高考数学复习-第九章-直线、平面、简单几何体(A)9(A)-2课程案例
数学高考复习名师精品教案：第76课时：第九章 直线、平面、简单几何体-空间向量及其运算
数学高考复习名师精品教案第76课时：第九章 直线、平面、简单几何体——空间向量及其运算课题：空间向量及其运算一．复习目标：理解空间向量的概念、掌握空间向量的有关运算及其性质． 二．主要知识：1．,a b向量共线的充要条件： ；2．三点共线： ； 3．三向量共面： ； 4．四点共面： ； 5．两向量夹角的范围 ； 三．课前预习：1．如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。
若AB a =，AD b = ，1A A c =，则下列向量中与BM等的向量是（ ）()A 1122a b c-++ ()B 1122a b c++()C 1122a b c--+ ()D c b a +-21212．有以下命题：A①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C一定共面；③已知向量,,a b c是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-，也是空间的一个基底。
其中正确的命题是 （ ）()A ①② ()B ①③ ()C ②③ ()D ①②③3．下列命题正确的是 （ ）()A 若a 与b共线，b与c 共线，则a与c 共线；()B 向量,,a b c共面就是它们所在的直线共面；()C 零向量没有确定的方向； ()D 若//a b，则存在唯一的实数λ使得a b λ=；4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外的任一点，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 （ ）()A OC OB OA OM ++= ()B OCOB OA OM--=2()C OCOB OA OM 3121++= ()D OCOB OA OM313131++=四．例题分析： 例1．已知在正三棱锥ABCP -中，N M ,分别为BC PA ,中点，G 为MN 中点，求证：BCPG ⊥GN ABCPM例2．已知H G F E ,,,分别是空间四边形ABCD 的边DA CD BC AB ,,,的中点， （1） 用向量法证明H G F E ,,,四点共面； （2）用向量法证明：BD ∥平面EFGH ；（3）设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有1()4O M O A O B O C O D =+++例3．在平行六面体1111D C B A ABCD-中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱1A A 长为b ，且 1111120AAB AA D ∠=∠=︒，求（1）1AC 的长；（2）直线1BD 与AC 所成角的余弦值。
高二数学第九章 直线、平面、简单几何体复习教案
高二数学第九章 直线、平面、简单几何体复习教案一、平面1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 2．平面的画法及其表示方法：①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC 等3．空间图形是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系如下表所示：b A = a αØα=∅ A α=l β= aα=∅或4平面的基本性质公理 1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⎬∈⎭Ø． 如图示： 应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推理模式：A l A ααββ∈⎫⇒=⎬∈⎭且A l ∈且l 唯一如图示：应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 推理模式：,, A B C 不共线⇒存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈应用：①确定平面；②证明两个平面重合“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面推理模式：A a ∉⇒存在唯一的平面α，使得A α∈，l αØ推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面推理模式：P b a = ⇒存在唯一的平面α，使得,a b αØ推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面推理模式：//a b ⇒存在唯一的平面α，使得,a b αØ5平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形 二、空间直线1空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点； （3）异面——不在任何．．一个平面内，没有公共点； 2公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：//,////a b b c a c ⇒．3等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 4等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等5空间两条异面直线的画法ab1AA6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：,,,A B l B lααα∉∈⊂∉⇒AB与l是异面直线7．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b，经过空间任一点O作直线//,//a ab b''，,a b''所成的角的大小与点O的选择无关，把,a b''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b所成的角（或夹角）．为了简便，点O通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：]2,0(π8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b垂直，记作a b⊥．9．求异面直线所成的角的方法：几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求向量法：用向量的夹角公式10两条异面直线的公垂线、距离和两条异面直线都垂直相交．．．．的直线，我们称之为异面直线的公垂线理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义．两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．两条异面直线的公垂线有且只有一条计算方法：①几何法；②向量法三、直线与平面平行和平面与平面平行1．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；符号表示为:aαØ，（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；符号表示为: a Aα=，（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．符号表示为: //aα．2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：,,////l m l m lααα⊄⇒Ø．3线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：//,,//l l m l mαβαβ=⇒Ø．4．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．5．图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的．6．平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．推理模式：：a β⊂，b β⊂，ab P =，//a α，//b α//βα⇒．7平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行．推理模式：,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''==⇒刎刎．8．平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 推理模式：//,,//a b a b αβγαγβ==⇒．9面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．推理模式：//,//a a αβαβ⊂⇒．四、直线与平面垂直和平面与平面垂直 1线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足 直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a ⊥α 2直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 3直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行 4三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；（2）推理模式：,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭5．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直推理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭．注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用6两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面 7．两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 推理模式：a αØ，a β⊥⇒αβ⊥．8．两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 推理模式：,,,l a a l αβαβα⊥=⊥Ø a β⇒⊥9向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法：①证明直线与平面垂直的方法：直线的方向向量与平面的法向量平行； ②证明平面与平面垂直的方法：两平面的法向量垂直 五、空间向量及其运算1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算空间向量的加法、减法与数乘向量运算：OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3 平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa4共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．5． 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式OP OA t =+a ．其中向量a叫做直线l 的方向向量6空间直线的向量参数表示式：OP OA t =+a或()OP OA t OB OA =+-(1)t OA tOB =-+，中点公式．1()2OP OA OB =+ 7．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作O A a =，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的 8．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA y MB=+ ① 或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++② 或,(1)OP xOA yOB zOM x y z =++++= ③ 上面①式叫做平面MAB 的向量表达式9空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++10空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AO B ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥11．向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a12．向量的数量积：已知向量,a b ，则||||c o s ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．已知向量AB a =和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影 A B ''的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅．13．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）0a b a b ⊥⇔⋅=．（3）2||a a a =⋅． 14．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅（交换律）． （3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律） 六、空间向量的坐标运算 1空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i jk 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面； 2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 3．空间向量的直角坐标运算律： （1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则21||a a a a =⋅=+2||b b b b =⋅=+．5．夹角公式：2cos ||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+6．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB ==， 或,A B d =七、空间角1．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上 异面直线所成的角的范围：]2,0(π2．求异面直线所成的角的方法：（1）几何法；（2）向量法 3．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角直线和平面所成角范围： [0，2π] （2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角4．公式：平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角，则有θϕϕcos cos cos 21=5二面角：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--； 6．二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AO B ∠叫做二面角l αβ--的平面角（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角 说明：①二面角的平面角范围是[0,180]；②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直7．二面角的求法：⑴几何法；⑵向量法8求二面角的射影公式：SS '=θcos ， 其中各个符号的含义是：S 是二面角的一个面内图形F 的面积，S '是图形F 在二面角的另一个面内的射影，θ是二面角的大小 9．三种空间角的向量法计算公式：⑴异面直线,a b 所成的角θ：cos cos ,a b θ=<>；⑵直线a 与平面α(法向量n )所成的角θ：sin cos ,a n θ=<>； ⑶锐二面角θ：cos cos ,m n θ=<>，其中,m n 为两个面的法向量八、空间距离1点到平面的距离：已知点P 是平面α外的任意一点，过点P 作PA α⊥，垂足为A ，则PA 唯一，则PA 是点P 到平面α的距离即 一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离 结论：连结平面α外一点P 与α内一点所得的线段中，垂线段PA 最短2 异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线． 3．公垂线唯一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线4．两条异面直线的公垂线段：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段；5．公垂线段最短：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条；6．两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度说明：两条异面直线的距离AB 即为直线a 到平面α的距离即两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离7直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离)8．两个平行平面的公垂线、公垂线段：（1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线 （2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段 （3）两个平行平面的公垂线段都相等（4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长9．两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离10．七种距离：点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求 10用向量法求距离的公式：⑴异面直线,a b 之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,,,n a n b A a B b ⊥⊥∈∈⑵直线a 与平面α之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,A a B ∈∈是平面α的法向量⑶两平行平面,αβ之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,A B αβ∈∈n 是平面α的法向量⑷点A 到平面α的距离：||AB n d n ⋅=，其中B α∈，n 是平面α的法向量另法：点000(,,),A x y z 平面0Ax By CzD +++=则 d =⑸点A 到直线a的距离：|d a =⎪⎭，其中B a ∈，a 是直线a 的方向向量 ⑹两平行直线,ab之间的距离：|d a =⎪⎭，其中,A a B b ∈∈，a 是a 的方向向量九、棱柱1多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线2．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体3．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等4．棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）5．棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 6．棱柱的性质（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形；（2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形； （3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形7平行六面体、长方体、正方体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长方体叫正方体．8．平行六面体、长方体的性质(1)平行六面体的对角线交于一点且互相平分．(2)长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和特别地，正方体的一条对角线长等于棱长的3倍。
高二年下学期第九章直线平面简单几何体教案
平面（1）教学目的： 1. 使学生了解立体几何研究的对象、内容；2. 培养学生的空间想象能力，初步建立空间概念；3. 理解平面的基本概念，初步掌握平面的基本性质。
教学重点：空间概念的建立与平面的基本性质。
教学难点：空间概念的建立 教学过程 一、引言：1. 思考：是否存在三条直线两两互相垂直？若存在请举出实际中的例子。
2. 立体几何的研究对象、内容平面几何研究的对象是平面图形（点、线以及组合）的形状、大小、位置关系，而立体几何研究的对象是空间图形的形状、大小、位置关系。
两者的区别：平面图形——所研究的对象都在同一平面内； 空间图形——所研究的对象不一定在同一平面内。
两者的关系：前者为后者的特殊情形,许多空间问题可以转化为平面问题来解决，体现了数学的转化思想. 在立体几何学习中，要善于与平面几何作比较，认识其相同点，发现其不同点，这种方法称之为类比思想。
二、新课： （一）平面：1、平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度）2、平面的画法：通常画平行四边形来表示平面 (1)一个平面：水平放置和直立；当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45ο，横边画成邻边的2倍长，如图1（1）.(2) 直线与平面相交，如图1（2）、（3），：（3）两个相交平面： 画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如图2）。
3、平面的表示：（1）用一个小写的希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β； （2）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC(图1（1）). （二） 直线在平面内的依据（公理1）a βαB A βB A αβB A ααβa 图 2A （1）1. 有关概念：所谓直线在平面内，即指直线上的所有点都在平面内；若点A 在直线a 上，记做A ∈a ，若点A 在直线a 外，记做A ∉a ；若点A 在平面α上（外），记作A ∈α（A ∉α）；若直线a 在平面α内，记做a ⊂α，若直线a 不在平面α内，记做a ⊄α.这.图形符号语言文字语言（读法） AaA a ∈ 点A 在直线a 上AaA a ∉点A 不在直线a 上AαA α∈点A 在平面α内AαA α∉ 点A 不在平面α内b a Aa b A =I直线a 、b 交于A 点aαa α⊂直线a 在平面α内aαa α=∅I 直线a 与平面α无公共点aAαa A α=I 直线a 与平面α交于点Al αβ=I平面α、β相交于直线l2、公理一：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内. ⅰ）说明：此时即直线在平面内，或者说平面经过直线.公理一是判定直线在平面内的依据. ⅱ）公理1的含义如图3所示，可用符号表示为 A l ∈,B l ∈,A α∈,B α∈⇒α⊂lⅲ)以“直线在平面内”的意义为依据，常用下面的推理 判定“点在平面内”： A l ∈，α⊂l ⇒α∈A 简言之：点在线上，线在面内，则点在面内.(三) 两个平面相交的依据（在本章中，没有特别说明的“两个平面”，都是指不重合的两个平面）：1、一条直线l 既在平面α内，又在平面β内，即α和β有一条公共的直线l ，则称α与β相交，交线是l ，记做α∩β=l .2、公理二：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
高考数学总复习(人教A版,理科)配套课件第九章 平面解析几何 9.2
R A（理）
§9.2 两直线的位置关系
第九章 平面解析几何
基础知识·自主学习
要点梳理
1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1、 l2， 其斜率分别为 k1、 k2， 则有 l1∥ l2 ⇔ k1＝k2 .特别地，当直线 l1、 l2 的斜率都不存在时， l1 与 l2
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
3.三种距离公式 (1)点 A(x1， y1)、 B(x2， y2)间的距离： 2 2 x － x ＋ y － y 2 1 2 1 |AB|＝ . (2)点 P(x0， y0)到直线 l： Ax＋By＋ C＝0 的距离： d＝
|Ax0＋By0＋C| A2＋B2
①
②
由①②联立，解得 a＝2，b＝2.
(1)l1⊥ l2，且 l1 过点 (－ 3，－ 1)； (2)∵l2 的斜率存在，l1∥l2，
∴直线 l1 的斜率存在， a k1＝k2，即 ＝1－a. b
相等，且 l1∥l2，
③
又∵坐标原点到这两条直线的距离
题型分类·深度剖析
题型一 两条直线的平行与垂直
思维启迪 解析 思维升华
a，b 的值.
即 b＝0.
(1)l1⊥l2， 且 l1 过点(－3， －1)； 又∵l1 过点(－3，－1)，
4 (2)l1∥l2，且坐标原点到这两 ∴－3a＋4＝0，即 a＝3(矛盾). ∴此种情况不存在，∴k2≠0.
条直线的距离相等 .
即 k1，k2 都存在， a ∵k2＝1－a，k1＝ ，l1⊥l2， b
2 ∴a＝2，b＝－2 或 a＝ ，b＝2. 3
题型分类·深度剖析
题型一 两条直线的平行与垂直
高考数学专题复习第9单元直线平面简单几何体(下)课件文大纲人教版
[证明] 设正方体的棱长为 1，以 D 点为原点，D→A、D→C、D→D1 为坐标向量，建立空间直角坐标系 D－xyz，如图所示．
(1)易知 A(1,0,0)、E1，1，12、F0，12，0、D1(0,0,1)．∵A→E ＝0，1，12，D→1F＝0，12，－1.
又A→E·D→1F＝0，1，12·0，12，－1＝0， ∴AE⊥D1F.
第57讲 │ 知识梳理
知识梳理
1．空间向量的加减和数乘的坐标表示 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 (1)a＋b＝_(_a_1_－__b_1， ___a_2－__b_2_，__a_3_－__b_3_) ___； (2)a－b＝__(_a_1_＋__b_1_，__a_2＋__b_2_，__a_3_＋__b_3_) ____； (3)λa＝___(λ_a_1_，__λ_a_2_，__λ_a_3)_(_λ_∈__R_)_______； (4)a∥b(b≠0)⇔_a_1＝__λ_b_1_，__a_2_＝__λ_b_2，__a_3_＝__λ_b_3_(λ. ∈R)
则 B(1,1,0)，E11，34，1， D(0,0,0)，F10，14，1， ∴B→E1＝0，－41，1，D→F1＝0，14，1，
第57讲 │ 要点探究
∴|B→E1|＝|D→F1|＝ 417，B→E1·D→F1＝0×0＋－14×14＋1×1＝1156， 15cos〈B→EFra bibliotek，D→F1〉＝
2019-2020年高考数学复习第79课时第九章直线、平面、简单几何体-平面所成的角名师精品教案
2019-2020年高考数学复习 第79课时第九章直线、平面、简单几何体- 平面所成的角名师精品教案 一•复习目标：掌握二面角及二面角的平面角的概念；熟练掌握作二面角平面角的一般方法. 二. 知识要点： 1•二面角的概念： _______________________________________________________________ . 2•二面角的平面角： ____________________________________________________________ . 3•求二面角平面角大小的一般方法： ______________________________________________ . 三. 课前预习： 1•二面角内有一点，若到平面的距离分别是，且在平面的内的射影的距离为，则二面角的 度数是() 2 •已知分别是正方体的棱的中点，则截面与底面所成二面角的正弦值是 3. 对于平面几何中的命题："如果两个角的两边分别对应垂直, 在立体几何中，类比上述的命题，可以得到命题： _____________ ，这个命题的真假性是 ______________________• 4 .在四面体中，两两垂直，且，是中点，异面直线所成的 角为，则二面角的大小为 ____________________________________________•四•例题分析：例1.如图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点， 交于点，(1 )求证：； (2 )在任意中有余弦定理： DE 2 =DF 2 EF 2 三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系 式，并予以证明. 例 2 .如图，已知四棱锥的底AB 二 BC 二 PB 二 PC 二 2CD ，侧面底面.(1 )与是否相互垂直，请证明你的结论；A i2i ()C iFB ED A BEB CMA il EFcos/DFE .拓展到空间，类比..................................... C i . -A B(2)求二面角的大小；(3)求证：平面丄平面.解：(1)与相互垂直•证明如下: 取的中点，连结，交于点；连结.又•••平面丄平面，平面门平面，•丄平面.在梯形中，可得，• / BEO ZOAB ZDBA Z DBC Z DBA即，•.C(2)连结，由丄平面，，可得，•••为二面角的平面角，设AB =BC =PB =PC =2CD =2a，则在中，•••二面角为.(3 )取的中点，连结，由题意知：平面丄平面，则同“(1)”可得平面.取的中点，连结，则由，，得四边形为平行四边形••，•丄平面.•平面丄平面.解答二：取的中点，由侧面丄底面，是等边三角形，得丄底面.以为原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则在直角梯形中，，在等边三角形中，.• A(1,—2,0), B(1,0,0), D(-1,-1,0), P(0,0,、、3)BD =(—2,—1,0),PA =(1,-2,- 3).(1)与相互垂直•证明如下：••• BD PA=(-2) 1 (-1) (-2) 0 (- 3)=0,(2)连结，设与相交于点；连结.由OA BD =1 (-2) (-2) (T) 0 0=0,得.又•••为在平面内的射影, •••,为二面角的平面角. 在中， •二面角为. ____ （3 ）取的中点，连结，则的坐标为. 又，， • DM PA =- 10 （一2） 3 3）=0 2 2 •••丄平面. •平面丄平面.小结：三垂线定理是求二面角的平面角的又一常用方法.五•课后作业：1. 过正方形的顶点，引丄平面，若，则平面和平面所成的二面角的大小是（ ）2•已知正三棱锥两个相邻侧面所成二面角为，那么的取值范围（ ）或3. 已知正方形，交于点，若将正方形沿折成的二面角，并给出四个结论：（ 1）;（ 2）;（3）为正三角形；（4），则其中正确命题的序号为 ________________________________ .4. 平行六面体的底面是矩形，侧棱长为，点在底面上的射影是的中点，与底面成的角，二 面角的平面角等于，求此平行六面体的表面积.5. 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面， ，是 ^中点，作交于. 在中, OE =OBsin . OBE 5 5 DM PB (-•3)=0.DM _ P A , DM _ PB,即 DM _ PA, DM _ PB2019-2020年高考数学复习 第79课时第九章直线、平面、简单几何体- 平面所成的角名师精品教案 新人教A 版•复习目标：掌握二面角及二面角的平面角的概念；熟练掌握作二面角平面角的一般方法..知识要点：1. 二面角的概念： _______________________________________________________________ .2. 二面角的平面角： ____________________________________________________________ .3. 求二面角平面角大小的一般方法： ______________________________________________ .三.课前预习：1.二面角内有一点，若到平面的距离分别是，且在平面的内的射影的距离为，则二面角的 度数是（）2.已知分别是正方体的棱的中点，则截面与底面所成二面角的正弦值是（） D 1 C i/：:|F3.对于平面几何中的命题："如果两个角的两边分别对应垂直,在立体几何中，类比上述的命题，可以得到命题: 扣C 等：相、不例2 .如图，______________ ，这个命题的真假性是 ____________________4 .在四面体中，两两垂直，且，是中点，异面直线所成的 角为，则二面角的大小为 ___________________________________ .四•例题分析：例1如图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，交于点，（1 ）求（2）在任意中有余弦定理： DE 2二DF 2 EF 2 -2EF cos DFE . 拓展到空间，类比B 1C 1三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系 式，并予以证明.CA BAB = BC = PB = PC = 2CD ，侧面底面.(1 )与是否相互垂直，请证明你的结论；(2) 求二面角的大小；(3) 求证：平面丄平面.解：(1)与相互垂直•证明如下:取的中点，连结，交于点；连结.•••,•••.又•••平面丄平面，即,(2)连结， 由丄平面，，可得， •••为二面角的平面角， 设 AB 二 BC 二 PB 二 PC 二 2CD 二 2a ，则在中，•••二面角为.(3 )取的中点，连结，由题意知：平面丄平面， 则同“(1)”可得平面.取的中点，连结，则由，，得四边形为平行四边形••，•丄平面.•平面丄平面.解答二： 平面门平面，•丄平面. 在梯形中，可得，BEO /OAB /DBA / DBC /DBAC取的中点，由侧面丄底面，是等边三角形，得丄底面.以为原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则在直角梯形中，，在等边三角形中，.• A(1,—2,0), B(1,0,0), D(-1,-1,0), P(0,0,、、3) BD =(-2,-1,0),PA=(1,-2,-3).(1)与相互垂直•证明如下：••• BD PA=(-2) 1 (-1) (-2) 0 (- .3)=0,（2）连结，设与相交于点；连结.由 OA BD =1 (-2) (-2) (-1) 0 0=0,得.又•••为在平面内的射影,为二面角的平面角.在中，•二面角为. _（3 ）取的中点，连结，则的坐标为.又，，_ PA, DM _ PB,即卩DM _ PA, DM•••丄平面. •平面丄平面.小结：三垂线定理是求二面角的平面角的又一常用方法.五•课后作业：1.过正方形的顶点，引丄平面，若，则平面和平面所成的二面角的大小是（ ）2•已知正三棱锥两个相邻侧面所成二面角为，那么的取值范围（） 或3.已知正方形，交于点，若将正方形沿折成的二面角，并给出四个结论：（ 1）;（ 2）;（3）为正三角形；（4），则其中正确命题的序号为 ________________________________ .4. 平行六面体的底面是矩形，侧棱长为，点在底面上的射影是的中点，与底面成的角，二 面角的平面角等于，求此平行六面体的表面积.5. 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面， ，是 ^中点，作交于.（1 ）证明平面：（2）证明平面；（3）求二面角的大小.• D M PA 1 0 (-2) 2 (-.3) =0DM PB(-.3)=0. 在中,OE =OBsin . OBE 5 56•在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，，分别是的中点.（1）证明；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离.。
高中数学复习第九章《直线、平面、简单几何体和空间向量》PPT课件(578页)
下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图
形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括 _正__视__图__、__侧__视__图__、_俯__视__图___．
4．空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本
步骤是：
(1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴，两轴相交 于点 O，画直观图时，把它们画成对应的 x′轴、y′轴， 两轴相交于点 O′，且使∠x′O′y′＝45°，已知图形中平 行于 x 轴、y 轴的线段在直观图中平行于 x′轴、y′轴； 已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中长度_不__变__， 平行于 y 轴的线段，长度变为_原__来__的__一__半___． (2)画几何体的高 在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于平面 xOy，在 直观图中对应的 z′轴，也垂直于平面 x′O′y′，已知图 形中平行于 z 轴的线段，在直观图中仍平行于 z′轴且 长度__不__变___．
[知识体系]
理解以下判定定理： 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平 行，那么该直线与此平面平行． 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都 平行，那么这两个平面平行． 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂 直，那么该直线与此平面垂直． 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两 个平面互相垂直． 理解以下性质定理，并能够证明之： 如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任 一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行． 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么 它们的交线互相平行． 垂直于同一个平面的两条直线平行． 如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们 交线的直线与另一个平面垂直．
[解析] 由斜二测画法的规则知与 x′轴平行的线段其长度不变以及因为 O′A′＝a cm， 所以原图形中 OA＝O′A′＝a cm， 对角线 O′B′＝ 2a cm，则原图形中 OB＝2O′B′＝2 2 a cm ， 且 △OBC 为 直 角 三 角 形 ， 则 OC ＝
(全国通用)高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.2两条直线的位置关系学案
§9.2 两条直线的位置关系最新考纲考情考向分析1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.以考查两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查．题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是距离公式，是高考考查的重点.1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离 |P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2 .知识拓展 1．直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋n ＝0(n ∈R )． 2．两直线平行或重合的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行或重合的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0. 3．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0. 4．过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.5．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( × ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定为－1.( × )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( √ )(4)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.( × ) (5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ )(6)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB 的中点在直线l 上．( √ ) 题组二 教材改编2．[P110B 组T2]已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1 答案 C解析 由题意得|a －2＋3|1＋1＝1.解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2.∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.3．[P101A 组T10]已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________. 答案 1解析 由题意知m －4－2－m＝1，所以m －4＝－2－m ，所以m ＝1. 题组三 易错自纠4．(2017·郑州调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3 D ．－2或－3答案 C解析 直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3.故选C.5．直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是______． 答案324解析 先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0，则两平行线间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－122＝324.6．若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________. 答案 0或1解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.题型一 两条直线的位置关系典例 (2018·青岛模拟)已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解 (1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0. 又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)，∴此种情况不存在，∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在且不为0. ∵k 2＝1－a ，k 1＝a b，l 1⊥l 2， ∴k 1k 2＝－1，即a b(1－a )＝－1.(*)又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.(**) 由(*)(**)联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即ab＝1－a ，①又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b ，②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 跟踪训练 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解 (1)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)， l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1，综上可知，当a ＝－1时，l 1∥l 2. 方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0， 得a (a －1)－1×2＝0， 由A 1C 2－A 2C 1≠0， 得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－1)－1×6≠0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6，可得a ＝－1，故当a ＝－1时，l 1∥l 2.(2)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2， 故a ＝0不成立； 当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，由⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a＝－1，得a ＝23.方法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0， 可得a ＝23.题型二 两直线的交点与距离问题1．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是_____．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12 解析 方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k 2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1.又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k 2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.方法二 如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4,0)，B (0,2)．而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条过定点P (－2,1)，斜率为k 的动直线．∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)， ∴动直线的斜率k 需满足k PA ＜k ＜k PB . ∵k PA ＝－16，k PB ＝12.∴－16＜k ＜12.2．若直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________________________． 答案 x ＋3y －5＝0或x ＝－1解析 方法一 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意． 方法二 当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 的中点时，AB 的中点为(－1,4)． ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等．题型三 对称问题命题点1 点关于点中心对称典例 过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________． 答案 x ＋4y －4＝0解析 设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.命题点2 点关于直线对称典例 如图，已知A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．3 3B ．6C ．210D ．2 5答案 C解析 直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.命题点3 直线关于直线的对称问题典例 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程．解 在直线m 上任取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，∴M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013. 设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵直线m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 思维升华 解决对称问题的方法 (1)中心对称①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 跟踪训练 已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程； (3)直线l 关于(1,2)的对称直线．解 (1)设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)，∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x×3＝－1.① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y2＋3＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4x ＋3y －95，③y ′＝3x ＋4y ＋35. ④把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴点P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)． (2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ， 得关于l 对称的直线方程为 －4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.(3)在直线l ：3x －y ＋3＝0上取点M (0,3)， 关于(1,2)的对称点M ′(x ′，y ′)， ∴x ′＋02＝1，x ′＝2，y ′＋32＝2，y ′＝1，∴M ′(2,1)．l 关于(1,2)的对称直线平行于l ，∴k ＝3，∴对称直线方程为y －1＝3×(x －2)， 即3x －y －5＝0.妙用直线系求直线方程一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．典例1 求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程．思想方法指导 因为所求直线与3x ＋4y ＋1＝0平行，因此，可设该直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠1)． 规范解答解 由题意，设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠1)， 又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11. 因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0. 二、垂直直线系由于直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件为A 1A 2＋B 1B 2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系．可以考虑用直线系方程求解． 典例2 求经过A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程． 思想方法指导 依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解． 规范解答解 因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设该直线方程为x －2y ＋C 1＝0，又直线过点A (2,1)，所以有2－2×1＋C 1＝0，解得C 1＝0， 即所求直线方程为x －2y ＝0. 三、过直线交点的直线系典例3 (2017·湖南东部十校联考)经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为____________．思想方法指导 可分别求出直线l 1与l 2的交点及直线l 的斜率k ，直接写出方程；也可以根据垂直关系设出所求方程，再把交点坐标代入求解；又可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解．解析 方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－53，y ＝79，即交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，79，∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， ∴所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋53，即4x －3y ＋9＝0.方法二 由垂直关系可设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0，可解得交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，79，代入4x －3y ＋m ＝0，得m ＝9， 故所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. 方法三 由题意可设所求直线方程为 (2x ＋3y ＋1)＋λ(x －3y ＋4)＝0， 即(2＋λ)x ＋(3－3λ)y ＋1＋4λ＝0，① 又∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， ∴3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，∴λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. 答案 4x －3y ＋9＝01．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．不能确定答案 C解析 直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1.故选C.2．(2018·邢台模拟)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由题意得，直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a (a －2)＝3×1，a ×1≠3×1，解得a ＝－1，故选C.3．从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( ) A ．x ＋2y －4＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x ＋6y －16＝0 D ．6x ＋y －8＝0答案 A解析 由直线与向量a ＝(8,4)平行知，过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y－3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确．4．(2017·兰州一模)一只虫子从点O (0,0)出发，先爬行到直线l ：x －y ＋1＝0上的P 点，再从P 点出发爬行到点A (1，1)，则虫子爬行的最短路程是( ) A. 2 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 点O (0,0)关于直线x －y ＋1＝0的对称点为O ′(－1,1)，则虫子爬行的最短路程为|O ′A |＝(1＋1)2＋(1－1)2＝2.故选B.5．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为( ) A.423 B ．4 2C.823D ．2 2答案 C解析 ∵l 1∥l 2，∴a ≠2且a ≠0， ∴1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1， ∴l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823.6．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点 ( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4) D ．(4，－2)答案 B解析 直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．7．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________． 答案 －9 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0， 即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9.8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________. 答案345解析 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线， 于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.9．(2017·浙江嘉兴一中月考)已知直线l 1：ax ＋y －6＝0与l 2：x ＋(a －2)y ＋a －1＝0相交于点P ，若l 1⊥l 2，则a ＝________，此时点P 的坐标为________． 答案 1 (3,3)解析 ∵直线l 1：ax ＋y －6＝0与l 2：x ＋(a －2)y ＋a －1＝0相交于点P ，且l 1⊥l 2，∴a ×1＋1×(a －2)＝0，即a ＝1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6＝0，x －y ＝0，易得x ＝3，y ＝3，∴P (3,3)．10．已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为________． 答案 －1 1 2 2 解析 若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝k ＝tan π4＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1；若l 1∥l 2，则a ＝－1，l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离d ＝|1－(－3)|1＋1＝2 2.11．已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2,2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.(1)解 显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线． ∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2)．(2)证明 过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0. 但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，∴M 与Q 不可能重合，而|PM |＝42，∴|PQ |<42，故所证成立．12．已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5. 若能，求点P 的坐标；若不能，请说明理由．解 (1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行直线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋(－1)2＝7510，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72， 又a ＞0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)． 若点P 满足条件②，则点P 在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或116，所以直线l ′的方程为2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若点P 满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x 0－y 0＋3|5＝25×|x 0＋y 0－1|2， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能． 联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12(舍去)；联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.所以存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件．13．(2017·湖北孝感五校联考)已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)答案 C解析 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)， 即3x ＋y －10＝0.同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1,3)， ∴AC 所在直线方程为y －2＝3－2－1－(－4)(x ＋4)，即x －3y ＋10＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，则C (2,4)．故选C.14．(2017·岳阳二模)已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )且Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3，则12a ＋2c 的最小值为________．答案 94解析 因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0，又Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3， 所以(4－1)2＋(－m )2＝3，解得m ＝0. 所以a ＋c ＝2，则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94， 当且仅当c ＝2a ＝43时取等号．15.如图，已知直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到l 1，l 2之间的距离分别为3和2，点B 是l 2上的一动点，作AC ⊥AB ，且AC 与l 1交于点C ，则△ABC 的面积的最小值为________．答案 6解析 以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设B (a ，－2)，C (b,3)．∵AC ⊥AB ，∴ab －6＝0，ab ＝6，b ＝6a.Rt△ABC 的面积S ＝12a 2＋4·b 2＋9＝12a 2＋4·36a2＋9＝1272＋9a 2＋144a2≥1272＋72＝6(当且仅当a 2＝4时取等号)． 16．在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合．若直线l 与直线l 1关于点(2,3)对称，则直线l 的方程是______________． 答案 6x －8y ＋1＝0解析 由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34，∴直线l的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，取直线l 上的一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，b ＋3m 4，则点P 关于点(2,3)的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m ，6－b －3m 4，∴6－b －3m 4＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝18.∴直线l 的方程是y ＝34x ＋18，即6x －8y ＋1＝0.。
高考数学复习 第79课时 第九章 直线、平面、简单几何体-平面所成的角名师精品教案
DECBA第79课时：第九章 直线、平面、简单几何体——平面所成的角课题：平面所成的角一．复习目标：掌握二面角及二面角的平面角的概念；熟练掌握作二面角平面角的一般方法． 二．知识要点：1．二面角的概念： ． 2．二面角的平面角： ． 3．求二面角平面角大小的一般方法： ． 三．课前预习：1．二面角l αβ--内有一点P ，若P 到平面,αβ的距离分别是5,8，且P 在平面,αβ的内的射影的距离为7，则二面角l αβ--的度数是（C ）()A 30 ()B 60 ()C 120 ()D 1502．已知,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,BC CC 的中点，则截面1AEFD 与底面ABCD 所成二面角的正弦值是 （C ）()A 32 ()B 32()C 35 ()D 322 3．对于平面几何中的命题：“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述的命题，可以得到命题： ，这个命题的真假性是 ． 4．在四面体ABCD 中，,,AB BC BD 两两垂直，且2AB BC ==，E是AC 中点，异面直线,AD BE 所成的角为，则二面角D AC B --的大小为 ． 四．例题分析：例1．如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ，1BB PN ⊥交1CC 于点N ，（1）求证：MN CC ⊥1；AA 1B CMNPB ECDFA 1B 1D 1C 1ABDCPA BDC PM N EO（2）在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．例2．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，90ABC BCD ∠=∠=，2AB BC PB PC CD ====，侧面PBC ⊥底面ABCD ．（1）PA 与BD 是否相互垂直，请证明你的结论； （2）求二面角P BD C --的大小； （3）求证：平面PAD ⊥平面PAB ．解：（1）PA 与BD 相互垂直.证明如下：取BC 的中点O ，连结AO ，交BD 于点E ；连结PO ．∵PB PC =，∴PO BC ⊥．又∵平面PBC ⊥平面ABCD ， 平面PBC ∩平面ABCD BC =，∴PO ⊥平面ABCD ． 在梯形ABCD 中，可得Rt ABO Rt BCD ∆≅∆， ∴90BEO OAB DBA DBC DBA ∠=∠+∠=∠+∠=， 即AO BD ⊥， ∴PA BD ⊥ ．（2）连结PE ，由PO ⊥平面ABCD ，AO BD ⊥，可得PE BD ⊥， ∴PEO ∠为二面角P BD C --的平面角，设22AB BC PB PC CD a =====，则在Rt PEO ∆中，,,5PO OE ==.15tan ==∠EOPOPEO ∴二面角PBD C --为． （3）取PB 的中点N ，连结CN ，由题意知：平面PBC ⊥平面PAB ， 则同“（1）”可得CN ⊥平面PAB ． 取PA 的中点M ，连结,DM MN ，则由////MN AB CD ，12MN AB CD ==，得四边形MNCD 为平行四边形. ∴//CN DM ， ∴DM ⊥平面PAB ．∴平面PAD ⊥平面PAB ． 解答二：取BC 的中点O ，由侧面PBC ⊥底面ABCD ， PBC ∆是等边三角形， 得PO ⊥底面ABCD ．以O 为原点，以BC 所在直线为x 轴， 过点O 与AB 平行的直线为y 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 设1CD =，则在直角梯形中，2AB BC ==， 在等边三角形PBC中，PO ．∴(1,2,0),(1,0,0),(1,1,0),A B D P ---).3,2,1(),0,1,2(--=--=PA BD（1）PA 与BD 相互垂直.证明如下：∵,0)3(0)2()1(1)2(=-⨯+-⨯-+⨯-=⋅PA BD ∴,PA BD PA BD ⊥⊥．（2）连结AO ，设AO 与BD 相交于点E ；连结PE ．由,000)1()2()2(1=⨯+-⨯-+-⨯=⋅得,OA BD AO BD ⊥⊥即． 又∵AO 为PA 在平面ABCD 内的射影，∴PE BD ⊥，PEO ∠为二面角P BD C --的平面角． 在Rt BEO ∆中，sin OE OB OBE =∠=． 在Rt PEO ∆中，tan POPEO OE∠== ∴二面角P BD C --为（3）取PA 的中点M ，连结DM ，则M的坐标为1(,2-．又3(2DM =，(1,0,PB =，∴310(2)(02DM PA ⋅=⨯+⨯-=3100(022DM PB ⋅=⨯+⨯+=．∴,,,DM PA DM PB DM PA DM PB ⊥⊥⊥⊥即∴DM ⊥平面PAB ． ∴平面PAD ⊥平面PAB ．小结：三垂线定理是求二面角的平面角的又一常用方法．五．课后作业：1．过正方形ABCD 的顶点A ，引PA ⊥平面ABCD ，若PA AB =，则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是（ ）()A 30 ()B 45 ()C 60 ()D 902．已知正三棱锥两个相邻侧面所成二面角为θ，那么θ的取值范围（ ）()A ︒<<︒18060θ ()B ︒<60θ ()C ︒>90θ ()D ︒>90θ或︒<60θ3．已知正方形ABCD ，BD AC ,交于点O ，若将正方形沿BD 折成60的二面角，并给出四个结论：（1）BD AC ⊥；（2）CO AD ⊥；（3）AOC ∆为正三角形；（4）43cos =∠ADC ，则其中正确命题的序号为 ．4．平行六面体1111D C B A ABCD -的底面是矩形，侧棱长为2cm ，点1C 在底面ABCD 上的射影H 是CD 的中点，1CC 与底面ABCD 成60的角，二面角1A CC D --的平面角等于30，求此平行六面体的表面积．5．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 中点，作EF PB ⊥交PB 于F ． （1）证明//PA 平面EDB ：（2）证明PB ⊥平面EFD ；（3）求二面角C PB D --的大小．6．在三棱锥S ABC -中，ABC ∆是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA SC ==,M N 分别是,AB SB 的中点．（1）证明AC SB ⊥；（2）求二面角N CM B--的大小；（3）求点B到平面CMN的距离．。
2019-2020年高考数学复习 第72课时第九章 直线、平面、简单几何体-空间直线名师精品教案 新人教A版
2019-2020年高考数学复习 第72课时第九章 直线、平面、简单几何体-空间直线名师精品教案 新人教A 版 课题：空间直线一．复习目标：1．了解空间两条直线的位置关系．2．掌握两条直线所成的角和距离的概念，会计算给出的异面直线的公垂线段的长．二．课前预习：1．下列四个命题：（1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线（2）和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条（3）和两条异面直线都相交的两条直线必异面（4）若与是异面直线，与是异面直线，则与也异面其中真命题个数为 （ D ）3 2 1 02．在正方体中，、分别是棱和的中点，为上底面的中心，则直线与所成的角为（ A ）300 450 6003．在棱长为的正四面体中，相对两条棱间的距离为__ _．（答案：）4．两条异面直线、间的距离是1cm ，它们所成的角为600，、上各有一点A 、B ，距公垂线的垂足都是10cm ，则A 、B 两点间的距离为_______．答案：三．例题分析：例1．已知不共面的三条直线、、相交于点，，，，，求证：与是异面直线． 证一：（反证法）假设AD 和BC 共面，所确定的平面为α，那么点P 、A 、B 、C 、D 都在平面α内，∴直线a 、b 、c 都在平面α内，与已知条件a 、b 、c 不共面矛盾，假设不成立，∴AD 和BC 是异面直线。
证二：（直接证法）∵a ∩c=P ，∴它们确定一个平面，设为α，由已知C 平面α，B ∈平面α，AD 平面α，BAD ，∴AD 和BC 是异面直线。
例2． 一条长为的线段夹在互相垂直的两个平面、之间，AB与所成角为，与所成角为，且，，，、是垂足，求（1）的长；（2）与所成的角 解：（1）连BC 、AD ，可证AC ⊥β，BD ⊥α，∴ABC=300，∠BAD=450 ，Rt △ACB 中，BC=AB ·cos300= ， 在Rt △ADB 中，BD=AB ·sin450=在Rt △BCD 中，可求出CD=1cm （也可由AB 2=AC 2+BD 2+CD 2-2AC ·BD ·cos900求得）（2）作BE//l ，CE//BD ，BE ∩CE ，则∠ABE 就是AB 与CD 所成的角，连AE ，由三垂线定理可证BE ⊥AE ，先求出AE=，再在Rt △ABE 中，求得∠ABE=600。
高考数学一轮复习第九章直线、平面、简单几何体课件(A)人教
公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一 个平面 ，即不共线的三点 确定一个平面 ．
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点， 有且 只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面 ． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面 ．
二、空间两条直线 (1)空间两条直线的位置关系有 相交、平行、异面 ． (2)平行直线 ①公理4：平行于同一条直线的两条直线 互相平行 ． ②等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分 别平行并且方向相同，那么 这两个角相等 ． 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平 行，那么这两组直线所成的锐角(或直角) 相等 ．
3．利用开放题检测考生的素质和能力．在连续两年 的高考立体几何填空题中都出现了开放题．这种题型在考 查考生思维能力、推动素质教育健康发展的过程中具有独 特的功效和导向作用，应予以重视．
4．以多面体和旋转体为载体，重点考查直线和平面 的位置关系、几何体中角和距离的计算以及体积的求法和 应用．
5．要重视立体几何中的最值问题．这类问题综合性 强，对能力要求较高，可以全面地考查考生的数学基础知 识和数学素质．
在△EGF中，
∴∠EGF＝120°，故AD与BC所成的角为60°.
失分警示：根据异面直线所成的角的定义，选点平移 线是解决问题的关键，而学生在选点方面出现问题对解决 该题就会带来困难，另一方面知识模糊，误把120°看成异 面直线所成的角．
答案：60°
●回归教材 1．空间四点中，无三点共线是这四点不共面的
二、异面直线所成的角的范围出错 2．如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E、 F分别是AB、CD的中点，若EF＝，则AD、BC所成的角为 ______．
解 题 思 路 ： 取 BD 的 中 点 G ， 连 结 EG 、 GF ， 则 EG∥AD，GF∥BC，故∠EGF是AD与BC所成的角(或其 补角)．
2019-2020年高考数学复习 第72课时 第九章 直线、平面、简单几何体-空间直线名师精品教案
2019-2020年高考数学复习 第72课时 第九章 直线、平面、简单几何体-空间直线名师精品教案课题：空间直线 一．复习目标：1．了解空间两条直线的位置关系．2．掌握两条直线所成的角和距离的概念，会计算给出的异面直线的公垂线段的长． 二．课前预习： 1．下列四个命题：（1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线 （2）和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条 （3）和两条异面直线都相交的两条直线必异面 （4）若与是异面直线，与是异面直线，则与也异面 其中真命题个数为 （ D ） 3 2 1 02．在正方体中，、分别是棱和的中点，为上底面的中心，则直线与所成的角为（ A ） 300 450 6003．在棱长为的正四面体中，相对两条棱间的距离为__ _．（答案：）4．两条异面直线、间的距离是1cm ，它们所成的角为600，、上各有一点A 、B ，距公垂线的垂足都是10cm ，则A 、B 两点间的距离为_______． 答案：三．例题分析：例1．已知不共面的三条直线、、相交于点，，，，，求证：与是异面直线．证一：（反证法）假设AD 和BC 共面，所确定的平面为α，那么点P 、A 、B 、C 、D 都在平面α内，∴直线a 、b 、c 都在平面α内，与已知条件a 、b 、c 不共面矛盾，假设不成立，∴AD 和BC 是异面直线。
证二：（直接证法）∵a ∩c=P ，∴它们确定一个平面，设为α，由已知C 平面α，B ∈平面α，AD 平面α，BAD ，∴AD 和BC 是异面直线。
例2． 一条长为的线段夹在互相垂直的两个平面、之间，AB与所成角为，与所成角为，且，，，、是垂足，求（1）的长；（2）与所成的角解：（1）连BC 、AD ，可证AC ⊥β，BD ⊥α，∴ABC=300，∠BAD=450 ，Rt △ACB 中，BC=AB ·cos300= ， 在Rt △ADB 中，BD=AB ·sin450=在Rt △BCD 中，可求出CD=1cm （也可由AB 2=AC 2+BD 2+CD 2-2AC ·BD ·cos900求得）（2）作BE//l ，CE//BD ，BE ∩CE ，则∠ABE 就是AB 与CD 所成的角，连AE ，由三垂线定理可证BE ⊥AE ，先求出AE=，再在Rt △ABE 中，求得∠ABE=600。
高考数学第一轮复习 第九章 直线、平面、简单几何体课
有 上下两个平行平面 ,其余各面是相邻交线互相平行 的 平行四边形 的几何体;棱锥是有一个面是 多边 形 ,其余各面是有一个公共顶点的 三角形 的几何体, 台体是用平行于 底面 的平面去截锥体,截面与底面之
间的部分.
(1)要特别注意棱柱定义中“其余各面都是平行四边 形,且每相邻两个面的公共边都互相平行”的条件不能简化
3
r2h .
3.如果圆台的底面半径分别为 R,r,母线长为 l,高为 h
则其侧面积为 π(r+R)l ,全面积为 π(r+R)l+πr2+π
R2 ,体积为 1π(r2+rR+R2)h .
3
4.棱柱,棱锥,棱台的体积公式分别为
Sh , 1Sh , 1h(S+ ������������'+S') .
3
(2014 年四川卷)某三棱锥的侧(左)视图、俯视图如图
所示,则该三棱锥的体积是(
其中 S 为底面面积,h 为高)
).(锥体体积公式:V=1Sh,
3
A.3 B.2 C. 3 D.1
由三棱锥的侧(左)视图和俯视图可知,该三棱锥的
轴平行或重合的直线方向 不变 ,长度变为原来的 一
半 ,而与 x 轴平行或重合的直线方向、长度 都不变 .
3.三视图是几何体的正(主)视图、侧(左)视图和俯视 图的统称.三视图之间的规律是:正俯 长对正 ,正侧 高平齐 ,俯侧 宽相等 .三视图的摆放为正侧视图 水 平对齐 ,正俯视图 竖直对齐 .画三视图时要注意线的
为“其余各面都是平行四边形”.
(2)棱台(圆台)可以看成由棱锥(圆锥)截得的,但务必 要注意截面与底面平行,否则由棱锥(圆锥)截得的几何体
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答案：AC⊥BD(答案不唯一)
【例1】 (2009·天津)如图，在四棱锥P－ABCD中， PD⊥平面ABCD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝ CD.
(1)证明PA∥平面BDE； (2)证明AC⊥平面PBD.
[解析](1)∵O、D分别为AC、PC的中点， ∴OD∥PA. 又PA⊂平面PAB， ∴OD∥平面PAB.
(2)∵AB⊥BC，OA＝OC， ∴OA＝OB＝OC， 又∵OP⊥平面ABC， ∴PA＝PB＝PC. 取BC中点E，连结PE，则BC⊥平面POE. 从而平面PBC⊥平面POE. 作OF⊥PE于F，连结DF，则OF⊥平面PBC， ∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角．
(2)若AB＝BC，则BD⊥AC， 由(1)可知，SD⊥面ABC，而BD⊂面ABC，∴SD⊥BD. ∵SD⊥BD ， BD⊥AC ， SD∩AC ＝ D ， ∴ BD⊥ 平 面 SAC.
如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1， ∠ACB＝90°，A1A＝ D是A1B1的中点．
(1)求证：C1D⊥平面ABB1A1； (2)在BB1上找一点F，使AB1⊥平面C1DF，并说明理 由．
③如果平面外的两条平行直线中有一条和这个平面平 行，那么另一条也和这个平面平行．
④如果两个平面平行，那么一个平面内的任何一条直 线都平行于另一个平面．
⑤一个平面和不在这个平面内的一条直线都垂直于另 一个平面，那么这条直线平行于这个平面．
2．直线和平面平行的性质
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面 和这个平面相交，那么这条直线和 交线平行．用符号语言
面，则下列命题正确的是
()
A．若a∥b，a∥α，则b∥α
B．若α⊥β，a∥α，则a⊥β
C．若α⊥β，a⊥β，则a∥α
D．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β
解析：易知A、B、C不正确，D正确．
答案：D
5．在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形 ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(填上你认为正 确的一个条件即可)．
5．“三余弦”定理 如图所示，AB和平面M所成的角是α，AC在平面M内， AC和AB在平面M内的射影AB1所成的角是β，设∠BAC＝θ， 则α、β、θ满足关系为cosθ＝cosαcosβ.这就叫做“三余弦” 定理(别名：爪子定理)． 注意定理中的条件是“从一定点出发的三条射线组成 的三个面中有两个面相互垂直”．
⑤用面面平行的性质，即一直线垂直于两平行平面之 一，则必垂直于另一平面．
⑥用面面垂直的性质，即两相交平面都垂直于第三个 平面，则它们的交线垂直于第三个平面．
[证明] (1)取AB中点E，连结SE，DE，在Rt△ABC中， D、E分别为AC、AB的中点，故DE∥BC，且DE⊥AB，
∵SA＝SB，∴△SAB为等腰三角形， ∴SE⊥AB，DE⊥AB，SE∩DE＝E， ∴AB⊥面SDE. 而SD⊂面SDE，∴AB⊥SD. 在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC. ∵SD⊥AC，SD⊥AB，AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.
()
A．a∥α
B．a与α相交
C．a∥α或a⊂α
D．a⊂α
解析：a∥b，b⊂α，则a与α的关系有两种：①a∥α，
②a⊂α，故C正确．
答案：C
3．(2009·北京丰台一模)已知直线m⊂平面α，直线n⊂ 平面α，“直线c⊥m，直线c⊥n”是“直线c⊥平面α”的
() A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(1)射影相等的两条斜线段 相等，射影较长的斜线段
也较长 ； (2)相等的斜线段的射影 相等
，较长的斜线段的射
影 也较长 ；
(3)垂线段比 任何一条斜线段 都短．
4．三垂线定理 ①三垂线定理：在平面内的一条直线，如果 和这个 平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． ②三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影 垂直．
●回归教材
1．若直线a在平面外，则有
()
A．a∩α＝∅
B．a与α有且仅有一个交点
C．a与α平行
D．a与α的交点至多有一个
解析：直线在平面外包括两种情况：①直线与平面平
行，②直线与平面相交，因此可排除A、B、C，选D.
答案：D
2．(教材改编题)两条直线a、b满足a∥b，b⊂α，则a
与平面α的关系是
失分警示：对于A，实际上是面面平行的判定定理， 但直线必须相交；对于B，只考虑三点在同侧而没有考虑 异侧；对于C易丢l和m相交这一条件．
答案：D
二、对线面垂直的定义、定理或性质理解不透 2．一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这 个平面内的无数条直线的位置关系是________． 答案：平行或相交 三、三垂线定理应用错误 3．斜线上任意一点在平面上的射影，一定在 ________． 答案：斜线的射影上 4．已知在四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，则 AD与BC的关系是________． 答案：垂直
表示为： a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b .
三、直线与平面垂直的判定和性质
1．直线和平面垂直的判定 ①(定义)如果一条直线和平面内所有直线都 垂直，那
么这条直线和这个平面垂直．
②(判定定理1)如果一条直线和一个平面内的 两条 相交直线都 垂直，那么这条直线垂直于这个平面．用符
号语言表示为： l⊥b，则l⊥α .
●易错知识
一、性质理解错误
1．如果α、β是两个不重合的平面，在下列条件下，
可判定α∥β的是
()
A．α、β都平行于直线l、m
B．α内有三个不共线的点到β的距离相等
C．l、m是α内的两条直线且l∥β，m∥β
D．l、m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
解题思路：对于A，l和m应相交；对于B，应考虑三 个点在β的同侧或异侧两种情况；对于C，l和m应相 交．故选D.
(2)证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所 以PD⊥AC.由(1)可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D，
故AC⊥平面PBD.
如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝ PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC.
(1)求证OD∥平面PAB； (2)求直线OD与平面PBC所成角的大小． [命题意图]本题主要考查空间线面关系与运算等基础 知Biblioteka ，同时考查空间想象能力和推理运算能力．
在Rt△ODF中，
【例2】 Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝ SC，D为斜边AC的中点．
(1)求证：SD⊥平面ABC. (2)若AB＝BC.求证：BD⊥平面SAC.
[解析] 证线面垂直的方法有： ①利用定义，即证直线垂直于平面内任一直线． ②利用线面垂直的判定定理，它是判定线面垂直的最 常用思路． ③利用线面垂直的性质，即两平行线之一垂直平面， 则另一条线必垂直于该平面． ④利用面面垂直的性质定理，即两平面互相垂直，在 一个面内垂直交线的直线垂直于另一平面．
解析：若“直线c⊥平面α”，则直线c垂直于平面α内 的所有直线，而m⊂平面α，直线n⊂平面α，所以“直线 c⊥m，直线c⊥n”必要性成立．若直线m⊂平面α，直线n⊂ 平面α，“直线c⊥m，直线c⊥n”当m∥n时，直线c与平面 α不一定垂直，充分性不成立．
答案：B
4．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平
●基础知识
一、直线和平面的位置关系
一条直线a和平面α的位置关系有且只有三种： 1．直线在平面内——有无数 个公共点，记作a⊂α ； 2．直线和平面相交——有且只有一个 公 共 点 ， 记 作 a∩α＝A ； 3．直线和平面平行——没有公共点，记作a∥α .
二、直线与平面平行的判定和性质 1．直线和平面平行的判定 直线和平面平行的判定，除用定义外，主要是用判定 定理，此外还用到其它特殊位置关系的性质定理． ①(定义)如果一条直线和一个平面没有公共点，那么 这条直线和这个平面平行． ②(判定定理)如果平面外 一条直线和这个平面内的一 条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号语言 表示，即 a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α .
解析：(1)证明：∵ABC－A1B1C1是直三棱柱， ∴AA1⊥平面A1B1C1. 又C1D⊂平面A1B1C1，∴C1D⊥A1A， 又A1C1＝B1C1＝AC＝BC＝1， D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1， 又A1A∩A1B1＝A1， ∴C1D⊥平面ABB1A1.
(2)作DE⊥AB1于E，廷长DE交BB1于F， 连结C1F，则AB1⊥平面C1DF， 因为AB1⊥DF，AB1⊥C1D， DF∩C1D＝D，所以AB1⊥平面C1DF.
【例3】 已知：正方体ABCD－A1B1C1D1(如图)． (1)求证：B1D⊥BC1； (2)求证：B1D⊥面ACD1； (3)若B1D与面ACD1交于O，求证：DO OB1＝1：2.
[证明] (1)∵ABCD－A1B1C1D1为正方体， ∴DC⊥面BCC1B1，B1D在面BCC1B1内的射影为B1C. ∵BCC1B1为正方形，∴BC1⊥B1C. ∴BC1⊥B1D，即B1D⊥BC1.(三垂线定理) (2)(1)中证明了体对角线B1D与面对角线BC1垂直， 同理可证：B1D⊥AD1，B1D⊥AC.∴B1D⊥平面ACD1.
(3)设AC与BD的交点为O′， 则平面BB1D1D与平面ACD1的交线为O′D1， 则O′D1∩B1D＝O， ∵BD∥B1D1，∴△OO′D∽△OD1B1，
∴DO OB1＝1：2.
[反思归纳] 三垂线定理及其逆定理要注意：一定平 面；二定垂线；三找斜线，射影即现．主要用来证明线线 垂直．