 应用 Matlab 即可得到影长的变化曲线。 在此，我们验证了赤道上 1 月 1 日的影长变化（如图 2） 由图可以看出，当 1 月 1 日时，9:00 到 15:00 的曲线为开口向上的抛物线， 在早上 9:00 时，由于太阳直射南半球，所以影子长，到了当地正午 12:00 时影子 最短，下午又开始增长，符合实际，模型基本成立。
太阳影子定位模型2015
L sin η l = tan Ω
(3)
tan η = tan hs sin Ω
(4)
反解出影长 l，即有
L tan Ω l = sin arctan (tan hs sin Ω)
(5)
3
可知，影长 l 是一个依赖于杆长 L, 经度 θ, 纬度 φ, 日期 D, 地方时 t 的函数 l = l(t; L, θ, φ, D), 其中 t 为自变量，L, θ, φ, D 均为参数, 因此利用此模型，在已知杆长、经纬度、日期、具体时间的情况 下，可以计算得出相应的影子长度。
对影长求关于纬度的偏导数，会发现得到的结果很复杂，但通过图像，可以很容易的发现这是一 个先减后增的函数。在正午时最低点应为太阳直射点所在纬度，但在非正午时会向太阳直射点所在 半球移动，直到移动到极点。这是由于地球是一个球体，因此影长应是以太阳直射点为圆心以圆周的 模式向周围增加，而这种模式并不是按照纬线圈进行。
3. 在第二问模型的基础上，在反向求解出直杆所在位置的同时，也求解出可能的时间，并利用附件 二、附件三的数据进行验证；
4. 通过分析附件四的视频，确定附件四可能的拍摄地点，同时讨论所给的拍摄时间能否省去。
第一个问题需要建立影子长度的模型，这一模型应当是一个依赖于杆长 L, 经度 θ, 纬度 φ, 日期 D, 地方时 t 的函数 l = l(t; L, θ, φ, D). 因此第一问相当于已知参数 L, θ, φ, D，求 l 关于 t 的具体的 函数表达式，并作出给定参数值的函数图像。
2
小，影响可以忽略。同时，地面不平坦或不水平均会使得问题的复杂程度极大程度地提高，为了简化 研究的对象，假设直杆所在地附近的地面是水平且平坦的。 假设 2 直杆可视为细杆，其直径可以忽略。
2015年全国大学生数学建模大赛国家二等奖论文
太阳影子定位摘要太阳与地球的运转规律造就了太阳在地球上的阴影规律，本文将根据其规律，通过太阳的变化确定阴影的位置。
本文问题探究由浅到深，最终可通过视频中的阴影判断出视频的拍摄位置和拍摄时间。
针对问题1，本文基于对太阳与地球的运转规律和太阳光在地球上的阴影变化规律分析，考虑到太阳高度角和经纬度及北京时间与当地时间等转换，建立了直杆影子长度和直杆杆长、直杆所在地经纬度、日序数、北京时间之间关系的空间解析几何模型，并最终通过已知数据计算并绘制出直杆在2015年10月22日北京时间9：00-15：00之间天安门广场3米高的直杆影子长度变化曲线。
针对问题2，本文根据问题1得出的影子长度变化规律，将问题转换为寻找最优未知参数集{},,P P H δλ使得所给实测影子长度和理论影长的最小二乘偏差最小。
由于计算的复杂度，我们考虑“大小步长套用搜索”算法并通过合理地分析计算优化了搜索范围，最终通过相应Matlab 程序计算出一组最可能参数集，即最可能地点为东经84.9950, ，南纬4.3170 。
针对问题3，相对问题2增加了未知参数赤纬角，因此利用与问题二类似的思想建立了相应的最小二乘模型，针对附件2和附件3给出的两种不同情况给出了相应的搜索算法，并最终各拟合出两组最可能地点，四个最可能日期，如附件2给出的数据一组最可能的地点为东经79.85, 北纬39.6, 相应日期为5月2日或7月21日。
针对问题4，先对视频进行了去帧和图片的灰度处理，从而提取出了影子的变化数据，推算出了真实的影子变化数据。
进而按照问题一所建立的关系式通过最小二乘法拟合参数。
最后推算出的视频拍摄地点东经为110.48 ，北纬40.245 ，并在拍摄日期未知的情况下对模型进行了验证。
本文严格推导了太阳光阴影变化规律，探究问题层层深入，最终解决了根据视频上的阴影变化确定视频拍摄地点及日期，同时也验证了我们建立的物体影子和物体所在经纬度之间关系的正确性。
2015年数学建模国赛A题全国优秀论文40
三．模型假设
1.假设一天中的太阳赤纬角保持不变； 2.假设附件 4 中视频里的时间为北京时间； 3.假设大气层对太阳光的折射率保持不变； 4.假设影子长度和角度与该点的海拔无关；
四．符号说明
符号
h
表示含义 表示太阳高度角 表示修正后的太阳高度角 表示杆子的长度 表示杆子的影长 表示太阳赤纬角 表示某点的地理纬度 表示某点的地理经度 表示太阳时角 表示大气层的折射率 表示日期 表示某一具体时刻 表示太阳方位角
1
一．问题的背景与重述
1.1 问题的背景 早在 15 世纪时， 定位技术就已经随着海洋探索的开始而产生。 随着社会和科技的不 断发展，我们对定位的需求已不再局限于航海、航空等领域，对于地球上的精确坐标定 位已逐渐成为人们关注的热点问题。对于地球表面经纬度的精确定位，可利用变化的太 阳影子来进行分析，其作为一种直观简便的定位技术，已受到广泛关注。 1.2 问题的重述 太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和 日期的一种方法，请建立合理的数学模型解决以下问题： 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并根据 建立的模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场 （北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆 所处的地点，并将模型应用于附件 1 的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据， 建立数学模型确定直杆 所处的地点和日期，并将模型分别应用于附件 2 和附件 3 的影子顶点坐标数据，给出若 干个可能的地点与日期。 4．附件 4 为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直 杆的高度为 2 米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用该模型给出若干个可能 的拍摄地点。如果拍摄日期未知，是否可以根据视频确定出拍摄地点与日期。
2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题太阳影子定位
摘要通过太阳影子定位技术可以确定视频的拍摄地点和时间，为拍摄出更好的视频，掌握太阳影子的变化规律就变得尤为重要。
本文主要综合运用了地理学、几何学、统计学、数学分析和高等代数等知识，并利用MATLAB,SPSS 和mathematica 等计算机软件，通过建立数学模型来研究影子长度的变化特征,进一步确定视频的拍摄地点和时间。
针对问题一，首先我们通过分析影子长度的影响因素得到与影子长度的关系（见表达式六）整理计算之后，就得到了影子长度的数学模型。
1*tan (arcsin(cos cos cos sin sin ))l L ϕθϕθ-=Ω+然后我们通过分析他们之间的关系，再利用MATLAB 编程，得到了影子长度关于各个参数的变化规律（见图3到图7）。
其次根据我们建立的模型，利用MATLAB 编程画出了给定时间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线（见图8），然后在考虑折射率的情况下又画了一条变化曲线（见图9），最后进行了误差分析（见图10）。
针对问题二，我们采用了测试分析法（数据分析法和计算机仿真相结合），通过分析各个参量之间的关系，先以影长l 为目标做回归，用模型一的模型，通过SPSS 进行拟合得到多组数据，再用MATLAB 进行检验得到符合的两组经纬度。
(19.251,109.645),(24.579,98.1)N E N E然后我们又以太阳方位角K 为目标做回归,得到模型（见表达式12），其计算方法与影长l 做回归目标时一样。
我们分步做了两次拟合，先用MATLAB 拟合出经度，再做回归模型（见表达式14）最后得到经纬度(18.74,109.35)N E 和杆长 1.993L m =。
综上可知，肯定有一地点是在海南，还有一个地点可能在云南。
针对问题三，我们用问题二中的多项式回归，得到回归模型（见表达式17和20） 利用附件二得到的经纬度为(32.83N,110.25E)和杆长L 3.03m = ，得到天数307n =。
2015年全国大学生数学建模竞赛A题秀论文介绍
7
7
6
6
太 阳 影 子 的 长 度 （m)
太 阳 影 子 的 长 度 （m)
5
5
4
4
3
3
2
2
1 -60
-40
-20 0 20 观测点的纬度（角度）
40
60
1 -25
-20
-15
-10 -5 0 5 10 太阳直射点的纬度（角度）
15
20
25
图 4 直杆影长与观测点纬度关系图
图 5 直杆影长与太阳直射点纬度的关系图
5
观测点与太阳直射点的经度差 进行灵敏度分析，分别分析改变此变量对直杆影 子长度的影响。 直杆影长与观测点纬度关系图如图 4 所示（图 4 为 11:00 时的关系图像） 。当 观测点纬度从南往当前的太阳高度角所在纬度靠近时，影长缩短，当观测点纬度 与太阳高度角处于同一纬度时，影长达到最小，随后观测点再往北移动，影长又 呈增大趋势，且增大速率明显加快。由图，在其他影响因素的取值都不变的前提 下，观测点纬度与太阳高度角处于同一纬度时，影长为 1m 左右，据推测， 12:00 时的图像，最小值应为 0m ，为太阳直射的情况。 直杆影长与太阳直射点纬度的关系图如图 5 所示。首先，太阳直射点的纬度 范围在南北回归线之间，而题设天安门所处的纬度在北回归线以北，故太阳直射 点纬度在由南到北的过程中，影长一直是减小的，且减小速率逐渐趋缓。
图 2 地球上过 A ， B 的大圆
考虑到太阳与地球之间相距较远，我们认为同一时刻照射到地球表面的太阳 光线是平行的，即 HF / / BO ，从而 AOB AHF 。
A 地 t 时刻的太阳高度角记为 angel 90 。
设图 1 中向量 AK 是与 A 点处经线相切且方向向北的单位向量，向量 AE 是与
2015数学建模获奖论文A题
③6 月 22 日—12 月 22 日，在太阳直射点向南移动过程中，北回归线及其 以北各地的正午太阳高度逐渐减小，那么其日影逐渐增长；
④12 月 22 日，太阳直射南回归线，北回归线及其以北各地的正午太阳高度 达到全年最小，其日影也达到全年最长。
一年中，各地的日影长度会随季节变化而变化，这种变化主要体现在正午的 日影长短上。它与当地的正午太阳高度有直接关系：正午太阳高度越大，日影越 短；正午太阳高度越小，日影越长。例如：
①12 月 22 日—6 月 22 日，在太阳直射点向北移动过程中，北回归线及其以 北各地的正午太阳高度逐渐增大，那么其日影逐渐缩短；
图 4 天安门广场 15 年 10 月 22 日影子长度随时间(9 点到 15 点)变化图
在该问题中，影子长度的变化曲线根据计算出是一个关于真太阳时 12 点对 称的二次函数拟合曲线，所以我们利用题中所给的时间数据运用 MATLAB（附 录二）求解该附件的拟合曲线的表达式为
l(t) = 0.3179 t2 - 7.7982t + 51.4250
对于地球上的某个地点，太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面之间的 夹角，专业上讲太阳高度角是指某地太阳光线与通过该地与地心相连的地表切线 的夹角。太阳高度角简称高度角。当太阳高度角为 90°时，此时太阳辐射强度 最大；当太阳斜射地面时，太阳辐射强度就小。
图 1 太阳高度角示意图
太阳方位角即太阳所在的方位，指太阳光线在地平面上的投影与当地经线的 夹角，可近似地看作是竖立在地面上的直线在阳光下的阴影与正南方的夹角。方 位角以目标物正北方向为零，顺时针方向逐渐变大，其取值范围是 0—360°。 因此太阳方位角一般是以目标物的北方向为起始方向，以太阳光的入射方向 为 终止方向，按顺时针方向所测量的角度。
2015建模A题太阳影子定位
A题太阳影子定位一，摘要（宋体小四号，简明扼要的详细叙述，字数不可以超过一页，不要译成英文）本文针对太阳影子定位技术，通过太阳与地球相对运动的规律，建立杆长、影长、经纬度、时间、日期的关系，建立模型。
综合分析了不同地点，不同的时间，不同的季节时影子长度的形成规律及变化趋势，运用了软件进行分析，得出不同地区影子变化的模型。
最后将具体情况运用到建立的模型中，对实际问题进行可行性分析，根据条件的改变完善对模型的应用和实用性检验。
第一问中，我们通过两种太阳高度角的表示方法建立等式关系，根据控制变量法，分析出影子长度分别与经、纬度、杆长、时间、日期的关系。
然后，根据时差计算关系，当时间在9:00-15:00时，天安门广场的时间，并应用建立的模型。
第二问中，首先根据影子坐标求出影子的长度，拟合时间与影子长度的函数，找出影子长度的最低的点，从而根据时间求出当地经度，由于误差的存在，我们将经度、杆长、纬度给定一定围，根据第一问公式进行搜索，从而确定可能的地点。
关键字：（宋体小四号）真太阳时平太阳时赤纬角太阳高度角熵值法二，问题提出如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。
将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。
3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。
将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。
建立模型计算太阳影子长度和梯度下降法拟合太阳影子数据定位全国大学生数学建模竞赛a题论文
建立模型计算太阳影子长度和梯度下降法拟合太阳影子数据定位一．摘要本文建立了一个较为理想的几何立体模型来计算某个日期，某个时间，某个纬度的太阳高度角，从而计算太阳照射直杆的影长。
并且通过对一系列按时间变化记录的数据以及部分已知参数，利用梯度下降法进行曲线拟合样本数据点，以此求出相应的未知的参数，算出数据记录时所在的可能的地点经纬度和日期。
关键词：几何立体模型拟合曲线梯度下降法二．正文1.建立太阳光照射地球，地球上垂直地面杆的影长模型假设太阳光线完全平行，地球是完全标准的球体，地球公转轨道是标准圆形，且随日期变化匀速运转。
1.1 建立太阳光线和地球上某一纬度β的上某点X切面所形成的太阳高度角模型O为地球球心。
设太阳光线和地球的赤道面形成的角度为∠EOC = α，纬度即∠BOA=β，根据纬度的定义显然OB是β纬度上X点的切面（即X点地面）的法向量方向。
X点的经度和太阳垂直照射点所在的经度的夹角即∠AOC为Θ（可以由该点的真实时间计算得到，地球每小时自转15°，Θ=（该点真实时间-12）* 15 ）。
欲求太阳在X点的高度角，相当于求X点地面法向量方向OB和太阳光线的夹角∠BOE的余角。
假设太阳高度角为γ，则sinγ= cos ∠BOE。
如图作AC⊥OC，作EC和BA垂直于赤道面，BD⊥CE于D。
设OA长为z，则OB = z / cosβ，OE=z cosΘ/ cosα，BD=AC=z sinΘ，CD=AB=z tanβ，CE=z cosΘtanα。
DE = CE - CD =z cosΘtanα- z tanβ。
BE²= BD²+ DE²=（z sinΘ）²+（z cosΘtanα- z tanβ）²。
根据余弦定理可得，经化简可得：cos∠BOE = sinαsinβ+ cosαcosβcosΘ。
即sinγ= sinαsinβ+ cosαcosβcosΘ用反三角函数即可知太阳高度角γ。
2015年全国大学生建模大赛A题太阳影子的定位
太阳影子定位摘要本文通过分析物体的太阳影子变化,利用太阳影子定位技术建立确定视频拍摄的地点与日期的模型。
针对问题一,首先通过分析知影子长度的变化主要影响参数为:当地的经度 λ、纬度ϕ、时刻t 、直杆长度l 、季节J (日期N )等,引入地理学参数:太阳赤纬δ、时角α及太阳高度角h 0,建立一个能够刻画影子长度变化与各个参数间关系的模型:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅-+-=h l h l t 000tan )cos cos sin sin sin arccos(300151δϕδϕλ;其次以实例对模型进行检验,在误差可允许的范围内,认为模型正确;进而对模型采用控制变量法分析影子长度关于各个参数的变化规律;然后求解出满足条件影子长度12时15分就是最短,大约3、674米(表3)。
影子长度的变化曲线(图5),9时至12时15分影子长度呈现下降趋势,12时15分之15时影子长度呈现上升趋势;最后考虑太阳照射中发生折射现象的推广。
针对问题二,关键词一、问题重述:如何确定视频的拍摄地点与拍摄日期就是视频数据分析的重要方面,太阳影子定位技术就就是通过分析视频中物体的太阳影子变化,确定视频拍摄的地点与日期的一种方法。
1、建立影子长度变化的数学模型,分析影子长度关于各个参数的变化规律,并应用您们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场(北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒)3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2、根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据,建立数学模型确定直杆所处的地点。
将您们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据,给出若干个可能的地点。
3、根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据,建立数学模型确定直杆所处的地点与日期。
将您们的模型分别应用于附件2与附件3的影子顶点坐标数据,给出若干个可能的地点与日期。
4.附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频,并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。
2015年全国大学生数学建模竞赛A题
太阳影子定位（一）摘要根据影子的形成原理和影子随时间的变化规律，可以建立时间、太阳位置和影子轨迹的数学模型，利用影子轨迹图和时间可以推算出地点等信息，从而进行视频数据分析可以确定视频的拍摄地点。
本文根据此模型求解确定时间地点影子的运动轨迹和对于已知运动求解地点或日期。
直立杆的影子的位置在一天中随太阳的位置不断变化，而其自身的所在的经纬度以及时间都会影响到影子的变化。
但是影子的变化是一个连续的轨迹，可以用一个连续的函数来表达。
我们可以利用这根长直杆顶端的影子的变化轨迹来描述直立杆的影子。
众所周知，地球是围绕太阳进行公转的，但是我们可以利用相对运动的原理，将地球围绕太阳的运动看成是太阳围绕地球转动。
我们在解决问题一的时候，利用题目中所给出的日期、经纬度和时间，来解出太阳高度角ｈ，太阳方位角Α，赤纬角δ，时角Ω，直杆高度Ｈ和影子端点位置（x0，y o），从而建立数学模型。
影子的端点坐标是属于时间的函数，所以可以借助时间写出参数方程来描述影子轨迹的变化。
问题二中给出了日期和随时间影子端点的坐标变化，可以根据坐标变化求出运用软件拟合出曲线找到在正午时纵坐标最小，横坐标最大，影子最短的北京时间，根据时差与经度的关系，求出测量地点的经度。
根据太阳方位角Α，赤纬角δ，时角Ω，可以求出太阳高度角ｈ。
再结合问题一中的表达式，建立方程求解测量地点的纬度Ф。
我们在求解第三问的思路也是沿用之间的模型，但第三问上需要解出日期。
对于问题四的求解，先获取自然图像序列或者视频帧，并对每一帧图像检测出影子的轨迹点；然后确定多个灭点，并拟合出地平线；拟合互相垂直的灭点，计算出仿射纠正和投影纠正矩阵；进而还原出经过度量纠正的世界坐标；在拟合出经过度量纠正世界坐标中的影子点的轨迹，利用前面几问中的关系求出经纬度。
关键字：太阳影子轨迹Matlab曲线拟合（二）问题重述确定视频拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
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我们依据太阳位置算法[2]（ SPA）得到太阳位置的几何模型图如图 1 所示：
图 1 太阳位置的几何模型
图中 为高度角， 为方位角， 为纬度角， 为赤纬角， 为太阳时角， 和 能由下列式子计算得到(公式来源:/1GU1iS)：
（1.2）
其中 为一个参数，能通过如下公式得到
2 (d 1) 365
（1.3）
式中， h 为北京时间， 为当地经度， d 为日期，即 1 月 1 日就用 d 1来表
示，假设一年为 365 天，则 d 365表示 12 月 31 日。由式（1.1）可知，相邻两天的赤
纬角 差值几乎为 0，因此当闰年时，我们设定 2 月 28 日的 d 59 ，29 日时 d 59 ，
g( ) (0.006918 - 0.399912 cos( ) 0.070257 sin( ) - 0.006758 cos(2 ) 0.000907 sin(2 ) - 0.002697 cos(3 ) 0.00148 sin(3 ))
（1.1 ）
h15 300
关键词：太阳位置算法 最小二乘法 遗传算法 太阳影子定位模型
一． 问题重述
1.1. 问题背景 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位
技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化来确定视频拍摄的地点和日期的一种方 法。 1.2. 问题提出 1. 建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用建
5.1.2. 模型求解
首先根据问题分析和模型，我们将观测日期代入得到赤纬角 21.8985 ，负号表
示太阳直射点在南半球，然后代入求出太阳时角 和高度角 在不同时刻的值，得到表
如下：
表 1 ）
时刻 高度角（ ） 影长（ m ）
对于我们的模型，我们可以计算得 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间 天安门广场（ 39 5426N,116 2329E ）的阳天顶角。
纬度角（北纬取正）
赤纬角
太阳时角
h
北京时间
观测地经度（东经为正）
d
日期
s
影子长度
l
直杆长
四． 问题分析
4.1. 问题一的分析 题目要求我们建立数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律并求出影子
长度的变化曲线。杆子的长度已知，根据三角函数原理，我们知道要想得到影子的长 度，必须先求出太阳高度角，通过分析影子长度和各个参数的变化规律，我们可以利 用 Solar Position Alg orithm （ SPA[1]）模型进行求解。在此问题中，我们需要区分地方 时和北京时间的区别，以及基本的天文常识。
12:00
39.20846041
3.67725466
从影长与时间的关系表可以看出，早上 9 点的影长为 7.34 米，到中午 12:15 左右 达到最低点 3.66 米，到下午 15:00 影长达到 6.03 米。一天中影长呈现先由长变短，再 由短变长的趋势。实际上，这是符合实际的，在回归线至极圈范围内，午夜时太阳高度 角最小，影长最长；正午时太阳高度角最大，杆影最短。
4.3. 问题三的分析 在问题二中，我们已经根据杆影的顶点坐标确定出了可能的地点，对于附件二和
附件三中的数据，题目要求我们在只给定杆影顶点坐标的情况下估计所有可能的时间
和地点。在问题二的基础上，我们可以引入一个日期变量 d ，利用 d 和太阳方位角的关
系作为条件，将目标函数确定为关于 (, , d) 的方程。利用遗传算法和最小二乘原理， 不断进化，最后收敛到一族最适应环境的类似个体，即得到问题最优的解。对算法运 行多次，方法同问题二类似，可以得到一个关于 (, , d) 三个参数的最优解。
09:00
22.23028102
7.340184115
12:15 39.31885797 3.662823459
09:15
24.47131735
6.591641808
12:30 39.19047629 3.679612005
09:30
26.6063312
5.989208463
12:45 38.82516148 3.727893882
二． 模型假设
1. 假设地球为一个球体； 2. 忽略海拔、天气等因素对测量和计算造成的影响； 3. 假设阳光照射到地球上时为平行光； 4. 假设地球的公转轨道是一个纯椭圆,即忽略月球及行星摄动对地球轨道的影响； 5. 假设同一天之内不考虑直射点纬度的变化。
三． 名词定义与符号说明
3.1. 名词定义
1. 太阳高度角：是指某地太阳光线与通过该地与地心相连的地表切线的夹角；
对于问题二，首先建立影子顶点坐标模型，在给定坐标系的情况下，本文分析四种 可能的观测地情况，发现在四种情况下影子顶点坐标的求解模型相同。本文由最小二乘 法原理和遗传算法建立太阳影子定位模型，并利用问题一中的数据对该太阳影子定位模 型的可行性进行分析，结论是该模型可行性高。将该太阳影子定位模型应用于附件一中 的数据，使用遗传算法对数据不断进行迭代求出最优解，得出可能 9 组可行解，结果见 表 2-2 所示。
10:30
33.83101531
4.476103104
13:45 35.13903568 4.262392392
10:45
35.2388162
4.246660297
14:00 33.71763253 4.495312657
11:00
36.45860842
4.060398714
14:15 32.12362118 4.778032805
4.4. 问题四的分析 该问分为两部分进行求解，其一要求我们在知道时间的情况下确定视频拍摄的地
点；其二要求我们仅根据视频推断出视频拍摄的地点和时间，从而起到太阳影子定位 的作用。题目的难点在于如何将视频中的图像数据转化为实际的杆的底部坐标值、杆 的顶部坐标值以及影子的顶点坐标值。显然，如果我们能有办法得到这些坐标点，那 么问题四就可以用二、三问的模型进行求解。
对于问题一，本文通过建立 SPA模型分析得到影子长度关于各个参数的变化规律， 代入题中给定的参数可求出北京时间 9:00 到 15：00 的影子长度变化曲线图。所求结果 是早上 9 点直杆的影长为 7.34 米，到中午 12:15 左右达到最低点 3.66 米，到下午 15:00 影长为 6.03 米。对于北京而言，一天中影子长度呈现先由长变短，再由短变长的变化 趋势。在北京时间 12:15 分时，天安门旗杆的影长最小，太阳高度角最大，此时北京地 方时到达正午 12 点。
由表 1-1 作出时间与影长和太阳高度角的关系图：
图 2 太阳高度角与时间的关系图
图 3 影长与时间的关系图
由图 3 可知，当北京时间约为 12:15 分时，旗杆的影长达到一天之内的最短值，即 当地的地方时达到了正午 12 点，即观测地的地方时比东经 120°的地方时约慢 15 分钟， 这是由于当地的经度和北京时间的经度相差了大约 3.6086°所致。 5.1.3. 模型的精度检验与改进
11:15
37.47678082
3.912958437
14:30 30.37149234 5.119210247
11:30
38.28100781
3.801248758
14:45
28.4754865 5.530954495
11:45
38.86087219
3.723140522
15:00 26.44929792 6.030427116
太阳影子定位模型
摘要
太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，来确定视频拍摄的地点 和拍摄日期的一种方法。本文利用太阳位置算法、最小二乘法、遗传算法等方法，解决 直杆影子长度的求解问题和由影子顶点坐标值确立太阳影子定位模型以及将附件一至 三中的影子顶端坐标数据应用于该太阳影子定位模型求出可能的地点坐标和日期这一 问题。此外，在对视频中影子的顶点坐标数据求解时，本文利用高斯背景模型分析得到 视频中影子的坐标数据。
立的模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场（北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度的变化曲 线。 2. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所 处的地点。将模型应用于附件 1 的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所 处的地点和日期。将模型分别应用于附件 2 和附件 3 的影子顶点坐标数据，给出若 干个可能的地点与日期。 4. 附件 4 为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的 高度为 2 米。建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用模型给出若干个可能的拍 摄地点。在拍摄日期未定的条件下，能否根据视频确定出拍摄地点与日期？
对于问题三，相比第二问多了时间变量，对此本文引入一未知变量 d ，建立最小二
乘目标函数进行优化，利用遗传算法，将目标函数确定为关于 (, , d) 的方程，在第二问 的基础上进行迭代，得到一簇最适应环境的类似个体即最优解，结果为图 12 所示。
对于问题四，首先我们将视频按每分钟截图，编号为 1-40,然后利用 MATLAB 编程 得到 40 组不同的杆顶点值、杆底部值以及杆影顶点值，利用高斯背景模型对图片数据 像素坐标进行处理使之合理化，获取像素坐标后转化为地理坐标。问题四中的第一问 可转化为问题二的模型进行求解得结果为 33.25943N，110.1314E 附近；问题四中的 第二问转化为问题三的模型对其进行求解，结果为多种，并且得知可行解是有周期性 的，不同的日期可以对应不同的纬度，也可以对应不同的经度。