电磁场与电磁波第四章

∇2ϕ
−
με
∂2ϕ ∂t 2
=
−
1 ε
ρ
矢量位和标量位满足(分离出的两个独立)的方程, 称为达朗贝尔方程
间接方法：A. 求解两个达朗贝尔方程 B. 达朗贝尔方程 + 洛仑兹条件
9
4.3 电磁能量守恒定律
讨论电磁场的能量问题，引入坡印廷矢量， 得到反映电磁能量守恒关系的坡印廷定理。
一、电磁场能量密度和能流密度
=
d dt
V
(1 2
μ
|
v H0
|2
+
1 2
ε
|
v E0
|2 )dV
+
σ
V
|
v E0
|2
dV
20
根据
v E0
或
v H0
满足的边界条件，左端被积函数
v (E0
×
v H
0
)
⋅
evn
|S
=
(evn
×
v E0
)
⋅
v H
0
|S
=
v (H
0
×
evn
)
⋅
v E0
|S
=
0
即
∫ ∫ d
dt
V
(1 2
μ
|
v H0
|2
+
∂2Ez ∂y 2
+
∂2Ez ∂z 2
− με
∂2Ez ∂t 2
=0
解波动方程，可求出空间中电磁场场量的分布。
(直接求解波动方程的过程很复杂)
4
4.2 电磁场的位函数
一、矢量位和标量位
∇ ⋅ Bv = 0
&
∇
⋅
(∇
×
v A)
≡
0
⇒
v B
=
∇
×
v A
由于Av ：称为∇电× 磁Ev 场= 的− 矢∂Bv量=位−,单∂位(：∇T×·mAv（) 特斯拉·米）
∇
×
v H
=
v J
+
ε
∂Ev
考虑到
[Bv
=
∇
×
v A,
v E
=
−
∂Av
−
∇ϕ
]
∂t
⇒
∇
×
(
1
∇
×
v A)
=
v J
+
ε
∂
∂t (−
∂Av
−
∇ϕ
)
⇒
μ ∇×∇×
v A
=
μJv
−
με
∂t ∂2
v A
∂t 2
∂t − με∇
∂ϕ ∂t
利用矢量恒等式： ∇ × ∇ × Av = ∇(∇ ⋅ Av) − ∇2 Av
！
：称为复振幅
23
复振幅 u&m (rv) ： u(rv, t ) 的复数表示形式
（符号上加点表示复数形式）
对于时谐场，场矢量都是随时间按时谐规律变化。
设时谐场矢量函数：Fv (rv, t) ，
在直角坐标系下，其瞬时矢量表示为：
v F
(rv,
t
)==evevxxFF+xmxe+v((yrvervvF,z)tFycm)oz+(msrv([ev)ωrvyc)Ftoc+yso([φsωrv[x,ωt(t+r)tv)++φ]
Hv
(t
)
=
−evyE
0
cos(ωt
−
kz)
×
evx
kE 0 ωμ 0
cos(ωt
−
kz)
= evz kE02 cos2 (ωt − kz) ωμ 0
(3)
∫ v
Sav
=
1
T
v E
(t
)
×
v H
(t
)dt
T0
(T
=
2π ω
)
∫ =
evz
kE02 ωμ0T
T cos2 (ωt − kz)dt
0
∫ =
evz
矢量位函数
v A
：旋度已确定，须引入条件限定其散度。
洛仑兹(Lorentz)条件
在时变电磁场中，为满足一一对应关系, 且简化时变
电磁场求解, 采用洛仑兹条件：
∇
⋅
v A
=
−με
∂ϕ
∂t
注意：这是人为引入的限定条件。
引入洛仑兹条件后，辅助函数满足的方程成为：
7
二、达朗贝尔(d’Alembert)方程
线性、均匀、各向同性媒质中,由
evzFz (rv, φy (zrv()rv])]
t
)
24
其中的三个分量都是标量时谐函数：
kE02 ωμ0T
T cos(2ωt − 2kz) + 1
dt
0
2
=
evz
kE02 2ωμ0
(W / m2 )
18
4.4 惟一性定理
求解时变电磁场的问题：
麦克斯韦方程+初始条件+边界条件
麦克斯韦方程解的惟一性定理： 在以闭tt ≥=合00,曲时Ev面刻或SHvEv为在, H边vS界的上的初的区始切域值向V,分及内量，, 给则定
波动方程的建立（无源区）
在无源空间中，电荷和电流处处为零，即 ρ = 0,
v J
=
0,
电磁场满足的麦克斯韦方程为:
∇ × Hv = ∂Dv , ∇ × Ev = − ∂Bv
∂t
∂t
∇
⋅
v B
=
0,
∇
⋅
v D
=
0
∂ Dv
在线性、均匀媒质中，
∇×
v E
=
−
∂
v B
∂t
⇒∇
×
∇×
Ev
=
−μ
∂ ∂t
(∇
∂t
× Hv
)
2
利用矢量恒等式：∇
×
(∇
×
v E
)
=
∇
(∇
⋅
v E
)
−
∇
2
v E
Q∇ ⋅
⇒ ∇ (∇ ⋅ Ev ) − ∇ 2 Ev
v D
=
0
⇒
∇ 2 Ev
−
με
∂ 2 Ev ∂t 2
= =
−με
∂ 2 Ev ∂t 2
无源区电场强度
0 的波动方程
同理，可以推得无源区磁场强度的波动方程为：
∇ 2 Hv
− με
⇒
∇
×
v (E
∂ +
t∂ Av
)
∂t =0
∂t
引入电磁场的标量位：ϕ ，单位：V（伏特）
Ev
+
∂
v A
=
−∇ ϕ
⇒
v E
=
−
∂Av
−
∇ϕ
∂t
∂t
引入辅助位函数：通过间接方法简化求解电磁场
5
位函数的不确定性
设 Av,ϕ
是
v E,
v B
的一组解,ψ
为一任意标量函数
Av ′
=
v A
+
∇ψ
,
ϕ′ = ϕ − ∂ψ
∇ ∇
× Hv ⋅(μ
0
=σ
v E0
v H
0
)
=
0,
+
ε
∂Ev0 ∂t ∇ ⋅ (ε
,∇× v E0 )
v E0
=
= 0.
−μ
∂Hv 0 , ∂t
−
∫S
v (E
×
v H
)
⋅
v dS
=
∫VEv
⋅
v JdV
+
d dt
∫V
(1 2
v E
⋅
v D
+
1 2
v H
⋅
v B)dV
∫ ∫ ∫ −Βιβλιοθήκη Sv (E0×
Hv 0 ) ⋅ evndS
∂
2
v H
∂t 2
=0
时变电磁场的场量在空间中是以波动形式变化的
3
直角坐标系中的波动方程
电场强度的波动方程为:
∂2Ex ∂x 2
+
∂2Ex ∂y 2
+
∂2Ex ∂z 2
− με
∂2Ex ∂t 2
=0
∂2Ey ∂x 2
+
∂2Ey ∂y 2
+
∂2Ey ∂z 2
− με
∂2Ey ∂t 2
=0
∂2Ez ∂x 2
在∇∇线××H性vEv、==J各v−+向∂∂∂Btv∂同Dtv 性⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎭ ⇒媒质=Ev中E⋅v(，∇⋅ Jv媒×+H质vEv)参⋅−∂∂数HDvtv不−⋅+(∇∇随Hv⋅×(时⋅EvE∂v∂间×B)tvH变v ) 化，
故得到： −∇⋅
v (E
×
v H)
=
v E
⋅
v J
+
v E
⋅
∂Dv
+
v H
⋅
∂Bv
∂t
∂t
= Ev ⋅ Jv + ∂ (1 Ev ⋅ Dv ) + ∂ (1 Hv ⋅ Bv)
∂t 2
∂t 2
12
在体积V上对等式两侧进行积分，得
−
∫V
∇
⋅
v (E
×
v H )dV
=
∫VEv
⋅
v JdV
+
∫V
∂ ∂t
(1 2
v E
⋅
v D
+
1 2
v H
⋅
v B)dV
在左侧应用Gauss定理，得到 坡印廷定理：
v S ：通常为时间 t 的函数，表示瞬时能流密度
坡印廷矢量的方向即为电磁能量传播的方向
vv E, H
相互垂直，与能量传输方向，形成右旋关系
S(rv, t) = E(rv, t)H (rv, t)
15
时变电磁场的平均坡应廷矢量
常见的时变场，电场和磁场随时间呈周期性变化， 需要求出一个周期内通过某个面的平均电磁能量。
um (rv) ：振幅， φ (rv) ：初始相位
根据欧拉（Euler）公式，有：
u(rv, t ) = Re[ um (rv)e ] j[ωt +φ (rv)] = Re[ um (rv)e e jφ (rv) jωt ] = Re[ u&m (rv)e jωt ]
其中， u&m (rv) = um (rv)e jφ (rv)
电磁场能量密度：单位体积中电磁场的能量,
描述能量的空间分布状况。
已有线性、各向同性媒质中，静电场的能量密度：
we
=
1 2
Ev
⋅
Dv
恒定磁场的能量密度： wm
=
1 2
v H
⋅
v B
推广应用于时变场的情形：
10
时变电磁场的能量密度：
w
=
we
+
wm
=
1 2
Ev
⋅
Dv
+
1 2
Hv
⋅
Bv
时变电磁场的能量密度随时间变化，电磁场能量流动, 其流动情况用电磁场能流密度表示：
−
∫S
v (E
×
v H
)⋅
v dS
=
∫VEv
⋅
v JdV
+
d dt
∫V
(1 2
v E
⋅
v D
+
1 2
v H
⋅
v B)dV
即是：
∫ ∫ ∫ −
(
Ev
×
Hv
)
⋅
v dS
=
S
Ev ⋅ JvdV + d
V
dt
V (we + wm )dV
⇒ 其中：
−
∫SPv
⋅
v dS
=
∫VEv
⋅
v JdV
+
d dt
∫VwdV
Pv = Ev × Hv , w = we + wm.
13
坡印廷定理的物理意义
能量守恒: 通过界面S流入的能量，使区域V中电磁场 能量增加，并补偿V 中消耗的能量，即能量关系：
流入量
−
∫s
Pv
⋅
v dS
= 增加量 + 消耗量
d dt
∫VwdV
∫V Ev ⋅ JvdV
► 坡印廷定理物理意义：流入体积V内的电磁功率等于体 积内电磁能量的增加率与损耗的电磁功率之和。
上式成为： ∇
2
v A
−
με
∂
2
v A
∂t 2
−
∇(∇
⋅
v A
+
με
∂ϕ ∂t
)
=
− μJv
8
采用洛仑兹条件
∇
⋅
v A
=
− με
∂ϕ
得到:
∇2
v A
−
με
∂2 ∂t
v A
2
∂t =
− μJv
又: ∇
⋅
v E
=
∇ ⋅ (−
∂Av
− ∇ϕ)
=
−
∂
(∇ ⋅
v A)
−
∇
2ϕ
=
1
ρ
∂t
∂t
ε
再用洛仑兹条件,得:
−
∫s
v P
⋅
v dS
流入能量
V
v dS vv E, H
σ
S
14
坡印廷矢量
∫ ∫ v P
⋅
v dS
=
(
v E
×
v H
)
⋅
v dS
表示流出闭合面S的电磁功率，
S
S
v P
=
v E
×
v H
为能流密度矢量，即坡印廷矢量.
定义：坡印廷(Poynting)矢量（用符号Pv
或
v S
表示）
v S
=
Ev
×
Hv
在 V 内, t >0 时的电磁场由Maxwell方程惟一确定。
利用反证法的证明：
假设
vv E1, H1
和
vv E2, H2
是
满足Maxwell方程及相同初始、边界条件的两组解，
19
令
v E0
=
v E1
−
v E2 ,
v H0
=
v H1
−
v H2.
则
v E0
,
v H0
满足Maxwell方程
Æ
满足坡印廷定理：
则有：
∂t
∇
×
Av ′
=
∇
×
v A
+
∇
×
(∇ψ
)
=
∇
×
v A
=
v B
−
∂Av ′
− ∇ϕ′
=
−