数学：311《空间向量及讲义其运算-加减运算》PPT课件新人教A版-选修2-1
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高中数学新课标人教A版选修2-1：3.1.1 空间向量及其加减运算 课件
（zero vector），记为 .当0有向线段的起点A与 终点B重合时，AB= 0.
（2）模为1的向量称为单位向量（unit vector）.
（3）两个向量不能比较大小，因为决定向量
的两个因素是大小和方向，其中方向不能比较大
小.
第九页，编辑于星期一：点 十七分。
3. 相反向量
与向量 a 长度相等而方向相反的向量, 称为 a的相反向量，记为 – a.
表达式，并标出化简结果的向量.
(1)AB BC . (2)AB AD AA' .
D' A'
D A
C' B'
C B
第二十一页，编辑于星期一：点 十七分。
解:
⑴ AB BC AC .
D'
(2) AB AD AA' A'
AC AA'
AC CC'
AC' .
D A
C' B'
C B
第二十二页，编辑于星期一：点 十七分。
A． a b
B． a b 为实数 0
C． a 与b 方向相同 D．| a | 3
第二十七页，编辑于星期一：点 十七分。
提升总结 1.两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不 确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相 等的必要不充分条件．
2.熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法满足的运 算法则及运算律是解决好这类问题的关键．
字母表示法 a AB
向量的模 向量的大小 a AB 向量的大小 a AB
第三十一页，编辑于星期一：点 十七分。
相等向量 相反向量 单位向量
零向量
平面向量
方向相同且模相等的 向量
（2）模为1的向量称为单位向量（unit vector）.
（3）两个向量不能比较大小，因为决定向量
的两个因素是大小和方向，其中方向不能比较大
小.
第九页，编辑于星期一：点 十七分。
3. 相反向量
与向量 a 长度相等而方向相反的向量, 称为 a的相反向量，记为 – a.
表达式，并标出化简结果的向量.
(1)AB BC . (2)AB AD AA' .
D' A'
D A
C' B'
C B
第二十一页，编辑于星期一：点 十七分。
解:
⑴ AB BC AC .
D'
(2) AB AD AA' A'
AC AA'
AC CC'
AC' .
D A
C' B'
C B
第二十二页，编辑于星期一：点 十七分。
A． a b
B． a b 为实数 0
C． a 与b 方向相同 D．| a | 3
第二十七页，编辑于星期一：点 十七分。
提升总结 1.两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不 确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相 等的必要不充分条件．
2.熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法满足的运 算法则及运算律是解决好这类问题的关键．
字母表示法 a AB
向量的模 向量的大小 a AB 向量的大小 a AB
第三十一页，编辑于星期一：点 十七分。
相等向量 相反向量 单位向量
零向量
平面向量
方向相同且模相等的 向量
3.1.1空间向量及其加减运算 课件(人教A版选修2-1)
向量方法在研究几何图形的作用，进一步发展空间想象能
力和几何直观能力．
人 教
A
版
数
学
第三章 空间向量与立体几何
●重点难点
本章学习重点：1.空间向量的概念及其运算、空间向
量基本定理．
2．用向量方法解决立体几何问题的一般方法．
人 教
A
本章学习难点：1.空间向量基本定理．
版 数
学
2．建立立体图形与空间向量之间的联系．用向量语言
的区别与联系．
(2)线面角和这条直线的方向向量与平面的法向量夹角
人 教
A
的区别与联系．
版 数
学
(3)二面角与这两个平面的法向量的夹角与联系
四、贵转化
学习探究活动中，要狠抓文字语言与符号语言(解题语
言)的转化，图形语言与符号语言、数量关系的转化．
第三章 空间向量与立体几何
人
教
A
3．1 空间向量及其运算
第三章 空间向量与立体几何
人 教 A 版 数 学
第三章 空间向量与立体几何
人 教 A 版 数 学
第三章 空间向量与立体几何
●课程目标
1．了解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法
和数乘向量运算的性质，会运用上述知识熟练地进行空间
向量的运算．
人 教
A
2．理解共线向量、直线的方向向量、共面向量，会用
学
对于实数a、b、c，有①若ab＝ac (a≠0)，则b＝c.
②(ab)c＝a(bc)．
对于向量a、b、c，①若a·b＝a·c (a≠0)⇒/ b＝c，只
能得出a⊥(b－c)．
②(a·b)·c≠a·(b·c)．
第三章 空间向量与立体几何
高中数学人教A版选修2-1课件：3-1-1 空间向量及其加减运算
首页 探究一 探究二 思维辨析
课前预习案
课堂探究案
探究二空间向量的加法与减法运算 【例2】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算 的结果为向量 ������������1 的共有( )
①������������ + ������������ + ������������1 ;②������������1 + ������1 ������1 + ������1 ������1 ;③������������ − ������1 ������ + ������1 ������1 ;④
首页 探究一 探究二 思维辨析
课前预习案
课Hale Waihona Puke 探究案解析：①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,也可 能相反,故它们不一定相等; ②正确,零向量的模等于0,模等于0的向量只有零向量; ③正确,������������1 与������������1 的模相等,方向相同; ④错误,空间四边形 ABCD 中,������������ 与������������的模不一定相等, 方向也不一定相反; ⑤错误,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,与������������1 的模一定相等的向量是 ������1 ������, ������������1 , ������1 ������, ������������1 , ������1 ������ ,一共有 5 个.
首页
课前预习案
课堂探究案
做一做1 下列命题中正确的是( ) A.若向量a与b的方向相反,则称向量a与b为相反向量 B.零向量没有方向 C.若a是单位向量,则|a|=1 D.若向量m,n,p满足m=n,n=p,则不一定有m=p 解析：单位向量是指模等于1的向量,所以若a是单位向量,则必 有|a|=1,即C项正确. 答案：C
人教版高中数学选修2-1(A版)课件：第三章 3.1 3.1.1空间向量及其加减运算 (共63张PPT)
奋斗的双脚在踏碎自己的温床时，却开拓了一条创造之路。 不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！ 不要自卑，你不比别人笨。不要自满，别人不比你笨。 你的假装努力，欺骗的只有你自己，永远不要用战术上的勤奋，来掩饰战略上的懒惰。 有志者自有千方百计，无志者只感千难万难。 如果把才华比作剑，那么勤奋就是磨刀石。 重要的不是发生了什么事，而是要做哪些事来改善它。 贪婪是最真实的贫穷，满足是最真实的财富。 多行不义，必自毙。——《左传》 志在峰巅的攀登者，不会陶醉在沿途的某个脚印之中。 只要还有明天，今天就永远是起跑线。 学会下一次进步，是做大自己的有效法则。因此千万不要让自己睡在已有的成功温床上。 日出时，努力使每一天都开心而有意义，不为别人，为自己。 驾驭命运的舵是奋斗。 只有一条路不能选择――那就是放弃。 稗子享受着禾苗一样的待遇，结出的却不是谷穗。 在茫茫沙漠，唯有前时进的脚步才是希望的象征。 不管失败多少次，都要面对生活，充满希望。 一个华丽短暂的梦，一个残酷漫长的现实。 不要抱怨自己所处的环境，如果改变不了环境，那么就改变自己的心态。
高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1.1 空间向量及其加减运算课件 新人教A版选修2-1.ppt
【解析】 由于零向量的方向是任意的，故①错；根据两 个向量相等的概念可知②正确；由于在空间，将所有单位向量 的起点重合，终点所形成的图形应为球面，故③错；根据两向 量相等的定义，两向量相等，不仅要模相等，而且方向也要相 同，④中的两个向量的方向未必相同，故④不正确；⑤显然正 确，故正确的有②⑤.
【答案】 B
加法运
交换律：a＋b＝__b_＋__a______；
算律
结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c_)__
重点难点突破
解剖难点 探究提高
空间向量是对平面向量的拓展和提高．学习空间向量一定 要注意结合平面向量，注意其联系，关于空间向量应注意以下 几点：
(1)向量既有大小，又有方向，因此无法比较大小，而向量 的模是实数，可以比较大小．
如图所示，在长方体
ABCD－A1B1C1D1 中，下列各式中运算结果为
向量B→D1的是( )
①(A→1D1－A→1A)－A→B；②(B→C＋B→B1)－D→1C1；③(A→D－A→B)－
D→D1；④(B→1D1－A→1A)＋D→D1.
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
解析：①(A→1D1－A→1A)－A→B＝A→1D1＋A→A1＋B→A＝B→D1；
第三章 空间向量与立体几何
3．1 空间向量及其运算 3．1.1 空间向量及其加减运算
自主学习导航
梳理知识 夯实基础
目标导学
1．了解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法运算． 2．掌握空间向量的性质．
‖知识梳理‖ 1．在空间，把具有__大__小_______和__方__向_______的量叫做空 间向量，向量的__大__小_______叫做向量的长度或模．空间向量常 用有向线段表示，有向线段的___长__度______表示向量的模，空间 向量也可以用字母表示如 a 等．
高中数学 3-1-1 空间向量及其加减运算课件 新人教A版选修2-1
图 11
→ → → OAn＝OA1＋A1A2＋„＋An－1An ＝a1＋a2＋„＋an 此即为空间向量和的多边形法则． 用折线作向量的和时，有可能折线的终点恰恰重 合到起点上，这时的和向量就为零向量．
3．平行六面体的一个性质 如图 12 所示， 在平行六面体 ABCD－ A′ B′ C′ D′中， → → → → → → AB ＋AD＝AC ，AC ＋AA′ ＝AC′ ， → → → → ∴AB ＋AD＋AA′ ＝AC′ .
图3
解析： 如图 3 所示， 取 AD 的中点 P， 连接 EF、 → → → → → → EP、 FP， 结合图形用AB和CD表示EF.EF＝EP＋PF 1→ 1 → 1 1 ＝ CD＋ AB ＝ (5a＋ 6b－ 8c)＋ (a－ 2c)＝ 3a＋ 3b 2 2 2 2 － 5c.
答案：3a＋3b－5c
2．向量共面的充要条件及其应用 (1)空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是： → → → 存在有序实数对 (x， y)，使MP＝ xMA ＋ yMB .满足这 个关系式的点 P 都在平面 MAB 内； 反之， 平面 MAB 内的任一点 P 都满足这个关系式． 这个充要条件常用 以证明四点共面．
答案：A
2．设 A、B、C 为空间任意三点，则下列命题 为假命题的是( ) → → → B. AB＋BC＋CA＝0 → → D. AB＝－BA
→ → → A.AB＋BC＝AC → → → C. AB－AC＝BC
答案：C
3． 如图 3， 在平行六面体 ABCD－ A′ B′ C′ D′ → → → → 中，AB＝ a，AD＝ b，AA′ ＝ c，则BD′ ＝ ________， —→ A′ C＝ ________.
→ 答案：2AC
福建省邵武市第七中学高中数学《3.1.1空间向量及其加减运算》课件新人教A版选修2-1
相反向 量 __方__向____相反且__长__度____相等的向量
空间向量的线性运算
【问题导思】 1．平面向量的加、减法满足怎样的运算法则？ 【提示】 平面向量的加法满足三角形法则与平行四边 形法则，减法满足三角形法则．
2．平面向量中，数乘向量怎样定义的？
【提示】 平面中，实数 λ 与向量 a 的乘积 λa 仍是一 个向量，称为向量的数乘；当 λ＞0 时， λa 与 a 方向相同， 当 λ＜0 时，λa 与 a 方向相反，λa 的长度是 a 的长度的|λ|倍．
演示结束
课 1.理解空间向量的概念．(难点) 标 2.掌握空间向量的线性运算．(重点) 解 3.掌握共线向量定理、共面向量定理 读 及推论的应用．(重点、难点)
空间向量的概念
【问题导思】 观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的向量
O→A，O→B，O→C，它们和以前所学的向量有何不同？ 【提示】 O→A，O→B，O→C是不同在一个平面内的向量，
共线向量与共面向量
1.共线向量 (1) 定 义 ： 表 示 空 间 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线 互__相__平__行__或__重__合__，则这些向量叫做_共__线__向__量___或平行向量； (2)共线向量定理：对于空间任意两个向量 a，b(b≠0)， a∥b 的充要条件是存在实数 λ 使__a_＝__λ_b____.
如图 3－1－6，正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E、F 分
图 3－1－6 别为 BB1 和 A1D1 的中点，证明：向量A→1B、B→1C、E→F共 面．
【证明】 E→F＝E→B＋B→A1＋A→1F＝12B→1B－A→1B＋12A→1D1 ＝12(B→1B＋B→C)－A→1B ＝12B→1C－A→1B， 由向量共面的充要条件知，A→1B、B→1C、E→F是共面向量.
人教A版高中数学选修2-1课件：3-1-1 空间向量及其加减运算 精品
D
＝BM MG 1 ( AB AC) 2
G BM MG MB
B
M
MG
C
小结
类比、数形结合
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
运算 减法:三角形法则
空间向量
具有大小和方向的量
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
复习
一、平面向量．
几何表示法：用有向线段表示；
字母表示法：用字母a,b 等或者用有向线段
的起点与终点字母 AB表示．
相等的向量：长度相等且方向相同的向量．
B
D
A
C
⒉平面向量的加减法与数乘运算
⑴向量的加法：
ab
b
a
平行四边形法则
ab
b
a
三角形法则
⑵向量的减法 三角形法则
算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
D A
b
D A
C
Ba
D A
D1 A1
C B
C1 B1
C
D
B
A
C B
二、空间向量的加法、减法运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 运算 减法:三角形法则
空间向量
具有大小和方向的量
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
ab
b a
⒊ 平面向量的加法运算律
加法交换律： a b b a 加法结合律：（a b） c a (b c)
新课
二、空间向量的加法、减法运算
高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算课件新人教A版选修2_1
对于②，根据相反向量的定义知|a|＝|b|，故②正确； 对于③，根据相等向量的定义知，A→C＝A→1C1，故③正确； 对于④，根据相等向量的定义知正确．] (2)根据相等向量的定义知，与向量 A→A′ 相等的向量有 B→B′ ， C→C′，D→D′.与向量A→′B′相反的向量有B→′A′，B→A，C→D，C→′D′.]
[解] O→G＝O→M＋M→G ＝12O→A＋23M→N ＝12O→A＋23(M→A＋A→B＋B→N) ＝12O→A＋2312O→A＋O→B－O→A＋21B→C ＝12O→A＋23O→B－12O→A＋12（O→C－O→B） ＝16O→A＋13O→B＋13O→C＝16a＋13b＋13c.
②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起点是 A， 终点是 B，也可记作： A→B ，其模记为 |a| 或 |A→B| ．
2．几类常见的空间向量
名称
方向
零向量
_任__意__
单位向量
任意
相反向量
_相__反__
相等向量
相同
模 _0__ _1 _
相等
相__等__
记法 _0 _
a 的相反向量：__－__a__ A→B的相反向量：_B→_A_ a＝b
2．利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三 角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性 质．
2.如图，已知空间四边形OABC，M，N分别 是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝ 2GN，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，试用a，b，c表 示向量O→G.
空间向量的线性运算 【例2】 (1)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式
[解] O→G＝O→M＋M→G ＝12O→A＋23M→N ＝12O→A＋23(M→A＋A→B＋B→N) ＝12O→A＋2312O→A＋O→B－O→A＋21B→C ＝12O→A＋23O→B－12O→A＋12（O→C－O→B） ＝16O→A＋13O→B＋13O→C＝16a＋13b＋13c.
②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起点是 A， 终点是 B，也可记作： A→B ，其模记为 |a| 或 |A→B| ．
2．几类常见的空间向量
名称
方向
零向量
_任__意__
单位向量
任意
相反向量
_相__反__
相等向量
相同
模 _0__ _1 _
相等
相__等__
记法 _0 _
a 的相反向量：__－__a__ A→B的相反向量：_B→_A_ a＝b
2．利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三 角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性 质．
2.如图，已知空间四边形OABC，M，N分别 是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝ 2GN，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，试用a，b，c表 示向量O→G.
空间向量的线性运算 【例2】 (1)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式
3.1.1空间向量及其加减运算 课件(人教A版选修2-1)
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)把所有单位向量的起点移到一点,则这些向量的终点组成 的图形是 .
(2)在空间四边形ABCD(字母顺次连接)中,连接AC,BD,则
AB BC CD 为
.
(3)在正方体ABCD-A1B1C1D1中, DD1－AB ＋BC 化简后的结果 是 .
【解析】(1)在空间中把所有单位向量的起点移到一点,则这些 向量的终点组成的图形是以单位向量的起点为球心,以1为半径 的球面. 答案:球面
相等,但方向不确定,即两个向量(非零向量)的模相等是两个向
量相等的必要不充分条件. ②向量的模与向量大小关系:由于方向不能比较大小,因此“大 于”“小于”对向量来说是没有意义的.但向量的模是可以比 较大小的.
【变式训练】如图所示,a,b是两个空间 向量,则 AC 与 AC 是
AB 与 BA 是
【解析】①若|a|=0,则a=0,故①错误;②正确;③正确. 答案:②③
知识点2
空间向量的加法、减法运算
1.空间向量加法、减法运算法则 (1)语言叙述:加法,“首尾顺次相接,由首指向尾”;减法,“起 点相同,尾尾相连,指向被减”.
(2)图形叙述:
①向量加法三角形法则:
特点:首尾相接,首尾连
②向量加法平行四边形法则: 特点:共起点
)
A.a+b-c C.-a+b+c
B.-a-b+c D.-a+b-c
(2)如图所示,已知长方体ABCD-A′B′C′D′.化简下列向量表 达式,并在图中标出化简结果.
①AA －CB ； ②AA ＋AB ＋BC.
【解题探究】1.题(1)中向量 AB 的相反向量如何表示? 2.题(2)图中的向量 CB 与向量 DA 是否相等? 【探究提示】1.向量 AB 的相反向量为 BA . 2.由图知向量 CB 与向量 DA 是相等向量.
高中数学3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算课件新人教A版选修2_1
题型一
题型二
【变式训练1】 下列命题中,是假命题是(与������������的长度相等 B.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 解析:选项 A中, ������������与������������为相反向量,长度相等; 选项B中,∵两个相等向量的起点相同,∴必有终点相同; 选项C中,由零向量的定义可知|0|=0; 选项D中,共线的单位向量,有可能方向相反,故选D. 答案:D
如图①, ������������ = ������������ + ������������ =a+b. 如图②, ������������ = ������������ + ������������ =a+b; ������������ = ������������ − ������������ =a-b. (2)空间向量的加法运算满足: 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
(3)零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作0,零向量的方向是 任意的.当有向线段的起点A与终点B 重合时, ������������ =0. (4)单位向量:模为1的向量. (5)相反向量:与向量a长度相等而方向相反的向量,称为a的相反 向量,记为-a. (6)相等向量:方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间,同 向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. 归纳总结(1)零向量的方向不确定,是任意的;由于零向量的这一 特性,在解题时一定要看清题目中所指的向量是“零向量”还是“非 零向量”. (2)零向量与零向量相等;任意两个相等的非零向量都可以用空间 中的同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.
【精品】高中数学人教A版选修2-1课件：3.1.1空间向量及其加减运算课件(15张)
D
1
C
1
A B A D A A AC1 1
AC1 A B A A A D 1
A
1
B
D
1
C
A
B
平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱。 各个面都是平行四边形。 三个向量的和满足交换律、集合律。
B C DA 1 B C D 如图，在平行六面体 A 中， 1 1 1
D
1
C
1
A
1
B
谢谢观看！
2 y 已知抛物线C： 2 x ，过点（2,0）的直线 l 交C与A,B两点，
圆M是以线段AB为直径的圆. （1）证明：坐标原点O在圆M上； （2）设圆M过点P（4，-2），求直线 l 与圆M的方程.
ab
B
指向被减数。
b
B A a b
平行四边形法则 使两向量共起点，分别以它们为邻边作平行四边形， 则从公共起点出发的对角线向量为和向量。
连接它们终点的对角线向量为差向量，指向被减数。
B
b
O
a
ab
ab
A
C
向量运算的基本图形 三角形 平行四边形
向量的加法满足加法交换律，集合律。
探究
B C DA 1 B C D 如图，在平行六面体 A 中， 1 1 1
D
1
C
A
B
用向量 A B ， A D ，A A 1 表示 A 1 C ，B D 1 及 D B 1 。
例1：化简 A B D A B D B C C A
u u u ru u u ru u u r D B C D B C
u u u r u u u ru u u r A BF (C F A )
1
C
1
A B A D A A AC1 1
AC1 A B A A A D 1
A
1
B
D
1
C
A
B
平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱。 各个面都是平行四边形。 三个向量的和满足交换律、集合律。
B C DA 1 B C D 如图，在平行六面体 A 中， 1 1 1
D
1
C
1
A
1
B
谢谢观看！
2 y 已知抛物线C： 2 x ，过点（2,0）的直线 l 交C与A,B两点，
圆M是以线段AB为直径的圆. （1）证明：坐标原点O在圆M上； （2）设圆M过点P（4，-2），求直线 l 与圆M的方程.
ab
B
指向被减数。
b
B A a b
平行四边形法则 使两向量共起点，分别以它们为邻边作平行四边形， 则从公共起点出发的对角线向量为和向量。
连接它们终点的对角线向量为差向量，指向被减数。
B
b
O
a
ab
ab
A
C
向量运算的基本图形 三角形 平行四边形
向量的加法满足加法交换律，集合律。
探究
B C DA 1 B C D 如图，在平行六面体 A 中， 1 1 1
D
1
C
A
B
用向量 A B ， A D ，A A 1 表示 A 1 C ，B D 1 及 D B 1 。
例1：化简 A B D A B D B C C A
u u u ru u u ru u u r D B C D B C
u u u r u u u ru u u r A BF (C F A )
高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.1 空间向量及其加减运算
知识精要
典题例解
迁移应用
一、空间向量的概念
1.理解空间向量概念时的四个关注点 (1)两向量的关系:空间向量是具有大小与方向的量,两个向量之间只有等与不等之分而无大小之分. (2)有向线段与向量:向量可用有向线段来表示,但是有向线段不是向量,它只是向量的一种表示方法. (3)向量的相等:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. (4)向量的平移:空间中任意两个向量都可以平移到同一平面内,成为同一个平面内的两个向量. 2.对零向量的三点说明 (1)方向的不确定性:零向量的方向不确定,是任意的;由于零向量的这一特性,在解题中一定要看清题目中所 指的向量是“零向量”还是“非零向量”. (2)长度的固定性:零向量的长度为零,零向量与零向量相等.
一二
知识精要
典题例解
迁移应用
【例1】 下列说法中正确的是( )
A.单位向量都相等
B.任一向量与它的相反向量不相等 C.若|a|=|b|,则a与b的长度相等,方向相同或相反 D.若a与b是相反向量,则|a|=|b| 思路分析:根据空间向量的相关概念进行分析判断. 答案:D 解析:单位向量的模都等于1,但方向不一定相同,可以是任意方向,故A错;0的相反向量还是0,它们是相等的, 故B错;当|a|=|b|时,a与b的方向是任意的,不一定相同或相反,故C错;当a与b互为相反向量时,|b|=|-a|=|a|,故D 正确.
知识精要
典题例解
迁移应用
一二
知识精要
典题例解
迁移应用
2.特殊位置关系的加减法 (1)共线向量:共线向量相加时不能利用平行四边形法则,可利用 三角形法则. (2)共终点向量:共终点的向量相加减,可通过平移两向量使两向 量共起点再选择合适的运算法则进行加减运算. (3)常用关系与常用数据:
高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.1空间向量及其加减运算
表达式，并标出化简结果的向量.
(1)AB BC . (239; A'
D A
C' B'
C B
解:
⑴ AB BC AC .
D'
(2) A B A D A A ' A'
AC AA'
A C C C ' AC' .
D A
C' B'
C B
提升总结 始点相同的三个不共面向量之和，等于
以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始 点为始点的体对角线所表示的向量.
1.给出以下命题：
（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同.
（2）若空间向量 a，b 满足 | a || b | ，则 a b .
（3）在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，必有 AC = A1C1 . （4）若空间向量 m,n,p 满足 m = n,n = p ，
2. 空间向量的加法运算律 （1）加法交换律
a+b=b+a （2）加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
证明加法交换律:
C
a
B
o
a
A
因为 OA = CB = a， AB = OC = b，
所以 a + b = b + a.
证明加法结合律: O
a
A
C
bBc
因为 OC=OB+BC=(OA+AB)+BC=(a+b)+c,
OC=OA+AC=OA+(AB+BC)=a+(b+c),
所以 (a + b) + c = a + (b + c).
(1)AB BC . (239; A'
D A
C' B'
C B
解:
⑴ AB BC AC .
D'
(2) A B A D A A ' A'
AC AA'
A C C C ' AC' .
D A
C' B'
C B
提升总结 始点相同的三个不共面向量之和，等于
以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始 点为始点的体对角线所表示的向量.
1.给出以下命题：
（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同.
（2）若空间向量 a，b 满足 | a || b | ，则 a b .
（3）在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，必有 AC = A1C1 . （4）若空间向量 m,n,p 满足 m = n,n = p ，
2. 空间向量的加法运算律 （1）加法交换律
a+b=b+a （2）加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
证明加法交换律:
C
a
B
o
a
A
因为 OA = CB = a， AB = OC = b，
所以 a + b = b + a.
证明加法结合律: O
a
A
C
bBc
因为 OC=OB+BC=(OA+AB)+BC=(a+b)+c,
OC=OA+AC=OA+(AB+BC)=a+(b+c),
所以 (a + b) + c = a + (b + c).
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b +c
A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
(空间向量)
推广
谢
谢
观
看
空间向量及其运算(一)
引入
有关概念
本课小结
如何定义加 减法运算
思考2
课堂练习
作业:课本 P92 练习 3
空间向量及其运算(一)
这是什么? 向量
如:力、位移等. 问题 1: C
向上 如图:已知 OA=6 米,
B
正北
O 正东 A
AB=6 米,BC=3 米,
? 那么 OC=
再比如课本 P90 问题……
因此凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平 面向量中有关结论仍适用于它们。
返回
向量加法结合律在空间中仍成立吗?
( a + b )+ c = a +( b + c )
O
O
a
a
b +c
A
CA
C
bBcb BcFra bibliotek(平面向量)
空间中
向量加法结合律： ( a + b )+ c = a +( b + c )
O
O
a a
问题 2:课本 P90 问题……
F3
已知F1=2000N,
F2
F1
F2=2000N, F3=2000N,
这三个力两两之间
的夹角都为60度, 它们的合力的大小
为多少N?
这需要进一步来认识空间中的向量 ……
空间量的概念
空间向量及其运算(一)
一、空间向量的有关概念：
c
空间向量：在空间中,具有大小和方向的量.a
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n A 1 0
返回
b a
C a+b B
O
A
OB OA AB CA OAOC
空间向量的加减法
B
b
b
Oa A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以 它们可用同一平面内的两条有向线段表示。
(a b) c a (b c)
作业:课本 P92 练习 3
平面向量加减法 空间向量加减法
平面向量的加法、减法运算图示意义:
b
a
向量加法的三角形法则
b
a
向量加法的平行四边形法则
减向量终点指向
b
被减向量终点
a
向量减法的三角形法则
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A 1 A n
常用 a 、b 、c ……等小写字母来表示.
b
1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a .
2.可用一条有向线段 AB 来表示向量,向量 AB
的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度.
B 终点
A 类似于平面向量,为了研究的
我们规定:
起点方便起见,
零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行
向量、共面向量等概念。（你认为应该怎样规定?）
概念 加法 减法 运算
空间向量的加减法运算
平面向量
空间向量
定义:具有大小、方向的量,表示法、相等向量.
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
加法:三角形法则或 平行四边形法则
减法:三角形法则
运 加法交换律 算 abba
加法交换律 ab 成立b 吗a？
加法结合律
律 加法结合律:
( a b ) c a ( b c )
精品
数学：311《空间 向量及其运算-加 减运算》PPT课件 新人教A版-选修 2-1
3.1.1《空间向量及其运算 -加减运算》
教学目标
❖ 1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的加 法运算。
❖ 2．用空间向量的运算意义和运算律解决立几 问题。
❖ 教学重点：空间向量的加法、减法运算律。 ❖ 教学难点：用向量解决立几问题. ❖ 授课类型：新授课. ❖ 课时安排：1课时.