高考数学复习-第九章-直线、平面、简单几何体(A)9(A)-2课程案例

在Rt△ODF中，
【例2】 Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝ SC，D为斜边AC的中点．
(1)求证：SD⊥平面ABC. (2)若AB＝BC.求证：BD⊥平面SAC.
[解析] 证线面垂直的方法有： ①利用定义，即证直线垂直于平面内任一直线． ②利用线面垂直的判定定理，它是判定线面垂直的最 常用思路． ③利用线面垂直的性质，即两平行线之一垂直平面， 则另一条线必垂直于该平面． ④利用面面垂直的性质定理，即两平面互相垂直，在 一个面内垂直交线的直线垂直于另一平面．
(2)证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所 以PD⊥AC.由(1)可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D，
故AC⊥平面PBD.
如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝ PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC.
(1)求证OD∥平面PAB； (2)求直线OD与平面PBC所成角的大小． [命题意图]本题主要考查空间线面关系与运算等基础 知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．
●回归教材
1．若直线a在平面外，则有
()
A．a∩α＝∅
B．a与α有且仅有一个交点
C．a与α平行
D．a与α的交点至多有一个
解析：直线在平面外包括两种情况：①直线与平面平
行，②直线与平面相交，因此可排除A、B、C，选D.
答案：D
2．(教材改编题)两条直线a、b满足a∥b，b⊂α，则a
与平面α的关系是
解析：若“直线c⊥平面α”，则直线c垂直于平面α内 的所有直线，而m⊂平面α，直线n⊂平面α，所以“直线 c⊥m，直线c⊥n”必要性成立．若直线m⊂平面α，直线n⊂ 平面α，“直线c⊥m，直线c⊥n”当m∥n时，直线c与平面 α不一定垂直，充分性不成立．
答案：B
4．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平
(1)求证：BD⊥平面ADC； (2)若H为△ABC的垂心， 求证：H是D在平面ABC内的射影； (3)若M，N分别是△ABD与△BCD的重心， 求证：MN∥面ADC.
[思路点拨](1)“射影”与“垂直”相连，“证线面垂 直，先找线线垂直”；
(2)“垂心”是“高”的交点，线线垂直，由此根据三 垂线定理去找；
(1)射影相等的两条斜线段 相等，射影较长的斜线段
也较长 ； (2)相等的斜线段的射影 相等
，较长的斜线段的射
影 也较长 ；
(3)垂线段比 任何一条斜线段 都短．
4．三垂线定理 ①三垂线定理：在平面内的一条直线，如果 和这个 平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． ②三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影 垂直．
表示为： a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b .
三、直线与平面垂直的判定和性质
1．直线和平面垂直的判定 ①(定义)如果一条直线和平面内所有直线都 垂直，那
么这条直线和这个平面垂直．
②(判定定理1)如果一条直线和一个平面内的 两条 相交直线都 垂直，那么这条直线垂直于这个平面．用符
号语言表示为： l⊥b，则l⊥α .
③如果平面外的两条平行直线中有一条和这个平面平 行，那么另一条也和这个平面平行．
④如果两个平面平行，那么一个平面内的任何一条直 线都平行于另一个平面．
⑤一个平面和不在这个平面内的一条直线都垂直于另 一个平面，那么这条直线平行于这个平面．
2．直线和平面平行的性质
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面 和这个平面相交，那么这条直线和 交线平行．用符号语言
(2)若AB＝BC，则BD⊥AC， 由(1)可知，SD⊥面ABC，而BD⊂面ABC，∴SD⊥BD. ∵SD⊥BD ， BD⊥AC ， SD∩AC ＝ D ， ∴ BD⊥ 平 面 SAC.
如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1， ∠ACB＝90°，A1A＝ D是A1B1的中点．
(1)求证：C1D⊥平面ABB1A1； (2)在BB1上找一点F，使AB1⊥平面C1DF，并说明理 由．
●基础知识
一、直线和平面的位置关系
一条直线a和平面α的位置关系有且只有三种： 1．直线在平面内——有无数 个公共点，记作a⊂α ； 2．直线和平面相交——有且只有一个 公 共 点 ， 记 作 a∩α＝A ； 3．直线和平面平行——没有公共点，记作a∥α .
二、直线与平面平行的判定和性质 1．直线和平面平行的判定 直线和平面平行的判定，除用定义外，主要是用判定 定理，此外还用到其它特殊位置关系的性质定理． ①(定义)如果一条直线和一个平面没有公共点，那么 这条直线和这个平面平行． ②(判定定理)如果平面外 一条直线和这个平面内的一 条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号语言 表示，即 a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α .
⑤(两平面平行的性质定理)如果两个平面平行，那么
与其中一个平面垂直的直线也与另一个平面垂直．用符号
语言表示为： α∥β，a⊥β，则a⊥α
.
⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们
的交线也垂直于第三个平面．用符号语言表示为：
β⊥α，γ⊥α，β∩γ＝a，则a⊥α
.
⑦如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂 直于另两条直线确定的平面．用符号语言表示为：a⊥b， a⊥c，b⊥c，a、b、c交于一点A，b⊂α，c⊂α， 则a⊥α .
●易错知识
一、性质理解错误
1．如果α、β是两个不重合的平面，在下列条件下，
可判定α∥β的是
()
A．α、β都平行于直线l、m
B．α内有三个不共线的点到β的距离相等
C．l、m是α内的两条直线且l∥β，m∥β
D．l、m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
解题思路：对于A，l和m应相交；对于B，应考虑三 个点在β的同侧或异侧两种情况；对于C，l和m应相 交．故选D.
失分警示：对于A，实际上是面面平行的判定定理， 但直线必须相交；对于B，只考虑三点在同侧而没有考虑 异侧；对于C易丢l和m相交这一条件．
答案：D
二、对线面垂直的定义、定理或性质理解不透 2．一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这 个平面内的无数条直线的位置关系是________． 答案：平行或相交 三、三垂线定理应用错误 3．斜线上任意一点在平面上的射影，一定在 ________． 答案：斜线的射影上 4．已知在四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，则 AD与BC的关系是________． 答案：垂直
5．“三余弦”定理 如图所示，AB和平面M所成的角是α，AC在平面M内， AC和AB在平面M内的射影AB1所成的角是β，设∠BAC＝θ， 则α、β、θ满足关系为cosθ＝cosαcosβ.这就叫做“三余弦” 定理(别名：爪子定理)． 注意定理中的条件是“从一定点出发的三条射线组成 的三个面中有两个面相互垂直”．
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解析：(1)证明：∵ABC－A1B1C1是直三棱柱， ∴AA1⊥平面A1B1C1. 又C1D⊂平面A1B1C1，∴C1D⊥A1A， 又A1C1＝B1C1＝AC＝BC＝1， D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1， 又A1A∩A1B1＝A1， ∴C1D⊥平面ABB1A1.
(2)作DE⊥AB1于E，廷长DE交BB1于F， 连结C1F，则AB1⊥平面C1DF， 因为AB1⊥DF，AB1⊥C1D， DF∩C1D＝D，所以AB1⊥平面C1DF.
面，则下列命题正确的是
()
A．若a∥b，a∥α，则b∥α
B．若α⊥β，a∥α，则a⊥β
C．若α⊥β，a⊥β，则a∥α
D．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β
解析：易知A、B、C不正确，D正确．
答案：D
5．在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形 ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(填上你认为正 确的一个条件即可)．
解 析 ： 要 使 A1C⊥B1D1 ， 只 要 B1D1 垂 直 于 A1C 在 面 A1B1C1D1上的射影A1C1即可．
答案：AC⊥BD(答案不唯一)
【例1】 (2009·天津)如图，在四棱锥P－ABCD中， PD⊥平面ABCD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝ CD.
(1)证明PA∥平面BDE； (2)证明AC⊥平面PBD.
()
A．a∥α
B．a与α相交
C．a∥α或a⊂α
D．a⊂α
解析：a∥b，b⊂α，则a与α的关系有两种：①a∥α，
②a⊂α，故C正确．
答案：C
3．(2009·北京丰台一模)已知直线m⊂平面α，直线n⊂ 平面α，“直线c⊥m，直线c⊥n”是“直线c⊥平面α”的
() A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
a⊂α，b⊂α，a∩b＝O，l⊥a，
③(判定定理2)如果两条平行直线中的一条垂直于 一
个平面，那么另一条也垂直于这个平面．用符号语言表示 为： a∥b，a⊥α，则b⊥α .
④(面面垂直的性质定理)如果两个平面垂直，那么在
第一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平
面．用符号语言表示为： α⊥β，α∩β＝b，α⊂β， a⊥b，则a⊥α .
[命题意图] 本小题主要考查直线与平面平行、直线 与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间 想象能力和推理论证能力．
[解析] (1)证明：设AC∩BD＝H，连结EH.在△ADC 中，因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中 点 ． 又 由 题 设 ， E 为 PC 的 中 点 ， 故 EH∥PA. 又 EH⊂ 平 面 BDE且PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE.
[解析](1)∵O、D分别为AC、PC的中点， ∴OD∥PA. 又PA⊂平面PAB， ∴OD∥平面PAB.
(2)∵AB⊥BC，OA＝OC， ∴OA＝OB＝OC， 又∵OP⊥平面ABC， ∴PA＝PB＝PC. 取BC中点E，连结PE，则BC⊥平面POE. 从而平面PBC⊥平面POE. 作OF⊥PE于F，连结DF，则OF⊥平面PBC， ∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角．
(3)设AC与BD的交点为O′， 则平面BB1D1D与平面ACD1的交线为O′D1， 则O′D1∩B1D＝O， ∵BD∥B1D1，∴△OO′D∽△OD1B1，
∴DO OB1＝1：2.
[反思归纳] 三垂线定理及其逆定理要注意：一定平 面；二定垂线；三找斜线，射影即现．主要用来证明线线 垂直．
如图所示，△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直 角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.
(3)“重心”有个性质，把中线分为2 1，“平行”当 然由平行截割定理而得到．
2．直线与平面垂直的性质 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平 行．用符号语言表示为： a⊥α，b⊥α，则a∥b . 3．斜线在平面内的射影 ①过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内 的射影．从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过 垂足和斜足 的直线叫做斜线在这个平面内的射影． ②射影长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线 段和斜线段中：
【例3】 已知：正方体ABCD－A1B1C1D1(如图)． (1)求证：B1D⊥BC1； (2)求证：B1D⊥面ACD1； (3)若B1D与面ACD1交于O，求证：DO OB1＝1：2.
[证明] (1)∵ABCD－A1B1C1D1为正方体， ∴DC⊥面BCC1B1，B1D在面BCC1B1内的射影为B1C. ∵BCC1B1为正方形，∴BC1⊥B1C. ∴BC1⊥B1D，即B1D⊥BC1.(三垂线定理) (2)(1)中证明了体对角线B1D与面对角线BC1垂直， 同理可证：B1D⊥AD1，B1D⊥AC.∴B1D⊥平面ACD1.
⑤用面面平行的性质，即一直线垂直于两平行平面之 一，则必垂直于另一平面．
⑥用面面垂直的性质，即两相交平面都垂直于第三个 平面，则它们的交线垂直于第三个平面．
[证明] (1)取AB中点E，连结SE，DE，在Rt△ABC中， D、E分别为AC、AB的中点，故DE∥BC，且DE⊥AB，
∵SA＝SB，∴△SAB为等腰三角形， ∴SE⊥AB，DE⊥AB，SE∩DE＝E， ∴AB⊥面SDE. 而SD⊂面SDE，∴AB⊥SD. 在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC. ∵SD⊥AC，SD⊥AB，AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.