投入产出数学模型

二、直接消耗系数
定义1 第j部门生产单位价值所消耗第i部
门的价值称为第j部门对第i部门的直接消耗
系数，记作
。
aij i, j 1,2, , n
由把定投义入得产出表aij中 的xxijj 各i,个j 中1,间2,需,求n
xij
(9) 换成相应
的aij 后得到的数表称为直接消耗系数表，并
称n阶矩阵 A aij 为直接消耗系数矩阵。
数学建模讲座
（二）投入产出数学模型
李媛
1
在经济活动中分析投入多少财力、物力、
人力，产出多少社会财富是衡量经济效益高
低的主要标志。
投入产出技术正是研究一个经济系统各部 门间的“投入”与“产出”关系的数学模型， 该方法最早由美国著名的经济学家瓦.列昂捷 夫（W.Leontief）提出，是目前比较成熟的 经济分析方法。
B E A1 E 0.1 0.5 0.4
0.8 2 2.2
由此例可知，完全消耗系数矩阵的值比直接
消耗系数矩阵的值要大的多。
四、投入产出实现模型的简单应用
投入产出法来源于一个经济系统各部门生 产和消耗的实际统计资料。它同时描述了当时 各部门之间的投入与产出协调关系，反映了产 品供应与需求的平衡关系，因而在实际中有广 泛应用。
在投入产出分析中部门的划分主要考虑两个 问题：
1、以什么作为部门？ 2、用什么标准去划分部门？
1、 以什么作为部门
要求各个部门在投入与产出两个方面具有同 质性。它要求同一类产品不论是哪个单位生产， 都归为同一部门。
2、 用什么标准去划分部门
假设每个部门只生产一种产品，且只 用一种生产技术方式进行生产，凡是使用 价值及其消耗构成相同的产品就归在同一 个部门，同一部门产品可以相互替代，不 同部门的产品不能相互替代。
B E A1 E
例3 假设某公司三个生产部门间的报告价值
型投入产出表如表4，
表4 某公司三个生产部门间投入产出表
产出
投入
中1
间 投
2
入3
中间消耗 123 1500 0 600 0 610 600 250 1525 3600
最终需求
400 1840 625
总产出
2500 3050 6000
求各部门间的完全消耗系数矩阵。
部 门
电厂 205.52252x1 02.80058x2 铁路 205.52252x1 02.80058x2
02.813x33
25000
00 0
新创造价值 ？
？
？
102088 56163 28330
总产出 102088 56163 28330
表8 投入产出分析表(单位：元)
消耗部门 煤 矿 电厂 铁 路
定理2 方程(E-D)X=Z的系数矩阵E-D是可逆的。
例2 设某工厂有三个车间，在某一个生产周
期内各车间之间的直接消耗系数及最终需求
如表3，求各车间的总产值。
表3 某工厂投入产出表
车间 直耗系数 车间
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
ⅠⅡⅢ
0.25 0.1 0.1 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 0.2
最终需求
235 125 210
解 依次用各部门的总产值去除中间消耗栏中 各列，得到直接消耗系数矩阵为
0.6 0 0.1 6 0 1
A
0
0.2
0.1
1 10
0
2
1
0.1 0.5 0.6 1 5 6
4 0 1
E
A
1 10
0
8 1
1 5 4
27 5 8
E
A1
1 10
1
15
4
8 20 32
故所求完全消耗系数矩阵为
1.7 0.5 0.8
i1
由直接消耗系数的定义 xij aij x j，代入(3)，得
a11x1 a12x2 a1n xn y1 x1
a21x1
a22x2
a2n xn
y2
x2
an1x1 an2 x2 ann xn yn xn
令 X x1 x2 xn ,Y y1 y2
(10)
(5)
x1n x2n xnn zn xn
n
xij z j x j j 1,2, , n (6)
i1
由(4)和(6)，可得
n
n
yi z j
(8)
i1
j 1
这表明就整个国民经济来讲，用于非生
产的消费、积累、储备和出口等方面产品的
总价值与整个国民经济净产值的总和相等。
例： 三部门投入产出表
bij i, j 1,2, , n 。
由bij 构成的n阶方阵 B bij 称为各部门间的
完全消耗系数矩阵。
定理3 第j部门对第i部门的完全消耗系数 bij
满足方程
n
bij aij bikakj i, j 1,2, , n k 1
定理4 设n个部门的直接消耗系数矩阵为
A，完全消耗系数矩阵为B，则有
投入产出表是投入产出分析的基础。在实际
分析和规划宏观经济计划、战略时，必须首先 要编制投入产出表，同时，投入产出表编制质 量的好坏将直接影响到投入产出模型效果的好 坏。。
（一） 关于部门的分类和组合问题
用投入产出分析方法研究国民经济各部门之 间的经济联系，首先需要对国民经济部门进行分 类，按照某种原则将国民经济划分为不同的部门。
y2
x2
(3)
xn1 xn2 xnn yn xn
n
xij yi xi i 1,2, , n (4)
j 1
从上到下： 中间消耗＋净产值＝总投入
(2)
投入平衡方程组(也称消耗平衡方程组)：
x11 x21 xn1 z1 x1
x12 x22 xn2 z2 x2
例1 已知某经济系统在一个生产周期内投入
产出情况如表2，试求直接消耗系数矩阵。
表2 某经济系统投入产出表
产出 中间消耗
投入
123
中1
间 投
2
入3
100 25 30 80 50 30 40 25 60
净产值 180 150 180
总投入 400 250 300
最终需求
245 90
175
总产出
400 250 300
写成矩阵形式为
X DX Z 或 E DX Z
(12) (13)
其中
D
diag
n i1
ai1
n
ai2
i1
Z z1 z2 zn
n
i1
ain
,
定理1 列昂捷夫矩阵E-A是可逆的。
如果各部门的最终需求Y y1 y2 yn
已知，则由定理1知，方程(11)存在惟一
解 X x1 x2 x。n E AX Y
由此解得
x1 102088
X
x2
56163
x3 28330
投入产出矩阵为
0
B
0.25x1
0.25x1
0.65x2 0.05x2 0.05x2
0.55x3
0.1x3
0
表8 投入产出分析表(单位：元)
源自文库
消耗部门 煤 矿 电厂 铁 路
外界需求 总产出
生 产
煤矿 00
306.65056x2 01.55558x23 50000
0.095125 300
0.1 0.085 0.58 210 350
即三个车间的总产值分别为400，300，350。
三、完全消耗系数
直接消耗系数只反映各部门间的直接消耗， 不能反映各部门间的间接消耗，为此我们给出 如下定义。
定义2 第j部门生产单位价值量直接和间
接消耗的第i部门的价值量总和，称为第j部 门对第i部门的完全消耗系数，记作
流量 产出
投入
煤矿
生 煤矿
0
产
部 电厂 25522
门
铁路 25522
消耗部门 电厂 36506 2808 2808
铁路 15582 2833
0
外界需求 总产出
50000 25000
0
102088 56163 28330
新创造价值 51044 14041 9915
总产出 102088 56163 28330
(j=1,2,…,n)。这几个方面投入的总和代表了这 个时期的总产出水平。
投入产出的基本平衡关系
从左到右： 中间需求＋最终需求＝总产出 (1)
从上到下： 中间消耗＋净产值＝总投入
(2)
由此得产出平衡方程组(也称分配平衡方程组)：
x11 x12 x1n y1 x1
x21
x22
x2n
解
由直接消耗系数的定义
aij
xij，得直接
xj
消耗系数矩阵
0.25 0.10 0.10
A 0.20 0.20 0.10 0.10 0.10 0.20
直接消耗系数 aij i, j 1,2, , n具有下面重
要性质：
性质1
0 aij 1 i, j 1,2, , n
性质2
n
aij 1 j 1,2, , n
0
x3
新创造价值 ?
?
?
总产出
x1
x2
x3
设产出向量为 X
x1 x2
，
x3
50000
外界需求向量为
D
25000
，
0
0 0.65 0.55 直接消耗矩阵为 A 0.25 0.05 0.10。
0.25 0.05 0
则原方程为 E AX D ，其中E-A为列
昂捷夫矩阵。
例4 某地有三个产业，一个煤矿，一个发电 厂和一条铁路，开采一元钱的煤，煤矿要支付 0.25元的电费及0.25元的运输费; 生产一元钱 的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元 的电费及0.05元的运输费; 创收一元钱的运输 费,铁路要支付0.55元的煤费和0.10元的电 费，在某一周内煤矿接到外地金额50000元定 货，发电厂接到外地金额25000元定货，外界 对地方铁路没有需求。
问三个企业间一周内总产值多少才能满足自身
及外界需求？三个企业间相互支付多少金额？
三个企业各创造多少新价值?
解 这是一个投入产出分析问题。设x1为本周
内煤矿总产值，x2为电厂总产值, x3为铁路总
产值, 则
x1 x2
(0 x1 0.65x2 0.55x3) 50000 (0.25x1 0.05x2 0.10x3) 25000
yn ，
(10)式可表示为 AX Y ，X 或
E AX Y
(11)
称矩阵E-A为列昂捷夫矩阵。
类似地把 xij aij x j 代入平衡方程(6)得到
a11x1 a21x2 an1xn z1 x1
a12 x1
a22 x2
an2 xn
z2
x2
a1n x1 a2n x2 ann xn zn xn
x3 (0.25x1 0.05x2 0 x3) 0
表8 投入产出分析表(单位：元)
消耗部门 煤 矿 电厂 铁 路
外界需求 总产出
生 煤矿 0*x1 0.65*x2 0.55*x3 50000
x1
产
部 电厂 0.25*x1 0.05*x2 0.1*x3 25000
x2
门
铁路 0.25*x1 0.05*x2 0*x3
解
0.75 0.1 0.1
E A 0.2 0.8 0.1
0.1 0.1 0.8
0.63 0.09 0.09
E
A1
1 0.4455
0.17
0.59
0.095
0.1 0.085 0.58
X E A1Y
0.63 0.09 0.09 235 400
1 0.4455
0.17
0.59
表1：投入产出表（一般格式）
流量 产出 消耗部门
最终需求
投入
1 2 n 消费 累计 出口
生
1
x11 x12 x1n
产
2
x21 x22 x2n
部
门
n
xn1 xn2
xnn
新 创 价 值
工资 纯收入 合计
v1 v2 m1 m2 z1 z2
vn mn zn
总投入
x1 x2 xn
合计
y1 y2 yn
总 产出
x1 x2 xn
投入产出表描述了各经济部门在某个时期 的投入产出情况。它的行表示某部门的产出； 列表示某部门的投入。如表1中第一行x1表 示部门1的总产出水平，x11为本部门的使用
量，x1 j (j=1,2,…,n)为部门1提供给部门j的使用
量，各部门的供给最终需求（包括居民消耗、
政府使用、出口和社会储备等）为 y j
流量 产出
投入
煤矿
生 煤矿
0
产
部 电厂 25522
门
铁路 25522
消耗部门 电厂 36506 2808 2808
铁路 15582 2833
0
外界需求 总产出
50000 25000
0
102088 56163 28330
新创造价值 51044 14041 9915
总产出 102088 56163 28330
一、投入产出数学模型的概念
投入～从事一项经济活动的消耗； 产出～从事经济活动的结果；
投入产出数学模型～通过编制投入产出表，运 用线性代数工具建立数学模型，从而揭示
国民经济各部门、再生产各环节之间的内 在联系，并据此进行经济分析、预测和安 排预算计划。按计量单位不同，该模型可 分为价值型和实物型。
例： 三部门投入产出表
外界需求 总产出
生 煤矿
0
36506
产
部 电厂 25522 2808
门
铁路 25522 2808
15582 2833
0
50000 25000
0
102088 56163 28330
新创造价值 51044 14041 9915
总产出 102088 56163 28330
五、投入产出表的编制与若干方 法论