三角函数与三角恒等变换知识点

三角函数与三角恒等变换（知识点）
1．⑴ 角度制与弧度制的互化：π弧度180=o ，1180
π
=o 弧度，1弧度180
(
)π
=o '5718≈o .
⑵ 弧长公式：||l R α=；扇形面积公式：211
||22
S R Rl α=
=. 2．三角函数定义：
⑴ 设α是一个任意角，终边与单位圆交于点P (x ,y )，那么y 叫作α的正弦，记作sin α；x 叫作α的
余弦，记作cos α；
y
x
叫作α的正切，记作tan α. ⑵ 角α中边上任意一点P 为(,)x y ，设||OP r =，则：
sin ,cos ,y x r r αα==tan y
x
α=.
三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 3．三角函数线：
正弦线：MP ； 余弦线：OM ； 正切线： AT . 4．诱导公式：
六组诱导公式统一为“
()2
k Z α±∈”
，记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. 5．同角三角函数基本关系：22sin cos 1αα+=（平方关系）；sin tan cos α
αα
=（商数关系）.
6．两角和与差的正弦、余弦、正切：①
sin()sin cos
cos sin αβαβ
αβ±=±；
② cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ； ③ tan tan tan()1tan tan αβ
αβ
αβ
±±=m .
7．二倍角公式：① sin22sin cos ααα=；
② 2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-； ③ 2
2tan tan 21tan α
αα
=-. 变形：21cos2sin 2αα-=；21cos2cos 2
α
α+=. （降次公式）
8．化一：sin cos )y a x b x x x =+)x ϕ+. 9. 物理意义：物理简谐运动sin(),[0,)y A x x ωϕ=+∈+∞，其中0,0A ω>>. 振幅为A ，表示物体离
开平衡位置的最大距离；周期为2T πω=，表示物体往返运动一次所需的时间；频率为12f T ω
π
==，表
示物体在单位时间内往返运动的次数；x ωϕ+为相位；ϕ为初相.
11. 正弦型函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的性质及研究思路：
① 最小正周期2T π
ω
=，值域为[,]A A -.
② 五点法图：把“x ωϕ+”看成一个整体，取30,,,,222
x ππ
ωϕππ+=时的五个自变量值，相应的函
数值为0,,0,,0A A -，描出五个关键点，得到一个周期内的图象.
③ 三角函数图象变换路线：sin y x =ϕ−−−−−→左移个单位
sin()y x ϕ=+ ω
−−−−−→1
横坐标变为倍
sin()
y x ωϕ=+A −−−−−→
纵坐标变为倍
sin()y A x ωϕ=+. 或：sin y x = ω
−−−−−→1
横坐标变为倍
sin y x ω=ϕω
−−−−−
→左移个单位
sin ()y x ϕωω
=+A −−−−−
→纵坐标变为倍
sin()y A x ωϕ=+. ④ 单调性：sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的增区间，把“x ωϕ+”代入到sin y x =增区间[2,2]()22k k k Z ππππ-++∈，即求解22()22
k x k k Z ππ
πωϕπ-+≤+≤+∈.
⑤ 整体思想：把“x ωϕ+”看成一个整体，代入sin y x =与tan y x =的性质中进行求解. 这种整体思想的运用，主要体现在求单调区间时，或取最大值与最小值时的自变量取值.。