分式及分式方程总复习
北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程
八下第 五 章 分式与分式方程专题复习【本章知识框架】一、 认识分式1、定义：A 、B 表示两个整式，且B 中含有字母，则把B A 称为分式。
例如：a b 2，-x x -+41x xy2、性质：分子和分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变，数学语言：a b =m a m b⋅⋅（m )0≠,a b =m a m b ÷÷（m )0≠※ 约分：（1）定义：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为约分。
（2）约分的关键：提取公因式（当分子分母为多项式时先分解因式）3、运算：（1）乘除法：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘（2）加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算（通分，找最小公倍数，当分母为多项式时先分解因式）运算结果形式化成最简分数，分子一定要展开，分母不作要求4、经典题型解法：a 、有无意义：分式有意义的条件：分母不为0分式无意义的条件：分母为0分式值为0的条件：分子为0B 、平方法、换元法、整体代入法、倒数法二、分式方程1、定义：分母中含有未知数的方程2、解法：a 、转化法：将分式方程转化为整式方程。
检验：将所得的根代入最简分母，分母为0，则为增根B 、换元法：主要使方程形式简化3、题型解法：方程有增根： 增根必满足（1）满足化解后的整式方程（2）使分母为零方程无解： 无解必满足 （1）整式方程无解（2）有界但为增根4、实际问题：尽量少设元【本章经典错题再现（10~15道）】选择题1、 若分式112--X X 的值为0，则x 的值为( )A, -1 B, 0 C, 1 D, 1±2、下列分式最简分式是（ ）A 、1212+-X X B 、121-+X X C 、-XY X Y XY X -+-2222 D 、122362+-X X 3、已知311=-Y X ,则代数YXY X Y XY X ---+232的值为（ ） A 、-27 B 、-211 C 、29 D 、43 4、在正数范围内定义一种运算 ＊，其规则为a ＊b=ba 11+,根据这个规则X ＊(X+1)=23的解为（ ） A 、 X=32 B 、X=1 C 、X=-32或1 D 、X=32或-1 填空题1、 当X 为_______，分式622||-+-x x x 的值为零 2、 若分式aa ++13的值为正，则a 的取值范围______________ 3、 不论X 取何值，分式M X X +-221总有意义，则M 的取值范围 解答题1、解方程（1）22-x x =1-x -21 （2）3-x x -621-x =21（3） 42-x x +22+x =x x x 2222-- （4）x x 22+-22-+x x =xx x 2222--4、 计算题：（1） （-3)2b a ÷（2322）b a3、分式化简求值（1）122-x -X ÷12222+++X X X +11-X ,其中X=2(2) (ba b a ba bab a +---++22222)÷b a b a -+,其中a=-2,b=3(3) 若分式2521-n ，51+n 的最简公分母为11.求n 的值 4、应用题（1）某水果店搞促销活动，对某种水果打8折出售，若用60元钱买这种水果，可以比打折前多买3斤，求该种水果打折前的单价是多少？（2）某市为绿化环境计划植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前8天完成任务，则原计划每天植树多少【本章巩固练习（10~15道）】选择题1、当x 为任意实数时，下列分式一定有意义（ ）2、A, 21XX + B, 121+-X X C, 121+-X X D, 1||1-+X X 2、若解分式方程X X m X X ++-+2112=X X 1+产生增根，则m 的值是（ ） A 、 -1或者-2 B 、 -1或者2 C 、 1或者2 D 、 1或者-23、若Y a YX 2-X 2a 22-÷aYaX Y X ++2)(的值为5，则a 的值是（A 、 5B 、 -5C 、51D 、-51 4、已知X+Y=43.X-Y=3,则（Y X XY Y X -+-4）(Y X XY Y X +-+4)的值是（ ） A 、 48 B 、23 C 、16 D 、12填空题1、 当m 为___________时，关于x 的方程234222+=-+-X X mX X 无解 2、 当K 为 时，分式方程XX X K X X 5)1(216-++=-有增根。
分式及分式方程题型汇总
分式单元复习(一)、分式定义及有关题型一、分式的概念:例:下列各式中,是分式的是①1+ ②③④⑤⑥⑦2、下列各式中,是分式的是①②③④⑤⑥⑦3、下列各式:其中分式共有( )个、Ａ、２Ｂ、3 C、4 D、5二、分式有意义的条件例:当x 时,分式有意义;当x 时,有意义。
练习:１、当ｘ时,分式无意义。
２、使分式无意义,x的取值是( )A。
０B、1 C、D。
3、分式,当时有意义、４、当a 时,分式有意义、5、当x 时,分式有意义。
6、当ｘ时,有意义。
7、当ｘ时,分式的值为1;８、(辨析题)下列各式中,不管取何值,分式都有意义的是( )A、B、C、D、9当为任意实数时,下列分式一定有意义的是( )A、Ｂ、Ｃ、D。
三、分式的值为零说明:①分式的分子的值等于零;②分母不等于零例１:若分式的值为０,那么x 。
例2。
要使分式的值为0,只须( )、(Ａ) (B) (Ｃ) (D)以上答案都不对练习:1、当ｘ时,分式的值为零。
2、若分式的值为0,那么x 。
3、假如分式的值为０,那么x的值是( )４、分式有意义的条件是,分式的值等于零的条件是。
５。
已知当时,分式无意义,时,此分式的值为0,则的值等于( )A、—6 B。
－2 Ｃ、６D、２6。
使分式的值为正的条件是７、若分式的值为正数,求a的取值范围8、当x 时,分式的值为负数、9、若关于ｘ的方程ax=3x-5有负数解,则ａ的取值范围是(二)分式的基本性质及有关题型分式的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。
1。
填空: ; ;=、=;2:若A、Ｂ表示不等于0的整式,则下列各式成立的是()、(A)(M为整式) (B)(M为整式)(C) (D)3、下列各式中,正确的是( )A。
Ｂ、=0C。
D。
题型一:化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数。
(1) (2)练习:１。
不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的系数化为整数、(１)ﻩﻩ(２)题型二:分式的符号变化:【例2】不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号。
中考数学专题复习4分式、分式方程及一元二次方程(解析版)
分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 一元一次方程相关概念1．等式的性质：（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式.所得的结果仍是等式． （2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数.所得的结果仍是等式．2．一元一次方程：只含有一个未知数.并且未知数的次数为1.这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠． 【注意】x 前面的系数不为0．3．一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 4. 一元一次方程的求解步骤：步骤 解释去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号.再去中括号.最后去大括号移项 把含有未知数的项都移到方程的一边.其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成ax b =-的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a .得到方程的解为bx a=-【注意】解方程时移项容易忘记改变符号而出错.要注意解方程的依据是等式的性质.在等式两边同时加上或减去一个代数式时.等式仍然成立.这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项.此时该项在方程一边是0.而另一边是它改变符号后的项.所以移项必须变号． 【例 1】若()2316m m x --=是一元一次方程,则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．任何数【答案】B【解析】根据一元一次方程最高次为一次项.得│2m −3│=1.解得m =2或m =1. 根据一元一次方程一次项的系数不为0,得m −1≠0,解得m ≠1.所以m =2. 故选B.【例 2】关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程.则其解为_____．【答案】2x ＝或2x =-或x =-3．【解析】解：关于x 的方程21120m mx m x +﹣（﹣）﹣＝如果是一元一次方程.211m ∴﹣＝.即1m ＝或0m ＝.方程为20x ﹣＝或20x --＝.解得：2x ＝或2x =-.当2m -1=0.即m =12时.方程为112022x --=解得：x =-3. 故答案为x =2或x =-2或x =-3． 【例 3】解方程：221123x x x ---=- 【答案】27x =【解析】解： 221123x x x ---=-()()6326221x x x --=-- 636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x = 27x =考点02 二元一次方程组相关概念1．二元一次方程：含有2个未知数.并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量.其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法：（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.并代入另一个方程中.消去一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．5. 列方程（组）解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）6. 一元一次方程（组）的应用：（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=利润成本×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间． （4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． （9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度． 【例 4】已知－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.那么(n －m )2 012＝______【答案】1【解析】由于－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.所以有由m －1＝n .得－1＝n －m .所以(n －m )2 012＝(－1)2 012＝1.【例5】如图X2－1－1.直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b )．(1)求b 的值．(2)不解关于x .y 的方程组请你直接写出它的解．(3)直线l 3：y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．【答案】（1）2.（2）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.（3）见解析【解析】解：(1)当x ＝1时.y ＝1＋1＝2.∴b ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. (3)∵直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b ).∴当x ＝1时.y ＝m＋n ＝b ＝2.∴ 当x ＝1时.y ＝n ＋m ＝2.∴直线l 3：y ＝nx ＋m 也经过点P .【例6】家电下乡是我国应对当前国际金融危机.惠农强农.带动工业生产.促进消费.拉动内需的一项重要举措。
专题5.16 分式与分式方程(全章复习与巩固)(知识讲解)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题5.16分式与分式方程（全章复习与巩固）（知识讲解）【学习目标】1.理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系．5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．【要点梳理】要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.特别说明：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式AB才有意义.2.分式的基本性质（M为不等于0的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算a b a b c c c±±=；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算a c acb d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠.两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算a c a d adb d bc bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠.两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.要点三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.特别说明：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.【典型例题】类型一、分式➽➼分式的意义✭✭分式的基本性质1．已知分式2x nx m+-（m ，n 为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误．．的是（）x 的取值－22pq分式的值无意义012A ．2n =B ．2m =-C ．6p =D ．q 的值不存在【答案】A【分析】根据分式有意义的条件可得m ，n 的值，进而可知p ，q 的值，选出符合要求的选项即可．解：∵x 为﹣2时方程无意义，∴x －m =0，解得：m =﹣2，故B 正确，故分式为：22x n x ++，当x =2时，分式的值为0，故2×2＋n =0，n =﹣4，故A 错误，故分式为：242x x -+，当分式值为1时，2x －4=x +2，解得：x =6，故6p =，故C 正确，当2422x x -=+时，2x －4=2x ＋4，此等式不成立，则q 的值不存在，故D 正确，故选：A ．【点拨】本题考查分式有意义的条件，方程思想，能够熟练掌握分式有意义的条件时解决本题的关键．举一反三：【变式1】若不论x 取何实数时，分式22ax x a-+总有意义，则a 的取值范围是（）A ．1a ≥B ．1a >且0a ≠C ．1a >D ．1a <【答案】C 【分析】分式22ax x a-+总有意义，则分母永远不等于0，即22x x a -+的最小值大于0，据此解题即可．解：∵分式22ax x a-+总有意义，∴()22211x x a x a -+=-+-的最小值10a ->，解得1a >．【点拨】本题主要考查分式有意义的条件及二次函数的最值问题，能够熟练利用条件列不等式是解题关键．【变式2】若分式||3(3)(2)a a a --+的值为0，则a 满足的条件是（）A ．3a =B ．3a =-C ．3a =±D ．3a =或2a =-【答案】B【分析】由分式的值为0的条件可得：()()30320a a a ì-=ïí-+¹ïî①②，再解方程与不等式即可．解：∵分式||3(3)(2)a a a --+的值为0，()()30320a a a ì-=ï\í-+¹ïî①②由①得：3,a =±由②得：3a ≠且2,a ≠-∴ 3.a =-故选B【点拨】本题考查的是分式的值为0的条件，掌握“分式的值为0，则分子为0，而分母不为0”是解本题的关键．2．不改变分式的值，下列各式变形正确的是（）A ．11x x y y +=+B ．1x yx y-+=--C ．22x y x y x y-=++D ．22233x x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据分式的基本性质即可一一判定．解：A.11x x y y ++≠，故该选项错误，不符合题意；B.()1x y x y x y x y---+==---，故该选项正确，符合题意；C.22x y x y x y-=-+，故该选项错误，不符合题意；D.22239x x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故该选项错误，不符合题意；【点拨】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．举一反三：【变式1】下列各式从左边到右边的变形正确的是（）A ．22x y y xx y x y--=++B ．a b a bc c-+-=-C ．0.220.22a b a ba b a b++=++D ．1x yx y--=+【答案】B【分析】根据分式的基本性质作答．解：A 、22x y y xx y x y--=-++，此选项变形错误；B 、a b a bc c -+-=-，此选项变形正确；C 、0.22100.2102a b a ba b a b++=++，此选项变形错误；D 、1x yx y--=-+，此选项变形错误；故选B ．【点拨】本题主要考查了分式的变形，解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质．【变式2】如果把分式xyx y+中的x 和y 都扩大10倍，则分式的值（）A ．扩大20倍B ．扩大10倍C ．不变D ．缩小10倍【答案】B【分析】根据分式的基本性质即可求出答案；解：()x y xy xyx y x y x y==+++101010010101010 故选：B ．【点拨】本题考查了分式的基本性质；解题的关键是熟练运用分式的基本性质进行化简比较．类型二、分式➽➼相关概念➽➼最简分式✭✭约分✭✭最简公分母✭✭通分3．分式122m +与11m +的最简公分母是（）A ．22m +B ．2m +C ．1m +D ．21m -【答案】A【分析】根据最简公分母的概念，求解即可．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．解：分式122m +与11m +的最简公分母22m +，故选：A【点拨】此题考查了最简公分母的概念，解题的关键是熟练掌握最简公分母的概念．举一反三：【变式】分式212x y 和216xy 的最简公分母是（）A ．2xyB ．222x y C ．226x y D ．336x y 【答案】C【分析】根据最简公分母的确定方法解答即可．解：分式212x y 和216xy的最简公分母是226x y ．故选：C ．【点拨】本题主要考查了最简公分母的确定方法，确定最简公分母的一般方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．4．下列分式中，属于最简分式的是（）A ．2xB ．22x x C ．42xD ．11x x --【答案】A【分析】根据最简分式的定义逐一判断即可．解：A.2x，是最简分式，符合题意；B.22x x =12x，不是最简分式，不合题意；C.422x x=，不是最简分式，不合题意；D.111xx -=--，不是最简分式，不合题意，故选：A ．【点拨】本题考查最简分式的定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时(即分子与分母互素)叫最简分式．举一反三：【变式】下列分式中是最简分式的是（）A ．224x x B ．22x y x y++C ．2211x x x +++D ．242x x -+【答案】B【分析】分子分母不含公因式的分式叫做最简分式，对四个选项逐一检查是否还能化简即可求得结果．解：A 选项22142x x x=，故不是最简分式；B 选项不能再化简，故是最简分式；C 选项()22121111x x x x x x +++==+++，故不是最简分式；D 选项()()2224222x x x x x x +--==-++，故不是最简分式．故选：B ．【点拨】本题考查了分式的约分，解决本题的关键是找到分子分母中的公因式．类型三、解分式方程➽➼根的情况➽➼增根✭✭无解5．（1）通分：()22xyx y +和22x x y -；（2）约分：22416m mm --．【答案】（1）()()()()2222xy x y xyx y x y x y -=++-，()()()222x x y x x y x y x y +=-+-；（2）4m m +【分析】（1）找出两分母的最简公分母，通分即可；（2）原式变形后，约分即可得到结果．解：（1）()()()()2222xy x y xyx y x y x y -=++-，()()()222x x y xx y x y x y +=-+-；（2）()()()224416444m m m m m m m m m --==-+-+．【点拨】此题考查了通分及约分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，约分的关键是找出分子分母的公因式．举一反三：【变式】（1）约分：236a bab；（2）通分：223b a 与abc 【答案】（1）2a ；（2）2223b c a bc 与3233a a bc【分析】（1）直接利用分式的性质化简，进而得出答案；（2）首先得出最简公分母，进而得出答案．解：（1）2336322a b ab a aab ab ⨯==⨯；（2）223b a与abc 最简公分母为：23a bc ，则：2222222333b b bc b ca a bc a bc ⨯==⨯，23223333a a a a bc bc a a bc⨯==⨯．【点拨】本题主要考查了通分与约分，正确掌握分式的性质是解题关键．6．若分式方程1x aa x -=+有增根，则a 的值为________．【答案】1-【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母10x +=，得到=1x -，然后代入整式方程算出a 的值即可．解：方程两边同时乘以1x +得，()1x a a x -=+，∵方程有增根，∴10x +=，解得=1x -．∴10a --=，解得1a =-．故答案为：1-．【点拨】本题考查了分式方程的增根，先根据增根的定义得出x 的值是解答此题的关键．举一反三：【变式】如果关于x 的方程2133mx x =---有增根，那么m 的值为________．【答案】2-【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，再由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x 的值，最后代入整式方程求出k 的值即可．解：分式方程去分母得：23x m =--，由分式方程有增根，得到30x -=，即3x =，把3x =代入整式方程得：2m =-．故答案为：2-．【点拨】本题主要考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．类型四、解分式方程➽➼根的情况➽➼正（负）数解✭✭非负（正）数解7．若关于x的不等式组341227x xa x+⎧-≥⎪⎨⎪->⎩无解，且关于y的分式方程3122y a yy y+=---的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为______．【答案】16【分析】首先根据不等式组无解求得a的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为非负整数得出a为整数，23a+为非负整数，然后确定出符合条件的所有整数a，即可得出答案．解：341227x xa x+⎧-≥⎪⎨⎪->⎩①②，解不等式①得：3x≥，解不等式②得：7x a<-，∵不等式组341227x xa x+⎧-≥⎪⎨⎪->⎩无解，∴73a-≤，∴10a≤，分式方程3122y a yy y+=---去分母，得32y y a y-=---，∴23ay+=，∵分式方程3122y a yy y+=---的解为非负整数，∴0y≥且20y-≠，∴203a+≥且4a≠，∵a为整数，23a+为非负整数，∴2a=-，1，7，10，∴整数a的和为2171016-+++=．故答案为：16．【点拨】此题考查的是解分式方程、解一元一次不等式组，掌握分式方程、一元一次不等式组的解法是解决此题关键．举一反三：【变式】若关于x 的方程301ax x+=-无解，则a 的值为______．【答案】0或-3【分析】先去分母化为整式方程，根据分式方程无解得到x =0或x =1或3+a =0，将解代入整式方程求出a 即可．解：去分母，得3x +a （x -1）=0，∴（3+a ）x-a =0，∵原分式方程无解，∴x =0或x =1或3+a =0，当x =0时，a =0；当x =1时，3+0=0，无解；∴a =0，当3+a =0时，解得a =-3，故答案为：0或-3．【点拨】此题考查了根据分式方程解的情况求参数，正确掌握解分式方程的解法是解题的关键．8．若关于x 的分式方程3121m x +=-的解为非负数，则m 的取值范围是____．【答案】4m ≥-且3m ≠-【分析】先解关于x 的分式方程，求得x 的值，然后再依据“解是非负数”建立不等式求m 的取值范围．解：去分母得，m +3＝2x ﹣1，∴x ＝42+m ，∵方程的解是非负数，∴m +4≥0即m ≥﹣4，又因为2x ﹣1≠0，∴x ≠12，∴42+m ≠12，∴m ≠-3，则m 的取值范围是m ≥﹣4且m ≠-3．故答案为：m ≥﹣4且m ≠-3．【点拨】本题考查了分式方程的解及分式有意义的条件，理解题意得出相应不等式求解即可．举一反三：【变式】关于x 的方程1233x m x x -=+--有正数解，则m 取值范围是______．【答案】5m <且2m ≠【分析】先解分式方程求出方程的解，再根据这个方程有正数解和3x ≠建立不等式，由此即可得．解：1233x m x x -=+--，方程两边同乘以()3x -，得()123x m x -=+-，去括号，得126x m x -=+-，移项、合并同类项，得5x m -=-，系数化为1，得5=-+x m ，关于x 的方程1233x m x x -=+--有正数解，50m ∴-+>，且53m -+≠，解得：5m <且2m ≠，故答案为：5m <且2m ≠．【点拨】本题考查了解分式方程，熟练掌握方程的解法是解题关键，需注意的是，分式方程有正数解隐含方程不能有增根．类型五、分式➽➼化简✭✭求值9．关于x 的分式方程334111ax x x x +-+=--的解为正整数，则满足条件的整数a 的值为____________．【答案】-3【分析】求得分式方程的解，利用方程的解的特征确定整数a 的值．解：分式方程334111ax x x x +-+=--的解为：24x a =+，∵分式方程有可能产生增根1，又∵关于x 的分式方程334111ax x x x +-+=--的解为正整数，且24x a =+≠1，∴满足条件的所有整数a 的值为：-3，∴a 的值为：-3，故答案为：-3．【点拨】本题主要考查了分式方程的解，方程的整数解，考虑分式方程可能产生增根的情况是解题的关键．举一反三：【变式】对于关于x 的分式方程()2141111k k x x x +=≠-+--①若k ＝1，则方程的解为________；②若方程有增根且无解，则k 的值为________；③若方程的解为负数，请你写出符合条件的且互为相反数的两个k 的值________．【答案】2x =k ＝2|k|>5即可，如6±【分析】①若k ＝1，得到分式方程为2114111x x x +=+--，解分式方程即可求解；②根据方程有增根且无解，可得x =±1，然后把x 的值代入整式方程中进行计算即可解答；③根据题意可得51k x k -=+，利用方程的解为负数求出k 的取值范围，再求出互为相反的两个k 值．解：①若k ＝1，得到分式方程为2114111x x x +=+--，去分母得114x x -++=，解得2x =．故答案为：2x =；②将()2141111k k x x x +=≠-+--去分母得()114x k x -++=，解得51k x k-=+．∵方程有增根且无解，∴210x -=，解得1x =±，当x =1时，511k k-=+，解得：2k =，当x =-1时，511k k -=-+无解，∴k 的值为2．故答案为：2k =；③∵方程的解为负数，∴x ＜0且x ≠±1，∴501k k-<+且511k k -≠±+，解得5k <-或5k >，∴符合条件的且互为相反数的两个k 的值可以是±6．故答案为：5k <-或5k >，如±6．【点拨】本题考查了分式方程的增根，分式方程的解法，根据题意求出x 的值后，代入整式方程中进行计算是解题的关键．10．计算：(1)211a a a ---；（2）4222⎛⎫⎛⎫+-÷ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭a a a a 【答案】(1)11a -(2)a 【分析】（1）先对原式通分变为同分母的分式，再相减即可解答本题；（2）先将括号内的进行计算，再将除法转换为乘法后，再约分即可得到答案．解：（1）211a a a ---=2(1)(1)11a a a a a +----=2(1)(1)1a a a a -+--=22(1)1a a a ---=22+11a a a --=11a -（2）4222⎛⎫⎛⎫+-÷ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭a a a a =4222a a a a ⎛⎫⎛⎫++÷ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=24422a a a a -+⎛⎫÷ ⎪--⎝⎭=222a a a a-⨯-=a【点拨】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是明确分式混合运算的计算方法．举一反三：【变式】计算：(1)22122x x x x-+÷；（2）2126339x x x x --++--．（3）22241123x x x x x ---÷+--．（4）2443111m m m m m -+⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭．【答案】(1)12x -；(2)2239x x --；(3)52x +；(4)22m m --+．【分析】（1）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行计算；（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行计算；（3）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行计算；（4）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行计算．解：（1）22122x x x x-+÷解：原式()()()1121x x x x x +-=⋅+12x -=；（2）2126339x x x x --++--解：原式()()1263333x x x x x -=+++-+-()()()()()()()()2336333333x x x x x x x x x -+-=+++--++-()()236633x x x x x -++-+=+-22239x x x +-=-()()()()3133x x x x +-=+-13x x -=-；（3）22241123x x x x x ---÷+--解：原式()()()()3121122x x x x x x -+-=-⋅+-+2322x x x x +-=-++()232x x x +--=++（4）2443111m m m m m -+⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭解：原式()()()22113111m m m m m m -+-⎡⎤=÷-⎢⎥---⎣⎦()()2231211m m m m ⎡⎤---⎢⎥=÷--⎢⎥⎣⎦()222411m m m m -⎡⎤-=-÷⎢⎥--⎣⎦()()()221122m m m m m --=-⋅--+22m m -=-+．【点拨】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．类型五、解分式方程➽➼运算✭✭化简✭✭求值11．先化简，再求值：2224124421x x x x x x x x ⎛⎫-+-÷--- ⎪-+--⎝⎭，然后从1-，0，1，2中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．【答案】21--x x，1x =-时，12-【分析】先根据分式的运算法则把所给代数式化简，然后从所给数中取一个使分式有意义的数代入计算．解：原式()()()22222412212x x x x x x x x x ⎛⎫+--+-=÷- ⎪----⎝⎭()22224412212x x x x x x x x ⎛⎫-+--=÷-- ⎪----⎝⎭()2222441212x x x x x x x -+--+=÷----12121x x x x -=⋅---111x x =---21x x =--20x -≠ ，且10x -≠，且0x ≠2x ∴≠，且1x ≠，且0x ≠取=1x -时，原式12=-【点拨】本题考查了分式的计算和化简，解决这类题目关键是把握好通分与约分；关键是掌握分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分，同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．举一反三：【变式】先化简22424422x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭，从不等式组()3421213212x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎨+⎪-<⎪⎩的整数解中，选取一个你最喜欢的x 的值代入求值．【答案】82x +，1x =时，83【分析】根据分式的乘除法法则和约分法则把原式化简，根据解一元一次不等式组的步骤解出不等式组，从解集中选取使分式有意义的值代入计算即可．解：22424422x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭22(2)22(2)(2)x x x x x x x ⎡⎤-=+÷⎢⎥-⎣⎦-++-22(2)(2)(2)(2)(2)2(2)x x x x x x x x ⎡⎤-=-÷⎢⎥-+-+-⎣⎦+2428x x x x =÷--2482x x x x -=⋅-82x =+，由()34212x x -≤-，2863x x -≤-，解得：54x ≥-；由13212x x +-<，4132x x --<，解得：3x <，故不等式组的解集为：534x -≤<，0,2,2x ≠- 当1x =时，原式83=．【点拨】本题考查的是分式的化简求值和一元一次不等式组的解法，掌握分式的乘除法法则和约分法则是解题的关键．12．解分式方程．(1)33122x x x-+=--；（2）214111x x x -+=+-【答案】(1)1x =(2)无解【分析】（1）分式方程两边同乘以(2)x -去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程两边同乘以(1)(1)x x +-去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解：（1）33122x x x-+=--323x x -+-=-3+23x x +=-22x =解得，1x =经检验，1x =是原方程的解，所以，原方程的解为：1x =（2）214111x x x-+=+-2(1)4(1)(1)x x x --=+-222141x x x -+-=-22x -==1x -经检验，=1x -是增根，原方程无解．【点拨】此题主要考查了解分式方程，正确找出分式方程的最简公分母是解答本题的关键．举一反三：【变式】解分式方程(1)432x x =+；（2）217133x x x+=---【答案】(1)6x =(2)无解【分析】（1）等号两边同时乘以(2)x x +将原方程转换为整式方程，然后求解验根即可；（2）等号两边同时乘以(3)x -将原方程转换为整式方程，然后求解验根即可．（1）解：432x x=+，去分母得：43(2)x x =+，解得：6x =，经检验6x =是原方程的解；（2）217133x x x+=---去分母得：2137x x +=-+，解得：3x =，经检验3x =是原方程的增根，故原方程无解．【点拨】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解本题的关键，注意解分式方程需要验根．类型五、分式方程的应用➽➼列方程✭✭解方程✭✭求值13．（1）解方程：411233x x x -=+--；（2）先化简，再求值：222(2)5242x x x x x x ++-÷---+，其中x 从2-，2和3中选一个合适的值．【答案】（1）2x =-（2）72x +，75【分析】（1）将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最检验整式方程的解是不是分式方程的解即可；（2）根据分式的运算法则化简，再代入一个使原方式有意义的值求解即可．（1）解：411233x x x -=+--，方程两边同乘3x -，得()41231x x -=-+，解得2x =-，检验：当2x =-时，30x -≠，∴原分式方程的解是2x =-；（2）解：222(2)5242x x x x x x ++-÷---+()()222252(2)2x x x x x x x +-+-=⋅--++512x x -=-+252x x x +-+=+72x =+，2x =- 或2时，原分式无意义，3x ∴=，当3x =时，原式77325==+．【点拨】本题考查了解分式方程，分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握知识点是解题的关键．举一反三：【变式】解方程：(1)2232122x x x x x --+=--（2）()32011x x x x +-=--【答案】(1)1x =(2)无解【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解即可；（2）根据解分式方程的步骤求解即可．解：（1）2232122x x x x x--+=--去分母，得()22322x x x x ---=-，解得1x =，经检验，1x =是原方程的根，∴原方程的解为：1x =；（2）()32011x x x x +-=--去分母，得()320x x -+=，解得1x =，经检验，1x =是原方程的增根，∴原方程无解．【点拨】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根．14．小状元书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、15元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.5倍，若用1800元在该店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本．(1)甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？(2)书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（假设购进的两种图书全部销售完）【答案】(1)甲种图书售价每本30元，乙种图书售价每本20元(2)甲种图书进货400本，乙种图书进货800本时利润最大【分析】（1）根据题意，列出分式方程即可；（2）先用进货量表示获得的利润，求函数最大值即可．（1）解：设乙种图书售价每本x 元，则甲种图书售价为每本1.5x 元，,由题意得：14001800101.5x x-=，解得：20x =，经检验，20x =是原方程的解，∴甲种图书售价为每本1.52030⨯=元，答：甲种图书售价每本30元，乙种图书售价每本20元；（2）设甲种图书进货a 本，总利润W 元，则(30203)(20152)(1200)48400W a a a =--+---=+∵2015(1200)20000a a +⨯-≤，解得400a ≤，∵W 随a 的增大而增大，∴当a 最大时W 最大，∴当400a =本时，W 最大，此时，乙种图书进货本数为1200400800-=（本），答：甲种图书进货400本，乙种图书进货800本时利润最大．【点拨】本题分别考查了分式方程和一次函数最值问题，注意研究利润最大分成两个部分，先表示利润再根据函数性质求出函数最大值．举一反三：【变式1】为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多5元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液，(1)求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元?(2)由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共100桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的12，由于是第二次购买，商家给予八折优惠．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少最少总金额是多少元?【答案】(1)甲种消毒液的零售价为25元/桶，乙种消毒液的零售价为20元/桶(2)当甲种消毒液购买34桶时，所需资金总额最少，最少总金额是1736元【分析】（1）设乙种消毒液的零售价为x 元/桶，则甲种消毒液的零售价为()+5x 元/桶，结合该单位分别用900元和720元采购相同桶数的甲、乙两种消毒液，即可列出关于x 的分式方程，进而求解即可．（2）设购买甲种消毒液m 桶，则购买乙种消毒液为()100m -桶，根据甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液的桶数的12，即可得出关于m 的一元一次不等式，解得m 的取值范围，然后设所需资金总额为w 元，根据题意列出函数关系式，再利用函数性质即可解决最值．（1）解：设乙种消毒液的零售价为x 元/桶，则甲种消毒液的零售价为()5+x 元/桶，依题意得：9007205x x =+，解得：=20x ，经检验，=20x 是原方程的解，且符合题意，525x ∴+=．答：甲种消毒液的零售价为25元/桶，乙种消毒液的零售价为20元/桶：（2）解：设购买甲种消毒液m 桶，则购买乙种消毒液()100m -桶，依题意得：()11002m m ≥-，解得：1003m ≥，设所需资金总额为w 元，则()250.8201000.841600w m m m =+-=+ ，40> ，w ∴随m 的增大而增大，∴当34m =时，w 取得最小值，最小值43416001736=⨯+=，答：当甲种消毒液购买34桶时，所需资金总额最少，最少总金额是1736元．【点拨】此题考查了分式方程的运用、一元一次不等式以及一次函数运用，解题关键是找准等量关系，正确列出方程．【变式2】某水果店一次购进了若干箱水蜜桃和李子，已知购进水蜜桃花费800元，购进李子花费1680元，所购李子比水蜜桃多10箱，李子每箱的进价是水蜜桃每箱进价的1.4倍．(1)水蜜桃和李子每箱进价分别为多少元？水蜜桃和李子各多少箱？(2)根据市场情况，每箱李子可以比每箱水蜜桃的利润多5元，这批水果全部售完后，店家若想获得不少于800元的利润，应该如何确定每箱水蜜桃和李子的售价？【答案】(1)水蜜桃和李子每箱进价分别为40元和56元，各20箱和30箱(2)每箱水蜜桃和李子的售价分别不少于53元和74元【分析】（1）设水蜜桃每箱x 元，则李子每箱1.4x 元，由题意列出分式方程，解之，再根据进货费用算出多少箱即可；（2）设水蜜桃每箱利润y 元，则李子每箱利润(5)y +元，由题意列出不等式，解不等式即可．（1）解：设水蜜桃每箱x 元，则李子每箱1.4x 元，根据题意得：1680800101.4x x -=，解得：40x =，经检验40x =是原方程的解，则1.4 1.44056x =⨯=，8004020÷=，16805630÷=，答：水蜜桃和李子每箱进价分别为40元和56元，各20箱和30箱；（2）设水蜜桃每箱利润y 元，则李子每箱利润(5)y +元，根据题意得：8001680(5)8004056y y ++≥，解得：13y ≥，134053+=，1355674++=，答：每箱水蜜桃和李子的售价分别不少于53元和74元．【点拨】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用；理解题意，列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键．【变式3】为预防新冠疫情的反弹，桐君阁大药房派采购员到厂家去购买了一批A 、B 两种品牌的医用外科口罩．已知每个B 品牌口罩的进价比A 品牌口罩的进价多0.7元，采购员用7200元购进A 品牌口罩的数量为用5000元购进B 品牌数量的2倍．(1)求A 、B 两种品牌每个口罩的进价分别为多少元？(2)若B 品牌口罩的售价是A 品牌口罩的售价的1.5倍，要使桐君阁大药房销售这批A 、B 两种品牌口罩的利润不低于8800元，则A 品牌口罩每个的售价至少定为多少元？【答案】(1)A 品牌每个口罩的进价为1.8元，则B 品牌每个口罩的进价为2.5元(2)3元【分析】（1）设A 品牌每个口罩的进价为x 元，则B 品牌每个口罩的进价为()0.7x +元，根据用7200元购进A 品牌口罩的数量为用5000元购进B 品牌数量的2倍列分式方程解答；（2）先求出两种品牌口罩购买的数量，设每个A 品牌口罩的售价定为y 元，则每个B 品牌口罩的定价为1.5y 元，列不等式求解即可．（1）解：设A 品牌每个口罩的进价为x 元，则B 品牌每个口罩的进价为()0.7x +元，720050020.7x x =⨯+，解得 1.8x =，经检验， 1.8x =是原方程的解，且符合题意，∴0.7 2.5x +=，答：A 品牌每个口罩的进价为1.8元，则B 品牌每个口罩的进价为2.5元；（2）购进B 品牌口罩的数量为5000 2.52000÷=（个），购进A 品牌口罩的数量为200024000⨯=（个），设每个A 品牌口罩的售价定为y 元，则每个B 品牌口罩的定价为1.5y 元，依题意得：()()4000 1.82000 1.5 2.58800y y ⨯-+⨯-≥，解得3y ≥，答：A 品牌口罩每个的售价至少定为3元．【点拨】此题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列得方程或不等式是解题的关键．。
分式与分式方程知识点总结
分式与分式方程知识点总结分式是一种特殊的代数表达式，有分子和分母组成，通常用斜杠“/”或者横线“-”表示分数线。
分式可以表示为a/b的形式，其中a为分子，b为分母。
分式的乘法和除法的法则：1.分式乘法法则：分式的乘法可以简化为分子相乘，分母相乘的运算。
即(a/b)*(c/d)=(a*c)/(b*d)。
2.分式除法法则：将除法转化为乘法后，取除数的倒数，然后按照分式乘法法则进行运算。
即(a/b)/(c/d)=(a*d)/(b*c)。
分式的加法和减法的法则：1.分式加法法则：要进行分式的加法，需要先找到两个分式的共同分母。
然后将分式的分子按照共同分母的比例进行加法运算。
即a/b+c/d=(a*d+b*c)/(b*d)。
2.分式减法法则：和分式加法法则类似，需要找到两个分式的共同分母。
然后将分式的分子按照共同分母的比例进行减法运算。
即a/b-c/d=(a*d-b*c)/(b*d)。
分式的化简：将分式化简为最简形式的步骤如下：1. 如果分子和分母有相同的公因子，可以约分掉。
即a/b =(a/gcd(a,b)) / (b/gcd(a,b))。
2.如果分数的分子和分母都是整数，并且分子能整除分母，可以化简为整数。
即a/b=a/b，其中a能整除b。
3.如果分式的分子和分母都是多项式，并且可以进行因式分解，可以使用因式分解后的形式来化简分式。
分式方程是包含一个或多个分式的方程。
求解分式方程的一般步骤如下：1.将方程两边的分式通过相乘分母的方法，化简为有理式。
2.对于有理式的方程，可以通过解方程的方法求出x的值。
3.检验所求得的x的值是否满足原方程，如果满足，即为解；如果不满足，则该方程无解。
在求解分式方程时，需要注意以下几个问题：1.分母不能为0，需要排除分母为0的解。
2.对于含有分式的方程，需要注意去除分式的分母后方程是否成立，避免出现无意义的解。
3.可能出现分母为0的情况，需要排除该解，以免引起除法运算错误。
分式及分式方程知识点总结
分式及分式方程知识点总结分式（Fraction）是由两个整数构成的比值，其中一个是分子（Numerator），另一个是分母（Denominator）。
分式可以表示为 a/b，其中 a 是分子，b 是分母。
分式可以是一个整数、一个小数、或者是两个整数的比值。
分式可以用于表示实际问题中的比例、率、百分比等。
在数学中，分式经常被用于代替除法运算，因为分式的形式更加简洁。
在处理分式时，有几个关键概念和知识点需要了解。
一、分式的简化与等价分式2.等价分式：如果两个分式的值相等，那么它们是等价的。
可以通过将一个分式的分子乘以另一个分式的分母，分母乘以另一个分式的分子，化简两个分式，然后判断它们的值是否相等，确定它们是否等价。
二、分式的加减乘除2.分式的乘除：两个分式的乘积等于它们的分子乘积作为新分子，分母乘积作为新分母；两个分式的除法等于第一个分式的分子乘以第二个分式的倒数作为新分子，第一个分式的分母乘以第二个分式的分子作为新分母。
三、分式方程分式方程（Fractional Equation）是包含一个或多个分式的方程。
解分式方程的关键是找到合适的方法将方程转化为整式方程。
1.方法一：通分2.方法二：消去如果分式方程中有一个分式，可以通过消去（Cancellation）或者消去因子（Cancellation Factor）的方式将分母消去，得到一个整式方程。
3.方法三：代入如果分式方程比较复杂，无法通过通分或者消去的方法解得，可以通过代入（Substitution）的方法，将一个变量用另一个变量的表达式代入，然后去掉分式，得到一个整式方程进行求解。
需要注意的是，在解分式方程时，需要验证得到的解是否满足原方程，因为有时候方程中的一些值可能导致分母为零，从而使分式无解。
四、常见的分式及分式方程1.比例和比例方程：比例是两个分式的等价形式，比例方程是一个或多个比例的方程。
2.百分比和百分比方程：百分比是分数的一种特殊形式，百分比方程是包含百分比的方程。
中考数学考点07分式方程及其应用总复习(原卷版)
分式方程及其应用【命题趋势】在中考中.解分式方程常以选择题、填空题和计算题考查；分式方程的实际应用再选择题考查列方程.解答题多与不等式、函数的实际应用结合考查。
【中考考查重点】一、能解可化一元一次方程的分式方程二、能根据具体问题的实际意义.检验方程的解是合理考点一：解分式方程1．（2021•广州）方程＝的解为（）A．x＝﹣6B．x＝﹣2C．x＝2D．x＝6 2．（2021•贵池区模拟）分式方程+2＝的解是（）A．1B．0C．﹣1D．无解3．（2021•饶平县校级模拟）在下列方程中.（）是分式方程．A ．＝1B ．C ．D ．4．（2020•郴州）解方程：＝+1．考点二：分式方程的实际应用行程问题时间速度路程= 工程问题 工作完成时间工作效率工作总量= （当题干中没有给出具体工作总量时.默认工作总量为1）购买问题总量单价总价= 航行问题顺水速度=静水速度+水流速度 逆水速度=静水速度-水流速度【提分要点】双检验：1.检验是否为分式方程的解； 2.检验是否符号实际问题5．（2021•黔西南州）高铁为居民出行提供了便利.从铁路沿线相距360km 的甲地到乙地.乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3h ．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍.设普通列车的平均速度为xkm/h.依题意.下面所列方程正确的是（）A．B．C．D．＝36．（2021•黔东南州模拟）2020年在抗击“新型冠状病毒”期间.甲、乙两人准备帮助某抗疫指挥中心整理一批新到的物资.甲单独整理需要40分钟完工；若甲、乙共同整理20分钟后.乙需再单独整理30分钟才能完工．设乙单独整理这批物资需要x分钟完工.则根据题意列得方程（）A．B．C．D．7．（2021•市中区三模）开学在即.由于新冠疫情学校决定共用8000元分两次购进口罩6000个免费发放给学生．若两次购买口罩的费用相同.且第一次购买口罩的单价是第二次购买口罩单价的1.5倍.则第二次购买口罩的单价是元．8．（2020•沈河区一模）某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场.就用4000元购进一批衬衫.面市后果然供不应求.该服装商又用9000元购进了第二批这种衬衫.所购数量是第一批购进数量的2倍.但单价贵了5元．则该服装商第一批进货的单价是元．1．（2021秋•遵化市期中）下列哪个是分式方程（）A．﹣﹣3x＝6B．﹣1＝0C．﹣3x＝5D．2x2+3x＝﹣2 2．（2021秋•江油市期末）一艘轮船在两个码头之间航行.顺水航行81km所需的时间与逆水航行69km所需的时间相同．已知水流速度是速度2km/h.则轮船在静水中航行的速度是（）A．25km/h B．24km/h C．23km/h D．22km/h3．（2021•张湾区模拟）某单位向一所希望小学赠送1080本课外书.现用A、B两种不同的包装箱进行包装.单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本.则根据题意列得方程为（）A．B．C．D．4．（2021•安阳二模）中国标准动车组“复兴号”是世界上商业运营时速最高的动车组列车.达到世界先进水平.安全、舒适、快速是它的显著优点．从安阳东站到北京西站的距离是516千米.乘坐复兴号动车组列车将比乘坐特快列车节省2小时6分钟.已知复兴号动车组的平均速度比特快列车快100千米/小时.设复兴号动车组的平均速度为x千米/小时.根据题意可列方程（）A．﹣＝2.6B．﹣＝2C．﹣＝D．﹣＝25．（2021秋•铁岭县期末）解下列分式方程：（1）+4＝；（2）﹣1＝．1．（2021•阿坝州）已知关于x的分式方程＝3的解是x＝3.则m的值为（）A．3B．﹣3C．﹣1D．1 2．（2021•百色）方程＝的解是（）A．x＝﹣2B．x＝﹣1C．x＝1D．x＝33．（2021•巴中）关于x的分式方程﹣3＝0有解.则实数m应满足的条件是（）A．m＝﹣2B．m≠﹣2C．m＝2D．m≠2 4．（2021•兴安盟）若关于x的分式方程+＝2无解.则a的值为（）A．﹣1B．0C．3D．0或3 5．（2021•鄂尔多斯）2020年疫情防控期间.鄂尔多斯市某电信公司为了满足全体员工的需要.花1万元购买了一批口罩.随着2021年疫情的缓解.以及各种抗疫物资充足的供应.每包口罩下降10元.电信公司又花6000元购买了一批口罩.购买的数量比2020年购买的数量还多100包.设2020年每包口罩为x元.可列方程为（）A．B．C．D．6．（2021•株洲）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十.粝米三十…”（粟指带壳的谷子.粝米指糙米）.其意为：“50单位的粟.可换得30单位的粝米…”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升）.若按照此“粟米之法”.则可以换得的粝米为（）A．1.8升B．16升C．18升D．50升7．（2020•阜新）在“建设美丽阜新”的行动中.需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道．为了尽量减少施工时对城市交通所造成的影响.实际施工时每天的工效比原计划增加25%.结果提前30天完成这一任务．设实际每天铺xm管道.根据题意.所列方程正确的是（）A．﹣＝30B．﹣＝30C．﹣＝30D．﹣＝308．（2021•大庆）解方程：+＝4．1．（2014•日照校级模拟）下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程＝0的根为2；③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）；④x+＝1+是分式方程．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2021•安徽模拟）若x＝6是分式方程的根.则a的值为（）A．6B．﹣6C．4D．﹣4 3．（2021•郯城县模拟）分式方程＝0的解是（）A．1B．﹣1C．±1D．无解4．（2021•西湖区校级三模）某生产厂家更新技术后.平均每天比更新技术前多生产3万件产品.现在生产50万件产品与更新技术前生产40万件产品所需时间相同.设更新技术前每天生产产品x万件.则可以列方程为（）A．B．C．D．5．中国高铁目前是世界高铁的领跑者.无论里程和速度都是世界最高的．郑州、北京两地相距约700km.乘高铁列车从郑州到北京比乘特快列车少用3.6h.已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍．设特快列车的平均行驶速度为xkm/h.则下面所列方程中正确（）A．﹣＝3.6B．﹣＝3.6C．﹣＝3.6D．＝3.6﹣6．（2020•河北模拟）某学校食堂需采购部分餐桌.现有A、B两个商家.A商家每张餐桌的售价比B商家的优惠20元．若该校花费4400元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费4000元采购款在A商家购买餐桌的张数.则A商家每张餐桌的售价为（）A．197元B．198元C．199元D．200元7．（2021•碑林区校级模拟）解方程：＝1﹣．。
北师大版八年级下册数学《认识分式》分式与分式方程说课教学课件复习
3
2
= ，分式无意义
0
三个条件
1.分式无意义的条件：
分母等于零
2.分式有意义的条件：
分母不等于零
3.分式的值等于零的条件：分子等于零且分母不等于零
+2
−
例3．已知分式
，当x＝1时，分式无意义；当x＝4时，分式的值为0.
求a＋b的值．
解： ∵ 当x＝1时，分式无意义，
∴ 1－a＝0，a＝1.
(2)解方程,求出所含字母的值.
(3)代入验证:将所求的值代入分母,验证是否使分母
为0,不为0此值即为所求,否则,应舍去.
(4)写出答案.
巩固练习
变式训练
下列判断错误的是 (
D )
2
A.当a≠0时,分式 a有意义
3a - 6
B.当a=2时,分式 2a + 1的值为0
a-2
C.当a>2时,分式
的值为正
0;
2a 1 2 ( 1) 1
当a=-1时
，
（2）当分母的值等于零时，分式没有意义，除此之
外，分式都有意义. 1
a .
由分母2a-1=0，得
2
所以，当
1
a 1
a
2 时，分式 2a 1 有意义.
巩固练习
变式训练
已知分式
x 1
有意义，则x应满足的
( x 1)( x 2)
（2）当x = －0.4时，
课堂检测
基础巩固题
3.下列分式中,无论x取何值,分式总有意义的是 (
1
A. 2
5x
1
B. 2
x +1
1
C. 3
北师大版八年级下册数学《分式方程》分式与分式方程教学说课复习课件
探究新知
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，那么x满足怎
样的方程？
1400 1400
9
x
2.8 x
（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需y h．那么y满足怎
样的方程？
1400
1400
2.8
y
y9
探究新知
问题2 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校团总支号
1. 理解分式方程的概念和意义，掌握解分式
方程的基本思路和解法.
探究新知
知识点
分式方程的概念及列分式方程
问题1 甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比
乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车
的2.8倍．
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
等量关系：①乘高铁列车所用时间=乘特快列车所用时间-9，
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？ “去分母”
90
60
=
30 + 30 −
方程各分母的最简公分母是：(30+x)(30-x)
解：方程①两边同乘（30+x)(30-x)，得
x=6是原分式
90(30-x)=60(30+x)，
成计划任务.原计划每月固沙造林多少公顷？
1.这一问题中有哪些已知量和未知量？
已知量：造林总面积2400公顷；实际每月造林面积比原计
划多30公顷；提前4个月完成原任务.
未知量：原计划每月固沙造林多少公顷.
分式及分式方程练习题(附答案)
第十六章 分式单元复习一、选择题1．下列各式中，不是分式方程的是（ ）111..(1)1111.1.[(1)1]110232x A B x x x x x x xC D x x x -=-+=-+=--=+-2．如果分式2||55x x x -+的值为0，那么x 的值是（ ）A ．0B ．5C ．－5D ．±53．把分式22x yx y +-中的x ，y 都扩大2倍，则分式的值（ ）A ．不变B ．扩大2倍C ．扩大4倍D ．缩小2倍4．下列分式中，最简分式有（ ）322222222222212,,,,312a x y m n m a ab b x x y m n m a ab b -++-++----A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．分式方程2114339x x x +=-+-的解是（ ）A ．x=±2B ．x=2C ．x=－2D ．无解6．若2x+y=0，则2222x xy y xy x ++-的值为（ ）A ．－13.55B - C ．1 D ．无法确定7．关于x 的方程233xkx x =+--化为整式方程后，会产生一个解使得原分式方程的最简公分母为0，则k 的值为（）A ．3B ．0C ．±3D ．无法确定8．使分式224x x +-等于0的x 值为（ ）A ．2B ．－2C ．±2D ．不存在9．下列各式中正确的是（ ）....a ba ba ba bA B a b a b a b a ba b a b a b a bC D a b a b a b b a-++--==-----++--+-+-==-+-+-10．下列计算结果正确的是（ ）22222211..()223..()955b a a b A B a ab a b ab a a m n n xy xy C D xy x x m a a --=-÷-=-÷=÷= 二、填空题1．若分式||55y y--的值等于0，则y= __________ ． 2．在比例式9:5=4:3x 中，x=_________________ ．3．计算:1111b a b a a b a b++---=_________________ ． 4．当x> __________时，分式213x--的值为正数． 5．计算:1111x x ++-=_______________ ． 6．当分式2223211x x x x x +++--与分式的值相等时，x 须满足_______________ ． 7．已知x+1x =3，则x 2+21x = ________ ． 8．已知分式212x x +-:当x= _ 时，分式没有意义；当x= _______时，分式的值为0；当x=－2时，分式的值为_______． 9．当a=____________时，关于x 的方程23ax a x +-=54的解是x=1． 10．一辆汽车往返于相距akm 的甲、乙两地，去时每小时行mkm ，•返回时每小时行nkm ，则往返一次所用的时间是_____________．三、解答题1．计算题:2222444(1)(4);282a a a a a a a --+÷-+--222132(2)(1).441x x x x x x x --+÷+-+-2．化简求值．（1）（1+11x -）÷（1－11x -），其中x=－12；（2）213(2)22x x x x x -÷-+-++，其中x=12．3．解方程:（1）1052112x x +--=2； （2）2233111x x x x +-=-+-．4．课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当x=3，5－22212211x x x x x -+-÷-+的值．小明一看，说：“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？•请你写出具体的解题过程．5．对于试题：“先化简，再求值：23111x x x----，其中x=2．”小亮写出了如下解答过程： ∵2313111(1)(1)1x x x x x x x ---=----+- ①31(1)(1)(1)(1)x x x x x x -+--+-+ ② =x －3－（x+1）=2x －2， ③∴当x=2时，原式=2×2－2=2． ④（1）小亮的解答在哪一步开始出现错误： ① （直接填序号）；（2）从②到③是否正确： ；若不正确，错误的原因是 ；（3）请你写出正确的解答过程．6．小亮在购物中心用12.5元买了若干盒饼干，但他在一分利超市发现，同样的饼干，这里要比购物中心每盒便宜0.5元．因此当他第二次买饼干时，便到一分利超市去买，如果用去14元，买的饼干盒数比第一次买的盒数多25，•问他第一次在购物中心买了几盒饼干？第十六章 分式单元复习题及答案一、选择题1．下列各式中，不是分式方程的是（D ）111..(1)1111.1.[(1)1]110232x A B x x x x x x x C D x x x-=-+=-+=--=+- 2．如果分式2||55x x x-+的值为0，那么x 的值是（B ） A ．0 B ．5 C ．－5 D ．±53．把分式22x y x y+-中的x ，y 都扩大2倍，则分式的值（A ） A ．不变 B ．扩大2倍 C ．扩大4倍 D ．缩小2倍4．下列分式中，最简分式有（C ）322222222222212,,,,312a x y m n m a ab b x x y m n m a ab b-++-++---- A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个5．分式方程2114339x x x +=-+-的解是（B ） A ．x=±2 B ．x=2 C ．x=－2 D ．无解6．若2x+y=0，则2222x xy y xy x ++-的值为（B ） A ．－13.55B -C ．1D ．无法确定 7．关于x 的方程233x k x x =+--化为整式方程后，会产生一个解使得原分式方程的最简公分母为0，则k 的值为（A ） A ．3 B ．0 C ．±3 D ．无法确定8．使分式224x x +-等于0的x 值为（D ） A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．不存在9．下列各式中正确的是（C ）....a b a b a b a bA B a ba b a b a b a ba ba b a b C D a b a b a b b a -++--==-----++--+-+-==-+-+- 10．下列计算结果正确的是（B ）22222211..()223..()955b a a b A B a ab a b ab a a m n n xy xy C D xy x x m a a --=-÷-=-÷=÷=二、填空题1．若分式||55y y--的值等于0，则y= －5 ． 2．在比例式9：5=4：3x 中，x=2027． 3．1111b a b a a b a b++---的值是 2()a b ab + ． 4．当x> 13 时，分式213x--的值为正数． 5．1111x x ++-= 221x - ． 6．当分式2223211x x x x x +++--与分式的值相等时，x 须满足 x ≠±1 ． 7．已知x+1x =3，则x 2+21x= 7 ． 8．已知分式212x x +-，当x= 2 时，分式没有意义；当x= －12 时，分式的值为0；当x=－2时，分式的值为 34 ． 9．当a= －173 时，关于x 的方程23ax a x +-=54的解是x=1． 10．一辆汽车往返于相距akm 的甲、乙两地，去时每小时行mkm ，•返回时每小时行nkm ，则往返一次所用的时间是 （a a m n +）h ． 三、解答题1．计算题．2222222444(1)(4);28241(2)1.(2)(4)424a a a a a a a a a a a a a a --+÷-+----==-+--+解:原式 2222132(2)(1).441(1)(1)1(1)(2)1.(2)112x x x x x x x x x x x x x x x x --+÷+-+-+----==-+--解:原式 2．化简求值．（1）（1+11x -）÷（1－11x -），其中x=－12； 解：原式=1111111122x x x x x x x x x x -+---÷==-----． 当x=－12时，原式=15． （2）213(2)22x x x x x -÷-+-++，其中x=12．解：原式=22(1)(2)(2)3121(2)(1)2211x x x x x x x x x x ---+++÷=-=-+-++--． 当x=12时，原式=43． 3．解方程．（1）1052112x x+--=2； 解：x=74． （2）2233111x x x x +-=-+-． 解：用（x+1）（x －1）同时乘以方程的两边得，2（x+1）－3（x －1）=x+3．解得 x=1．经检验，x=1是增根．所以原方程无解．4．课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当x=3，5－22212211x x x x x -+-÷-+的值．小明一看，说：“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？•请你写出具体的解题过程．解：原式=2(1)1(1)(1)2(1)x x x x x -++--=12． 由于化简后的代数中不含字母x ，故不论x 取任何值，所求的代数式的值始终不变．所以当x=3，5－12． 5．对于试题：“先化简，再求值：23111x x x----，其中x=2．”小亮写出了如下解答过程： ∵ 2313111(1)(1)1x x x x x x x ---=----+- ① 31(1)(1)(1)(1)x x x x x x -+--+-+ ② =x －3－（x+1）=2x －2， ③∴当x=2时，原式=2×2－2=2． ④（1）小亮的解答在哪一步开始出现错误： ① （直接填序号）；（2）从②到③是否正确： 不正确 ；若不正确，错误的原因是 把分母去掉了 ；（3）请你写出正确的解答过程．解：正确的应是：23111x x x ----=312(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x -++=-+-++ 当x=2时，原式=23． 6．小亮在购物中心用12.5元买了若干盒饼干，但他在一分利超市发现，同样的饼干，这里要比购物中心每盒便宜0.5元．因此当他第二次买饼干时，便到一分利超市去买，如果用去14元，买的饼干盒数比第一次买的盒数多25，•问他第一次在购物中心买了几盒饼干？解：设他第一次在购物中心买了x 盒，则他在一分利超市买了75x 盒． 由题意得：12.51475x x -=0.5 解得 x=5．经检验，x=5是原方程的根．答：他第一次在购物中心买了5盒饼干．。
分式与分式方程知识点
分式与分式方程知识点分式是数学中的一个重要概念，它是由两个整数的比构成的表达式。
在分数中，分子表示被分割的数量，分母表示将整体划分的份数。
掌握好分式的相关知识，对于解决各种实际问题以及在后续数学学习中起到至关重要的作用。
1. 分式的基本运算在进行分式的基本运算时，需要掌握分式的相加、相减、相乘和相除四种基本运算法则。
首先，当分式的分母相同的时候，可以直接将分子相加或相减。
例如，分式 1/4 + 2/4 = 3/4；分式 5/7 - 3/7 = 2/7。
其次，当分式的分母不同但可以化为相同分母的时候，可以通过找到最小公倍数，将分数化为相同的分母之后再进行运算。
例如，分式 1/2 + 1/3 可以通过最小公倍数为6，将分式转化为 3/6 + 2/6 = 5/6。
另外，分式的相乘和相除运算需要分别将分子与分母相乘或相除。
例如，分式 2/3 * 4/5 = 8/15；分式 3/7 ÷ 1/4 = 12/7。
2. 分式方程的解分式方程是由分式构成的方程，它的未知数通常出现在分数的分子或分母中。
解分式方程的关键在于消除分母，使方程转化为一般方程，从而求解未知数。
解分式方程的基本步骤如下：(1) 消去分母。
通过将方程两边同乘以分母的最小公倍数，可以将方程中的分母消除，形成原方程的等效方程。
例如，对于分式方程 1/x + 1/(x+1) = 1/2，可以将方程两边同乘以2x(x+1)，得到 2(x+1) + 2x = x(x+1)。
(2) 解一元方程。
将经过一次化简后的方程转化为一般的方程形式，并进行进一步的求解。
对于上述的等效方程，按照一般方程的解法进行处理，得到 x = 2。
(3) 验证解的可行性。
将得到的解代入原方程进行验证，确保解的可行性。
对于分式方程 1/x + 1/(x+1) = 1/2，将 x = 2 代入方程左侧得到 1/2 +1/3 = 1/2，等式成立。
因此， x = 2 是原方程的解。
分式知识点总结及复习
分式知识点总结及复习一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子＄＼frac{A}｛B}＄就叫做分式。
其中，A 叫做分子，B 叫做分母。
需要注意的是：1、分式的分母中必须含有字母。
2、分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。
例如，＄＼frac{x}｛y}＄是分式，而＄＼frac{2}｛3}＄不是分式，因为它的分母是常数 3，不含有字母。
二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为零。
即：对于分式＄＼frac{A}｛B}＄，B ≠ 0 时，分式有意义。
例如，对于分式＄＼frac{x ＋ 1}｛x 2}＄，要使其有意义，必须满足x 2 ≠ 0，即x ≠ 2。
三、分式的值为零的条件分式的值为零的条件是：分子为零且分母不为零。
即：对于分式＄＼frac{A}｛B}＄，当 A ＝ 0 且B ≠ 0 时，分式的值为 0。
例如，若分式＄＼frac{x^2 1}｛x ＋ 1}＄的值为 0，则 x^2 1 ＝ 0 且 x ＋1 ≠ 0。
由 x^2 1 ＝ 0 可得（x ＋ 1)（x 1) ＝ 0，即 x ＝ 1 或 x ＝－1。
又因为 x ＋1 ≠ 0，所以x ≠ －1。
综上，x ＝ 1 时，该分式的值为 0。
四、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。
即：＄＼frac{A}｛B} ＝＼frac{A×M}｛B×M}＄，＄＼frac{A}｛B} ＝＼frac{A÷M}｛B÷M}＄（M 为不等于零的整式）例如，＄＼frac{x}｛y} ＝＼frac{x×2}｛y×2} ＝＼frac{2x}｛2y}＄，＄＼frac{3x}｛6y} ＝＼frac{3x÷3}｛6y÷3} ＝＼frac{x}｛2y}＄五、约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。
约分的关键是确定分子和分母的公因式。
第十二章 分式
3、分式方程
解分式方程的基本思想就是转化思想； 将分式方程转化为整式方程。 转化的常用方法是去分母法，在去分母过 程中，若转化得到的整式方程的根恰使去 分母时公分母的值为零，则这个整式方程 的根是原分式方程的增根。
原分式方程
去分母
整式方程
移项
检验
解 方 方 程
应用：列分式方程解应用题与整式方程解应用题一样，关键是找出 问题中的等量关系，要特别注意的问题就是列分式方程解应用题要 检验——既要检验运算结果是否是所列方程的解，还要检验是否符 合题意。 从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲 地到乙地先走，40分钟后，B骑自行车从甲地出 发，结果同时到达。 已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度.
例2、关于字母系数的分式方程
（2013.黑龙江齐齐哈尔中考）
分式方程
1 m 1 有增根, 则m （） x 1 ( x 1)(x 2)
巩固练习
若关于x的方程 A、m 5 B、m 5 C 、m 8 D、m 8 x 1 m 无解，则m的值为 x 5 10 2 x
第十二章 分式和分式方程的复习
河子中学 王雅丽
一、知识要点梳理
1、分式的有关概念 2、分式的运算
3、分式方程
1、分式的有关概念 （1）分式的概念 （2）分式的值为0的条件 （3）分式的基本性质 （4）最简分式
我们把形如 B 的代数式叫做分式，其中A，B都是整式，且B中含有 字母。 对分式的概念要注意以下两点： ①分母中应含有字母； ②分母的值不能为零，若为零，则该分式就没有意义。
知识要点梳理
分式的运算 分式
分式方程
分式与分式方程
二、中考真题
分式和分式方程(复习)课件
最简公分母的确定
如果分母是单项式时，最简公分母是：①系数取最 小公倍数；②字母取所有字母；③字母的次数取所 有字母的最高次幂。 如果分母是多项式时，应该先考虑分解因式，再确 定最简公分母。 1 3 2 例： )通分： 与 (1 、 3 2 ax 2b x 3cx x2 x 1 ( 2)通分：2 与 2 x 2x x 4x 4
解：方程两边都乘以 4得： x
2
（x 2) a ( x 2)
2
2
若方程有增根，只能是 2或x 2 x 将x 2和x 2分别代入整式方程可得 ： a 16或a 16
m 1 1、关于x的方程 1 x 1 x 2 1 有增根-1，求m
2、若方程
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整 式方程的过程中出现的不适合于原方 ······ 程的根. ··· 使最简公分母值为零的根 产生的原因:分式方程两边同乘以一个 零因式后,所得的根是整式方程的根, 而不是分式方程的根.···· ····
x2 a x2 例：若关于x的方程 2 x2 x 4 x2 有增根，求a的值。
ab 1 1 解：由已知可得 3, 即 3(1), ab a b 1 1 1 1 同理得： 4(2), 5 b c c a 1 1 1 6 a b c 1 1 原式 ab bc ac 6 abc
分式 方程
概念：分母中含有未知数的有理方程，叫做 分式方程。 解分式方程的步骤： 将分式方程转化为整式方程（方程两边同时乘 以最简公分母） 解整式方程 检验（验根） 写出方程的解
解分式方程易错点分析
一、去分母时常数漏乘 最简公分母 2 x 1 例1、解方程： 2 x 3 3 x 二、去分母时，分子是 多项式不加括号 5 3 x 例2、解方程： 2 0 x 1 x 1 三、方程两边同时除以 可能为零的整式 3x 2 3x 2 例3、解方程： x4 x3
分式复习题含答案
分式复习题含答案1. 化简分式 \(\frac{3x^2 - 6x}{2x}\)。
答案：首先提取分子中的公因式，得到 \(\frac{3x(x - 2)}{2x}\)。
然后分子分母同时除以 \(x\)（假设 \(x \neq 0\)），得到\(\frac{3(x - 2)}{2}\)。
2. 将分式 \(\frac{5}{x - 1}\) 与 \(\frac{3}{x + 1}\) 相加。
答案：为了相加，需要找到两个分式的最小公倍数，即 \((x - 1)(x+ 1)\)。
然后将两个分式转换为相同的分母，得到 \(\frac{5(x + 1) + 3(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)}\)。
化简分子得到 \(\frac{8x +2}{(x - 1)(x + 1)}\)。
3. 计算分式 \(\frac{2}{x + 1}\) 除以 \(\frac{x - 3}{x^2 - 1}\) 的结果。
答案：除法可以转换为乘法，即 \(\frac{2}{x + 1} \times\frac{x^2 - 1}{x - 3}\)。
注意到 \(x^2 - 1\) 可以分解为 \((x + 1)(x - 1)\)，因此原式变为 \(\frac{2}{x + 1} \times \frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 3}\)。
分子分母中的 \(x + 1\) 可以约去，得到\(\frac{2(x - 1)}{x - 3}\)。
4. 解分式方程 \(\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} =\frac{4}{x^2 - 4}\)。
答案：首先将方程两边乘以 \(x^2 - 4\) 以消除分母，得到 \((x + 2) + (x - 2) = 4\)。
化简得到 \(2x = 4\)，解得 \(x = 2\)。
但需要检验，将 \(x = 2\) 代入原方程，发现分母为零，因此 \(x = 2\) 是增根，原方程无解。
分式和分式方程知识点总结大全
分式和分式方程知识点总结大全分式：分式是指含有变量的有理数表达式，通常以a/b的形式表示，其中a和b是整数，而b不等于0。
基本概念：1.分子和分母：分数中的a称为分子，b称为分母。
2.真分数和假分数：如果分子小于分母，则分式称为真分数；如果分子大于或等于分母，则分式称为假分数。
3.约分：对于一个分式a/b，如果a和b有公约数，则可以将a和b同时除以它们的最大公约数，得到分式的最简形式。
4.相等分式：两个分子和分母比值相等的分式称为相等分式。
例如，2/3和4/6是相等的分式。
分式的运算：1.加法和减法：对于两个分式a/b和c/d来说，只有当b和d相等时，才能进行加法和减法运算。
运算结果的分母保持不变，并将分子相加或相减。
2.乘法：两个分式a/b和c/d相乘，将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母。
结果要简化。
3.除法：两个分式a/b和c/d相除，将第一个分式的分子乘以第二个分式的分母，第一个分式的分母乘以第二个分式的分子。
结果要简化。
分式方程：分式方程是指含有分式的方程。
解分式方程的步骤：1.清除分母：将分式方程的两边同乘以分母的最小公倍数，从而消除分母。
2.化简方程：将方程中的分式进行化简，得到方程的最简形式。
3.解方程：根据方程的形式，进行求解。
常见的方法包括合并同类项、配方、移项等等。
常见的分式方程类型：1.一次分式方程：方程中只含有一次分式的方程。
例如，(x+1)/2=32.二次分式方程：方程中含有二次分式的方程。
例如，(x^2+1)/(x+2)=43.多次分式方程：方程中含有多次分式的方程。
例如，(x^3+1)/(x^2+2)=5应用场景：分式和分式方程在数学中的应用非常广泛，尤其在代数、几何、经济学等领域中有着重要的应用。
例如，在解决实际问题中，经常会用到比例关系，而分式可以很好地描述比例关系。
在几何学中，分式用于解决一些面积、体积等问题。
在经济学中，分式用于解决利润、成本等相关问题。
北师大版初二数学下册分式与分式方程知识点梳理
第五章分式与分式方程复习总结第一课时知识点梳理肇州三中黄国庆教学目标1•将本章知识点形成知识脉络。
2. 培养学生如何建立完整的知识体系的能力。
教学重点1. 分式的概念及其基本性质。
2. 分式的运算法则。
3. 分式方程的概念、解法。
教学难点分式的运算及分式方程的解法.教学过程一、知识点梳理：1. 分式的定义：如果A B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A叫做分式。
B1）分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母2）分式有意义的条件：分母不为零，即坟墓中的代数式的值不能为零。
3）分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示A^C I A-C其中A B、C为整式（C 0）B BC B B C注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。
（2）应用基本性质时，要注意C M0,以及隐含的B M0。
（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。
3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式1）分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。
2）最简分式：分子与分母没有公因式的分式3）分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。
4）最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幕的积做公分母，它叫做最简公分母4. 分式的运算:1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母 的积作为分母。
2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置 后，与被除式相乘a c ac a c ad ad■b d bd b d be be3）分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减a b a b a c ad be ad be c c c ，b d bd bd bd5. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程 分式方程。
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分式的加减法法则：
（1）同分母分式的加减法法则：同分母的分
式相加减，分母不变，分子相加减
（2）通分：把异分母的分式化为同分母分式的过 程，叫做通分
（3）异分母分式的加减法法则：异分母的分式相 加减，先通分，变为同分母的分式后再加减
例4，计算 x2 1 x2 x x2 2x 1 x 1
前2天完成，求原计划每天栽树多少 棵？
第十二章
分式及分式方程 总复习
模块一
分式的概念
分式的基本性质
分式的运算
约分 通分 分式的乘除 分式的加减
分式的基本性质：
分式的分子和分母同乘（或除以）一个 不等于0的整式，分式的值不变。
约分
把分式中分子和分母的公因式约 去，叫做分式的约分
最简分式 分子和分母没有公因式的分式叫 做最简分式
例1.如果分式 2 x 有意义，那么 x的取值
x3
范围是什么？
例2.若a 2b 0 ，则 a 2 b 2 的值 a 2 ab
为多少？
例3.若 x 1的值为0，则 x
x 1
分式的乘法法则：
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积 的分子，把分母相乘的积作为积的分母
分式的除法法则：
两个分式相除，把除式的分子和分母 颠倒位置后再与被除式相乘
例5,先化简
x
2
2
x2
x
5 4x
4
x x2
2 3x
然后选择一个你喜欢的数代入求值。
模块二
1.解分式方程的基Байду номын сангаас思路:
是将分式方程转化为整式方程求解， 最后要进行验根。
2.列分式方程解应用题的一般步骤： ①审清题意；②设未知数；③列分式 方程；④解方程；⑤验根；⑥写出答 案。
例6，解分式方程
（1）
1 x
4 x3
（2） x 2 3
x3
3 x
例7，方程
a
3
x 1
有增根，
x2
2x
求a
例8，若关于x的方程 2 x m 2 x2 2x
的解为正数，则m的取值范围是什么
例9，扬州建城2500年之际，为了继 续美化城市，继续在路旁栽树1200 棵，由于志愿者的参加，实际每天栽 树的棵树比原计划多 20 00 ，结果提